Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập" tập trung nghiên cứu đề xuất một số thuật toán lặp mới cho bài toán, với điều kiện dãy tham số của toán tử giải dần tới 0 hoặc dãy số bất kỳ trong một khoảng nào đó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập

BË GIO DÖC V O TO VIN HN LM KHOA HÅC V CÆNG NGH VIT NAM HÅC VIN KHOA HÅC V CÆNG NGH PHM THÀ THU HOI MËT SÈ PH×ÌNG PHP GII BI TON TM KHÆNG IM CÕA TON TÛ ÌN IU CÜC I V BI TON CHP NHN TCH NHIU TP LUN N TIN Sß TON HÅC H NËI - 2022
VIN HN LM KHOA HÅC V CÆNG NGH VIT NAM HÅC VIN KHOA HÅC V CÆNG NGH ..............***.............. PHM THÀ THU HOI MËT SÈ PH×ÌNG PHP GII BI TON TM KHÆNG IM CÕA TON TÛ ÌN IU CÜC I V BI TON CHP NHN TCH NHIU TP LUN N TIN Sß TON HÅC Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng M¢ sè: 9 46 01 12 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS. TS. Nguy¹n B÷íng H Nëi - 2022
ii LÍI CAM OAN C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc trong luªn ¡n l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi, ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS. TS. Nguy¹n B÷íng. C¡c k¸t qu£ n y l mîi v ch÷a ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c cæng tr¼nh cõa ng÷íi kh¡c. Tæi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cõa m¼nh.
iii LÍI CM ÌN Luªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Håc vi»n Khoa håc v Cæng ngh», Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t Nam d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa GS. TS. Nguy¹n B÷íng. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi Th¦y. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu, thæng qua c¡c b i gi£ng v seminar t¡c gi£ luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa GS.TS. é V«n L÷u, TS. Nguy¹n Cæng i·u, PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy, TS. Nguy¹n Thà Quýnh Anh, TS. Nguy¹n Thà Thóy Hoa, TS. Nguy¹n ¼nh D÷ìng, TS. Nguy¹n D÷ìng Nguy¹n. Tø ¡y láng m¼nh t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n c¡c th¦y cæ T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi Ban l¢nh ¤o, c¡c th¦y cæ còng to n thº c¡n bë, cæng nh¥n vi¶n thuëc Vi»n Cæng ngh» thæng tin, Håc vi»n Khoa håc v Cæng ngh», Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t Nam ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t, gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y cæ trong Bë mæn To¡n - Khoa Cì sð cì b£n - ¤i håc H ng h£i Vi»t Nam, còng to n thº anh chà em nghi¶n cùu sinh, b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n, trao êi v âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, seminar, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn ¡n. T¡c gi£ xin k½nh t°ng nhúng ng÷íi th¥n y¶u trong gia ¼nh cõa m¼nh, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, chia s´ v kh½ch l» º t¡c gi£ câ thº ho n th nh cæng vi»c håc tªp v nghi¶n cùu cõa m¼nh, ni·m vinh h¤nh to lîn n y. T¡c gi£
Möc löc Trang b¼a phö i Líi cam oan ii Líi c£m ìn iii Möc löc iv Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt vi Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1. Mët sè kh¡i ni»m b i to¡n v ph÷ìng ph¡p cì b£n 8 1.1. Mët sè kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u . 14 1.2.1. Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· v mët sè c£i bi¶n . . . . . 14 1.2.2. Ph÷ìng ph¡p t¡ch ti¸n-lòi v mët sè c£i bi¶n . . . . . 19 1.3. B i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp v c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i 23 1.3.1. Ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) . . 24 1.3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp (MSSFP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4. Mët sè bê · bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p l°p t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i trong khæng gian Hilbert 35 2.1. Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· vîi d¢y tham sè b§t ký . . . . . . 35 2.2. V½ dö sè minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ch÷ìng 3. Ph÷ìng ph¡p l°p t¼m khæng iºm cõa têng hai to¡n tû ìn i»u cüc ¤i trong khæng gian Hilbert 50
v 3.1. Ph÷ìng ph¡p d¤ng t¡ch ti¸n lòi . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. V½ dö sè minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ch÷ìng 4. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p cho b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp trong khæng gian Hilbert 74 4.1. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh v nghi»m câ chu©n nhä nh§t . . . 74 4.2. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p cho b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3. V½ dö sè minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 K¸t luªn 89 Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n 90 T i li»u tham kh£o 91
Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt R tªp hñp c¡c sè thüc En khæng gian Euclide n-chi·u H khæng gian Hilbert 2H tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa khæng gian H ⟨x, y⟩ t½ch væ h÷îng cõa hai v²c tì x v y ∥x∥ chu©n cõa v²c tì x inf M cªn d÷îi óng cõa tªp hñp sè M sup M cªn tr¶n óng cõa tªp hñp sè M max M sè lîn nh§t trong tªp hñp sè M min M sè nhä nh§t trong tªp hñp sè M D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû A A−1 ¡nh x¤ ng÷ñc cõa to¡n tû A A∗ ¡nh x¤ li¶n hñp cõa to¡n tû A I ¡nh x¤ çng nh§t ∂f (x) d÷îi vi ph¥n cõa h m f t¤i iºm x lim inf xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } n→∞ lim sup xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } n→∞ xn → x d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x xn ⇀ x d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x F ix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T ZerA tªp khæng iºm cõa to¡n tû A SF P b i to¡n ch§p nhªn t¡ch M SSF P b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp
Mð ¦u Nhi·u b i to¡n trong khoa håc kÿ thuªt (b i to¡n bi¸n ph¥n, b i to¡n cüc trà, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, ...) v trong íi sèng (b i to¡n k¸ ho¤ch s£n xu§t, b i to¡n vªn t£i, b i to¡n kh©u ph¦n thùc «n, ...) ·u d¨n ¸n b i to¡n têng qu¡t l t¼m cüc tiºu cõa mët phi¸m h m f trong khæng gian húu h¤n ho°c væ h¤n chi·u. Cho ¸n nay, câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc · xu§t º t¼m cüc tiºu cõa mët phi¸m h m nh÷: ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t (ph÷ìng ph¡p gradient), ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hñp, ph÷ìng ph¡p Dantzig cho b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh v c¡c c£i bi¶n cõa chóng. Mët ph÷ìng ph¡p °c bi»t quan trång º t¼m cüc tiºu cõa phi¸m h m lçi ph£i kº ¸n l ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷ñc · xu§t bði Martinet [1] v o n«m 1970. V¼ iºm cüc tiºu cõa mët phi¸m h m lçi l khæng iºm cõa d÷îi vi ph¥n cõa phi¸m h m â, n«m 1976, Rockafellar [2] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i T trong khæng gian Hilbert H , tùc l : T¼m ph¦n tû p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ T p∗ . (0.1) T¡c gi£ ¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p l°p xk+1 = Jk xk + ek ho°c xk+1 = Jk (xk + ek ), k ≥ 1, (0.2) trong â Jk = (I + rk T )−1 l to¡n tû gi£i cõa T vîi tham sè rk > 0, ek l v²c tì sai sè v I l ¡nh x¤ ìn và tr¶n H . Æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng ph÷ìng ph¡p (0.2) hëi tö y¸u tîi mët khæng iºm cõa T vîi i·u ki»n tªp ∞ khæng iºm cõa T kh¡c réng, ∥ek ∥ < ∞ v rk ≥ ε > 0 vîi måi k ≥ 1. P k=1 N«m 1991, Gu ¨ler [3] ¢ ch¿ ra r¬ng ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ch¿ ¤t ÷ñc sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u. N«m 1992, Eckstein v Bertsekas [4] · xu§t ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· têng qu¡t l mð rëng cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cho b i to¡n (0.1). Tuy nhi¶n, c¡c t¡c gi£ công ch¿ thu ÷ñc sü hëi tö y¸u cõa ph÷ìng ph¡p. º thu ÷ñc sü hëi tö
2 m¤nh, mët sè c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ¢ ÷ñc ÷a ra nh÷: ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nh Tikhonov cõa Lehdihi v Moudafi (1996) [5] v ÷ñc mð rëng bði Xu (2006) [6], Boikanyo v Morosanu (2012) [7]; ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· co cõa Kamimura v W.Takahashi (2000) [8] v ÷ñc têng qu¡t bði Yao v Noor (2008) [9]; ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m cõa W.Takahashi (2007) [10]. Trong h¦u h¸t c¡c c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· công nh÷ b£n th¥n ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· tham sè rk cõa to¡n tû gi£i ·u bà ch°n d÷îi bði mët h¬ng sè lîn hìn 0. G¦n ¥y, n«m 2017, trong [11], N. B÷íng, P.T.T. Ho i v N.D. Nguy¹n ¢ tr¼nh b y mët sè c£i bi¶n mîi cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cho tr÷íng hñp rk d¦n tîi ∞ 0, cö thº l rk tho£ m¢n rk < +∞. Mët c¥u häi ÷ñc °t ra º nghi¶n P k=1 cùu l li»u câ tçn t¤i mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hëi tö m sü hëi tö m¤nh thu ÷ñc vîi d¢y {rk } l mët d¢y sè b§t ký trong (0, ∞) khæng? Khi phi¸m h m cüc tiºu l têng cõa hai phi¸m h m lçi, b i to¡n n y d¨n ¸n b i to¡n t¼m khæng iºm cõa têng hai to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A, B, â l b i to¡n: T¼m ph¦n tû p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ (A + B)p∗ . (0.3) B i to¡n (0.3) thu hót ÷ñc sü chó þ cõa nhi·u nh nghi¶n cùu v¼ nâ l cèt lãi cõa nhi·u b i to¡n nh÷: b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n ch§p nhªn t¡ch, b i to¡n cüc tiºu hâa (xem [12, 13, 14]) vîi c¡c ùng döng trong håc m¡y, xû lþ £nh v b i to¡n ng÷ñc tuy¸n t½nh. Do t¦m quan trång trong lþ thuy¸t to¡n håc công nh÷ trong ùng döng thüc t¸ n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n (0.3) ÷ñc nhi·u t¡c gi£ trong v ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu, iºn h¼nh l Peaceman-Rachford (1955) [15], Douglas- Rachford (1956) [16], Lions v Mercier (1979) [17], Passty (1979) [18], Combettes (2004) [19], Takahashi, Wong v Yao (2010) [20], Tseng (2000) [21], Malitsky (2018) [22], Semenov (2018) [23],... Ð Vi»t Nam, trong mët sè n«m trð l¤i ¥y, b i to¡n (0.3) ÷ñc nhi·u nh nghi¶n cùu to¡n gi£i t½ch v to¡n ùng döng t¼m hiºu v giîi thi»u. Mët sè t¡c gi£ trong n÷îc câ c¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu v· b i to¡n n y câ thº kº ¸n nh÷: .V. Thæng v Gibali (2018) [24], .V. Thæng v Cholamjiak (2019) [25], .V. Thæng v N.T. Vinh (2019) [26], L.D. M÷u, P.K. Anh, .V. Hi»u (2020) [27],...
3 Ta bi¸t r¬ng, n¸u têng A+B công l mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, th¼ câ thº ¡p döng ph÷ìng ph¡p (0.2) vîi T=A+B º t¼m khæng iºm cõa têng. Tuy nhi¶n, nhi·u khi T khæng ph£i l ìn i»u cüc ¤i cho dò A v B l ìn i»u cüc ¤i. Do â, ch¿ câ thº x¥y düng mët ph²p l°p düa v o to¡n tû gi£i cõa tøng to¡n tû A v B. i·u n y công lñi th¸, ngay c£ khi T l ìn i»u cüc ¤i, nh÷ng vi»c t½nh gi¡ trà cõa to¡n tû gi£i cõa T khâ hìn vi»c t½nh nâ cho tøng A v B. Bði vªy, ph÷ìng ph¡p t¡ch cho gi£i b i to¡n (0.3) ch½nh l sû döng to¡n tû gi£i JrA , JrB cõa A v B thay cho dòng to¡n tû gi£i JrA+B cõa A + B . Ph÷ìng ph¡p t¡ch cê iºn cõa Peaceman-Rachford [15], Douglas-Rachford [16] ÷ñc · xu§t v o nhúng n«m 1950 cho tr÷íng hñp °c bi»t khi c£ A v B ·u l to¡n tû tuy¸n t½nh ìn trà. N«m 1979, trong [17], Lions v Mercier ¢ mð rëng sì ç t¡ch Douglas-Rachford cho tr÷íng hñp chung vîi A v B l c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i a trà. Mët ph÷ìng ph¡p t¡ch thæng döng kh¡c ÷ñc ÷a ra º gi£i b i to¡n (0.3) l ph÷ìng ph¡p t¡ch ti¸n-lòi. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc · xu§t bði Lions v Mercier [17], Passty [18] v o n«m 1979 vîi d¢y l°p xk ÷ñc x¡c ành bði: xk+1 = Jk (I − rk A)xk , k ≥ 1, (0.4) trong â A, B l c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i tr¶n H , Jk = (I + rk B)−1 l to¡n tû gi£i cõa B , {rk } l d¢y sè d÷ìng. Tuy nhi¶n, d¢y l°p xk x¡c inh bði (0.4) công ch¿ hëi tö y¸u tîi mët khæng iºm cõa A + B . º thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh, mët sè c£i ti¸n cõa ph÷ìng ph¡p t¡ch ti¸n-lòi ¢ ÷ñc ÷a ra vîi d¢y l°p ÷ñc x¥y düng k¸t hñp vîi cõa Mann (xem [19, 28]), Halpern (xem [29]), Mann-Halpern (xem [20, 30]). N«m 2000, Tseng [21] ¢ · xu§t mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p t¡ch ti¸n-lòi ch¿ c¦n i·u ki»n A l ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n tªp con lçi âng cõa mi·n gi¡ trà cõa nâ. G¦n ¥y, mët sè t¡c gi£ công nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p n y m khæng c¦n gi£ thi¸t to¡n tû A l α- ng÷ñc ìn i»u m¤nh (xem [22, 24, 25, 26, 27]). Sü hëi tö m¤nh cõa c¡c ph÷ìng ph¡p thu ÷ñc ·u c¦n i·u ki»n tham sè rk cõa to¡n tû gi£i ph£i bà ch°n d÷îi bði mët h¬ng sè lîn hìn 0. Mët v§n · n£y sinh tø ¥y l li»u câ thº x¥y düng ÷ñc ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n (0.3) m sü hëi tö m¤nh thu ÷ñc vîi i·u ki»n rk d¦n tîi 0, ho°c i·u ki»n têng qu¡t hìn cho d¢y tham sè cõa to¡n tû
4 gi£i â l {rk } l mët d¢y sè b§t ký trong (0, α) vîi α > 0 khæng? º tr£ líi cho c¥u häi n y, trong Ch÷ìng 3 cõa luªn ¡n, chóng tæi · xu§t ph÷ìng ph¡p d¤ng t¡ch ti¸n-lòi cho b i to¡n (0.3) m sü hëi tö m¤nh thu ÷ñc vîi i·u ki»n nh÷ ¢ n¶u tr¶n cho d¢y tham sè {rk } cõa to¡n tû gi£i. Khi h m f l têng cõa nhi·u phi¸m h m lçi, mët c¥u häi ti¸p theo ÷ñc °t ra l li»u câ thº mð rëng c¡c k¸t qu£ tr¶n cho tr÷íng hñp n y ÷ñc khæng? C¥u häi n y c¦n nhi·u cæng sùc nghi¶n cùu ti¸p theo. Ð ¥y chóng tæi ch¿ mîi x²t mët tr÷íng hñp cö thº mæ t£ b i to¡n trong thüc t¸. â l b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp (MSSFP): \ \ T¼m x ∈ C := Ci , sao cho Ax ∈ Q := Qj , (0.5) i∈J1 j∈J2 trong â {Ci }i∈J1 v {Qj }j∈J2 t÷ìng ùng l hai hå c¡c tªp con lçi, âng trong khæng gian Hilbert thüc H1 v H2 , J1 , J2 l c¡c tªp ch¿ sè b§t k¼, A : H1 → H2 l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh bà ch°n. Trong tr÷íng hñp ìn gi£n J1 = J2 = {1} th¼ b i to¡n (0.5) trð th nh b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP): T¼m x ∈ C sao cho Ax ∈ Q, (0.6) ð â C, Q t÷ìng ùng l c¡c tªp con lçi âng trong H1 v H2 . B i to¡n (0.6) ÷ñc ÷a ra ¦u ti¶n bði Censor v Elfving [31] v o n«m 1994 trong khæng gian Hilbert húu h¤n chi·u º mæ h¼nh hâa b i to¡n ng÷ñc, b i to¡n n£y sinh tø vi»c phöc hçi pha v trong t¡i t¤o h¼nh £nh y t¸. G¦n ¥y, ng÷íi ta cán ph¡t hi»n ra r¬ng SFP công câ thº ÷ñc ¡p döng º nghi¶n cùu i·u ch¸ c÷íng ë x¤ trà. Thuªt to¡n ÷ñc c¡c t¡c gi£ · xu§t cho SFP li¶n quan ¸n vi»c t½nh to¡n ma trªn nghàch £o cõa ma trªn A trong méi b÷îc l°p. i·u n y d¨n ¸n vi»c t½nh to¡n trð n¶n khâ kh«n, °c bi»t khi g°p ma trªn câ k½ch th÷îc lîn. º khc phöc v§n · n y, n«m 2002, Byrne [32] ¢ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p l°p mîi, ÷ñc gåi l thuªt to¡n CQ vîi d¢y l°p {xk } câ d¤ng: xk+1 = PC (I − γAt (I − PQ )A)xk , k ≥ 1, (0.7) C v Q t÷ìng ùng l c¡c tªp con lçi, âng v khæng réng trong Rn , Rm , A l ma trªn thüc cï mxn, I l ma trªn ìn và, At l ma trªn chuyºn và cõa A. Thuªt to¡n CQ ch¿ li¶n quan ¸n c¡c ph²p chi¸u trüc giao PC , PQ l¶n C v Q n¶n câ thº thüc hi»n trong tr÷íng hñp PC , PQ d¹ d ng t½nh to¡n.
5 N«m 2006, Xu [33] x²t SFP trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u v ch¿ ra b i to¡n t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n iºm b§t ëng. Do â, t¡c gi£ ¡p döng thuªt to¡n Krasnosel'skii-Mann (KM) cho SFP (0.6). Trong [34], n«m 2010, Xu ch¿ ra r¬ng thuªt to¡n CQ v KM ch¿ hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u. º thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh, t¡c gi£ · xu§t ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cõa Bakushinsky [35] v Bruck [36] câ d¤ng: xk+1 = PC [I − γk (A∗ (I − PQ )A + αk I)]xk , k ≥ 1. (0.8) C¡c t¡c gi£ Yao v cëng sü [37], Chuang [38] công chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p (0.8) vîi i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè y¸u hìn. Mët ph÷ìng ph¡p núa ÷ñc ÷a ra cho b i to¡n ch§p nhªn t¡ch â l ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t (xem Jung (2016) [39], N. B÷íng (2017) [40]). ¥y l c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc c¡c t¡c gi£ düa v o þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Trong tr÷íng hñp sè tªp J1 , J2 húu h¤n, tùc l J1 = {1, 2, ..., N }; J2 = {1, 2, ..., M } vîi N, M > 1, n«m 2005, Censor còng cëng sü [41] x²t MSSFP (0.5) trong khæng gian Hilbert húu h¤n chi·u v · xu§t ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient cho b i to¡n. Trong ph÷ìng ph¡p cõa Censor còng c¡c cëng sü tham sè l°p l cè ành v phö thuëc h¬ng sè Lipschitz, h¬ng sè n y phö thuëc v o chu©n cõa A n¶n vi»c t½nh to¡n l khæng ìn gi£n. º khc phöc v§n · n y, n«m 2008, Zhang [42] · xu§t ph÷ìng ph¡p chi¸u tü th½ch ùng cho MSSFP, ð â tham sè l°p cè ành ÷ñc thay bði tham sè thay êi ð méi b÷îc l°p. Mët sè c£i bi¶n v mð rëng cõa ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc giîi thi»u bði Zhao v Zhang (xem [43, 44, 45]) v He còng cëng sü ([46]). N«m 2006, Xu [33] ÷a ra ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng cho MSSFP. Æng ch¿ ra r¬ng gi£i MSSFP l t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n ¡nh x¤ trung b¼nh. Ph÷ìng ph¡p n y công ÷ñc c£i ti¸n v mð rëng bði Wen (2015) [47], N. B÷íng (2017) [40]. Trong tr÷íng hñp J1 v J2 l c¡c hå væ h¤n ¸m ÷ñc, tùc l J1 = J2 = N+ , l tªp t§t c£ c¡c sè nguy¶n d÷ìng, N. B÷íng (2017) [40] ÷a ra thuªt to¡n hëi tö m¤nh tîi nghi»m cõa MSSFP çng thíi công l nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. T¡c gi£ ch¿ ra r¬ng tr÷íng hñp °c bi»t cõa thuªt to¡n l c£i ti¸n cõa thuªt to¡n ÷ñc · xu§t bði Xu [33] n«m 2006. Nh÷ vªy cho th§y, ch÷a câ nhi·u thuªt to¡n ÷ñc · xu§t cho MSSFP (0.5)
6 trong c¡c tr÷íng hñp c¡c tªp ch¿ sè J1 , J2 l væ h¤n ho°c mët trong hai tªp J1 , J2 húu h¤n, tªp cán l¤i væ h¤n. Trong Ch÷ìng 4 cõa luªn ¡n l mët sè k¸t qu£ chóng tæi ¢ ¤t ÷ñc vîi c¡c tr÷íng hñp n¶u tr¶n. Câ thº kh¯ng ành r¬ng, vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp l r§t c¦n thi¸t º l m phong phó v ho n thi»n th¶m cho lþ thuy¸t v· c¡c b i to¡n quan trång n y. V¼ nhúng lþ do ÷ñc ph¥n t½ch ð tr¶n, chóng tæi chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n l "Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp". Luªn ¡n tªp trung nghi¶n cùu · xu§t mët sè thuªt to¡n l°p mîi cho b i to¡n (0.1) v (0.3) vîi i·u ki»n d¢y tham sè cõa to¡n tû gi£i d¦n tîi 0 ho°c l d¢y sè b§t ký trong mët kho£ng n o â; ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p cho b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp trong tr÷íng hñp J1 v J2 l c¡c hå væ h¤n ¸m ÷ñc. Nëi dung cõa luªn ¡n, ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o ÷ñc tr¼nh b y trong 4 ch÷ìng: Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà quan trång cho vi»c tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ch½nh ð ch÷ìng sau gçm mët sè kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch lçi, mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, têng hai to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp v c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i. Trong Ch÷ìng 2, giîi thi»u mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· º t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i trong khæng gian Hilbert, sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc chùng minh khæng c¦n th¶m i·u ki»n n o kh¡c l¶n tham sè cõa to¡n tû gi£i cõa to¡n tû ¢ cho. Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi ¢ nhªn ÷ñc mët k¸t qu£ t÷ìng tü cho b i to¡n bao h m thùc bi¸n ph¥n ìn i»u. Trong Ch÷ìng 4, ÷ñc d nh º · xu§t mët ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch vîi hai hå væ h¤n c¡c tªp âng lçi. i·u quan trång cõa ph÷ìng ph¡p n y l ð méi b÷îc l°p ch¿ dòng húu h¤n c¡c tªp cõa hai hå tr¶n. º nghi¶n cùu v gi£i quy¸t c¡c möc ti¶u °t ra, chóng tæi ¢ sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p v cæng cö hi»n ¤i cõa gi£i t½ch h m, gi£i t½ch lçi, lþ thuy¸t tèi ÷u v c¡c k¸t qu£ ¢ câ v· c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i nhúng b i to¡n
7 n¶u tr¶n. Nëi dung cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o t¤i: • Hëi th£o Tèi ÷u v T½nh to¡n khoa håc l¦n thù 15, Ba V¼, H Nëi, 20-22/4/2017. • Hëi th£o Tèi ÷u v T½nh to¡n khoa håc l¦n thù 17, Ba V¼, H Nëi, 18-20/4/2019. • Hëi th£o Quèc gia l¦n thù XXIII v· mët sè v§n · chån låc cõa Cæng ngh» Thæng tin v Truy·n thæng, Qu£ng Ninh, 5-6/11/2020. • Seminar h ng tu¦n ð nhâm To¡n ùng döng cõa Vi»n Cæng ngh» thæng tin, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t Nam.
Ch÷ìng 1 Mët sè kh¡i ni»m b i to¡n v ph÷ìng ph¡p cì b£n Trong ch÷ìng n y chóng tæi · cªp ¸n nhúng v§n · sau. Möc 1.1 giîi thi»u sì l÷ñc lþ thuy¸t cõa gi£i t½ch h m. Möc 1.2 tr¼nh b y têng quan c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n t¼m khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Möc 1.3 l v· b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nhi·u tªp v c¡c c¡ch gi£i. Möc cuèi còng cõa ch÷ìng l mët sè bê · bê trñ cho c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n. 1.1. Mët sè kh¡i ni»m cì b£n ành ngh¾a 1.1 D¢y xk ⊂ H ÷ñc gåi l hëi tö m¤nh tîi ph¦n tû x ∈ H , kþ hi»u xk → x, n¸u ∥xk − x∥ → 0 khi k → ∞. D¢y xk ⊂ H ÷ñc gåi l hëi tö y¸u tîi ph¦n tû x ∈ H , kþ hi»u xk ⇀ x, n¸u ⟨xk , y⟩ → ⟨x, y⟩ khi n → ∞ vîi måi y ∈ H . Nhªn x²t 1.1 • Hëi tö m¤nh k²o theo hëi tö y¸u, nh÷ng i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. • N¸u d¢y xk ⊂ H thäa m¢n c¡c i·u ki»n ∥xk ∥ → ∥x∥ v xk ⇀ x th¼ xk → x khi k → ∞. ành ngh¾a 1.2 Cho C l mët tªp con cõa H . C ÷ñc gåi l tªp lçi n¸u vîi ∀x, y ∈ C v måi sè thüc λ ∈ [0, 1] ta câ (1 − λ)x + λy ∈ C . Ngo i ra cán câ mët sè tªp sau: • Vîi méi a ∈ R, z ∈ H v z ̸= 0, tªp Wa = {x ∈ H : ⟨z, x⟩ = a} ÷ñc gåi l si¶u ph¯ng trong H . • Vîi méi a ∈ R, z ∈ H v z ̸= 0, c¡c tªp {x ∈ H : ⟨z, x⟩ ≤ a} v {x ∈ H : ⟨z, x⟩ ≥ a} ÷ñc gåi l c¡c nûa khæng gian cõa H . ành ngh¾a 1.3 Phi¸m h m f : H → (−∞, +∞] ÷ñc gåi l :
9 • lçi tr¶n H n¸u vîi måi sè thüc λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ H ta câ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y); • lçi ch°t tr¶n H n¸u vîi måi sè thüc λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ H , x ̸= y ta câ f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y); • ch½nh th÷íng n¸u mi·n húu hi»u cõa nâ domf = {x ∈ H : f (x) < +∞} = ̸ Ø; • nûa li¶n töc d÷îi t¤i iºm x0 ∈ H n¸u vîi d¢y {xn } ⊂ H , xn → x0 th¼ lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ); n→∞ • nûa li¶n töc tr¶n t¤i iºm x0 ∈ H n¸u vîi d¢y {xn } ⊂ H , xn → x0 th¼ lim sup f (xn ) ≤ f (x0 ). n→∞ ành ngh¾a 1.4 Cho f : H → (−∞, +∞] l h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi. Ta x¡c ành d÷îi vi ph¥n ∂f cõa f bði ∂f (x) = {z ∈ H : f (y) ≥ f (x) + ⟨y − x, z⟩} , ∀y ∈ H. Nh÷ vªy, d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi f l ¡nh x¤ ∂f : H → 2H x¡c ành bði b§t ¯ng thùc tr¶n. ành ngh¾a 1.5 Cho C l tªp con kh¡c réng cõa H , I l ¡nh x¤ ìn và tr¶n H . nh x¤ T : C → H ÷ñc gåi l : • L-Lipschitz n¸u tçn t¤i h¬ng sè L > 0 sao cho vîi ∀x, y ∈ C, ∥T x − T y∥ ≤ L∥x − y∥; • co n¸u T l L-Lipschitz vîi h¬ng sè L < 1; • khæng gi¢n n¸u T l L-Lipschitz vîi h¬ng sè L = 1, tùc l vîi ∀x, y ∈ C, ∥T x − T y∥ ≤ ∥x − y∥; • khæng gi¢n ch°t n¸u vîi ∀x, y ∈ C, ∥T x − T y∥2 ≤ ⟨T x − T y, x − y⟩; • η -ìn i»u m¤nh n¸u vîi ∀x, y ∈ C, ⟨T x − T y, x − y⟩ ≥ η∥x − y∥2 , η > 0;
10 • γ -gi£ co ch°t n¸u vîi ∀x, y ∈ C, ⟨T x − T y, x − y⟩ ≤ ∥x − y∥2 − γ∥(I − T )x − (I − T )y∥2 , γ ∈ [0, 1); • α-ng÷ñc ìn i»u m¤nh n¸u vîi ∀x, y ∈ C, ⟨T x − T y, x − y⟩ ≥ α∥T x − T y∥2 , α > 0; • trung b¼nh, n¸u T = (1 − α)I + αN vîi sè cè ành α ∈ (0, 1) v N l ¡nh x¤ khæng gi¢n, khi â nâi T l α-trung b¼nh. Kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa T l Fix(T), tùc l : Fix(T) = {x ∈ C : T x = x} . ành ngh¾a 1.6 Cho C ⊆ H l tªp lçi, âng v x ∈ C. Tªp NC (x) = {w ∈ H : ⟨w, y − x⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C} , ÷ñc gåi l nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x. ành ngh¾a 1.7 Cho C l mët tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa H. Vîi méi x ∈ H ·u tçn t¤i mët ph¦n tû PC x ∈ C thäa m¢n ∥x − PC x∥ = inf ∥x − y∥. y∈C Ph¦n tû PC x x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l h¼nh chi¸u cõa x l¶n C v ¡nh x¤ PC : H → C bi¸n méi ph¦n tû x ∈ H th nh PC x ÷ñc gåi l ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C . °c tr÷ng cõa ph²p chi¸u m¶tric ÷ñc cho bði m»nh · d÷îi ¥y. M»nh · 1.1 ([48]) Cho C l tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa H . Khi â, ¡nh x¤ PC : H → C l ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C khi v ch¿ khi ⟨x − PC x, y − PC x⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C. Tø â ta câ c¡c h» qu£ (i) ∥PC x − PC y∥2 ≤ ⟨PC x − PC y, x − y⟩, ∀x, y ∈ H , tùc ph²p chi¸u l ¡nh x¤ khæng gi¢n ch°t; (ii) ∥x − PC x∥2 ≤ ∥x − y∥2 − ∥y − PC x∥2 , ∀x ∈ H, ∀y ∈ C. Nhªn x²t 1.2 V· ph÷ìng di»n h¼nh håc, vîi måi y ∈ C , n¸u ta gåi α l gâc t¤o bði c¡c v²c tì x − PC x v y − PC x th¼ α ≥ π/2.
11 To¡n tû ìn i»u v to¡n tû ìn i»u cüc ¤i Cho T : H → 2H l to¡n tû a trà câ mi·n x¡c ành v mi·n gi¡ trà l¦n l÷ñt l D(T ) := {x ∈ H : T x ̸= ∅} v R(T ) = {y ∈ T x : x ∈ D(T )} . ç thà cõa T kþ hi»u graT v x¡c ành bði graT = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ T x} . To¡n tû ng÷ñc T −1 : H → 2H x¡c ành bði T −1 u = {x ∈ H : u ∈ T x} tùc l (u, x) ∈ graT −1 ⇔ (x, u) ∈ graT. Kþ hi»u tªp khæng iºm cõa T l ZerT , tùc l : ZerT = {x ∈ D(T ) : 0 ∈ T x} ành ngh¾a 1.8 To¡n tû T ÷ñc gåi l • ìn i»u n¸u ⟨u − v, x − y⟩ ≥ 0, ∀(x, u), (y, v) ∈ graT ; • ìn i»u cüc ¤i n¸u T l ìn i»u v ç thà cõa T khæng thüc sü n¬m trong ç thà cõa mët to¡n tû ìn i»u n o kh¡c. Nhªn x²t 1.3 Vîi λ > 0, n¸u T ìn i»u th¼ T −1 v λT công ìn i»u, n¸u T ìn i»u cüc ¤i th¼ T −1 v λT công ìn i»u cüc ¤i. V½ dö 1.1 Mët sè v½ dö v· to¡n tû ìn i»u: (1) To¡n tû ìn trà T : R → R x¡c ành bði T (x) = x, ∀x ∈ R. (2) To¡n tû tuy¸n t½nh T : H → H thäa m¢n ⟨T x, x⟩ ≥ 0, ∀x ∈ H . (3) Vîi C l tªp âng, lçi cõa H th¼ PC l to¡n tû ìn i»u. V½ dö 1.2 Mët sè v½ dö v· to¡n tû ìn i»u cüc ¤i: (1) Cho f : H → (−∞, +∞] l h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi. Khi â d÷îi vi ph¥n ∂f : H → 2H x¡c ành bði ∂f (x) = {z ∈ H : f (y) ≥ f (x) + ⟨y − x, z⟩} , ∀y ∈ H. l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. (2) Cho T : H → H l α-trung b¼nh, α ∈ [0, 1/2]. Khi â, T l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i.
12 (3) Cho T : H → H l α-ng÷ñc ìn i»u m¤nh th¼ T l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. ành ngh¾a 1.9 Cho to¡n tû a trà T : H → 2H v sè thüc r > 0. • To¡n tû gi£i cõa T l Jr = (I + rT )−1 . I − Jr • To¡n tû x§p x¿ Yosida cõa T l Tr = . r H» qu£ 1.1 ([49]) Cho to¡n tû T : H → H l ìn i»u v li¶n töc. Khi â, T l ìn i»u cüc ¤i. M»nh · 1.2 ([49]) Cho to¡n tû ìn i»u T : H → 2H . Khi â, T l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i khi v ch¿ khi ∀(u, v) ∈ H × H , n¸u: ⟨y − v, x − u⟩ ≥ 0, ∀(x, y) ∈ graT. th¼ v ∈ T (u). M»nh · 1.3 ([50]) Cho to¡n tû ìn i»u T tr¶n H , T l ìn i»u cüc ¤i khi v ch¿ khi R(I + T ) = H. H» qu£ 1.2 ([49]) Gi£ sû T : H → 2H l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v r l sè thüc d÷ìng. Khi â: (i) Jr : H → H v I − Jr : H → H l ¡nh x¤ khæng gi¢n ch°t v ìn i»u cüc ¤i. (ii) Tr l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v r- ng÷ñc ìn i»u m¤nh. 1 (iii) Tr l li¶n töc Lipschitz vîi h» sè . r M»nh · 1.4 ([50]) Cho T l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v sè thüc r > 0. Khi â, to¡n tû gi£i Jr = (I + rT )−1 l khæng gi¢n ch°t (do â l ìn trà) v câ mi·n x¡c ành ¦y õ. M»nh · 1.5 ([49]) Cho T : H → 2H l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Khi â ZerT l tªp âng v lçi. M»nh · 1.6 ([51]) Cho T l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i tr¶n H , sè thüc r > 0 v x ∈ H . Khi â 0 ∈ T x khi v ch¿ khi Jr (x) = {x}. Nh÷ vªy, theo k¸t qu£ cõa m»nh · tr¶n cho th§y ZerT = Fix(Jr ). Tªp khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i âng vai trá quan trång trong lþ
13 thuy¸t tèi ÷u v iºm b§t ëng, cö thº l : • N¸u T = I − A, vîi A l ¡nh x¤ khæng gi¢n, th¼ ZerT ch½nh l tªp iºm b§t ëng cõa A. • N¸u T = ∂f , vîi f l h m lçi, ch½nh th÷íng v nûa li¶n töc d÷îi th¼ ZerT l tªp iºm cüc tiºu cõa f . Têng cõa hai to¡n tû ìn i»u ành ngh¾a 1.10 Cho hai to¡n tû A : H → H v B : H → H . Khi â A + B : H → H l to¡n tû ÷ñc x¡c ành bði D(A + B) = D(A) + D(B); (A + B)(x) = A(x) + B(x). N¸u A, B l c¡c to¡n tû a trà tr¶n H ta câ ành ngh¾a sau: A + B = {(x, y + z) | (x, y) ∈ graA, (x, z) ∈ graB} . Kþ hi»u tªp khæng iºm cõa A + B l Zer(A + B), tùc l : Zer(A + B) = {x ∈ H : 0 ∈ (A + B)x} . Ta bi¸t r¬ng, n¸u A, B l c¡c to¡n tû ìn i»u th¼ A + B l to¡n tû ìn i»u. Tuy nhi¶n, n¸u A, B l c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i th¼ ch÷a chc A + B l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Bê · 1.1 ([52]) Cho A : H → H l to¡n tû ìn i»u v li¶n töc Lipschitz, B : H → 2H l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Khi â, A + B : H → 2H l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Bê · 1.2 ([53]) Cho A : H → H l ¡nh x¤ tr¶n H , B : H → 2H l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v r l sè thüc d÷ìng. °t Tr = JrB (I − rA). Khi â: (i) F ix(Tr ) = Zer(A + B). (ii) Vîi 0 < s ≤ r, x ∈ H th¼ ∥x − Ts x∥ ≤ 2∥x − Tr x∥. Bê · 1.3 ([54]) Cho T l ¡nh x¤ α- ng÷ñc ìn i»u ng÷ñc m¤nh v r l sè thüc d÷ìng thäa m¢n r ≤ α. Khi â, A := I − rT l ¡nh x¤ khæng gi¢n ch°t. Bê · 1.4 ([54]) Cho T v S l c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n ch°t th¼ 1 ∥T Sx − T Sy∥2 ≤ ∥x − y∥2 − ∥(I − T S)x − (I − T S)y∥2 2