Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui" trình bày sơ lược về giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên; Lược đồ Euler-Maruyama khống chế cho phương trình vi phân ngẫu nhiên; Tính hội tụ, không âm và ổn định của lược đồ EulerMaruyama khống chế cải tiến; Lược đồ Milstein nửa ẩn cho hệ điểm không va chạm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ -------------------------- LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2022
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ -------------------------- LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI Ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. Ngô Hoàng Long 2. NCVCC. TS. Nguyễn Hồng Hải HÀ NỘI – 2022
i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào khác, các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Tháng 11 Năm 2022 Nghiên cứu sinh Lương Đức Trọng
ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin-Viện Khoa học và Công nghệ quân sự dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Hoàng Long và NCVCC. TS Nguyễn Hồng Hải. Nghiên cứu sinh bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Hồng Hải, người đã dìu dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học. Nghiên cứu sinh cũng xin cảm ơn PGS. TS. Ngô Hoàng Long, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn nghiên cứu và truyền cho nghiên cứu sinh sự say mê nghiên cứu khoa học. Không chỉ là một người thầy hướng dẫn khoa học tận tâm, đối với nghiên cứu sinh, PGS. TS. Ngô Hoàng Long còn là một người thầy mẫu mực để noi theo, người có thể chia sẻ nhiều vui buồn, người luôn khích lệ nghiên cứu sinh vững vàng hơn trong cuộc sống. Nghiên cứu sinh trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự, Thủ trưởng Viện Công nghệ thông tin, Thủ trưởng và các cán bộ nhân viên Phòng Đào tạo, Viện chuyên ngành, đã tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh về nơi làm việc, môi trường học thuật để học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà nội, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho NCS trong quá trình học tập và công tác. Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thu Thủy, ThS. Kiều Trung Thủy đã đồng hành và cùng cộng tác trong khoa học. Cảm ơn TS. Nguyễn Ngọc Luân, người anh đã giúp đỡ, cho lời khuyên, lời động viên bổ ích để nghiên cứu sinh có thể hoàn thành Luận án. Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, những người luôn bên cạnh và yêu thương vô điều kiện, luôn động viên và chia sẻ những khó khăn trong thời gian nghiên cứu sinh nghiên cứu khoa học và hoàn thành Luận án. Tác giả luận án
iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . vi DANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. SƠ LƯỢC VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Tính bị chặn và liên tục của mô men nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . 14 1.2.1 Phương pháp Monte-Carlo đa cấp . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Định lý cơ bản của sự hội tụ theo trung bình . . . . . . 15 1.2.3 Lược đồ Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Lược đồ Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Một số kết quả cơ bản về giải số nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Tính ổn định của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ . . . . . . 23 1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
iv Chương 2. LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA KHỐNG CHẾ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . 25 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Một số điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Xấp xỉ Yamada-Watanabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng trên tuyến tính và hệ số khuyếch tán liên tục H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng trên tuyến tính và hệ số khuyếch tán liên tục H¨older địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 3. SỰ HỘI TỤ, TÍNH KHÔNG ÂM VÀ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA CẢI TIẾN . . . . . . 58 3.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Một số điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Mở rộng xấp xỉ của Yamada và Watanabe . . . . . . . . . . . 60 3.4 Lược đồ Euler-Maruyama cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6 Tính ổn định mũ theo chuẩn trong Lp . . . . . . . . . . . . . 69 3.7 Xấp xỉ không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.8 Thực nghiệm giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.9 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Chương 4. LƯỢC ĐỒ MILSTEIN NỬA ẨN CHO HỆ ĐIỂM KHÔNG VA CHẠM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Một số điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 Lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
v 4.4.1 Biểu diễn sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.2 Một số ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4.3 Tốc độ hội tụ của lược đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.4 Ví dụ và mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ . . . . . . 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
vi DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT h.c.c Hầu chắc chắn R Tập các số thực R+ Tập các số thực dương d R Không gian Euclid d-chiều Rd×m Không gian các ma trận thực d × m x(i) Thành phần thứ i của vectơ x k·k Chuẩn Euclid A> Ma trận chuyển vị của ma trận A trace(A) Vết của ma trận A p |A| Chuẩn theo vết của ma trận A, |A| = trace(A> A) (Ω, F, P) Không gian xác suất có lọc {Ft }t≥0 E[X] Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X sup Cận trên nhỏ nhất inf Cận dưới lớn nhất limsup Giới hạn trên supp f Giá của hàm f Mp (D; R) hR quá trình iFt -tương thích f = {f (t)}t∈D Không gian các T thỏa mãn E 0 |f (t)|p dt < ∞ Mp (D; Rd×m ) Không gian các quá trìnhh Ft -tương thích i f = RT {(fij (t))d×m }t∈D thỏa mãn E 0 |f (t)|p dt < ∞ Lp (R+ ; R) Không gian các quá trình nhận giá trị thực, Ft -tương RT thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn 0 |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Lp (R+ ; Rd ) Không gian các quá trình nhận giá trong Rd , Ft -tương RT thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn 0 |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Lp (R+ ; Rd×m ) Không gian các quá trình Ft -tương thích f = RT {(fij (t))d×m }t≥0 thỏa mãn 0 |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Lp (Ω; Rd ) Không gian các biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị trong Rd sao cho E[|ξ|p ] < ∞
vii C[a; b] Không gian các hàm liên tục trên [a; b] C 1,2 (R+ × R; R) Không gian các hàm thực V (t, x) xác định trên R+ × R, khả vi liên tục đối với t và khả vi liên tục cấp hai đối với x ∂ ∂x Đạo hàm riêng theo biến x Vt (t, x) Đạo hàm của hàm V theo biến số t Vx (t, x) Đạo hàm của hàm V theo biến số x Vxx (t, x) Đạo hàm cấp hai của hàm V theo biến số x PTVPNN Phương trình vi phân ngẫu nhiên PEM Lược đồ Euler-Maruyama gốc BEM Lược đồ Euler-Maruyama nghịch TEM Lược đồ Euler-Maruyama khống chế SIEM Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn SIM Lược đồ Milstein nửa ẩn
viii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Một số hàm số thỏa mãn các điều kiện A1-A5 . . . . . . 28 Bảng 2.2 Sai số của lược đồ khi hệ số chỉ thỏa mãn A3’ . . . . . . 40 Bảng 2.3 Sai số của lược đồ khống chế khi hệ số chỉ thỏa mãn A4” 41 Bảng 2.4 Sai số của xấp xỉ khi hệ số chỉ thỏa mãn A3’ . . . . . . . 54 Bảng 2.5 Sai số của lược đồ khống chế khi hệ số chỉ thỏa mãn A4” 55 Bảng 4.1 Tốc độ hội tụ của mỗi lược đồ giải số . . . . . . . . . . . 99
ix DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của lược đồ khi hệ số chỉ thỏa mãn A3’ . . 40 Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của lược đồ khi hệ số chỉ thỏa mãn A3’ . . 41 Hình 2.3 Tốc độ hội tụ của lược đồ khi hệ số chỉ thỏa mãn A3’ . . 54 Hình 2.4 Tốc độ hội tụ của lược đồ khi hệ số chỉ thỏa mãn A3’ . . 55 Hình 3.1 Sai số theo nghĩa mạnh theo thang đo log2 − log2 tương ứng với các lược đồ EM gốc (PEM), lược đồ EM nghịch (BEM) và lược đồ EM không âm, khống chế (TEM) . . 76 Hình 3.2 Xấp xỉ quĩ đạo của (Xt )0≤t≤5 với α = 0.05 (trái) và α = 0.45 (phải). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Hình 4.1 Giá trị của mseE (k) (đánh dấu bởi ) và mseM (k) (đánh dấu bởi •) trong trường hợp thang đo log2 với k = 1, . . . , 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài luận án Giải tích ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên được đưa ra bởi Kiyosi Itô [36] và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như toán tài chính, vật lý, sinh học, tối ưu hóa điều khiển, lý thuyết lọc... Các phương trình ngày càng được cải tiến cho phù hợp với thực tế. Ví dụ trong lý thuyết định giá cổ phiếu trong toán tài chính của Black - Scholes [5] và Merton [51], ban đầu giá của cổ phiếu được mô hình bởi một phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính. Nhưng sau đó, người ta thấy phương trình này không phản ánh sát với thực tế và do đó đã đưa ra mô hình độ biến động ngẫu nhiên [14]. Mô hình mới này mô tả giá cổ phiếu bởi các phương trình phức tạp hơn với hệ số không thoả mãn điều kiện Lipschitz toàn cục. Các phương trình với hệ số không thoả mãn điều kiện Lipschitz toàn cục cũng xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác. Khi giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên, người ta thường phải tính các đại lượng có dạng E[f (X)] trong đó X là nghiệm của phương trình, mô hình đại lượng ngẫu nhiên ta quan tâm, và f là một hàm nào đó. Việc tính chính xác đại lượng trên chỉ thực hiện được với một số rất ít các phương trình cũng như các hàm f . Do đó ta thường phải xây dựng một lược đồ kiểu Monte Carlo phù hợp để tính gần đúng. Cụ thể, ta xấp xỉ X bởi một đại lượng X (n) có thể mô phỏng trên máy tính, ở đây n tỉ lệ với số phép tính cần thiết để xác định được X (n) . Sau đó ta ước lượng như sau N (n) 1 X E[f (X)] ≈ E[f (X )] ≈ f (X (n,i) ), N i=1 trong đó X (n,i) , với i = 1, . . . , N , là N bản sao độc lập của X (n) được sinh ra trên máy tính. Để thiết kế được thuật toán tối ưu, tức là chọn được giá trị của n và N để sai số của xấp xỉ không vượt quá một mức cho trước với số phép tính cần thực hiện nhỏ nhất ta cần phải đánh giá được sai số của
2 hai xấp xỉ trên. Sai số của xấp xỉ thứ hai, còn được gọi là phép xấp xỉ Monte Carlo, có thể được kiểm soát bởi định lý giới hạn trung tâm hay thông qua các bất đẳng thức tập trung độ đo. Sai số của xấp xỉ thứ nhất khó xác định hơn do nó phụ thuộc vào tính chính qui của hệ số phương trình vi phân ngẫu nhiên cũng như tính trơn của hàm f . Gần đây, Giles [16] giới thiệu phương pháp Monte Carlo đa cấp để xấp xỉ E[f (X)]. Phương pháp mới này có khối lượng tính toán thấp hơn nhiều so với phương pháp Monte Carlo cổ điển. Một trong những điểm mấu chốt để áp dụng được phương pháp Monte Carlo đa cấp là ta phải đánh giá được tốc độ hội tụ trong không gian Lp của nghiệm xấp xỉ đến nghiệm đúng. Khi xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên, ta mong muốn nghiệm xấp xỉ không chỉ hội tụ mà còn phải bảo toàn các tính chất của nghiệm đúng, ví dụ như tính ổn định hay tính chất hình học của miền giá trị. Nói chung lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cổ điển thường không bảo toàn được các tính chất này. Khi các hệ số của phương trình thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương, nhiều lược đồ Euler-Maruyama cải tiến đã được xây dựng, ví dụ như lược đồ Euler-Maruyama ẩn, nửa ẩn, chiếu,... . Tuy nhiên, các kết quả nghiên cứu tương ứng cho phương trình có hệ số không chính qui vẫn còn khá hạn chế. Với những lý do nêu trên, nghiên cứu sinh và tập thể giáo viên hướng dẫn chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui" 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm; xây dựng các lược đồ xấp xỉ cho các lớp phương trình, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên không chính qui: hệ số dịch chuyển là tăng trên tuyến tính, liên tục Lipschitz địa phương; không liên tục; hệ số khuếch tán là liên tục H¨older, liên tục H¨older địa phương, xác định tích chất ổn định theo mô men của nghiệm và nghiệm xấp xỉ cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển là Lipschitz một phía với hệ số âm.
3 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng ( dXt = b(Xt )dt + σ(Xt )dWt X0 = x0 trong đó các hệ số dịch chuyển b(x) và hệ số khuếch tán σ(x) thỏa mãn một trong các điều kiện sau: - b(x) là liên tục Lipschitz địa phương; σ(x) là liên tục 1/2 + α-H¨older địa phương. - b(x) là tăng trên tuyến tính, Lipschitz một phía; σ(x) là liên tục 1/2+α- H¨older. - b(x) là tăng trên tuyến tính, Lipschitz một phía; σ(x) là liên tục 1/2+α- H¨older địa phương. - b(x) là Lipschitz và Lipschitz một phía với hệ số âm; σ(x) là liên tục 1/2 + α-H¨older địa phương. - b(x) là không liên tục; σ(x) là khả vi liên tục đến cấp hai. 4. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của luận án nằm trong sự giao thoa của Giải tích ngẫu nhiên với lý thuyết Phương trình vi phân và Giải tích số. Các kết quả dự kiến của luận án là về tính chất định lượng và định tính của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ dạng Euler-Maruyama cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui. 5. Nội dung nghiên cứu - Phân tích các các nghiên cứu gần đây về phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui và các phương pháp xấp xỉ.
4 - Thực hiện các mô phỏng trên máy tính để phân tích, đánh giá và đề xuất các thuật toán xấp xỉ mới. - Tham gia các hoạt động trao đổi khoa học như hội nghị, hội thảo để trao đổi, thảo luận và cập nhật các phương pháp, kết quả nghiên cứu mới trong lĩnh vực chuyên môn. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu về giải số một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên. Dự kiến, luận án sẽ có một số kết quả đóng góp mới: Chứng minh sự tồn tại và có duy nhất nghiệm của phương trình với các hệ số Lipschitz địa phương, H¨older địa phương; Xây dựng lược đồ phù hợp và xác định các tốc độ hội tụ; Xây dựng lược đồ bảo toàn tính không va chạm của nghiệm xấp xỉ tương đồng với tính chất của nghiệm đúng trong phương trình có hệ số nổ tại biên. Luận án có thể được dùng tham khảo trong các nghiên cứu liên quan của sinh viên và các nhà khoa học trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học và chuyên ngành Giải tích số. 7. Bố cục luận án Luận án gồm phần mở đầu, 4 chương nội dung chính, kết luận, danh mục các công trình công bố và tài liệu tham khảo: • Chương 1: Sơ lược về giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên Ở chương này, luận án đưa ra Định nghĩa về phương trình vi phân ngẫu nhiên; điều kiện đủ để phương trình tồn tại và có duy nhất nghiệm. Chương 1 cũng giới thiệu điều kiện đủ để nghiệm thỏa mãn một số tính chất như mô men bị chặn, liên tục theo thời gian, và ổn định tiệm cận. Chương 1 của luận án giới thiệu Phương pháp Monte - Carlo đa cấp để ước lượng phiếm hàm của nghiệm đúng; phương pháp này được chứng minh là có hiệu suất tính toán tốt hơn so với cách tính thông thường. Hiệu suất tính toàn này phụ thuộc vào tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh của nghiệm xấp xỉ. Chương này giới thiệu Định lý cơ bản, từ đánh giá
5 sai số một bước của xấp xỉ để suy ra sai số toàn cục và áp dụng cho các lược đồ Euler-Maruyam và lược đồ Milstein, đây là một trong những lược đồ xấp xỉ được sử dụng phổ biến nhất hiện nay. • Chương 2: Lược đồ Euler-Maruyama khống chế cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Ở chương này, luận án chỉ ra tính cần thiết của tính "khống chế" cho lược đồ mới cho lớp phương trình có các hệ số liên tục với hệ số dạng đa thức từ đó đưa ra các giả thiết về tính tăng trên tuyến tính, Lipschitz và Lipschitz địa phương, H¨older và H¨older địa phương của hệ số phương trình vi phân ngẫu nhiên. Phương pháp tiếp cận chủ yếu là sử dụng xấp xỉ Yamada-Watanabe thay cho hàm trị tuyệt đối. Chương 2 cũng chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình dạng này. Trong chương này, luận án giới thiệu lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama khống chế hệ số dịch chuyển và khống chế toàn phần và xác định được tốc độ hội tụ của lược đồ là cùng bậc với bậc liên tục H¨older của hệ số. • Chương 3: Tính hội tụ, không âm và ổn định của lược đồ Euler- Maruyama khống chế cải tiến Trong chương này, lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên được xét có hệ số dịch chuyển Lipschitz một phía với hệ số âm. Ở chương này, luận án giới thiệu Lược đồ Euler-Maruyama cải tiến đảm bảo tính không âm, có tốc độ hội tụ phù hợp với trường hợp chính qui. Chương 3 cũng chỉ ra tính ổn định của mô men của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ khi bước nhảy là cố định. • Chương 4: Lược đồ Milstein nửa ẩn cho hệ điểm không va chạm Chương này xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng Dyson. Ở chương này, luận án giới thiệu lược đồ xấp xỉ Milstein dạng nửa ẩn. Kết quả chính của chương này là về đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm đúng.
6 CHƯƠNG 1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Trong chương này, luận án trình bày một số khái niệm, các kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính chất của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên. Luận án cũng giới thiệu một số lược đồ xấp xỉ thường gặp cho lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên có các hệ số chính qui. Các kí hiệu, định nghĩa, tính chất và kết quả trong chương này được tham khảo và trích dẫn từ các tài liệu [47] [53]. 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô Trong mục này chúng tôi giới thiệu vắn tắt một số tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên Itô được sử dụng trong luận án. 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất đầy đủ với lọc {Ft }t≥0 thỏa mãn các điều kiện thông thường. Kí hiệu Lp (Ω; Rd ) là không gian các biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị trong Rd sao cho E[|ξ|p ] < ∞. Với mỗi 0 ≤ a < b ≤ ∞, kí hiệu M2 ([a, b], R) là không gian các quá trình ngẫu nhiên tương thích f : [a, b] × Ω → R thoả mãn "Z # b E |f (s)|2 ds < ∞. a Xét L2 ([a, b], R) là không gian các quá trình ngẫu nhiên tương thích f :
7 [a, b] × Ω → R thoả mãn Z b |f (s)|2 ds < ∞, h.c.c. a Giả sử (Wt , Ft )t≥0 là một chuyển động Brown xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Định lý 1.1.1 ([47], Định lý 5.8, tr 22 ). Cho f, g ∈ M2 ([a, b]; R) và α, β là hai số thực bất kì. Khi đó, Rb (i) a f (t)dWt là Fb -đo được; hR i b (ii) E a f (t)dWt = 0;
2 hR i