Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động" trình bày các nội dung chính sau: Hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ; Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên C m giao với các siêu phẳng di động với hàm đếm có trọng và ứng dụng; Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động và ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN AN MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN AN MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1: GS. TS. SĨ ĐỨC QUANG 2: PGS. TS. PHẠM ĐỨC THOAN Hà Nội, 2024
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín trên thế giới. Các kết quả viết chung với GS. TS. Sĩ Đức Quang, PGS. TS. Phạm Đức Thoan và ThS. Nguyễn Hải Nam đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn An iii
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Sĩ Đức Quang và PGS. TS. Phạm Đức Thoan. Các Thầy đã tận tâm giảng dạy, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến hai Thầy. Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học và các phòng, ban khác của trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô giảng viên Khoa Toán - Tin, các thành viên trong Seminar Hình học phức của Bộ môn Hình học, Khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì đã quan tâm, giúp đỡ tôi và có những hướng dẫn, trao đổi khoa học hữu ích với tôi trong suốt thời gian tôi làm Nghiên cứu sinh. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Học viện Ngân hàng, Ban chủ nhiệm và các thầy, cô đồng nghiệp ở Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng cùng các bạn bè đã giúp đỡ, động viên, chia sẻ để tôi có được những điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và người thân đã luôn bên tôi, chia sẻ khó khăn, khích lệ và động viên tôi, để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tác giả iv
MỤC LỤC CÁC KÍ HIỆU 1 MỞ ĐẦU 3 TỔNG QUAN 9 1 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN CẶP HÀM NHỎ 20 1.1 Một số định nghĩa và kết quả của Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình . . . . . . . . . . 23 1.3 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ . . 25 2 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN Cm GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI HÀM ĐẾM CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG 38 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên Cm vào không gian xạ ảnh và các siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các siêu phẳng di động với các hàm đếm có trọng . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên Cm có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN ĐA TẠP PARABOLIC GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG v
DI ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG 52 3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động . . . . . 73 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 76 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 vi
CÁC KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau. • Pn (C): không gian xạ ảnh phức n−chiều. 1/2 • ∥z∥ = |z1 |2 + · · · + |zm |2 với z = (z1 , . . . , zm ) ∈ Cm . • ν : divisor. • νφ : divisor không điểm của hàm phân hình φ. 0 • νφ,≤k : divisor không điểm của hàm phân hình φ, bỏ qua các không điểm có 0 bội lớn hơn k . • νφ,>k : divisor không điểm của hàm phân hình φ, bỏ qua các không điểm có 0 bội nhỏ hơn k + 1. • νφ : divisor cực điểm của hàm phân hình φ. ∞ • N [M ] (r, ν): hàm đếm của divisor ν , ngắt bội đến mức M . • m (r, f ): hàm xấp xỉ của hàm phân hình f . • T (r, f ): hàm đặc trưng của hàm phân hình f . • O(1): hàm bị chặn đối với r. • O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞. • o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. • log+ r = log max{1, r} với r ∈ R. • “ || P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập con Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞. • ♯A: lực lượng của tập hợp A. 1
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta biết rằng mỗi một đa thức bậc n (n > 0) luôn có đủ n nghiệm phức tính cả bội. Điều này dẫn đến, mỗi đa thức nhận một giá trị phức tùy ý với số lần như nhau, hay nói cách khác giá trị của mỗi đa thức được phân bố trên mặt phẳng phức là đều như nhau tại mọi điểm. Tính chất tương tự như vậy, nói chung cũng đúng với họ hàm phân hình khác hàm hằng trên C. Người đầu tiên tìm hiểu các tính chất này của hàm phân hình là R. Nevanlinna vào những năm 20 của thế kỷ trước. Vào năm 1925, ông bắt đầu tìm hiểu về việc các hàm phân hình xác định trên C phân bố giá trị như thế nào và xây dựng một lý thuyết mới gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, hay Lý thuyết Nevanlinna. Trong lý thuyết này, ông đưa ra ba khái niệm quan trọng là hàm đặc trưng của một hàm phân hình h trên C, hàm đếm tập các a-điểm của h, với a là một giá trị thuộc C, và hàm xấp xỉ tương ứng với a của h. Khi đó, mỗi giá trị a ∈ C như trên được gọi là một mục tiêu. Nevanlinna tìm hiểu sự phân bố các giá trị của hàm h dựa vào mối liên hệ giữa ba loại hàm này với nhau, điều này được thể hiện trong hai định lí cốt yếu: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Hơn thế nữa, nhờ vào hai định lí trên, ông còn chứng minh được hai kết quả nổi tiếng về tính duy nhất của hai hàm phân hình là các Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm. Định lí năm điểm của Nevanlinna phát biểu rằng, với hai hàm phân hình h và g xác định trên C, nếu tồn tại năm mục tiêu phân biệt a1 , . . . , a5 ∈ C có tập ảnh ngược qua h và g , không đếm bội, trùng nhau (tức là h−1 (ai ) = g −1 (ai ) với i = 1, . . . , 5) thì h và g phải bằng nhau. Định lí bốn điểm của Nevanlinna nói rằng hai hàm h và g sai khác một phép biến đổi M¨bius nếu tập các ảnh ngược, o đếm cả bội, của lần lượt bốn mục tiêu trong C qua hai hàm này trùng nhau. Cho đến nay có rất nhiều công trình nghiên cứu mở rộng hai kết quả này. Một trong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu trường hợp các mục tiêu ai trên là các hàm nhỏ. Đặc biệt, gần đây nhiều tác giả quan tâm đến trường hợp tổng quát hơn khi các mục tiêu trên được thay bởi các cặp hàm nhỏ. Những kết quả mở rộng đầu tiên cho Định lí bốn điểm được đưa ra theo hướng này bởi G. G. Gundersen [7] và các nhóm tác giả P. Li-C. C. Yang [14], H. Z. Cao-T. B. Cao [5], và gần đây bởi S. Đ. Quang-L. N. Quỳnh [28]. Một trong các kết quả tốt 3
nhất đạt được gần đây là của P. Li và C. C. Yang [15]. Hai tác giả này đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình tùy ý khác hằng, nếu tồn tại ba cặp hàm nhỏ phân biệt sao cho ảnh ngược, đếm cả bội, của chúng qua hai hàm trên trùng nhau và tồn tại thêm một cặp hàm nhỏ khác có ảnh ngược, không kể bội, qua hai hàm trên cũng trùng nhau thì có một phép biến đổi tựa M¨bius liên kết hai o hàm phân hình với nhau. Nhưng kết quả này chưa đề cập đến trường hợp bội được chặn ở một bậc nào đó cũng như chưa xét đến việc bỏ qua các không điểm từ một mức nhất định. Nếu các trường hợp này được giải quyết thì sẽ là những kết quả cải tiến hơn nữa cho hướng nghiên cứu này. Lý thuyết Nevanlinna được coi là một trong những lý thuyết toán học sâu sắc nhất được xây dựng ở thế kỷ trước. Vì vậy, rất nhanh chóng, nhiều nhà toán học phát triển lý thuyết này lên cho trường hợp các ánh xạ phân hình từ không gian phức nhiều chiều Cm vào các không gian xạ ảnh phức Pn (C). Những tác giả có đóng góp đầu tiên và quan trọng nhất cho sự phát triển này phải kể đến là H. Cartan, H. Weyl và L. Ahlfors. Đặc biệt, Lý thuyết Nevanlinna cho lớp các ánh xạ phân hình từ các đa tạp phức parabolic vào Pn (C) đã được phát triển bởi W. Stoll [37] sau đó. Ngoài ra H. H. Khoái [13] cũng xây dựng lý thuyết tương tự cho các hàm chỉnh hình p-adic. Như đã nói ở trên, trọng tâm trong lý thuyết này là hai định lí then chốt: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Định lí cơ bản thứ nhất phát biểu rằng, mỗi ánh xạ phân hình có hàm đặc trưng bằng tổng của hàm đếm các nghịch ảnh bởi các ánh xạ của một mục tiêu (cố định hoặc di động) cho trước và hàm xấp xỉ tương ứng với mục tiêu này của ánh xạ đó. Như vậy hàm đếm luôn bị chặn trên bởi hàm đặc trưng. Ngược lại, Định lí cơ bản thứ hai là một bất đẳng thức có dạng hàm đặc trưng không vượt quá một số lần của tổng các hàm đếm các nghịch ảnh (được chặn bội hoặc không được chặn bội) một họ các mục tiêu cho trước nào đó. Định lí cơ bản thứ hai có nhiều ứng dụng trong Giải tích phức, Hình học phức, chẳng hạn như ứng dụng trong việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các hàm phân hình hay ánh xạ phân hình thông qua tập nghịch ảnh họ mục tiêu nào đó của các hàm hay ánh xạ này. Những vẫn đề đang được nghiên cứu sôi động nhất trong những năm gần đây thông qua lý thuyết này có thể kể đến là vấn đề về sự xác định duy nhất và tính hữu hạn của ánh xạ phân hình, sự chuẩn tắc và tính thác triển được của ánh xạ phân hình hoặc họ các ánh xạ phân hình,... Rất nhiều 4
kết quả mới liên quan đến những vấn đề trên đã được các nhà toán học trong và ngoài nước công bố trong các năm qua, chẳng hạn của H. Fujimoto [10], T. T. H. An [3], T. V. Tấn [8], G. Dethloff [9], S. Đ. Quang [23],... Trong khi Định lí cơ bản thứ nhất gần như luôn tự động thỏa mãn khi xây dựng lý thuyết này đối với cả mục tiêu cố định và mục tiêu di động nhờ vào công thức Jensen thì hiện nay chỉ trong các trường hợp riêng người ta mới thiết lập được các Định lí cơ bản thứ hai tối ưu. Do vậy việc nghiên cứu, cải tiến và đưa ra các dạng mới của Định lí cơ bản thứ hai luôn là vấn đề chính được nhiều tác giả quan tâm. Định lí cơ bản thứ hai đầu tiên cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức được đưa ra bởi H. Cartan [6] vào năm 1933. Cụ thể ông đã xét trường hợp ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) và họ mục tiêu là các siêu phẳng cố định ở vị trí tổng quát với hàm đếm được chặn bội n. Năm 1983, bằng cách đưa ra khái niệm trọng Nochka, I. Nochka [19] đã tổng quát kết quả của Cartan cho trường hợp các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát. Điều này tương đương với việc Nochka có thể xem xét ngay cả khi các ánh xạ có thể suy biến tuyến tính. Trong những thập niên 1990 của thế kỷ trước, W. Stoll - M. Ru [32] và M. Shirosaki [35] đã thiết lập được các Định lí cơ bản thứ hai cho các mục tiêu là siêu phẳng di động trong không gian xạ ảnh. Tuy nhiên, hàm đếm trong các định lí đó không được chặn bội. Kết quả của Stoll-Ru và Shirosaki đã được cải thiện bởi Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [9] khi các tác giả này đã chặn bội cho các hàm đếm bởi một bậc cụ thể. Tuy nhiên bậc chặn bội đó vẫn còn rất lớn. Trong những năm gần đây, S. Đ. Quang [24], [25], [26] đã đưa ra một số dạng Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với siêu phẳng di động mà ở đó hàm đếm được chặn bội đến bậc n. Lưu ý rằng các kết quả trên của S. Đ. Quang khi xét trong trường hợp họ mục tiêu cố định thì lại vẫn còn rất xa so với kết quả tối ưu của H. Cartan. Theo một hướng tổng quát các kết quả này, bằng cách xem xét trường hợp các mục tiêu có thể đóng vai trò khác nhau, S. Đ. Quang đã đưa ra một dạng mới của Định lí cơ bản thứ hai cho các mục tiêu là siêu phẳng di động trong đó các hàm đếm được xét với các trọng số khác nhau. Do vậy, một vấn đề thú vị được đặt ra trong nghiên cứu là có thể hay không kết hợp cả hai hướng tổng quát trên để thu được các Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với họ siêu phẳng di động và các hàm đếm có trọng được chặn bội, tối ưu và nhiều ứng dụng hơn. 5
Theo một hướng nghiên cứu khác, để tổng quát kết quả của H. Cartan [6], W. Stoll [39] và một số nhà toán học khác đã nghiên cứu việc thay thế Cm bởi các đa tạp parabolic. Chú ý rằng rằng kỹ thuật được các tác giả sử dụng để chứng minh các dạng Định lí cơ bản thứ hai nêu trên là dựa vào khái niệm Wronskian tổng quát của các ánh xạ và Bổ đề Đạo hàm logarit. Trong khi đó, khái niệm Wronskian tổng quát và bổ đề này rất khó được xây dựng cho các ánh xạ phân hình trên các đa tạp parabolic. Dựa theo kỹ thuật của Y. Liu khi nghiên cứu bài toán không gian con Schmidt trong xấp xỉ Diophantine, Q. Yan [46] đã thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động trên đa tạp parabolic mà tránh được việc sử dụng Bổ đề Đạo hàm logarit. Kết quả của Q. Yan là tổng quát kết quả của Đ. Đ. Thái-S. Đ. Quang [41] cho lớp ánh xạ phân hình xác định trên Cm . Tuy nhiên, kết quả này lại yếu hơn rất nhiều so với các kết quả gần đây của S. Đ. Quang trong [26]. Vì vậy, một vấn đề đặt ra ở đây là có thể hay không kết hợp kĩ thuật của Q. Yan [46] và phương pháp của S. Đ. Quang [26] để thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho lớp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn (C) với siêu phẳng di động và các hàm đếm được chặn bội n, vừa mở rộng được kết quả của S. Đ. Quang [26] và đơn giản hóa được chứng minh. Mặt khác, mỗi một định lí cơ bản thứ hai được thiết lập cho một lớp ánh xạ phân hình sẽ kéo theo rất nhiều ứng dụng trong việc tìm hiểu mối liên hệ giữa các ánh xạ đó. Một ứng dụng quan trọng đó là nghiên cứu về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình vào Pn (C) thông qua các giả thiết về nghịch ảnh của họ các siêu phẳng di động. Kết quả đầu tiên về sự phụ thuộc đại số cho họ các ánh xạ phân hình (có thể suy biến tuyến tính) theo hướng này được đưa ra bởi M. Ru [30] vào năm 2001. Sau đó, kết quả của M. Ru được các tác giả P. Đ. Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang [43] cải tiến nhờ vào áp dụng Định lí cơ bản thứ hai trong [41] của Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang. Do vậy, có thể thấy số siêu phẳng di động tham gia vào giả thiết của các kết quả này là khá lớn. Từ đây cũng mở ra một vấn đề là áp dụng các dạng định lí cơ bản thứ hai tốt nhất và phát triển thêm các kĩ thuật về tính bội của các hàm phụ trợ để cải tiến các định lí về phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình sao cho số mục tiêu di động tham gia được giảm đi cũng như xét không gian nguồn tổng quát hơn là các đa tạp parabolic. 6
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài "Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động", để xây dựng các dạng định lí cơ bản thứ hai mới với hàm đếm được chặn bội cho các ánh xạ phân hình tối ưu hơn các định lí đã biết, đồng thời áp dụng các kết quả đó để nghiên cứu các tính chất của các ánh xạ. 2. Tính cấp thiết của đề tài Đề tài nghiên cứu có ý nghĩa khoa học, thực tiễn và giáo dục, giải quyết một số vấn đề mới trong toán học mà các nhà toán học đang quan tâm. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu thứ nhất của luận án là tổng quát những kết quả của các định lí về hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ. Nhiệm vụ nghiên cứu thứ hai là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình với hàm đếm có trọng. Nhiệm vụ nghiên cứu cuối cùng là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức. Áp dụng các kết quả thu được, luận án đưa ra một số kết quả cho bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trong một vài trường hợp. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu vào đối tượng là các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic nói chung và Cm nói riêng vào Pn (C). Phạm vi nghiên cứu trong luận án thuộc về Hình học phức nói chung và Lý thuyết phân bố giá trị nói riêng. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án đưa ra được những định lí cơ bản thứ hai mới cho lớp các ánh xạ phân hình từ Cm hoặc rộng hơn là từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh với các mục tiêu là siêu mặt di động và hàm đếm được chặn bội. Luận án cũng đưa ra một số kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức hoặc các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Những kết quả của luận án góp phần làm phong phú và sâu sắc các hiểu biết về sự phân bố giá trị của các ánh xạ phân hình cũng như mối liên hệ giữa các ánh xạ này dưới điều kiện về tập nghịch ảnh của các mục tiêu. Nghiên cứu sinh, học viên cao học và sinh viên có thể tham khảo luận án để tìm hiểu và nghiên cứu về Lý thuyết phân bố giá trị. 7
6. Cấu trúc luận án Ngoài các phần: Mở đầu, Mục lục, Tổng quan, Kết luận và kiến nghị, luận án bao gồm ba chương. Các công trình liên quan đến luận án của các tác giả trong và ngoài nước được phân tích đánh giá trong phần Tổng quan. Ba chương của luận án được viết dựa trên 02 công trình đã được đăng và 01 công trình đã được chấp nhận đăng. Chương 1: Hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ. Chương 2: Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các siêu phẳng di động với hàm đếm có trọng và ứng dụng. Chương 3: Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động và ứng dụng. Luận án được viết dựa trên 03 bài báo đã công bố trong các tạp chí quốc tế SCIE thuộc loại Q3: Bulletin of the Korean Mathematical Society, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics và Kyushu Journal of Mathematics. 7. Nơi thực hiện đề tài luận án. Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 8
TỔNG QUAN Trong luận án, chúng tôi đặt ra ba vấn đề chính để nghiên cứu. Thứ nhất là mở rộng Định lí bốn điểm của Nevanlinna. Cụ thể, chúng tôi đi tìm các mối liên hệ phụ thuộc bởi các biến đổi tựa M¨bius giữa những hàm phân hình trên C có o cùng ảnh ngược đối với bốn cặp hàm nhỏ. Thứ hai là tổng quát các kết quả về Định lí cơ bản thứ hai của ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với mục tiêu di động và các hàm đếm có trọng. Thứ ba là đưa ra một Định lí cơ bản thứ hai tối ưu hơn kết quả những kết quả trước đó cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn (C). Dựa vào các Định lí cơ bản thứ hai mới thu được, trong vấn đề thứ hai và vấn đề thứ ba chúng tôi đồng thời nghiên cứu việc áp dụng các định lí này để xem xét điều kiện về tính phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình. Đầu tiên, chúng tôi trình bày sơ lược về lịch sử của các kết quả trước đó cũng như các kết quả mới thu được trong luận án theo từng vấn đề nêu trên. Vấn đề 1: Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa hai hàm phân hình trên C có cùng ảnh ngược đối với bốn cặp hàm nhỏ Trước hết, chúng ta có một số định nghĩa và kí hiệu sau. Ta kí hiệu C là mặt phẳng phức. Một divisor D trên C là được xem như một hàm số trên C với giá trị trong tập các số nguyên Z sao cho tập giá Supp D = {z ∈ C|D(z) ̸= 0} là tập rời rạc. Đặt n(t, D) = D(z). |z|≤t Ta định nghĩa hàm đếm N (r, D) của divisor D bởi: r n(t, D) N (r, D) = dt (1 < r < ∞). t 1 Với ℓ và N là các số nguyên dương (hoặc bằng ∞), ta đặt  min{N, D(z)} nếu D(z) ≤ ℓ, [N ] D≤ℓ (z) = 0 nếu D(z) > ℓ, 9
và N≤ℓ ] (r, D) := N (r, D≤ℓ] ). Ta bỏ qua kí hiệu [N [N [N ] (tương ứng ≤ ℓ) nếu N = +∞ [N ] (tương ứng ℓ = +∞). Tương tự, ta định nghĩa N>ℓ (r, D). Với một tập rời rạc S ⊂ C, ta xem S như một divisor rút gọn có hàm đếm được kí hiệu là N (r, S). Trong toàn bộ mục này, khi nói đến một hàm phân hình ta luôn hiểu rằng hàm đó được xác định trên toàn bộ C. Cho f là một hàm chỉnh hình khác không. Trong lân cận của mỗi điểm a0 ∈ C cho trước, ta có khai triển Taylor của f là ∞ f (z) = bj (z − a0 )j . j=0 0 Divisor không điểm νf được định nghĩa bởi: 0 νf (a0 ) = min{j : bj ̸= 0}. φ1 Cho φ là hàm phân hình trên C. Ta viết φ = , với φ1 , φ2 là hai hàm chỉnh φ2 ∞ hình trên C không có không điểm chung. Các divisor cực điểm νφ và divisor 0 không điểm νφ của φ được định nghĩa như sau: ∞ 0 0 0 νφ := νφ2 và νφ := νφ1 . Ta lần lượt định nghĩa các hàm xấp xỉ (tương ứng với giá trị ∞) và hàm đặc trưng Nevanlinna của φ như sau: 2π 1 m(r, φ) := log max 1, |φ(reiθ )| dθ (r > 1), 2π 0 ∞ T (r, φ) := m(r, φ) + N (r, νφ ). Ta kí hiệu S(r, φ) là một đại lượng bằng với o(T (r, φ)) với r đủ lớn nằm ngoài một tập Borel có độ đo hữu hạn. Xét hai hàm phân hình h và g . Lấy các giá trị a, b ∈ C. Hai hàm h và g được nói là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của a nếu h − a và g − a có chung các không điểm không kể bội (hoặc tính cả bội). Tổng quát hơn, h và g được nói là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của cặp (a, b) nếu h − a và g − b có chung các không điểm không kể bội (hoặc tính cả bội). Định lí năm điểm của Nevanlinna nói rằng hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược IM của năm giá trị phân biệt phải trùng nhau. Trong khi 10
đó, Định lí bốn điểm của Nevanlinna nói rằng hai hàm phân hình có chung ảnh ngược CM của bốn giá trị phân biệt sẽ sai khác một biến đổi M¨bius của Pn (C). o Sau đó, việc nghiên cứu tính duy nhất của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của các giá trị phân biệt hoặc có chung ảnh ngược của các cặp giá trị được nhiều nhà toán học quan tâm. Năm 1997, T. Czubiak-G. Gundersen [7] chứng minh được rằng hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược của sáu cặp giá trị phân biệt thì sai khác một phép biến đổi M¨bius. Bằng việc đưa o ra một phản ví dụ cụ thể, P. Li-C. C. Yang [14] chỉ ra rằng khẳng định trong kết quả trên của T. Czubiak-G. Gundersen sẽ không còn đúng nếu số cặp giá trị giảm xuống còn năm cặp. Trong hai bài toán trên, ta đều yêu cầu tập ảnh ngược của mỗi mục tiêu qua các ánh xạ là hoàn toàn trùng nhau (theo nghĩa tập hợp). Một vấn đề thú vị đặt ra tiếp theo đó là: Ta có thể làm yếu điều kiện trùng nhau của các tập hợp này hay không và có thể thay mục tiêu là các giá trị bởi các hàm nhỏ hay không? Điều này đưa chúng ta đến với bài toán nghiên cứu mối liên hệ bởi các phép biến đổi tựa M¨bius giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) o của các cặp hàm nhỏ ngoài một tập nhất định nào đó, hay còn gọi là có chung ảnh ngược IM* (hoặc CM*). Cụ thể, xét hàm phân hình f . Ta nói một hàm phân hình a là hàm nhỏ so với f nếu T (r, a) = S(r, f ). Tập các hàm nhỏ so với f lập thành một trường và được kí hiệu là Rf . Cho h và g là hai hàm phân hình và n là một số nguyên dương hoặc bằng +∞. Lấy (a, b) là một cặp hàm nhỏ (đối với h và g ). Định nghĩa 1. Ta nói rằng h và g có chung ảnh ngược của cặp (a, b) với bội bị ∗ ngắt bởi n, hoặc chung ảnh ngược CMn của cặp (a, b), nếu 0 0 min{n, νh−a (z)} = min{n, νg−b (z)} với mọi z ∈ C nằm ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng với S(r, h) + S(r, g). Hai hàm h và g được gọi là có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm (a, b) nếu n = 1 và có chung ảnh ngược CM ∗ của cặp hàm (a, b) nếu n = ∞. Định nghĩa 2. Ta nói hàm h là một biến đổi tựa M¨bius của g nếu tồn tại các o a1 g + a2 các hàm nhỏ (so với g ) ai (1 ≤ i ≤ 4) mà a1 a4 − a2 a3 ̸≡ 0 sao cho h = . a3 g + a4 Đặc biệt, hàm h được gọi là một biến đổi M¨bius của g nếu a1 , a2 , a3 , a4 đều là o 11
hàm hằng. Đến đây, một câu hỏi thú vị được đặt ra: “Có tồn tại hay không một phép biến đổi tựa M¨bius giữa h và g khi chúng có chung ảnh ngược IM ∗ hoặc CM ∗ o của các cặp hàm nhỏ? ”. Định lí năm điểm của Nevanlinna được tổng quát hóa cho trường hợp các hàm nhỏ như sau: hai hàm phân hình khác hằng phải trùng nhau nếu chúng có chung ảnh ngược IM của năm hàm nhỏ. Trong khi đó, vào năm 2003, P. C. Hu, P. Li và C. C. Yang [12] đã cải tiến Định lí bốn điểm thành: nếu hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược CM ∗ của bốn cặp hàm nhỏ thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius. Ngoài ra, năm 2014 S. Đ. Quang và L. o N. Quỳnh [22], [28] đã xem xét trường hợp số cặp hàm nhỏ nhiều hơn 5 nhưng điều kiện có chung ảnh ngược được làm yếu hơn. Ngoài ra, H. Z. Cao - T. B. Cao [5], L. Zhang - L. Yang [47], cũng đưa ra các cải tiến khác nhau cho hai định lí bốn điểm và năm điểm theo hướng này. Một trong những kết quả tốt nhất đến nay được cho bởi P. Li và C. C. Yang [15] như sau. Định lí A. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 1, . . . , 4; ai ̸= aj , bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ so với f và g . Nếu f và g có chung ảnh ngược CM ∗ của ba cặp hàm nhỏ (ai , bi ), (i = 1, 2, 3) và có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a4 , b4 ) thì f là một biến đổi tựa M¨bius của g . o Trong luận án này, chúng tôi đã cải tiến kết quả trên với một mức ngắt bội cụ thể khi đếm bội các cặp hàm nhỏ và chỉ ra mối liên hệ giữa hai hàm phân hình như sau. Định lí 1.3.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 1, . . . , 4; ai ̸= aj , bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ tương ứng so với f và g . Nếu f và g có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a1 , b1 ) và có chung ảnh ngược ∗ CM4 của ba cặp hàm nhỏ (ai , bi ), (i = 2, 3, 4) thì f là một biến đổi tựa M¨bius o của g . Hơn nữa, tồn tại một hoán vị (i1 , i2 , i3 , i4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi3 − bi2 f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi4 − bi2 · = · hoặc · = · . f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi3 − bi1 f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi4 − bi1 Trong định lí sau, chúng tôi xét trường hợp mà trong đó bỏ qua tất cả các không điểm có bội k > 865 của các hàm f − ai . Định lí 1.3.7. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 12