Luận án Tiến sĩ Toán học: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:125

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án nhằm xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley; nghiên cứu các tính chất của các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel; nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley, chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI −−−−−−−−− HOÀNG THỊ VÂN ANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Cán bộ hướng dẫn Tác giả PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo Hoàng Thị Vân Anh
LỜI CẢM ƠN Luận án được nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo, người luôn quan tâm, động viên và chỉ dẫn tác giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự quý mến đối với thầy. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các giáo sư, các thầy-cô và các đồng nghiệp trong seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN, seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Những ý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, những động viên, nhận xét quý báu và ý kiến đóng góp sâu sắc của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, PGS. TS. Trần Huy Hổ, PGS. TS. Nguyễn Thủy Thanh, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Nguyễn Văn Ngọc, PGS. TS. Trịnh Tuân, TS. Nguyễn Thanh Hồng, TS. Nguyễn Minh Khoa, TS. Nguyễn Hữu Thọ, . . . là những kinh nghiệm quý báu để tác giả hoàn thành luận án một cách thuận lợi. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Ban lãnh đạo và các thầy cô, các đồng nghiệp của Viện Toán Ứng dụng và Tin học đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoành thành luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm và chỉ dẫn tận tình về các thủ tục hành chính của Lãnh đạo và các anh chị công tác tại viện Sau đại học, trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ và biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn, trường Đại học West Georgia, Carrollton, GA 30118, USA, người đã luôn có những chỉ dẫn, góp ý chân thành và sâu sắc trong quá trình nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, các phòng ban và các đồng nghiệp của Trường Cao đẳng Công nghiệp Thực phẩm đã khuyến khích, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập, nghiên cứu, công tác và hoàn thành luận án. Gia đình luôn là động lực to lớn đối với tác giả. Công sức và sự động viên của đại gia đình là những đóng góp thiêng liêng đã gián tiếp giúp tác giả vượt 3
qua nhiều thử thách để hoàn thành luận án. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến bố mẹ, chồng, hai con trai và anh em hai bên nội - ngoại. Tác giả −4−
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . 7 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 24 1.1 Tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.1 Một số tích chập đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.2 Tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1.3 Một số định lý quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Bất đẳng thức tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1 Các bất đẳng thức tích phân trong không gian . . . . . 30 1.2.2 Bất đẳng thức tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3 Một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 37 2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley 45 2.1.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine . . . . . . . . . . . . 58 2.2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.2 Phương trình và hệ phương trình Toeplitz-Hankel . . . . 62 Chương 3. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 72 3.1 Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine . . . . 75 3.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine . . . . . 85 3.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5
3.4.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel . . . . . . 88 3.4.2 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4.3 Bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . 91 3.4.4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . . . . . 92 Chương 4. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 95 4.1 Các tính chất toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.1.1 Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.1.2 Định lý kiểu Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.3 Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân . . . . . . . . . . 103 4.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.1 Phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.2 Phương trình parabolic tuyến tính . . . . . . . . . . . . 112 4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 112 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . . . . . . . . . 118 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 −6−
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân Các tích chập, tích chập suy rộng • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier. F • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Laplace. L • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine. Fc • (· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine. Fs • (· ∗ ·), (· ∗ ·), (· ∗ ·) là tích chập, các tích chập suy rộng đối với các phép H H11 H12 biến đổi tích Hartley. • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fs Fc Fourier cosine. γ • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y đối với các phép Fc Fc biến đổi Fourier sine và Fourier cosine. • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Fs Fs sine. • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier. HF • (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier sine. 1 • (·∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine. 2 Các phép biến đổi tích phân • Phép biến đổi cosine, phép biến đổi sine Z∞ 1 (Tc f )(y) := √ f (x) cos(xy) dx, y ∈ R, 2π −∞ Z∞ 1 (Ts f )(y) := √ f (x) sin(xy) dx, y ∈ R. 2π −∞ 7
• Phép biến đổi Hartley Z∞ 1 (H1 f )(y) = √ f (x) cas(xy)dx, 2π −∞ ∞ 1 Z (H2 f )(y) = √ f (x) cas(−xy)dx, 2π −∞ trong đó cas u := cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley. • Phép biến đổi Fourier Z∞ 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy, y ∈ R. 2π −∞ • Phép biến đổi Fourier ngược Z∞ 1 (F −1 g)(x) = √ eixy g(y)dy, y ∈ R. 2π −∞ • Phép biến đổi Fourier cosine r Z∞ 2 (Fc f )(y) = f (x) cos(xy) dx, y ∈ R+ . π 0 • Phép biến đổi Fourier cosine ngược r Z∞ 2 (Fc−1 g)(x) = g(y) cos(xy) dy, y ∈ R+ . π 0 • Phép biến đổi Fourier sine r Z∞ 2 (Fs f )(y) = f (x) sin(xy) dx, y ∈ R+ . π 0 −8−
• Phép biến đổi Fourier sine ngược r Z∞ 2 (Fs−1 g)(x) = g(y) sin(xy) dy, y ∈ R+ . π 0 • Th , Th−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine và phép biến đổi ngược của nó d2 (Th f )(x) := 1 − 2 (h ∗ f )(x), dx 2 −1 d2 f (x) = Th g (x) := 1 − 2 (h ∗ g)(x). dx 2 • Tk , Tk−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine và phép biến đổi ngược của nó d2 (Tk f )(x) := 1 − 2 (k ∗ f )(x), dx 1 −1 d2 f (x) = Tk g (x) := 1 − 2 (k ∗ g)(x). dx 1 b. Các không gian hàm • R+ = {x ∈ R, x > 0}. • Lp (R+ ), 1 6 p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho Z∞ |f (x)|p dx < ∞. 0 • kf kLp (R+ ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ ), xác định bởi Z∞ p1 p kf kLp (R+ ) := |f (x)| dx . 0 • kf kLp (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi Z∞ p1 p kf kLp (R) := |f (x)| dx . −∞ −9−
• L∞ (R+ ) là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho sup |f (x)| < ∞. x∈R+ • kf kL∞ (R) là chuẩn của hàm f trong không gian L∞ (R), xác định bởi kf kL∞ (R) := sup |f (x)|. R • Lp (R+ , ρ), 1 6 p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, 0 trong đó ρ là một hàm trọng dương. • kf kLp (R+ ,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ , ρ), xác định bởi Z∞ p1 p kf kLp (R+ ,ρ) := |f (x)| ρ(x)dx . 0 • Lα,β,γ p (R) là không gian ba tham số, xác định bởi α,β,γ α −β|x|γ Lp (R) := Lp R, |x| e , α ∈ R, 0 < β < 1, γ > 0. α,β,γ • kf kLα,β,γ p (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi 1/p Z∞  γ kf kLα,β,γ p (R) :=  |f (x)|p |x|α e−β|x| dx . −∞ c. Các hàm đặc biệt • Erf(z), Erfi(z) tương ứng là hàm sai số (error function) và hàm sai số ảo (imaginary error function). • Γ(z) là hàm Gamma. • Gm,np,q (·) là hàm Meijer G. • Jα (x), Yα (x) tương ứng là hàm Bessel loại một, hàm Bessel loại hai. • Iα (z), Kα (z) là các hàm Bessel suy biến. • pF q(a; b; z) là hàm siêu bội suy rộng. −10−
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lý thuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là các ngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý ảnh,... Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toán thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này có dạng (xem [46]) Z∞ 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R). (0.1) 2π −∞ Nếu như phép biến đổi tích phân Fourier ra đời nhằm mục đích giải quyết vấn đề về bài toán truyền nhiệt, thì các phép biến đổi tích phân như Laplace, Mellin, Hankel,... ra đời với mục đích nghiên cứu và giải quyết lớp phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, các phương trình này xuất phát từ những bài toán thực tiễn trong vật lý, cơ học, địa lý hay trong hải dương học. Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thay thế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết các bài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh,... Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1 (R) được trình bày trong các tài liệu Bracewell R.N. [12], Hai N.T. và các cộng sự [19], Olejniczak K.J. [29], Tuan V.K. và Yakubovich S.B. [49], xác định bởi các công thức Z∞ 1 (H1 f )(y) = √ f (x) cas(xy)dx, (0.2) 2π −∞ ∞ 1 Z (H2 f )(y) = √ f (x) cas(−xy)dx, (0.3) 2π −∞
trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley, và hàm f (x) được xác định bởi công thức Z∞ 1 f (x) = √ cas(±xy)(Hj f )(y)dy, j = 1, 2. (0.4) 2π −∞ Nhận thấy rằng, phép biến đổi tích phân Hartley khá gần với phép biến đổi tích phân Fourier (xem [12, 46]), mối liên hệ giữa các phép biến đổi này như sau 1−i 1+i (H1 f )(y) = F f (x) + f (−x) (y), (0.5) 2 2 1−i 1+i (H2 f )(y) = F f (−x) − f (x) (y), (0.6) 2 2 suy ra 1−i 1+i (F f )(y) = Hj f (x) + f (−x) (y), j = 1, 2. (0.7) 2 2 So với phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Hartley có những ưu điểm là cho phép ta biến đổi từ hàm thực sang hàm thực (trong khi đối với phép biến đổi tích phân Fourier của một hàm thực lại là hàm phức), ngoài ra phép biến đổi Hartley là đối xứng còn phép biến đổi Fourier thì không đối xứng. Mặt khác, các ứng dụng của phép biến đổi tích phân Hartley chủ yếu liên quan đến các tính toán với máy tính, do vậy khi làm việc với số thực sẽ thuận tiện và nhanh hơn so với số phức. Trong thời gian gần đây, một số nghiên cứu mới về phép biến đổi tích phân Hartley và ứng dụng, chẳng hạn như: Năm 2014 tác giả Bouzeffour F. nghiên cứu về phép biến đổi Hartley suy rộng trên L1α (R) và các ứng dụng liên quan, phép biến đổi này xác định như sau (xem [15]) Z∞ (Hα f )(λ) := f (x)Jα (λx) dx, ∀λ ∈ R, (0.8) −∞ trong đó λx Jα (λx) = Jα (λx) + Jα+1 (λx), 2(α + 1) với Jα (x) là hàm Bessel chuẩn tắc xác định bởi 2 α Jα (x) = Γ(α + 1) Jα (x), x −12−
ở đây Jα (·) là hàm Bessel. Cũng trong năm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B. nghiên cứu về phép biến đổi tích phân Hartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong L2 (R+ ) lần lượt xác định bởi (xem [56, 57, 58]) r Z∞ 2 (H+ f )(x) := [cos(xt) + sin(xt)]f (t) dt, x ∈ R+ , (0.9) π 0 r Z∞ 2 d f (t) (H+ f )(x) := [1 + sin(xt) − cos(xt)] dt, x ∈ R+ , (0.10) π dx t 0 có biến đổi ngược là r Z∞ 2 f (x) := [cos(xt)C(xt) + sin(xt)S(xt)](H+ f )(t) dt, (0.11) π 0 trong đó S(xt), C(xt) có dạng √ √ r Zx r Zx 2 2 S(xt) = sin(t2 )dt, C(xt) = cos(t2 )dt. π π 0 0 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập: Để nghiên cứu không gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhân chập hay còn gọi là tích chập, khi cố định một hàm ta có một lớp biến đổi tích phân gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập. Có thể tóm lược về phép biến đổi tích phân dạng này như sau; trong tích chập của hai hàm f và k , nếu cố định một hàm, chẳng hạn cố định k , như là nhân của nó, và cho hàm f biến thiên trong một không gian hàm xác định, ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có dạng f 7→ f ∗ k. (0.12) Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất xây dựng theo cách trên là phép biến đổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem [25, 46]), được xác định như sau Z∞ f (x) 7→ k(xy)f (y)dy. (0.13) 0 −13−
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được nghiên cứu bởi tác giả Hong N.T. năm 2008 (xem [44]), phép biến đổi tích phân này xác định bởi Z∞ d2 n f (x) 7→ 1 − 2 f (y)[sign(x + y − 1)k1 (|x + y − 1|) − k1 (x + y + 1) dx 0 + sign(x − y + 1)k1 (|x − y + 1|) − sign(x − y − 1)k1 (|x − y − 1|)]dy Z∞ o + f (y)[k2 (|x − y|) − k2 (x + y)]dy . (0.14) 0 Trong thời gian gần đây, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và các ứng dụng đã được nghiên cứu bởi các tác giả Britvina L.E., Luchko Y., Tuan V.K., Yakubovich S.B., ... góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân kiểu tích chập (xem [13, 25, 50, 55]). Ngoài ra, việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giải quyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳng hạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vì trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều phép biến đổi tích phân hơn). Tuy vậy, khoảng những năm 1990 trở lại đây, một số công trình nghiên cứu theo hướng này mới được đề cập đến, điển hình như: • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có hàm trọng: Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp (R+ ), (1 < p < 2) được nghiên cứu bởi tác giả Tuan V.K. và các cộng sự, các phép biến đổi này xác định như sau (xem [7, 8]) Z∞ f (x) 7→ [sign(y − x)k(|x − y|) + k(x + y)]f (y)dy, x ∈ R+ , (0.15) 0 Z∞ f (x) 7→ [k(|x − y|) − k(x + y)]f (y)dy, x ∈ R+ . (0.16) 0 Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu bởi Hong N.T., Tuan T. −14−
và Thao N.X. (xem [42]), phép biến đổi tích phân này xác định bởi hZ 1 i −ucosh(x+v) −ucosh(x−v) f (x) 7→ D (e +e )h(u)f (v)dudv . (0.17) u R2+ • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng: Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với tích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả Thao N.X., Tuan V.K. và Hong N.T. có dạng như sau (xem [41]) Z∞ d2 n f (x) 7→ 1 − 2 [f (|x + y − 1|) + f (|x − y + 1|) − f (x + y + 1)− dx 0 Z∞ o − f (|x − y − 1|)]k1 (y)dy + [f (|x − y|) + f (x + y)]k2 (y)dy . (0.18) 0 Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiều nghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuất phát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế. Vì vậy, nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúc toán tử của nó là một mục đích của luận án. Tích chập và tích chập suy rộng Một trong những vấn đề quan trọng của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng và ứng dụng liên quan, chẳng hạn: Tính tích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Toán-Lý, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lý thuyết xác suất, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện,.... Do đó, hướng nghiên cứu này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuất hiện với những tên gọi khác nhau như: Tích chập (tích chập không có hàm trọng và tích chập có hàm trọng), tích chập suy rộng (tích chập suy rộng không có hàm trọng và tích chập suy rộng có hàm trọng) và tiếp đến là đa chập. Khoảng cuối thế kỷ 19, tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier. Những nghiên cứu về tích chập tiếp theo −15−
được lần lượt giới thiệu là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev và phép biến đổi Stieltjes,... Về tích chập đối với phép biến đổi tích phân Hartley, nghiên cứu gần đây được quan tâm là của nhóm tác giả Tuan N.M. năm 2009 (xem [16]), kết quả mới nhất về tích chập đối với phép biến đổi tích phân này tiếp tục được nghiên cứu năm 2015 bởi tác giả Paraskevas I. và các cộng sự, nhận được bài toán phổ Whitened và các ứng dụng trong xử lý ảnh (xem [21]). Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn một phép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng. Khi đó, tích chập suy rộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện. Tích chập suy rộng có trọng đầu tiên được nghiên cứu năm 1951 bởi tác giả Sneddon I.N., đó là tích chập suy rộng có hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine (xem [33, 34]). Khoảng những năm 1990, một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân theo chỉ số được nghiên cứu bởi tác giả Yakubovich S.B. (xem [52, 53, 54]). Nhưng cho đến năm 1998, nghiên cứu của các tác giả Kakichev V.A. và Thao N.X. lần đầu tiên cho định nghĩa và đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ với hàm trọng là γ, có đẳng thức nhân tử hóa xác định bởi (xem [23]) γ K1 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y) · (K3 g)(y), j = 1, 2, 3. (0.19) Kj Từ định nghĩa trên cho thấy, vế phải xuất hiện hai phép biến đổi tích phân khác nhau do đó ứng dụng sẽ phong phú hơn (trong khi đối với tích chập thì đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân). Mặt khác, khi hoán đổi các phép biến đổi tích phân theo một trật tự nhất định sẽ nhận được các tích chập suy rộng khác nhau nên những ứng dụng nhận được khá đa dạng. Vì vậy, hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Do đó, vấn đề xây dựng các tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó là một nội dung có ý nghĩa khoa học cần được tiếp tục nghiên cứu. Bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng trong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý,... Việc giải các bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập. Vì −16−
vậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suy rộng để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm. Những nghiên cứu về lĩnh vực này ở trong và ngoài nước có thể thấy như sau: • Đối với tích chập Fourier: Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier có dạng sau (xem [6, 35])
∞
Z