Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận án này là thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện khác nhau. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của Luận án này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH --------F-------- ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS. TS. NGUYỄN VĂN QUẢNG 2. TS. LÊ HỒNG SƠN NGHỆ AN - 2020
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Đỗ Thế Sơn
ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn Văn Quảng và TS. Lê Hồng Sơn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy đã hướng dẫn tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của TS. Nguyễn Thị Thế, PGS.TS. Lê Văn Thành, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS. Dương Xuân Giáp, TS. Trần Anh Nghĩa, PGS. TS Nguyễn Chiến Thắng, TS. Nguyễn Huy Chiêu cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp TP. Hồ Chí Minh, nơi tác giả đang làm việc, đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và nghiên cứu tại Viện. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn là chỗ dựa vững chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác. Đỗ Thế Sơn
1 MỤC LỤC Mở đầu 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10 1.1. Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Toán tử đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Các dạng hội tụ và sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được 26 2.1. Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương . . 26 2.2. Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Một số dạng khả tích đều và luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Chương 3. Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được 64 3.1. Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được . . . . . . . 64
2 3.2. Luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo được . . . . . . 69 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 87 Tài liệu tham khảo 88
3 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập số thực không âm C Tập số phức ∅ Tập rỗng B(R) σ -đại số Borel của tập số thực R B ∈ B(R) B là tập con Borel của tập số thực R H Không gian Hilbert phức x, y Tích vô hướng của x, y ∈ H L(H) Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H T ∞ Chuẩn của toán tử T ∈ L(H) A Đại số von Neumann 1 Toán tử đồng nhất 1A Hàm chỉ tiêu của tập A σ(T ) Phổ của toán tử T W ∗ (X) Đại số von Neumann sinh bởi toán tử đo được X eB (X) Phép chiếu phổ của toán tử tự liên hợp X tương ứng với tập con Borel B của tập số thực R τ Trạng thái vết 2 Kết thúc chứng minh
4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiên cứu cho nhiều đối tượng khác nhau. Chẳng hạn, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất không giao hoán. Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán đang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được những kết quả nhất định (xem [3], [23], [35], [43], [60]). 1.2. Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vào những năm 1952-1953 bởi I. E. Segal [52]. Sau đó, nó tiếp tục được nghiên cứu bởi R. A. Kunze [31], W. F. Stinespring [53], E. Nelson [36], F. J. Yeadon [59]... Trên cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lý thuyết xác suất không giao hoán đã được nghiên cứu bởi C. J. Batty [3], A. R. Padmanabhan [37], A. Luczak [35], R. Jajte [23] và đang tiếp tục được quan tâm. Trong xác suất không giao hoán, không có không gian xác suất cơ bản, thay vì nghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu các toán tử trên đại số von Neumann hoặc toán tử đo được. Do phép nhân các toán tử không có tính giao hoán và chúng ta cũng không thể nói về max, min của các toán tử nên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác
5 suất không giao hoán, cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới. 1.3. Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theo hai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái và toán tử đo được với trạng thái vết. Khó khăn trong hướng thứ nhất là tính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp. Các đặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quan tâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán. 1.4. Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc các toán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi của thế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay. Chính vì vậy, việc nghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán” . 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện khác nhau. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật số lớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất không giao hoán. 4. Phạm vi nghiên cứu
6 Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớn của các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầu đều hai phía, hội tụ trong LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng các khái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyết xác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn phổ của toán tử. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giao hoán. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án Luật số lớn đầu tiên trong xác suất không giao hoán được chứng minh năm 1979 bởi C. J. K. Batty [3]. Trong bài báo của mình, ông đã thiết lập dạng không giao hoán của bất đẳng thức Kolmogorov và chứng minh luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập liên tiếp. Sau đó, A. Luczak [35] đã xây dựng một số luật mạnh và luật yếu số lớn cho dãy các toán tử đo được độc lập liên tiếp cùng phân phối. Tiếp đến, R. Jajte [23], [24] đã chứng minh một số kết quả đáng quan tâm như: luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử trực giao, định lý 3 chuỗi Kolmogorov
7 hay luật mạnh số lớn Chung Kailai. Trong nước, luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử cũng được một số tác giả như Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quảng, Lê Hồng Sơn, Nguyễn Ngọc Huy nghiên cứu (xem [43], [45]). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được. Đối với luật mạnh số lớn, đầu tiên chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật của lý thuyết toán tử và các phương pháp được phát triển bởi N. Etemadi ([18], [19]), S. Cs¨org˝o, K. Tandori, V. Totik [16], T. K. Chandra, A. Goswami ([8], [9]) và V. Korchevsky [29] để thiết lập một số luật mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương. Sử dụng những kết quả này, chúng tôi chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối. Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khả tích đều đối với dãy các toán tử đo được. Dựa vào kết quả đó, chúng tôi xây dựng một số khái niệm khả tích đối với dãy các toán tử đo được trong xác suất không giao hoán. Cuối cùng, luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử độc lập đôi một và khả tích mạnh Cesàro mức α được chúng tôi nghiên cứu. Đối với luật yếu số lớn, trước hết chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ trong L1 đối với dãy các toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α và độc lập đôi một hoặc m-phụ thuộc. Sau đó, chúng tôi xây dựng các khái niệm: khả tích đều theo nghĩa Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng hằng số {ani } và h-khả tích với mũ r của mảng các toán tử đo được.
8 Cuối cùng, chúng tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu số lớn cho mảng các toán tử đo được từ các khái niệm trên. 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho những nghiên cứu của luận án. Mục 1.1 giới thiệu một số khái niệm về đại số Banach, toán tử trong không gian Hilbert, khai triển đơn vị và định lý phổ. Mục 1.2 giới thiệu về đại số von Neumann, phép chiếu, trạng thái và trạng thái vết. Mục 1.3 trình bày định nghĩa và một số tính chất của toán tử đo được. Cuối cùng, Mục 4.4 trình bày một số dạng hội tụ và một số khái niệm độc lập trong xác suất không giao hoán. Chương 2 nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được. Trong Mục 2.1, chúng tôi thiết lập một số luật mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương. Mục 2.2 chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được, độc lập đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối. Trong Mục 2.3, đầu tiên chúng tôi chứng minh một số tính chất tương đương của điều kiện khả tích đều đối với dãy các toán tử đo được trong xác suất không giao hoán. Sau đó, chúng tôi xây dựng một số khái niệm khả tích và chứng minh một số tiêu chuẩn khả tích trong xác suất không giao hoán. Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một thỏa mãn điều kiện khả tích mạnh mức α (SCI(α)) hoặc khả tích đều mạnh Cesa `ro (SCUI). Chương 3 nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với
9 dãy và mảng các toán tử đo được. Mục 3.1 thiết lập một số luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một hoặc m-phụ thuộc. Trong Mục 3.2, chúng tôi xây dựng một số khái niệm mới về một số dạng khả tích đối với mảng các toán tử đo được trong xác suất không giao hoán. Ngoài ra, trong mục này, chúng tôi còn chứng minh một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện thích hợp. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại: Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9 (Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha Trang, 14-18/8/2018); Hội thảo khoa học: “Nghiên cứu và dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay” (Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh, 19/9/2019); Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh (từ năm 2015 đến năm 2019). Phần lớn các kết quả này đã được viết thành 3 bài báo, công bố trên các tạp chí Statistics and Probability Letters, Journal of Theoretical Probability và Lobachevskii Journal of Mathematics.
10 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất không giao hoán. Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [5], [13], [20], [23], [27], [30], [37], [48], [50]. 1.1 Toán tử trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 ([50]). Giả sử A là một không gian vectơ trên trường số phức C. Khi đó, A được gọi là một đại số phức nếu trên A có phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau: i) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; ii) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ A; iii) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C. Ví dụ 1.1.2. Xét Cn = {(x1 , . . . , xn )|xi ∈ C} với phép nhân (x1 , . . . , xn ).(y1 , . . . , yn ) = (x1 y1 , . . . , xn yn ). Khi đó Cn là đại số phức. Định nghĩa 1.1.3 ([50]). Giả sử A là một đại số phức. Khi đó, A được gọi là một đại số Banach nếu: i) A là không gian Banach với chuẩn tương ứng thỏa mãn điều kiện kxyk 6 kxk.kyk, (∀x, y ∈ A);
11 ii) A chứa phần tử đơn vị e sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A và kek = 1. Nếu thêm điều kiện xy = yx, ∀x, y ∈ A thì A được gọi là đại số Banach giao hoán. Ví dụ 1.1.4. Giả sử X là không gian Banach. Ký hiệu L(X ) = {T : X → X là ánh xạ tuyến tính liên tục}. Trên L(X ) ta định nghĩa các phép toán: • (S + T )(h) = S(h) + T (h), ∀S, T ∈ L(X ), ∀h ∈ X ; • (αT )(h) = α.T (h), ∀T ∈ L(X ), ∀α ∈ C, ∀h ∈ X ; • (ST )(h) = S(T (h)), ∀S, T ∈ L(X ), ∀h ∈ X . Khi đó, L(X ) với chuẩn kT k∞ = sup kT (h)k là một đại số Banach khk61 không giao hoán có đơn vị e chính là toán tử đồng nhất 1. Nếu thay không gian Banach X bởi không gian Hilbert phức H thì ta được L(H) là đại số Banach không giao hoán các toán tử tuyến tính liên tục trong H. Định nghĩa 1.1.5 ([50]). Giả sử A là đại số Banach với phần tử đơn vị là e và x ∈ A. Khi đó i) Phần tử x được gọi là khả nghịch nếu nó có nghịch đảo trong A, tức là, tồn tại x−1 ∈ A sao cho x−1 x = xx−1 = e. ii) Tập σ(x) = {λ ∈ C : (λe − x) không khả nghịch} được gọi là phổ của x. Ví dụ 1.1.6. Nếu λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính liên tục T ∈ L(H) thì T (h) = λh, với mọi h ∈ H, h 6= 0, hay (λ1 − T )(h) = 0.
12 Trong trường hợp này λ1 − T không khả nghịch, do đó nếu λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính liên tục T thì λ ∈ σ(T ). Định nghĩa 1.1.7 ([5]). Ánh xạ tuyến tính T : H → H được gọi là toán tử bị chặn nếu có một hằng số K ≥ 0 sao cho kT (h)k 6 K.khk, ∀h ∈ H. (1.1) Số K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là chuẩn của toán tử T và được ký hiệu là kT k∞ , tức là kT k∞ = sup kT (h)k. khk61 Nhận xét 1.1.8 ([5]). Toán tử T liên tục khi và chỉ khi T là toán tử bị chặn. Định nghĩa 1.1.9 ([5]). Giả sử D là không gian con của H, toán tử tuyến tính T : D → H được gọi là toán tử xác định bộ phận trên H. Nếu miền xác định D(T ) của toán tử T trù mật trong H thì T được gọi là toán tử xác định trù mật trên H. Một toán tử xác định bộ phận (hoặc xác định trù mật) trên H có thể bị chặn hoặc không bị chặn. Toán tử xác định trù mật trên H được gọi là toán tử đóng nếu đồ thị của nó là một không gian con đóng của H × H. Định nghĩa 1.1.10 ([30]). Hai toán tử S và T được gọi là bằng nhau, ta viết S = T , nếu các miền xác định D(S) = D(T ) và S(x) = T (x) với mọi x ∈ D(S) = D(T ). Định nghĩa 1.1.11 ([50]). Giả sử T là toán tử xác định trù mật trên H. Toán tử T ∗ : D(T ∗ ) → H được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T nếu: i) D(T ∗ ) = {y ∈ H : ánh xạ x 7→ T (x), y liên tục trên D(T )};
13 ii) T (x), y = x, T ∗ (y) , ∀x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗ ). Nếu T = T ∗ thì T được gọi là toán tử tự liên hợp. Định nghĩa 1.1.12 ([50]). Một toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) T đóng và xác định trù mật trên H được gọi là toán tử chuẩn tắc nếu T ∗ T = T T ∗ . Mệnh đề 1.1.13 ([50]). Nếu T ∈ L(H) là toán tử chuẩn tắc thì n
o T = sup
T (x), x