Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của Luận án nhằm thiết lập các điều kiện đủ cho tính giải được, tính chính quy và tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu của nghiệm, đồng thời xem xét tính giải được của bài toán giá trị cuối. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Trần Đình Kế Hà Nội - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Kế. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Nghiên cứu sinh Lâm Trần Phương Thủy
LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS. Trần Đình Kế. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với Thầy, PGS.TS. Trần Đình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận án này. Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả không những hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiên cứu tiếp theo. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Điện lực đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả
3 Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1. Các không gian hàm quan trọng . . . . . . . . . . . 15 1.1.2. Định lí Arzelà-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN . . . . . . . . . 17 1.3. LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . 18 1.3.1. Toán tử tuyến tính đóng . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2. Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3. Lũy thừa của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG . . . . . . . . 22 1.4.1. Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2. Nguyên lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . 22 1.4.3. Nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén . . . . . . 23 1.5. TOÁN TỬ ĐẠO HÀM KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG . . . . . . 24 1.5.1. Giới thiệu toán tử đạo hàm không địa phương . . . 24 1.5.2. Nhân hoàn toàn đơn điệu và cặp nhân Sonine . . . . 25 1.5.3. Một số ví dụ điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÔ HƯỚNG 26
4 1.6.1. Phương trình Volterra vô hướng . . . . . . . . . . . 26 1.6.2. Tính chất nghiệm của phương trình Volterra . . . . 27 1.7. TOÁN TỬ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 30 1.7.1. Biểu diễn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7.2. Tính chính quy của toán tử S(t) và R(t) . . . . . . 35 Chương 2. TÍNH CHÍNH QUY VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG 40 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1. Tính giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2. Tính chính quy nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. TÍNH GIẢI ĐƯỢC, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CHO BÀI TOÁN NỬA TUYẾN TÍNH . . 46 2.3.1. Tính giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2. Tính ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.3. Tính liên tục H¨older của nghiệm nhẹ . . . . . . . . 51 2.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Chương 3. TÍNH TIÊU HAO VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CÓ TRỄ HỮU HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2. TÍNH GIẢI ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. TÍNH TIÊU HAO, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH YẾU CỦA NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1. Bất đẳng thức kiểu Halanay . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2. Tính tiêu hao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.3. Tính ổn định tiệm cận của nghiệm . . . . . . . . . 66
5 3.3.4. Tính ổn định yếu của nghiệm . . . . . . . . . . . . 68 3.4. VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Chương 4. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG NỬA TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . 74 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2. BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI . 75 4.2.1. Công thức nghiệm của bài toán tuyến tính . . . . . 75 4.2.2. Tính chất toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.3. Định nghĩa nghiệm nhẹ . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY . . 77 4.4. TÍNH GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐIỀU KIỆN KHÔNG CHÍNH QUY 87 4.5. VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.5.1. Ví dụ 1 (Phương trình khuếch tán siêu chậm) . . . . 92 4.5.2. Ví dụ 2 (Phương trình khuếch tán phân thứ nhiều hạng tử) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân không địa phương” (nonlocal differential equation) dùng để chỉ những phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của hàm trạng thái không xác định tại từng điểm mà xác định thông qua một công thức tích phân (gọi là đạo hàm “có nhớ”). Lớp phương trình không địa phương tiêu biểu sau đây mô tả các quá trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u, (1) trong đó u = u(t, x) là hàm trạng thái, k là một hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ là ký hiệu tích chập Laplace, ∆ là toán tử Laplace theo biến không gian. Lớp phương trình này được nghiên cứu gần đây trong các công trình của Zacher và các cộng sự [26, 49]. Đặc biệt, khi t−α k(t) = g1−α (t) = , 0 < α < 1, (2) Γ(1 − α) thì phương trình trên là phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mô tả quá trình dưới khuếch tán (subdiffusion), là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong hai thập kỷ qua. Phương trình (1) với nhân k được cho bởi (2) chính là phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo. Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ là mô hình tiêu biểu của phương trình vi phân không địa phương, hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Các kết quả về tính ổn định Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ có thể tìm thấy trong các công trình [2, 11, 32, 43] và các tài liệu tham khảo trong đó. Liên quan đến tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho các hệ vi phân phân thứ, có thể kể đến các kết quả gần đây trong các công trình [31, 33, 58]. Với các hệ vi phân phân thứ trong không gian vô hạn chiều, một số kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu đã được thiết lập trong các công trình [7, 19, 23]. Trong công trình [49], các tác giả đã xem xét các trường hợp khác nhau của phương trình (1) khi thay nhân k bởi các hàm khả tích, từ đó dẫn đến
7 các mô hình khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) và ý nghĩa vật lý của chúng. Những kết quả này gợi ý cho chúng ta những vấn đề nghiên cứu mới, trong đó đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân không địa phương nửa tuyến tính tổng quát trong các không gian Banach hoặc Hilbert dạng d [k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u), (3) dt với A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, f là một hàm phi tuyến cho trước. Theo khảo sát của chúng tôi, những kết quả nghiên cứu định tính cho phương trình (3) chưa được biết đến nhiều, các kết quả đã biết chủ yếu thiết lập cho trường hợp cụ thể khi A là toán tử elliptic mạnh. Những vấn đề cần nghiên cứu đối với lớp phương trình (3) bao gồm: • Tính giải được và tính chính quy của nghiệm; • Sự tồn tại các lớp nghiệm tuần hoàn, nghiệm tiêu hao; • Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu; • Tính ổn định/tính hút trong thời gian hữu hạn; • Bài toán giá trị cuối. Chú ý rằng ánh xạ nghiệm của (3) nói chung không có tính chất nửa nhóm nên việc sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm là không khả thi. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov cũng rất khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm do không gian pha (nói chung) là không gian vô hạn chiều và việc tính đạo hàm có nhớ trên phiếm hàm Lyapunov rất khó thực hiện. Đặc biệt, nếu trong (3) có sự xuất hiện của trễ thời gian sẽ dẫn đến nhiều khó khăn trong nghiên cứu tính ổn định của nghiệm. Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm những cách tiếp cận mới. Bên cạnh đó, bài toán ngược cho phương trình vi phân không địa phương cũng là một nội dung mới mẻ và có nhiều khía cạnh lí thú. Trên thực tế, khi mô hình hoá một bài toán bởi một hệ phương trình tiến hoá, có hai tình huống được xem xét. Tình huống đầu tiên là ta có thể xác định được các hệ số và dữ kiện ban đầu của hệ phương trình. Khi đó ta có thể giải hệ hoặc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm bằng các công cụ giải tích. Bài toán ứng với tình huống này gọi là bài toán thuận (forward
8 problem). Tình huống thứ hai xảy ra khi ta không xác định được đầy đủ các hệ số trong phương trình hoặc không đo được dữ kiện ban đầu. Khi đó cùng lúc ta phải xác định các hệ số hoặc dữ kiện và nghiệm tương ứng của hệ dựa vào những ‘đo đạc’ bổ sung. Lúc này ta có bài toán ngược (inverse problem). Cần nhấn mạnh rằng, khác với bài toán thuận, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao và cần có cách tiếp cận phù hợp với từng trường hợp cụ thể. Chính vì vậy, các phương pháp giải bài toán ngược rất phong phú. Trong một thập kỷ qua, bài toán ngược đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán xác định ngoại lực trong phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đã được đề cập trong nhiều bài báo, tiêu biểu là các kết quả trong [4, 14, 27, 40, 53, 59], ở đó phương pháp khai triển Fourier được sử dụng. So với trường hợp tuyến tính, bài toán xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều và các kết quả liên quan còn ít được biết đến. Trong công trình [34], các tác giả đã sử dụng nguyên lý cực trị để giải quyết bài toán xác định ngoại lực cho phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến tính. Bài toán tương tự được giải quyết trong các công trình [42, 44] bằng các phương pháp khác nhau như phương pháp rời rạc hoá (discretization method) hoặc phương pháp tối ưu (optimization method). Đối với bài toán không đo được dữ kiện ban đầu, dữ kiện bổ sung được cho tại thời điểm quan sát t = T dưới dạng u(T ) = g . Ta gọi bài toán này là bài toán giá trị cuối (final value problem/terminal value problem). Bài toán giá trị cuối hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự bởi những ứng dụng của nó trong xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, địa vật lý,... Để cụ thể hóa từng vấn đề nghiên cứu, trước hết chúng tôi xét hệ sau đây: d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0, (4) dt u(0) = u0 , (5) ở đây ẩn hàm u nhận giá trị trong không gian Hilbert tách được H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A là toán tử tuyến tính không bị chặn, và f : H → H là hàm cho trước. Cần lưu ý rằng, lớp phương trình này đã và đang được sử dụng làm mô hình cho nhiều bài toán khác nhau có liên quan đến các quá trình có nhớ (theo [10, 16, 20, 38]). Trong trường hợp đặc biệt, khi nhân k(t) = g1−α (t) := t−α /Γ(1 − α), α ∈ (0, 1), thì phương trình (4) là
9 d phương trình vi phân phân thứ với [k ∗ (u − u0 )] là đạo hàm phân thứ dt Caputo bậc α, một đối tượng được nghiên cứu rộng rãi. Trong các trường hợp cụ thể, chẳng hạn như khi H = L2 (Ω), Ω ⊂ RN , và A = −∆ là toán tử Laplace với điều kiên biên Dirichlet/Neumann, phương trình (4) được dùng để mô tả các hiện tượng khuếch tán dị thường bao gồm khuếch tán chậm, siêu chậm, điều này đã được đề cập trong [49]. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì chưa có nghiên cứu nào về tính chính quy nghiệm của hệ (4)-(5). Ngoài ra, sự ổn định theo nghĩa Lyapunov cho (4) ít được biết đến. Đó là động lực cho chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán này. Trong trường hợp đặc biệt, khi k = g1−α , một số kết quả về tính ổn định được đưa ra trong [5, 23, 22]. Trong bài báo gần đây [50], Vergara và Zacher nghiên cứu một mô hình cụ thể của phương trình (4), đó là một phương trình vi phân đạo hàm riêng nửa tuyến tính không địa phương. Sử dụng nguyên lý cực đại cho phương trình tuyến tính hóa, các tác giả đã chứng minh sự ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường cho phương trình này. Điều đáng chú ý là kỹ thuật được sử dụng trong [50] không áp dụng được cho phương trình tổng quát (4). Chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính chính quy và tính ổn định tiệm cận của nghiệm đối với (4) bằng cách sử dụng một biểu diễn mới của nghiệm cùng bất đẳng thức kiểu Gronwall. Tiếp theo, chúng tôi xét một hệ phương trình không địa phương với ngoại lực f không chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ mà còn phụ thuộc vào trạng thái lịch sử, tức là hệ có trễ thời gian. Sự xuất hiện của trễ trong trường hợp này là một đặc tính tự nhiên trong nhiều bài toán thực tế của vật lý, hóa học, sinh học... Cụ thể, chúng tôi xét hệ sau đây: Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn có ∂Ω trơn, xét phương trình ∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω, (6) với điều kiện ban đầu u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω, (7) ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , và điều kiện biên Dirichlet u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω. (8) Trong (6), nhân k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f : R+ × R2 → R là một hàm cho trước. Ở đó uρ (t, x) = u(t−ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) sao cho −h ≤ t−ρ(t) < t. Chúng tôi sẽ nghiên cứu tính tiêu hao và ổn định cho hệ (6)-(8). Sự xuất hiện của trễ dẫn đến những khó khăn trong việc nghiên cứu tính ổn định,
10 ví dụ khi thực hiện các ước lượng tiên nghiệm. Theo như chúng tôi biết, chưa có kết quả nào về tính giải được cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với (6). Do vậy chúng tôi đặt mục tiêu tìm các điều kiện thích hợp trên k , ρ và f , đảm bảo: • Sự tiêu hao của hệ, tức là sự tồn tại của một tập đóng, bị chặn hấp thụ tất cả các nghiệm; • Sự ổn định tiệm cận của nghiệm trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất; • Sự ổn định tiệm cận yếu (Định nghĩa 3.1) của nghiệm tầm thường trong trường hợp không duy nhất nghiệm. Để thu được những kết quả này, trước tiên, chúng tôi chứng minh một bất đẳng thức kiểu Halanay mới, đây là kết quả tổng quát cho trường hợp phương trình vi phân phân thứ đã đề cập trong [52]. Bất đẳng thức này được sử dụng trong việc nghiên cứu sự tiêu hao và tính ổn định tiệm cận. Để chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu, chúng tôi sử dụng kỹ thuật được phát triển trong [7, 23], dựa trên nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén. Cuối cùng, trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến bài toán giá trị cuối sau đây: Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Xét phương trình k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u), t ∈ (0, T ), x ∈ Ω, (9) với điều kiện cuối u(T, x) = g(u)(x), x ∈ Ω, (10) và điều kiện biên Dirichlet u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω. (11) Trong phương trình (9), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f : R+ × R → R là một hàm cho trước. Ở đây (−∆)γ là toán tử Laplace phân thứ. Hàm g phụ thuộc u có ý nghĩa thực tế, rằng dữ kiện đo được tại thời điểm t = T có thể phụ thuộc vào ‘năng lượng’ của hệ. Với hệ (9)-(11), mục tiêu chính là dưạ vào trạng thái tại thời điểm hiện tại (t = T ), ta xác định các trạng thái trước đó. Không giống như bài toán giá trị đầu (u(0) = g(u), bài toán thuận), bài toán giá trị cuối là kiểu bài toán ngược, nói chung phức tạp hơn. Lý do cơ bản là do hiệu ứng trơn của bài toán thuận, tức là u(t), với t > 0,
11 thuộc không gian chính quy hơn không gian chứa u(0). Khi đó, t = 0 có thể là điểm kì dị của u nếu giá trị cuối không đủ chính quy. Trường hợp k(t) = t−α /Γ(1 − α) và γ = 1, phương trình (9) chính là phương trình dưới khuếch tán với đạo hàm phân thứ Caputo cấp α. Bài toán giá trị cuối trong trường hợp này đã được nghiên cứu trong một số công trình công bố gần đây [46, 47, 54, 55, 60] với f và g không phụ thuộc u. Trong các công trình này, bài toán được chứng minh là đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm là không ổn định đối với dữ kiện cuối, từ đó cần một số phương pháp chính quy hóa để tìm nghiệm xấp xỉ. Sau đó, bài toán với f , g phụ thuộc u đã được nghiên cứu trong [48], các kết quả thu được đều dựa vào công thức nghiệm biểu diễn qua hàm Mittag-Leffler. Về phương diện kĩ thuật, các tác giả đã sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với các ước lượng cho hàm Mittag-Leffler. Đối với bài toán (9)-(11), chúng tôi xem xét bài toán giá trị cuối trong trường hợp tổng quát hơn, khi k là nhân Sonine, tức tồn tại một hàm khả tích địa phương l sao cho k ∗ l = 1. Khi đó phương trình (9) chứa các trường hợp riêng như phương trình khuếch tán chậm, khuếch tán siêu chậm, phương trình phân thứ đa thành phần, phương trình phân thứ có trọng,... được sử dụng để mô tả các quá trình khuếch tán có nhớ khác nhau. Lúc này, toán tử nghiệm chưa có biểu diễn tường minh theo các hàm đặc biệt đã biết. Do vậy, kĩ thuật của chúng tôi là dựa vào lý thuyết hàm hoàn toàn dương ([17]) và lý thuyết giải thức (theo [38]) kết hợp với nguyên lý điểm bất động. Cụ thể hơn, sử dụng tính parabolic của phương trình khuếch tán dị thường, chúng tôi thu được tính chính quy của giải thức và điều này cho phép chúng tôi giải bài toán trong trường hợp hàm phi tuyến không thỏa mãn điều kiện Lipschitz. So sánh với các kết quả đã có cho trường hợp phương trình phân thứ, chúng tôi giải quyết bài toán tổng quát hơn và đưa ra các điều kiện cụ thể hơn. Đối với bài toán này, chúng tôi thu được kết quả sau: • Đưa ra biểu diễn nghiệm nhẹ cho hệ (9)-(11) trong trường hợp tuyến tính bằng cách sử dụng lý thuyết giải thức; • Chứng minh sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện về tính chính quy của hàm ngoại lực và hàm giá trị cuối; • Chứng minh tính giải được cho hệ (9)-(11) trong không gian các hàm có thể gián đoạn tại t = 0. Các kết quả thu được của chúng tôi sẽ đóng góp một phần vào sự hoàn
12 thiện của lý thuyết phương trình vi phân không địa phương. Từ những phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài luận án là: “Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương”. 2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án 2.1. Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung vào các tính chất định tính của nghiệm đối với phương trình (3) và các mô hình liên quan. Mục tiêu chính là thiết lập các điều kiện đủ cho tính giải được, tính chính quy và tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu của nghiệm, đồng thời xem xét tính giải được của bài toán giá trị cuối. 2.2. Đối tượng nghiên cứu Một số bài toán với phương trình vi phân không địa phương không chứa trễ và có chứa trễ. 2.3. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung sau. • Nội dung 1: Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm tích phân của phương trình vi phân không địa phương; • Nội dung 2: Dáng điệu của nghiệm: tính tiêu hao, tính ổn định tiệm cận và ổn định tiệm cận yếu; • Nội dung 3: Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương. 3. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các công cụ của lý thuyết toán tử, lý thuyết ổn định và lý thuyết điểm bất động. Ngoài ra, đối với các nội dung cụ thể, chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật tương ứng: • Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm nhẹ của phương trình vi phân không địa phương: sử dụng lý thuyết toán tử, đặc biệt là lý thuyết giải thức cho phương trình tích phân trong [38] và lý thuyết điểm bất động. • Dáng điệu của nghiệm: sử dụng lý thuyết ổn định, phương pháp điểm bất động [9].
13 • Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương: sử dụng lý thuyết hàm hoàn toàn dương, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết giải thức. 4. Cấu trúc và các kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm bốn chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và kết quả được sử dụng trong các chương tiếp theo như đạo hàm không địa phương, lí thuyết độ đo không compact và nguyên lý điểm bất động. • Chương 2: Tính chính quy và ổn định nghiệm cho một lớp phương trình vi phân không địa phương. Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính giải được, ổn định và chính quy cho một lớp phương trình vi phân không địa phương. • Chương 3: Tính tiêu hao và ổn định cho một lớp phương trình khuếch tán dị thường có trễ hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi đưa ra các điều kiện thích hợp để đảm bảo tính tiêu hao, ổn định tiệm cận của nghiệm trong trường hợp bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định tiệm cận yếu của nghiệm trong trường hợp không duy nhất nghiệm. • Chương 4: Bài toán giá trị cuối cho phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính. Trong chương này, chúng tôi đưa ra biểu diễn nghiệm nhẹ cho bài toán giá trị cuối bằng cách sử dụng lý thuyết giải thức. Chúng tôi chứng minh tính giải được trong cả hai trường hợp khi dữ kiện chính quy và không chính quy. 5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu định tính cho lớp phương trình vi phân không địa phương, có thể áp dụng cho lớp phương trình khuếch tán dị thường trong cả hai trường hợp không chứa trễ và có chứa trễ. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành (liệt kê ở mục “Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án”).
14 Các nội dung chính trong luận án đã được báo cáo tại: 1) Xê-mi-na của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2019.
15 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng ta ký hiệu H là một không gian Hilbert tách được. 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM 1.1.1. Các không gian hàm quan trọng Cho Ω là một miền trong Rn . Trong luận án, các không gian hàm sau (theo [28]) được sử dụng. • Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω. Chuẩn trên Lp (Ω) được định nghĩa như sau: Z 1/p p kukLp (Ω) := |u(x)| dx . Ω • L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn kukL∞ (Ω) := ess sup |u(x)|. x∈Ω • Lploc (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa phương bậc p trên Ω Lploc (Ω) := {f : f ∈ Lp (K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}. Ngoài ra, ta sử dụng các không gian hàm phụ thuộc thời gian sau: • C([a, b]; H) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → H liên tục, với chuẩn: kukC([a,b];H) = sup ku(t)kH . t∈[a,b] • AC([a, b]) là không gian các hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b], theo nghĩa gồm tất cả các hàm u : [a, b] → R, sao cho: m X ∀ > 0, ∃δ > 0 : |u(βi ) − u(αi )| < i=1
16 với mọi m và mọi họ các khoảng rời nhau (α1 , β1 ),...,(αm , βm ) trong [a, b] có tổng các độ dài: m X (βi − αi ) < δ. i=1 • Lp ([a, b]; H) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được mạnh u : [a, b] → H sao cho Z b 1/p kukLp ([a,b];H) := ku(t)kpH dt < ∞. a • C γ ([a, b]; H), γ ∈ (0, 1), là không gian của các hàm liên tục H¨older trên [a, b], nghĩa là, f ∈ C γ ([a, b]; H) nếu kf (t1 ) − f (t2 )kH kf kC γ = sup < ∞, (t1 6= t2 ). t1 ,t2 ∈[a,b] |t1 − t 2 |γ Trong các chương sau, ta sử dụng chung kí hiệu chuẩn k.k cho các không gian hàm cụ thể. 1.1.2. Định lí Arzelà-Ascoli Trong mục này ta phát biểu Định lí Arzelà-Ascoli về tính compact của một họ các ánh xạ liên tục trên không gian compact nhận giá trị trong không gian metric trừu tượng, theo tài liệu [25, Chương 7]. Định lí Arzelà-Ascoli Cho X là một không gian metric compact và Y là một không gian metric. Sau đây ta định nghĩa một tập được gọi là liên tục đồng bậc và compact tương đối theo điểm. Một tập D ⊂ C(X; Y ) được gọi là liên tục đồng bậc nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ X thỏa mãn d(x1 , x2 ) < δ thì d(f (x1 ), f (x2 )) < với mọi f ∈ D. Ta nói họ D ⊂ C(X; Y ) compact tương đối theo điểm nếu D(x) = {f (x) : f ∈ D} là tập compact tương đối trong Y với mọi x ∈ X . Định lí 1.1. Cho X là một không gian metric compact và Y là một không gian metric. Khi đó, một tập con F của C(X, Y ) là compact tương đối nếu F liên tục đồng bậc và compact theo điểm.
17 Trong trường hợp đặc biệt, nếu Y = Rn thì tính compact theo điểm của họ F được thay bằng tính bị chặn điểm. Trong các chương sau, ta sử dụng định lí này để kiểm tra tính compact tương đối của họ các hàm trong không gian C([a, b]; H). 1.2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định Lyapunov ([18]) và khái niệm ổn định yếu. Xét hệ y 0 = g(t, y), t > t0 , (1.1) với g : [t0 , ∞) × Rn → Rn là hàm liên tục. Giả sử yˆ là một nghiệm của (1.1) trên [t0 , ∞). Định nghĩa 1.1. Nghiệm yˆ của (1.1) được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mỗi > 0 tồn tại δ(, t0 ) > 0 sao cho nếu ky0 − yˆ(t0 )k < δ(, t0 ), thì ky(t; t0 , y0 ) − yˆ(t)k < , với mọi t ≥ t0 , ở đây y(.; t0 , y0 ) là nghiệm của (1.1) sao cho y(t0 ; t0 , y0 ) = y0 . Trong định nghĩa trên nếu δ không phụ thuộc vào t0 thì ta có khái niệm ổn định Lyapunov đều. Việc xét tính ổn định theo nghĩa Lyapunov của một nghiệm tổng quát của (1.1) có thể quy về xét tính ổn định của nghiệm tầm thường (nghiệm không) của hệ sau x0 = f (t, x), với t > t0 , (1.2) ở đây f (t, x) = g(t, x + yˆ(t)) − g(t, yˆ(t)). Ta thấy rằng f (t, 0) ≡ 0, do đó x(t) ≡ 0 là một nghiệm của (1.2). Hơn nữa, nếu y(t) là một nghiệm của (1.1) thì x(t) xác định bởi x(t) = y(t) − yˆ(t) là một nghiệm của (1.2). Ngược lại, nếu x(t) là một nghiệm của (1.2) thì y(t) xác định bởi y(t) = x(t) + yˆ(t) là một nghiệm của (1.1). Do đó, tính ổn định của nghiệm yˆ của (1.1) tương đương với tính ổn định của nghiệm x ≡ 0 của (1.2). Vì vậy, không mất tính tổng quát, từ đây về sau chúng ta chỉ xét tính ổn định của nghiệm x ≡ 0 đối với hệ dạng (1.2). Định nghĩa 1.2. Nghiệm x ≡ 0 của (1.2) được gọi là
18 ∗ Hút nếu tồn tại δ0 > 0, sao cho nếu kx0 k < δ0 thì với mọi nghiệm x(t; t0 , x0 ) của (1.2) ta có lim x(t; t0 , x0 ) = 0. t→∞ ∗ Hút yếu nếu tồn tại δ0 > 0, sao cho nếu kx0 k < δ0 thì tồn tại nghiệm x(t; t0 , x0 ) của (1.2) thỏa mãn lim x(t; t0 , x0 ) = 0. t→∞ Dựa vào các khái niệm về tính hút như trên ta đưa ra các khái niệm ổn định tiệm cận cho hệ (1.2) như sau. Định nghĩa 1.3. Nghiệm x ≡ 0 của (1.2) được gọi là ∗Ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov nếu nó ổn định Lyapunov và thỏa mãn tính hút. ∗Ổn định tiệm cận yếu nếu nó ổn định Lyapunov và hút yếu. Định nghĩa 1.4. Nghiệm x ≡ 0 của (1.2) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại δ > 0, α > 0, β ≥ 1 sao cho với mọi x0 với kx0 k < δ ta có kx(t; t0 , x0 )k ≤ βe−α(t−t0 ) kx0 k với t ≥ t0 . Dựa vào định nghĩa trên ta thấy rằng từ tính ổn định mũ ta suy ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệm. Ngoài ra, tính ổn định mũ còn cho ta biết tốc độ hội tụ của nghiệm khi t → ∞. 1.3. LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Giả sử X, Y là hai không gian Banach. Ta kí hiệu L(X, Y ) là không gian bao gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y . Một toán tử A ∈ L(X, Y ) được gọi là toán tử compact nếu với mọi tập bị chặn D của X , A(D) là tập con compact tương đối trong Y . Chú ý rằng ánh xạ tuyến tính A : X → Y liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số dương C sao cho kAxkY ≤ CkxkX , ∀x ∈ X . Khi đó, A là toán tử bị chặn. Tuy nhiên, ta thấy hầu hết các toán tử đạo hàm riêng không thỏa mãn điều kiện bị chặn này. Sau đây, ta trình bày lí thuyết toán tử không bị chặn và các tính chất giải tích hàm quan trọng. 1.3.1. Toán tử tuyến tính đóng Toán tử tuyến tính (không bị chặn) A từ X vào Y là một ánh xạ tuyến tính xác định trên không gian con D(A) ⊂ X . Đồ thị của A được kí hiệu G(A) = {(x, Ax) ∈ X × Y : x ∈ D(A)}.