Luận án tiến sĩ Toán học: Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là: Giải quyết bài toán thác triển phân hình trong một số trường hợp tổng quát, cụ thể là thay việc xem xét D là tập con của Cn bởi D là tập con của một không gian Fréchet và không gian F là Fréchet, trong đó fz là hàm pF, Wq-phân hình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.02 Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu Phản biện 2: PGS. TS. Kiều Phương Chi Phản biện 3: TS. Trịnh Đức Tài NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017
LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Thái Thuần Quang. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Liên Vương Lâm
LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và khoa học của Thầy Thái Thuần Quang. Thầy là người đã giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt các bậc học: Đại học, Cao học và Nghiên cứu sinh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình. Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, đây là nơi tôi bắt đầu được học tập, được hướng dẫn và nhận được nhiều sự quan tâm, động viên khích lệ. Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán đã giảng dạy tôi trong những năm tháng tôi được học tập, nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Văn Đại, TS. Huỳnh Minh Hiền, TS. Nguyễn Khắc Tín, TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương đã có những góp ý quý báu trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Tổ Toán, Trường Đại học Phạm Văn Đồng đã tạo điều kiện thời gian, gánh vác các công việc cho tôi, để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân và các người bạn của tác giả, những người đã luôn mong mỏi, động viên và tiếp sức cho tác giả để hoàn thành bản luận án này.
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU H pD, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F Hs pT, F q : Không gian các hàm chỉnh hình tách biến trên T nhận giá trị trong F M pD, F q : Không gian các hàm phân hình trên D nhận giá trị trong F Ms pT, F q : Không gian các hàm phân hình tách biến trên T nhận giá trị trong F H 8 pD, F q : Không gian con tất cả các hàm bị chặn trong H pD, F q Hb pE, F q : Không gian tất cả các hàm chỉnh hình từ E vào F mà bị chặn trên các tập bị chặn trong E HLB pD, F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn địa phương trên D H W pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình H W,8 pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình bị chặn W Hloc pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình địa phương W,8 Hloc pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-chỉnh hình bị chặn địa phương M W pD, F q : Không gian các hàm pF, W q-phân hình Dfh : Miền tồn tại của hàm chỉnh hình f Dfm : Miền tồn tại của hàm phân hình f p K P SH pDq : Bao đa điều hòa dưới của K trong D ∆nr pz0 q : tz P Cn : }z z0} ru ∆r pz0 q : ∆1r pz0 q ∆nr : ∆nr p0q ∆n : ∆n1 ∆ : ∆1 Hnt prq : Miền Hartogs trong Cn B pE q : Tập tất cả các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E K pE q : Tập tất cả các tập con compact, lồi, cân trong E Uk : tx P E : }x}k 1u P SH pΩq : Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω U pK, Ωq : tu P P SH pΩq : u ¤ 1, uK ¤ 0u hK,Ω pz q : suptupz q : u P U pK, Ωqu hK,Ω : Hàm cực trị tương đối của cặp pK, Ωq
Mục lục Danh mục các ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1. Miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ 10 1.1 Kiến thức tổng quan về không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Một số lớp không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Các tập con tách điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Khái niệm hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Các tập đa cực, đa chính quy, hàm cực trị tương đối . . . . 14 1.2.4 Các hàm chỉnh hình, phân hình trên các tập chữ thập . . . . 16 1.3 Miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Định lý thác triển Levi đối với hàm phân hình yếu 26 2.1 Các hàm p, W q-chỉnh hình và các hàm p, W q-phân hình . . . . . . . 26 2.2 Định lý thác triển Levi đối với hàm nhiều biến giá trị véctơ . . . . . 27 2.2.1 Trường hợp W F 1 xác định tính bị chặn . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Trường hợp W F 1 là tách điểm . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3 Trường hợp W F 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Một số nhận xét và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 i
2.4 Định lý thác triển Levi đối với hàm giá trị véctơ vô hạn chiều . . . 46 2.4.1 Bất biến tôpô tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.2 Thác triển chỉnh hình của hàm p, W q-chỉnh hình . . . . . . 48 2.4.3 Định lý thác triển Levi đối với hàm giá trị véctơ . . . . . . . 59 Chương 3. Định lý chữ thập đối với các hàm p, W q-phân hình 62 3.1 Định lý Rothstein cho các hàm p, W q-phân hình . . . . . . . . . . . 62 3.2 Tổng quát hóa định lý Kazarian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 Định lý chữ thập cho các hàm p, W q-phân hình với kỳ dị đa cực . . 69 Chương 4. Thác triển phân hình các hàm p, W q-phân hình 76 4.1 Tính chất (BB)-Zorn và thác triển chỉnh hình . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Thác triển phân hình các hàm p, W q-phân hình từ các tập gầy . . . 82 4.3 Miền phân hình của các hàm p, W q-phân hình . . . . . . . . . . . 88 4.4 Thác triển các hàm p, W q-phân hình qua các tập con giải tích . . . 91 Kết luận 93 Danh mục công trình của tác giả 95 Tài liệu tham khảo 96 Chỉ mục 104 ii
Mở đầu Không gian lồi địa phương xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán học như lý thuyết độ đo tích phân, giải tích phức, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ. Các không gian dãy, không gian các hàm chỉnh hình, không gian các hàm đo được đều có tôpô lồi địa phương. Lý thuyết đối ngẫu trong không gian lồi địa phương đóng vai trò quan trọng vì đã chuyển bài toán trên không gian lồi địa phương về nghiên cứu trên các phiếm hàm tuyến tính liên tục. Giải tích phức trên không gian lồi địa phương là sự kết hợp giữa Giải tích phức và Giải tích hàm. Đầu tiên, có thể kể đến các kết quả của các tác giả Nachbin, Noverraz, Colombeau, Mujica, Dineen,... Ở Việt Nam, từ những năm 1970 cũng đã có các kết quả ban đầu của Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái về lĩnh vực này. Bài toán về tính chỉnh hình của hàm giá trị véctơ được quan tâm bởi các nhà toán học từ rất sớm. Trong thực hành người ta giải quyết thông qua tính chỉnh hình yếu. Ở đây, một hàm f : D Ñ F, với F là không gian lồi địa phương Hausdorff, được gọi là chỉnh hình yếu nếu u f là chỉnh hình với mọi u P F 1 , không gian đối ngẫu của F. Các kết quả bước đầu có thể kể đến là của Dunford [24] vào năm 1938 và Grothendieck [31] vào năm 1955. Mở rộng bài toán này, người ta đặt ra vấn đề “làm nhỏ” không gian chứa các phiếm hàm tuyến tính u mà vẫn đảm bảo được tính chỉnh hình của hàm f. Các kết quả được xem xét trong các trường hợp u P W F 1, với W là các tập con tách điểm, xác định tính bị chặn,... được giới thiệu trong các công trình của Grosse-Erdmann [28], Arendt và Nikolski [7]. Trong hơn một thập niên gần đây, bài toán thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới. Năm 2003, Hải [32] đã mở rộng kết quả của Arendt và Nikolski trong trường hợp không gian Fréchet với các bất biến tôpô tuyến tính. Năm 2013, Quang, Lâm và Đại [75] đã xem xét bài toán cho trường hợp E, F là các không gian Fréchet-Schwartz và hàm f xác định trên một tập con mở D trong E mà f bị chặn trên các tập bị chặn. Hàm phân hình trên tập con mở của C nhận giá trị trong một không gian Banach được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học [52,92]. Đến năm 1982, Khuê [48] đã nghiên cứu hàm phân hình trên một đa tạp phức nhận giá trị trên một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy. Cụ thể, Khuê đã chứng minh tập cực của hàm phân hình giá trị lồi địa phương là rỗng hoặc là tập giải tích có đối chiều bằng 1 [48, Corollary 1.1]. Cho E, F là các không gian lồi địa phương và hàm f 1
xác định trên một tập con mở, trù mật D0 của một tập mở D trong E, phân hình trên D, nhận giá trị trên F. Khi đó, với mỗi zP D tồn tại lân cận Uz trong E và hUz hàm f có biểu diễn địa phương là f |Uz XD0 |U XD , trong đó hUz , σUz là các σUz z 0 hàm chỉnh hình nhận giá trị tương ứng trong F và trong C. Vấn đề đặt ra là tìm điều kiện của các không gian E, F để tồn tại các hàm h P H pD, F q và σ P H pDq h sao cho f trên D. Khi đó ta nói f có biểu diễn toàn cục. Đa tạp phức mà mọi σ hàm phân hình đều có biểu diễn toàn cục được gọi là có dạng Poincaré [46]. Tiếp tục nghiên cứu vấn đề này với hàm phân hình nhận giá trị lồi địa phương đầy đủ theo dãy, năm 1982, Khuê đã chứng minh rằng mỗi hàm phân hình trên một đa tạp Stein nhận giá trị trong không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thì có biểu diễn toàn cục [48, Theorem 2.1]. Chúng ta biết rằng hàm phân hình yếu nhận giá trị trên CN có thể không phân hình. Vì vậy, khi nghiên cứu về tính phân hình của hàm phân hình yếu người ta cần chú ý đến tính chất của không gian F. Năm 1997, Đông và Hải [23] đã chứng minh được rằng một hàm phân hình yếu f : X Ñ F, trong đó X là tập con mở của Cn (tương ứng L-chính quy compact) và F là một không gian Fréchet có nửa chuẩn liên tục (tương ứng có tính chất pDN q) là phân hình. Bài toán thác triển chỉnh hình và thác triển phân hình được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học như Grosse-Erdmann [28], Arendt và Nikolski [7], Bonet, Frerick và Jordá [13],... Năm 1969, Bogdanowicz [11] đã chứng minh rằng nếu D1 D2 C là các miền và F là một không gian phức lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ theo dãy và f : D1 ÑF là một hàm sao cho u f có thác triển chỉnh hình đến D2 với mọi u P F 1 thì f có một thác triển chỉnh hình đến D2 . Năm 2004, Grosse-Erdmann đã mở rộng kết quả trên đối với các hàm nhận giá trị Fréchet từ một tập con M Ω xác định hội tụ đều địa phương trong H pΩq, với Ω là một miền trong C. Trong trường hợp này, hàm f xác định trên M thác triển được đến Ω nếu u f có thác triển chỉnh hình đến Ω, với mỗi u P W , trong đó W là tập con tách điểm của F 1 và f bị chặn trên M X K với K là tập con compact tùy ý của Ω. Trong [33], Hải, Khuê và Nga đã giới thiệu một phiên bản của định lý Bog- danowicz đối với hàm phân hình trong trường hợp hàm f xác định trên một tập mở X G Cn nhận giá trị trên không gian Banach F. Nếu với mỗi u P F 1 mà hàm u f có một thác triển phân hình đến G thì f được thác triển phân hình đến G [33, Theorem 1]. Ngoài ra, các tác giả này còn chứng tỏ được rằng kết quả trên 2
vẫn đúng khi F là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thỏa mãn F 1 là không gian Baire [33, Remark 1]. Tiếp tục nghiên cứu bài toán này trong trường hợp hàm một biến nhận giá trị lồi địa phương, năm 2005, Jordá [45] chứng minh rằng hàm f : Ω1 Ñ E, trong đó E là không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương với đối ngẫu mạnh siêu thùng, có thác triển phân hình đến Ω2 nếu mỗi hàm u f có thác triển phân hình đến Ω2 với mọi u P E 1 [45, Theorem 12]. Nhận xét rằng, vì mọi không gian Baire là siêu thùng [16, Observation 9.1.23] nên kết quả của Jordá là mở rộng của [33, Remark 1]. Sử dụng các kết quả trong [45, Theorem 12], Jordá chứng minh rằng hàm f có thác triển phân hình đến Ω2 trong các trường hợp E là không gian Fréchet tách biệt (distinguished) với Eβ2 có chuẩn liên tục hoặc E là không gian Schwartz thùng đầy đủ không chứa CN [45, Theorems 16,17 ]. Bài toán xác định bao chỉnh hình, bao phân hình và các đặc trưng của miền chỉnh hình, phân hình được quan tâm bởi nhiều nhà toán học như Okuda và Sakai [61], Siciak [83], Zeriahi [93],... Năm 1910, Levi [53] chứng minh rằng hàm f pz, wq phân hình trên D p∆r z∆q, với D là tập mở liên thông trong Cn , ∆r tλ P C : |λ| ru, ∆1 ∆ với r ¡ 1, có thác triển phân hình đến D ∆r nếu giả thiết thêm rằng f pz, .q có thác triển phân hình đến ∆r với mỗi z P A, với A là tập con béo trong D. Định lý Levi được mở rộng bởi Kneser [50] vào năm 1932 và chứng minh đầy đủ bởi Okuda và Sakai [61] vào năm 1957. Định lý này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các đặc trưng của miền phân hình. Năm 1963, Fuks [27] đã chứng minh rằng mọi miền phân hình trong Cn là giả lồi theo nghĩa Hartogs. Năm 1967, Kajiwara và Sakai [46] đã chứng minh rằng bao phân hình của một miền trên một đa tạp Stein tương ứng với một họ các hàm phân hình là pτ -lồi theo nghĩa Docquier và Grauert [22], do đó nó là một đa tạp Stein [46, Lemma 5]. Trong trường hợp vô hạn chiều, Harita [35] có được kết quả tương tự như trên đối với tích Descartes một họ đếm được các miền trong mặt phẳng phức. Aurich [8, 9] chứng minh được bao phân hình trên một không gian Banach phức là giả lồi. Cho Ω là không gian tôpô liên thông và ϕ là đồng cấu địa phương từ Ω vào E. Khi đó ta sẽ nói cặp pΩ, ϕq là một miền trên E. Trong [36], Harita chứng minh rằng bao phân hình của miền pΩ, ϕq trên không gian lồi địa phương Hausdorff đầy đủ theo dãy trên C là miền giả lồi. Schottenloher [80,81] đã giải quyết bài toán Levi đối với một miền trên không gian lồi địa phương Lindel¨of với biểu diễn Schauder 3
hữu hạn. Đặc biệt, miền giả lồi trên không gian Fréchet với cơ sở Schauder là miền chỉnh hình. Do đó bao phân hình trên miền pΩ, ϕq trên không gian Fréchet phức E với cơ sở Schauder là miền chỉnh hình. Đặc biệt, miền phân hình trên E trùng với miền chỉnh hình. Bài toán xác định tính chỉnh hình, miền chỉnh hình, phân hình trên các tập chữ thập (cross sets) được quan tâm bởi nhiều nhà toán học Hartogs [37], Siciak [83], Shiffman [86],... Kết quả đầu tiên trong vấn đề này là định lý Hartogs cổ điển [37]. Các nhà toán học như Siciak [82], Vân và Zeriahi [57], Shiffman [86]... nghiên cứu trên các tập con đặc biệt của Cm n . Sau đó, Siciak [83], Vân và Zeriahi [58] có được các kết quả cho các hàm giải tích thực. Mở rộng vấn đề trên, các nhà toán ¨ học quan tâm đến định lý chữ thập có kỳ dị, đầu tiên là Oktem [62, 63] với kỳ dị giải tích, sau đó được Jarnicki và Pflug tổng quát vào các năm 2000, 2001 [41, 42]. Tiếp theo, người ta quan tâm đến các định lý chữ thập có kỳ dị tổng quát hơn như kỳ dị đa cực, kỳ dị giải tích,... trong các công trình của Jarnicki, Pflug và Anh [2–6, 43, 65–69]. Đối với hàm phân hình, năm 1950, Rothstein [77] đã chứng minh định lý dạng Hartogs cho hàm phân hình vô hướng, trong đó điều kiện để hàm phân hình xác định trên Ω ∆ được thác triển phân hình đến Ω ∆r , với r ¡ 1 được chỉ ra. Sau đó, Kazarian [47] và Shiffman [85] mở rộng kết quả của Rothstein trong trường hợp các tập đặc biệt trên Cn m . Năm 1970, bằng cách sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak [82] đã thiết lập bao phân hình của hàm phân hình tách biến trong trường hợp tập chữ thập chứa tích các miền trong C. Sau đó, Quang và Đại [71] đã mở rộng kết quả của Siciak đối với lớp hàm p, W q-chỉnh hình. Năm 2003, Jarnicki và Pflug [41] chứng minh định lý Rothstein đối với hàm phân hình vô hướng f xác định trên ∆p ∆q . Sử dụng định lý Rothstein [77] và kết quả của Siu [87], Jarnicki và Pflug đã đưa ra các điều kiện để hàm phân hình f xác định trên ∆p ∆q được thác triển phân hình đến một lân cận mở của tập chữ thập chứa ∆p ∆q . Chúng ta biết rằng bao chỉnh hình của một miền Riemann trên Cn trùng với bao phân hình [40, Theorem 3.6.6]. Vì vậy, trong [41], Jarnicki và Pflug đã đặt ra câu hỏi rằng vấn đề còn đúng không trong trường hợp hàm phân hình tách biến xác định trên X zM, trong đó X là tập chữ thập và M là kỳ dị đa cực? Trước đó, vấn đề này được nghiên cứu trong trường hợp M H bởi Sakai [79] vào năm 1957, Kazarian [47] vào năm 1976 và Shiffman [86] vào năm 1989. Theo dòng nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến bài toán thác triển phân 4
hình của một số lớp hàm phân hình yếu. Mục tiêu của luận án là: • Giải quyết bài toán thác triển phân hình trong một số trường hợp tổng quát, cụ thể là thay việc xem xét D là tập con của Cn bởi D là tập con của một không gian Fréchet và không gian F là Fréchet, trong đó fz là hàm pF, W q-phân hình. • Mở rộng các định lý Hartogs và định lý chữ thập cho các hàm p, W q-phân hình tách biến trong trường hợp hàm nhận giá trị véctơ. • Nghiên cứu bài toán thác triển phân hình của các hàm p, W q-phân hình. Luận án, ngoài lời nói đầu, lời cảm ơn và kết luận, gồm có 4 chương và tài liệu tham khảo. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị như các không gian lồi địa phương và các không gian con tách điểm, các khái niệm về hàm chỉnh hình, hàm phân hình giá trị véctơ. Mục đích chính của chương này là nghiên cứu về miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ. Ở đây, chúng tôi có được kết quả là tập Zfm : tu P F 1 : Dfm Dumf u trù mật trong F 1 , trong đó Dfm là miền tồn tại của hàm phân hình f. Ta nhận xét rằng kết quả này là tương tự như của Hirschowitz [38] đối với lớp hàm chỉnh hình. Để chứng minh kết quả trên, chúng ta cần một số kết quả bổ trợ. Bổ đề 1.3.2 trình bày về thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet qua một tập con S có đối codim S ¥ 2. Dựa vào Bổ đề 1.3.2, chúng tôi chứng minh mọi hàm phân hình f trên pDzS q Y G nhận giá trị trên không gian Banach F được thác triển phân hình đến D với S là tập giải tích trong D với codim S 1 và G là tập con mở của D sao cho mọi nhánh bất khả quy với S đều có giao với G. Trong Chương 2, dựa vào ý tưởng của Arendt và Nikolski [7], Grosse-Erdmann [28, 29], chúng tôi nghiên cứu về thác triển phân hình cũng như miền phân hình của lớp các hàm p, W q-phân hình tách biến. Để giải quyết bài toán trên, trước hết chúng tôi mở rộng định lý thác triển Levi đối với các hàm nhận giá trị véctơ f pz, tq xác định trên D p∆r z∆q và có thác triển p, W q-phân hình theo biến phức t với mọi z P D, một tập con trù mật trong D. 5
Sử dụng các kết quả của Frerick, Jordá và Wengenroth [26] và của Grosse- Erdmann [29], cải tiến các lập luận trong Siu [87], chúng tôi mở rộng kết quả của định lý thác triển Levi đối với các hàm nhận giá trị trên một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy (hoặc đầy đủ địa phương) và D là tập con mở của Cn . Chúng tôi khảo sát các mở rộng của định lý thác triển Levi dưới nhiều trường hợp khác nhau của tập con W. Trong trường hợp W là không gian con xác định tính bị chặn thì chúng tôi sử dụng kết quả của Frerick, Jordá và Wengenroth [26, Theorem 2.2] đối với các hàm chỉnh hình yếu giá trị véctơ từ một tập con duy nhất đối với các tử địa phương và mẫu địa phương của hàm fz . Điều này chỉ ra tính bị fz với mọi u chặn địa phương của các hàm thác triển u{ PW là cần thiết. Trong trường hợp W yếu hơn, cụ thể W tách điểm nhưng không xác định tính bị chặn thì chúng tôi cần thêm giả thiết rằng họ tu{ fz uuPW thỏa mãn sup otpu{ f z q 8, ở đây ot pg q là số nguyên không âm N sao cho pλ tqN g pλq có thác triển chỉnh hình đến t. Chú ý rằng, trong các kết quả trên chúng tôi cần giả thiết thêm với mỗi z P D tồn tại tập Pz ∆r không có điểm giới hạn trong ∆r sao cho tập cực của uzf chứa trong Pz với mọi u P W. Tuy nhiên, điều kiện này có thể bỏ qua trong trường hợp W F1 và F thỏa mãn một trong các điều kiện: đầy đủ theo dãy sao cho Fβ1 siêu thùng; thùng Schwartz đầy đủ mà không chứa CN ; Fréchet tách biệt sao cho Fβ2 có chuẩn liên tục (Hệ quả 2.2.9 và Hệ quả 2.2.10). Chúng tôi có được điều này bởi vì mọi hàm phân hình yếu trên tập con mở khác rỗng trong C nhận giá trị trong không gian lồi địa phương F là phân hình. Ta nhắc lại hàm f : D ÑF được gọi là phân hình rất yếu nếu u f là phân hình với mọi u P F 1 (xem [45]). Hơn nữa, chúng tôi xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng tính bị chặn địa phương trên D p∆r z∆q không thể bỏ qua trong trường hợp không gian F là đầy đủ địa phương nhưng không đầy đủ theo dãy (Ví dụ 2.3.2). Chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ liên quan đến Định lý 2.2.6 trong trường hợp W là tách điểm nhưng không xác định tính bị chặn (Mệnh đề 2.3.4). Áp dụng các kết quả trong Mục 2.2, chúng tôi nghiên cứu về định lý thác triển Levi đối với hàm giá trị véctơ vô hạn chiều. Một vài kết quả bổ trợ như định lý Hartogs cho các hàm p, W q-chỉnh hình trên các tập chữ thập (Mệnh đề 2.4.6) và thác triển chỉnh hình từ tập con trù mật trong không gian Fréchet (Mệnh đề 2.4.7) cũng được nghiên cứu ở đây để chuẩn bị cho chứng minh kết quả chính mục này. Các định lý chữ thập đối với các hàm p, W q-phân hình tách biến là quan tâm 6
chính của Chương 3. Trong [41], Jarnicki và Pflug đã mở rộng định lý Kazarian trên các tập chữ thập và xét định lý chữ thập đối với kỳ dị đa cực. Một trong những bước quan trọng trong chứng minh của định lý mở rộng chữ thập là sử dụng định lý Rothstein. Định lý Rothstein cổ điển nói rằng hàm phân hình f xác định trên Ω ∆, trong đó Ω là một miền trong Cn được thác triển phân hình đến Ω ∆r , với r ¡ 1 nếu với mỗi z P Ω thì fz được thác triển phân hình đến ∆r hoặc tz u ∆ được chứa trong tập cực của f. Do đó, dựa vào các kết quả trong Chương 2, chúng tôi xây dựng các định lý mở rộng kết quả của Rothstein (Định lý 3.1.1), Kazarian (Định lý 3.2.1) và định lý chữ thập với kỳ dị đa cực cho lớp hàm p, W q-phân hình nhận giá trị trên không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương. Sử dụng các kết quả này, chúng tôi mở rộng định lý chữ thập cho các hàm phân hình tách biến với kỳ dị đa cực đối với lớp các hàm p, W q-phân hình tách biến. Để thực hiện điều đó, trước tiên chúng tôi mở rộng các kết quả về thác triển chỉnh hình của các hàm p, W q-chỉnh hình trên các tập chữ thập với kỳ dị đa cực (Định lý 3.3.1 và Định lý 3.3.2). Như trong [41], với sự trợ giúp của các kết quả này, chúng tôi nhận được định lý chữ thập cho các hàm p, W q-phân hình với kỳ dị đa cực (Định lý 3.3.4). Trong Chương 4, chúng tôi trình bày một số điều kiện yếu để một hàm p, W q- phân hình là phân hình và nghiên cứu bài toán thác triển phân hình cho lớp hàm này. Để chuẩn bị cho kết quả chính trong chương này, chúng tôi cần một số kết quả tương tự như định lý Zorn (ta sẽ gọi là các định lý kiểu Zorn). Định lý được chứng minh vào năm 1945 bởi Max Zorn, người nổi tiếng bởi Bổ đề Zorn. Zorn đã chứng minh với mọi tập mở D trong không gian Banach E, mọi hàm chỉnh hình Gâteaux mà liên tục tại một điểm trong D thì chỉnh hình trên D (Định lý Zorn). Định lý này không được nghiên cứu mở rộng trong thời gian dài, mãi cho đến những năm 1960 khi một số nhà toán học người Pháp công bố các kết quả về vấn đề này trên các không gian lồi địa phương. Hơn nữa, nhóm tác giả này còn trình bày một số ví dụ để trả lời câu hỏi liệu các kết quả này còn đúng với mọi không gian lồi địa phương hay không. Không gian lồi địa phương E được gọi là có tính chất Zorn (không gian Zorn) nếu trên không gian đó định lý Zorn thỏa mãn. Trong [18], Dineen đã mở rộng định lý Zorn đối với các lớp không gian khác nhau và các định nghĩa khác của tính chỉnh hình. Bên cạnh đó, Dineen đã giới thiệu các không gian F -Zorn mạnh và F -Zorn yếu mà trên đó các hàm chỉnh hình Gâteaux giá trị véctơ thỏa mãn và không thỏa mãn định lý Zorn. Với kết quả này, Dineen 7
đã chỉ ra được nhiều ví dụ về không gian thỏa mãn định lý Zorn. Dineen cũng đã mở rộng định lý Zorn đối với tính liên tục tại một điểm bất kỳ, cũng như mở rộng định lý Hartogs cho các hàm chỉnh hình tách biến. Bài toán về tính chất Zorn có tính hấp dẫn riêng, tuy nhiên trong Chương 4 chúng tôi chỉ nghiên cứu nó như một công cụ để giải quyết vấn đề đang quan tâm trong luận án. Chúng tôi sẽ khảo sát định lý kiểu Zorn cho lớp hàm chỉnh hình Gâteaux mà chúng bị chặn trên các tập bị chặn. Không gian lồi địa phương E thỏa mãn tính chất này được gọi là không gian BB-Zorn hay có tính chất BB-Zorn. Trong Mục 4.1, chúng tôi giới thiệu các không gian (BB)-Zorn trù mật trong một không gian Fréchet. Với không gian Fréchet-Schwartz E có cơ sở Schauder tuyệt đối, chúng tôi chứng minh rằng nếu E P pΩr B q với B P KpE q, họ tất cả các tập lồi, cân, compact trong E thì tồn tại tập không đa cực B r P KpE q với Br B sao cho pEBr , τE q có tính chất (BB)-Zorn (Định lý 4.1.5). Hơn nữa, chúng tôi khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn trong DpB r q được thác triển chỉnh hình đến D, trong đó D là một miền trong không gian E. Chúng tôi trình bày trong Mục 4.2 các mở rộng kết quả của Bonet, Jordá và Maestre [14, Theorem 5] và của Grosse-Erdmann [29, Theorem 4] đối với miền trên C. Ở đây, chúng tôi nghiên cứu bài toán đối với lớp các hàm pF, W q-phân hình trong cả hai trường hợp bị chặn địa phương và không bị chặn địa phương trên Cn , n ¥ 2, bằng cách xem xét một số điều kiện của không gian F và không gian con W (Định lý 4.2.6). Dựa vào các kết quả trên và tính chất (BB)-Zorn của pEB , τE q chúng tôi nghiên cứu bài toán thác triển phân hình lên toàn bộ miền D từ một tập con trù mật DpB q D X EB cho các hàm pF, W q-phân hình nhận giá trị trên một không gian Fréchet F, trong đó E là một không gian Fréchet có chứa một tập con compact không đa cực (Định lý 4.2.8 và Định lý 4.2.9). Trong các trường hợp này, chúng tôi cần thêm vào tính chất “bị chặn trên các tập bị chặn” của các hàm p, W q-phân hình. Ở Mục 4.3, bằng cách sử dụng công cụ các bó đính, chúng tôi nghiên cứu miền phân hình của các hàm p, W q-phân hình. Một số điều kiện của không gian F và tập con W được chúng tôi đưa ra để mỗi hàm pF, W q-phân hình có thể được thác triển phân hình từ một miền Hartogs trong Cn đến bao chỉnh hình (Định lý 4.3.1). Tiếp đó, trên cơ sở định lý này, chúng tôi nhận được một số lớp hàm p, W q-phân hình giá trị Fréchet trên một miền Riemann trên một không gian Fréchet E có r của D trong trường hợp E thể được thác triển phân hình đến bao chỉnh hình D 8
là không gian hạch có tính chất Levi (Định lý 4.3.3) hoặc có cơ sở Schauder tuyệt đối và chứa một tập con compact lồi, cân không đa cực (Định lý 4.3.4). Trong phần cuối của Chương 4, bằng cách sử dụng các kết quả của Mục 4.3, chúng tôi tổng quát kết quả của Ramis đối với lớp các hàm p, W q-phân hình giá trị Fréchet. Giả sử W F 1 là không gian con tách điểm và không gian Fréchet E chứa một tập con compact lồi cân, không đa cực và thỏa mãn một trong hai điều kiện: hạch hoặc có cơ sở Schauder tuyệt đối. Khi đó mỗi hàm pF, W q-phân hình bị chặn trên các tập bị chặn trong DpB qzS có một thác triển phân hình đến D, trong đó B là tập con không đa cực của E và S là tập con giải tích của D với codim S ¥ 2 (Định lý 4.4.1 và Định lý 4.4.2). Luận án được viết dựa trên các công trình [72–74]. Các kết quả của luận án được báo cáo tại: • Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn; • Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên tại Quy Nhơn, 12-14/08/2015; • Hội nghị Toán học phối hợp Việt-Hàn tại Đà Nẵng, 20-24/02/2017. 9
Chương 1 MIỀN TỒN TẠI CỦA HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ VÉCTƠ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ. Phần đầu của chương này là một số quy ước, ký hiệu và một số kiến thức về không gian lồi địa phương mà chúng sẽ được sử dụng trong luận án, chẳng hạn các không gian đầy đủ địa phương, đầy đủ theo dãy, các tập con tách điểm. Tiếp sau đó, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về hàm chỉnh hình, hàm phân hình giá trị véctơ. Ở phần cuối của chương là các kết quả về miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ . Một số bổ đề về thác triển phân hình qua các tập con giải tích cũng được trình bày ở đây. Các kết quả chính của chương này được trích từ hai công trình [72, 73]. 1.1 Kiến thức tổng quan về không gian lồi địa phương Trong suốt luận án này, nếu không giải thích gì thêm thì ta quy ước không gian lồi địa phương là một không gian véctơ phức với tôpô lồi địa phương Hausdorff. Đối với không gian Fréchet E, ta luôn giả thiết rằng cấu trúc lồi địa phương của nó được sinh bởi dãy tăng các nửa chuẩn t} }k u. Khi đó ta ký hiệu Ek là bổ sung đầy đủ của không gian định chuẩn chính tắc E { ker } }k và ωk : E Ñ Ek là ánh xạ chính tắc và Uk tx P E : }x}k 1u. Đôi khi để thuận tiện ta giả thiết 10
tUk ukPN là cơ sở lân cận của 0 và ta ký hiệu U pE q. Tập các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E được ký hiệu là B pE q và KpE q là tập tất cả các tập lồi, cân, compact trong E. Nếu B là tập con lồi, cân của E ta xác định chuẩn } }B trên E 1 , không gian đối ngẫu của E, với giá trị trong r0, 8s như sau }u}B supt|upxq| : x P B u. Thay cho } }U k ta viết } }k . Ký hiệu EB là bao tuyến tính của B và nó sẽ trở thành không gian định chuẩn một cách chính tắc nếu B bị chặn. 1.1.1 Một số lớp không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 ([16]). Không gian lồi địa phương E được gọi là (i) đầy đủ địa phương nếu không gian EB là Banach với mọi B P BpE q; (ii) đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ; (iii) thùng nếu mọi thùng trong E là lân cận của 0 trong E; (iv) siêu thùng nếu với mỗi dãy tăng các không gian con pEn qn của E phủ E thì tồn tại p sao cho Ep là một không gian thùng trù mật trong E. Nhận xét 1.1.2. (i) Mọi không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thì đầy đủ địa phương và tồn tại không gian đầy đủ địa phương nhưng không đầy đủ theo dãy (xem [16, Example 5.1.12]). (ii) Mọi không gian Baire là siêu thùng (xem [16, Definition 9.1.22]). (iii) Mọi không gian có đối ngẫu mạnh siêu thùng thì không chứa không gian các dãy số phức ω (xem [12, Proposition 4]). 1.1.2 Các tập con tách điểm Trong phần này, ta nhắc lại các khái niệm về các tập con tách điểm như: xác định tính bị chặn, xác định tôpô trên một không gian lồi địa phương. 11
Định nghĩa 1.1.3 ([7]). Cho F là không gian lồi địa phương và W F 1. Tập W được gọi là (i) tách điểm nếu upxq 0 với mọi u P W suy ra x 0; (ii) xác định tính bị chặn nếu mọi tập con B F là bị chặn khi upB q là bị chặn trong C với mọi u P W ; (iii) xác định tôpô của F nếu tôpô của F là tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn của F 1 chứa trong W. Nhận xét 1.1.4. (i) Nếu W F 1 xác định tính bị chặn trên F hoặc xác định tôpô của F thì W là tách điểm. (ii) W F 1 tách điểm nếu và chỉ nếu spanW trù mật trong F 1 theo tôpô yếu. (iii) W F 1 xác định tính bị chặn nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn theo tôpô σ pF, W q thì bị chặn. Ví dụ 1.1.5. (i) Cho X là một không gian Banach thì W X 1 là xác định tính bị chặn. (ii) Cho X C r0; 1s và W span tδt : t P r0; 1su X 1, với δt là hàm Dirac sinh bởi t, là tập xác định tôpô nhưng không xác định tính bị chặn. 1.2 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 1.2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.2.1 ([19]). Cho E và F là các không gian lồi địa phương và D E là mở, D H. Hàm f : D Ñ F được gọi là hàm chỉnh hình nếu f liên tục và u f là hàm chỉnh hình Gâteaux với mọi u P F 1 , trong đó F 1 là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F. Định nghĩa 1.2.2 ([19]). Một miền Riemann (hay mặt Riemann) trên một không gian lồi địa phương E là một cặp pD, pq, trong đó D là không gian tôpô Hausdorff và p : D Ñ E là đồng phôi địa phương. 12
Nếu U là tập con mở trong D và p|U : U Ñ E là một đẳng cấu thì ta gọi pU, pq hoặc U là bản đồ trong D và viết p U thay cho ppU q 1 1 và ký hiệu U ppU q. Do đó miền Riemann trên E có dạng là một đa tạp trên E với phép chiếu p xác định tọa độ địa phương trên toàn bộ D. Định nghĩa 1.2.3 ([19]). Cho E, F là các không gian lồi địa phương và pD, pq là một miền Riemann trên E. Hàm f : D Ñ F được gọi là chỉnh hình tại điểm z P D nếu tồn tại lân cận V của z với V ppV q và hàm chỉnh hình g trên ppV q sao cho f g p trên V. Định nghĩa 1.2.4 ([25]). Cho X và Y là các đa tạp phức có số chiều tương ứng là n và m. Ánh xạ liên tục f : X ÑY được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi p PX tồn tại bản đồ địa phương pU, φq trên X và pV, ψ q trên Y sao cho p P U, f pU q V và ánh xạ fr ψ f φ1 : ϕpU q Ñ ψ pV q Cm chỉnh hình trên tập mở ϕpU q Cn . Ta ký hiệu H pD, F q là không gian véctơ các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trên F và trang bị trên đó tôpô compact mở τ0 . Trong trường hợp F C ta viết H pDq thay cho H pD, Cq. Ký hiệu H 8 pD, F q là không gian con tất cả các hàm chỉnh hình bị chặn của H pD, F q và trong trường hợp F C, để đơn giản ta viết H 8 pDq thay cho H 8 pD, Cq. Không gian các hàm chỉnh hình từ D vào F và bị chặn trên tất cả các tập bị chặn trong D được ký hiệu là HB pD, F q và khi F C ta viết HB pDq thay cho HB pD, Cq. Với mỗi hàm f : D Ñ F, ta ký hiệu Ωpf q là tập các điểm z thuộc D sao cho f chỉnh hình tại z. Tập hợp S pf q : DzΩpf q được gọi là tập kỳ dị của f. Định nghĩa 1.2.5 ([40]). Cho X là một miền Riemann trên Cn và M là tập con đóng của X sao cho với mọi miền D X thì DzM là liên thông và trù mật trong D. Cho H F H pX zM, F q. Ta nói điểm a P M là không kỳ dị đối với họ F (và viết a P Mns F ) nếu tồn tại một lân cận U của a sao cho mỗi hàm f P F tồn tại fr P H pU, F q sao cho fr f trên U zM. Nếu a P Ms,F : M zMns,F thì ta nói a là kỳ dị đối với họ F . Nếu Mns,F H hay Ms,F M thì ta nói M là kỳ dị đối với họ F . Đặc biệt, nếu F H pU zM, F q thì ta nói M là kỳ dị. Ví dụ 1.2.6. Cho f là ! hàm ) chỉnh hình khác 0 trên X Cn và đặt M f 1p0q. 1 Khi đó M kỳ dị đối với f . 13