Luận án Tiến sĩ Toán học: Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:104

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

nghiên cứu biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc và biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc với các dãy tín hiệu ban đầu là các dãy biến đổi đối xứng; xây dựng các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc; đánh giá các bất đẳng thức tích chập suy rộng, tích chập thời gian rời rạc và ứng dụng giải một số lớp phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC BCH KHOA H NËI NGUYN ANH I TCH CHP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI RC V ÙNG DÖNG LUN N TIN S TON HÅC H Nëi - 2020
BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC BCH KHOA H NËI NGUYN ANH I TCH CHP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI RC V ÙNG DÖNG Ng nh: To¡n håc M¢ ng nh: 9460101 LUN N TIN S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC: PGS.TS. NGUYN XUN THO H Nëi - 2020
MÖC LÖC MÖC LÖC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LÍI CAM OAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 LÍI CM ÌN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 DANH MÖC CC KÞ HIU V CHÚ VIT TT . . . . . . . . . . 6 MÐ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ch÷ìng 1. BIN ÊI FOURIER THÍI GIAN RÍI RC 18 1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c v h» thèng . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.2 C¡c h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 T½nh ch§t cõa bi¸n êi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.3 ành lþ Wiener - Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ch÷ìng 2. TCH CHP SUY RËNG FOURIER COSINE, FOURIER SINE THÍI GIAN RÍI RC 27 2.1 Bi¸n êi Fourier cosine v Fourier sine thíi gian ríi r¤c . . . . 28 2.1.1 Chu©n cõa d¢y thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . 33 2.2.1 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c . . . . 33 2.2.2 T½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c vîi h m trång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . 46 2.3.1 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c . . 47 2.3.2 T½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c vîi h m trång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 T½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . 60 Ch÷ìng 3. PHP BIN ÊI KIU TCH CHP SUY RËNG THÍI 1
GIAN RÍI RC V PH×ÌNG TRNH TOEPLIZT-HANKEL RÍI RC 67 3.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine, Fourier cosine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.2 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.1.3 Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp Fourier cosine thíi gian ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c vîi nh¥n °c bi»t 74 3.2.2 Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel vîi v¸ ph£i °c bi»t . . . 83 3.2.3 H» ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c . . . . . . . . 86 KT LUN V KIN NGHÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 DANH MÖC CÆNG TRNH CÆNG BÈ CÕA LUN N . . . . 97 TI LIU THAM KHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2
LÍI CAM OAN Luªn ¡n n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n nhúng nghi¶n cùu cõa t¡c gi£ t¤i Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H Nëi, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS. Nguy¹n Xu¥n Th£o. C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n n y l mîi v ch÷a tøng cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc n o cõa t¡c gi£ kh¡c. H nëi, th¡ng 11 n«m 2020 Gi¡o vi¶n h÷îng d¨n T¡c gi£ PGS.TS. Nguy¹n Xu¥n Th£o Nguy¹n Anh i 3
LÍI CM ÌN Luªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H Nëi, d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc tªn t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Xu¥n Th£o. Th¦y ¢ d nh nhi·u cæng sùc, d¨n dt tæi v o con ÷íng nghi¶n cùu khoa håc, ëng vi¶n kh½ch l» tæi v÷ñt l¶n nhúng khâ kh«n trong håc tªp v cuëc sèng. Tø tªn ¡y láng, em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc nh§t tîi Th¦y v s³ cè gng ph§n §u hìn núa º xùng ¡ng vîi cæng lao cõa Th¦y. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc công nh÷ Pháng o t¤o - Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H Nëi, ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n GS.TSKH. Vô Kim Tu§n, Tr÷íng ¤i håc West Georgia, USA v TS. Nguy¹n Thanh Hçng, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi. Ng÷íi th¦y v ng÷íi anh ¢ luæn ëng vi¶n t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu, v câ nhúng þ ki¸n âng gâp s¥u sc v· nëi dung khi t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n. Xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th nh vi¶n trong nhâm Seminar Gi£i t½ch - Tr÷íng H B¡ch khoa H Nëi, Seminar Gi£i t½ch - Tr÷íng H KHTN - H QG H Nëi v· nhúng trao êi húu ½ch gióp cho Luªn ¡n ÷ñc ho n thi»n hìn. Nhúng þ ki¸n cõa c¡c gi¡o s÷ v c¡c çng nghi»p tham dü c¡c semina n y ¢ gióp tæi tr÷ðng th nh hìn trong nghi¶n cùu khoa håc. °c bi»t, nhúng ëng vi¶n, nhªn x²t quþ b¡u v þ ki¸n âng gâp s¥u sc cõa GS.TSKH. Nguy¹n V«n Mªu, PGS.TS. Nguy¹n Thõy Thanh, PGS.TS. H Ti¸n Ngo¤n, PGS.TS. Nguy¹n Minh Tu§n, TS. Nguy¹n V«n Ngåc, PGS. TS. Trành Tu¥n, PGS.TS. Nguy¹n Minh Khoa, TS. Ph¤m V«n Ho¬ng, TS. Nguy¹n H£i Sìn, TS. Nguy¹n Quang Chung, TS. Tr¦n Hçng Th¡i, ... l nhúng kinh nghi»m quþ b¡u º luªn ¡n ho n thi»n mët c¡ch thuªn lñi. Mët l¦n núa, em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n nhúng ng÷íi th¦y m em luæn tæn k½nh, ¸n nhúng ng÷íi anh, ng÷íi chà v nhúng çng nghi»p. Xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y cæ trong Bë mæn To¡n, Khoa khoa håc cì b£n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Kÿ thuªt H÷ng Y¶n, nìi t¡c gi£ ang cæng t¡c, ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn ¡n. Cuèi còng, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tø tªn ¡y láng ¸n gia ¼nh b¤n b± v çng 4
nghi»p, nìi luæn d nh cho t¡c gi£ t¼nh y¶u th÷ìng væ h¤n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn ¡n, t§t c£ c¡c Th¦y, b¤n b±, çng nghi»p, °c bi»t l c¡c th nh vi¶n trong gia ¼nh, ¢ luæn s¡t c¡nh, ëng vi¶n v õng hë t¡c gi£. â l nguçn ëng lüc to lîn gióp t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n cõa m¼nh. T¡c gi£ 5
DANH MÖC CC KÞ HIU V CHÚ VIT TT R l tªp t§t c£ c¡c sè thüc. C l tªp t§t c£ c¡c sè phùc. Z l tªp t§t c£ c¡c sè nguy¶n. R+ = {x ∈ R, x > 0}, l tªp t§t c£ c¡c sè thüc d÷ìng. |z| l modun cõa z . C0 (R+ ) l khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n R+ v tri»t ti¶u t¤i væ còng vîi chu©n sup. F l bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier (xem trang 9). Fc l bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier cosine (xem trang 9). Fs l bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier sine (xem trang 10). Lp (R+ ), 1 ≤ p < ∞, l khæng gian c¡c h m sè f x¡c ành tr¶n R+ , thäa m¢n ∞ ! 1 Z p ||f ||Lp (R+ ) = |f (x)|p dx < ∞. 0 Lp (R+ , ρ), 1 ≤ p < ∞, l khæng gian c¡c h m sè f x¡c ành tr¶n R+, thäa m¢n ! p1 Z∞ ||f ||Lp (R+ ,ρ) = |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, 0 ð ¥y ρ(x) l mët h m trång d÷ìng. T l to¡n tû t½ch chªp thíi gian ríi r¤c (xem trang 19). (· ∗ ·) (xem trang 10) l t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier. F (· ∗ ·) Fc (xem trang 11) l t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine. 6
(· ∗ ·) Fs (xem trang 12) l t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier sine. γ (· ∗ ·) F (xem trang 12) l t½ch chªp vîi h m trång γ(y) = sin y èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier. FDT (xem trang 14) l bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c. `1 (N0 ) (xem trang 28) l khæng gian c¡c d¢y sè phùc x := {x(n)}n≥0 ÷ñc trang bà vîi chu©n ∞ ! p1 p |x(0)| X kxkp := p + |x(n)|p < ∞, 1 ≤ p < ∞, 2 n=1 kxk∞ := sup |xn | < ∞. n≥0 `o1 (N0 )(xem trang 28) l khæng gian con cõa `1(N0) vîi x(0) = 0. FcDT (xem trang 28) l bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c. FsDT (xem trang 29) l bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c. (· ∗ ·) (xem trang 33) l t½ch chªp suy rëng èi vîi ph²p bi¸n êi F Fourier sine thíi gian ríi r¤c. sDT (· ∗ ·) (xem trang 41) l t½ch chªp suy rëng vîi h m trång γ(y) = sin ω γ F èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c. sDT (· ∗ ·) (xem trang 47) l t½ch chªp suy rëng èi vîi ph²p bi¸n êi F Fourier cosine thíi gian ríi r¤c. cDT (· ∗ ·) (xem trang 52) l t½ch chªp suy rëng vîi h m trång γ(y) = sin ω γ F èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c. cDT (· ∗ ·) (xem trang 60) l t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine o F thíi gian ríi r¤c. cDT TsDT (xem trang 68) l to¡n tû kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c. 7
−1 TsDT (xem trang 68) l to¡n tû nghàch £o kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c. −1 TcDT (xem trang 70) l to¡n tû nghàch £o kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c. TcDT (xem trang 70) l to¡n tû kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c. (xem trang 72) l to¡n tû kiºu t½ch chªp Fourier cosine thíi gian o T cDT ríi r¤c. (xem trang 73) l to¡n tû nghàch £o kiºu t½ch chªp Fourier cosine o T −1 cDT thíi gian ríi r¤c. 8
MÐ U 1. Làch sû v§n · v l½ do lüa chån · t i A. Ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n èi vîi lîp h m kh£ t½ch Lþ thuy¸t ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n v t½ch chªp èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n câ vai trá quan trång khæng thº thi¸u trong c¡c ng nh y sinh håc, àa lþ, h£i d÷ìng håc, ... C¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n ra íi r§t sîm v câ vai trá °c bi»t quan trång trong l½ thuy¸t công nh÷ trong ùng döng, ph£i kº ¸n tr÷îc h¸t l ph²p bi¸n êi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, ph²p bi¸n êi Laplace, ph²p bi¸n êi Mellin, sau â l c¡c ph²p bi¸n êi Hankel, Kontorovich-Lebedev, ... B£n th¥n ph²p bi¸n êi Fourier ra íi xu§t ph¡t tø b i to¡n thüc t¸ khi J. Fourier nghi¶n cùu v· qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t. Ph²p bi¸n êi Fourier câ d¤ng (xem [1, 2, 3]) Z∞ 1 (F f )(x) = F [f ](x) = √ e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R), (0.1) 2π −∞ ZN 1 (F f )(x) = F [f ](x) = lim √ e−ixy f (y)dy, f ∈ Lp (R), 1 ≤ p ≤ 2. (0.2) N →∞ 2π −N N¸u g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta câ ph²p bi¸n êi Fourier ng÷ñc nh÷ sau (xem [1, 2]) Z∞ 1 f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = √ eixy g(y)dy. (0.3) 2π −∞ N¸u g(x) = (F f )(x) ∈ Lp (R), 1 ≤ p ≤ 2, ta câ ph²p bi¸n êi Fourier ng÷ñc nh÷ sau (xem [1, 2]) ZN 1 f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = lim √ eixy g(y)dy. (0.4) N →∞ 2π −N Trong tr÷íng hñp f ∈ L1 (R) l h m ch®n ho°c h m l´. Khi â, f ∈ L1 (R+ ) v ta nhªn ÷ñc ph²p bi¸n êi Fourier cosine v Fourier sine câ d¤ng nh÷ sau (xem [4, 5]) r Z∞ 2 (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = f (x) cos(xy)dx, f ∈ L1 (R+ ), (0.5) π 0 9
r Z∞ 2 (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = f (x) sin(xy)dx, f ∈ L1 (R+ ). (0.6) π 0 Vîi f ∈ Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ 2, ta câ r ZN 2 (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim f (x) cos(xy)dx, (0.7) N →∞ π 0 r ZN 2 (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim f (x) sin(xy)dx, (0.8) N →∞ π 0 1 1 trong â, q l sè mô li¶n hñp cõa p, tùc l + = 1 v c¡c giîi h¤n ÷ñc hiºu theo chu©n p q trong khæng gian Lq (R+ ). C¡c ành ngh¾a tr¶n tròng nhau n¸u f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ). T½ch chªp suy rëng v t½ch chªp Mët trong nhúng v§n · quan trång cõa ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n l nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp v ùng döng li¶n quan. Ch¯ng h¤n nh÷: t½nh t½ch ph¥n, t½nh têng cõa chuéi, gi£i c¡c b i to¡n Vªt lþ-To¡n, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, ph÷ìng tr¼nh vi-t½ch ph¥n, lþ thuy¸t x¡c su§t, xû lþ £nh, xû lþ t½n hi»u, kÿ thuªt i»n, ... (xem [4, 6, 7, 8, 10, 11]). Do â, h÷îng nghi¶n cùu n y ¢ ÷ñc nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m v nghi¶n cùu. Theo làch sû ph¡t triºn th¼ c¡c kh¡i ni»m v· t½ch chªp l¦n l÷ñt ÷ñc xu§t hi»n vîi nhúng t¶n gåi kh¡c nhau nh÷: t½ch chªp suy rëng (t½ch chªp suy rëng khæng câ h m trång v t½ch chªp suy rëng câ h m trång), t½ch chªp (t½ch chªp khæng câ h m trång v t½ch chªp câ h m trång) v a chªp. èi vîi t½ch chªp m trong ¯ng thùc nh¥n tû hâa cõa nâ câ nhi·u hìn mët ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n ÷ñc gåi l t½ch chªp suy rëng. Trong luªn ¡n n y, t½ch chªp suy rëng ÷ñc gåi theo t¶n cõa ph²p bi¸n êi t¡c ëng v o t½ch chªp suy rëng trong ¯ng thùc nh¥n tû hâa. T½ch chªp ¦u ti¶n ÷ñc x¥y düng l t½ch chªp èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier, cö thº t½ch chªp cõa hai h m f v g èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier câ d¤ng nh÷ sau (xem [5, 9]) Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (y)g(x − y)dy, x ∈ R. (0.9) F 2π −∞ 10
T½ch chªp (0.9) thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n tû hâa sau (xem [9]) F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R). (0.10) F N«m 1912, Young ¢ ÷a ra b§t ¯ng thùc cì b£n (xem [12, 13]) 1 1 1 ||f ∗ g||Lr (R) ≤ ||f ||Lp (R) ||g||Lq (R) , + = + 1, 1 ≤ p, q, r < ∞, (0.11) p q r cho t½ch chªp Fourier tr¶n R Z (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy. R B§t ¯ng thùc Young ÷ñc chùng minh công óng cho t½ch chªp Fourier tr¶n c¡c nhâm compact àa ph÷ìng b§t ký (kº c£ Z). Tuy nhi¶n, b§t ¯ng thùc Young (0.11) ch÷a ph£i b§t ¯ng thùc ch°t. Tîi n«m 1975, W. Beckner ¢ ÷a ra h¬ng sè tèi ÷u cho b§t ¯ng thùc Young (xem [14]). N«m 1951, I.N. Sneddon x¥y düng t½ch chªp cõa hai h m ch®n f v g èi vîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine nh÷ sau (xem [9]) Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (y)[g(x + y) + g(x − y)]dy, x ∈ R+ . (0.12) Fc 2π 0 T½ch chªp n y thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n tû hâa (xem [15, 16]) Fc [f ∗ g](u) = (Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ), (0.13) Fc Fc (f ∗ g)(x) = Fc [(Fc f )(y)(Fc g)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2 (R+ ). (0.14) Fc Sau â, c¡c t½ch chªp èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi Laplace, Mellin v Hartley ÷ñc x¥y düng v nghi¶n cùu (xem [17, 18, 19]). N«m 1958, l¦n ¦u ti¶n Y.Ya Vilenkin thi¸t lªp ÷ñc cæng thùc t½ch chªp vîi h m trång èi vîi ph²p bi¸n êi Mehler-Fox (xem [20]). G¦n mët thªp k sau, n«m 1967, V.A. Kakichev ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p ki¸n thi¸t º x¥y düng t½ch chªp vîi h m trång èi vîi mët ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n b§t ký (xem [21]). Nhí â, æng ¢ x¥y düng ÷ñc t½ch chªp èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Hankel, Kontorovich-Lebedev, t½ch chªp vîi h m trång èi vîi ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier sine (xem [21, 23]), ... 11
V o n«m 1951, trong cuèn s¡ch cõa m¼nh [3], I.N. Sneddon ÷a ra cæng thùc t½ch chªp suy rëng Fourier sine, x¡c ành nh÷ sau (xem [3]) Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.15) Fs 2π 0 thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n tû hâa v ¯ng thùc Parseval d÷îi ¥y (xem [3, 24]) Fs [f ∗ g](y) = (Fs f )(y)(Fc )(g), f, g ∈ L1 (R+ ), (0.16) Fs (f ∗ g)(x) = Fs [(Fs f )(y)(Fc )(g)](x), f, g ∈ L2 (R+ ). (0.17) Fs Tr¶n cì sð â v ti¸p theo þ t÷ðng cõa m¼nh n«m 1998 (xem [21]), V.A. Kakichev v N.X. Th£o ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p ki¸n thi¸t v x¥y düng t½ch chªp suy rëng vîi h m trång èi vîi ba ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n b§t k¼ (xem [25]). K¸t qu£ tr¶n ¢ mð ra mët h÷îng nghi¶n cùu v x¥y düng t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kh¡c nhau. Cho ¸n nay, mët sè t½ch chªp suy rëng ¢ ÷ñc x¥y düng v nghi¶n cùu, ch¯ng h¤n t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine v Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Laplace v bi¸n êi H, ... (xem [5, 26, 27, 28]). Kho£ng nhúng n«m 1990, mët sè t½ch chªp suy rëng èi vîi ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n theo ch¿ sè ÷ñc nghi¶n cùu bði t¡c gi£ S.B. Yakubovich (xem [30, 31, 32]). N«m 1998, V.A. Kakichev v N.X. Th£o ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p ki¸n thi¸t, cho i·u ki»n c¦n º x¡c ành t½ch chªp suy rëng èi vîi ba ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n b§t ký vîi h m trång l γ sao cho thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n tû hâa (xem [25]) γ K3 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K1 f )(y) · (K2 g)(y), i = 1, 2, 3. (0.18) Ki Tø ành ngh¾a tr¶n cho th§y, v¸ ph£i xu§t hi»n hai ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kh¡c nhau do â ùng döng s³ phong phó hìn (trong khi èi vîi t½ch chªp th¼ ¯ng thùc nh¥n tû hâa ch¿ câ mët ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n), do vªy c¡c thæng tin nhªn ÷ñc câ thº tø nhi·u nguçn kh¡c nhau. M°t kh¡c, khi ho¡n êi c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n theo mët trªt tü nh§t ành s³ nhªn ÷ñc c¡c t½ch chªp suy rëng kh¡c nhau, v¼ th¸ nhúng ùng döng nhªn ÷ñc kh¡ a d¤ng. Tr¶n cì sð â, trong Luªn ¡n cõa m¼nh n«m 2007 t¡c gi£ N.M. Khoa ¢ x¥y düng v nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suy rëng vîi h m trång èi vîi ba ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n l c¡c bi¸n êi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v t½ch chªp suy rëng èi 12
vîi hai ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n thuëc c¡c bi¸n êi â, c¡c b§t ¯ng thùc chu©n. Tø â ÷a ra ùng döng gi£i mët lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp (xem [33]). Ti¸p theo, n«m 2012 t¡c gi£ N.T. Hçng khi x²t c¡c bi¸n êi t½ch ph¥n li¶n quan ¸n c¡c t½ch chªp v t½ch chªp suy rëng câ h m trång èi vîi nhâm c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier, Fourier sine v Fourier cosine ¢ x¥y düng ÷ñc c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp Fourier sine, kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine-cosine, kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier cosine-sine vîi h m trång, b§t ¯ng thùc kiºu Young. Luªn ¡n x¥y düng ÷ñc i·u ki»n c¦n v õ º c¡c ph²p bi¸n êi x¥y düng ÷ñc l unita trong khæng gian L2 (R+ ), thi¸t lªp cæng thùc ph²p bi¸n êi ng÷ñc (xem [34]). Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel vîi lîp h m kh£ t½ch L ph÷ìng tr¼nh câ nhi·u ùng döng thó và trong c¡c l¾nh vüc khoa håc kh¡c nhau nh÷ lþ thuy¸t t¡n x¤, lþ thuy¸t ëng lüc håc ch§t läng, lþ thuy¸t låc tuy¸n t½nh, trong nghi¶n cùu v· va ch¤m n hçi, t¡n x¤ kh½ quyºn, ëng lüc håc kh½ lo¢ng, ... Ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel têng qu¡t câ d¤ng (xem [35, 36, 37]) Z∞ f (x) + [k1 (x + y) + k2 (x − y)] f (y)dy = g(x), x > 0, (0.19) 0 trong â g, k1 , k2 l nhúng h m ¢ bi¸t, f l ©n h m. Nhí cæng cö t½ch chªp suy rëng mîi x¥y düng ÷ñc, trong Luªn ¡n n«m 2012, t¡c gi£ N.T. Hong ¢ gi£i ÷ñc mët sè lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n n y vîi nh¥n Toeplitz v nh¥n Hankel °c bi»t, công nh÷ nh¥n Toeplitz v nh¥n Hankel b§t ký nh÷ng v¸ ph£i °c bi»t, vîi nghi»m thu ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng âng (xem [34, 38, 39] v [40]) . N«m 2013, nhâm t¡c gi£ P.K. Anh, N.M. Tuan v P.D. Tuan công ¢ x²t ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel (0.19) trong tr÷íng hñp nh¥n l h m tu¦n ho n (xem [41]), ph÷ìng tr¼nh ð d¤ng Z2π λφ(x) + [k1 (x + y) + k2 (x − y)]φ(y)dy = g(x). 0 Cho ¸n nay, ngo¤i trø mët sè tr÷íng hñp °c bi»t, b i to¡n t¼m nghi»m âng cho ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel vîi lîp h m kh£ t½ch trong tr÷íng hñp têng qu¡t v¨n ang l b i to¡n mð. B. Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c vîi lîp h m kh£ têng 13
Trong c¡c b i to¡n thüc t¸ nh÷ xû lþ t½n hi»u, xû lþ £nh hay xû lþ ¥m thanh ta luæn nhc ¸n mët trong nhúng bi¸n êi quan trång, â l bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c. Bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c èi vîi d¢y t½n hi»u thíi gian ríi r¤c x(n) ÷ñc x¡c ành bði (xem [42, 43, 44, 45, 47]) ∞ X X(ω) ≡ FDT {x(n)} = x(n)e−iωn , x(n) ∈ C, ∀n, (0.20) −∞ v câ ph²p bi¸n êi ng÷ñc nh÷ sau (xem [42, 43, 46]) Zπ 1 −1 x(n) ≡ FDT {X(ω)} = X(ω)eiωn dω, ω ∈ [−π, π], (0.21) 2π −π trong â ω l bi¸n thüc, c¡c t½n hi»u ¦u v o x(n) khæng phö thuëc v o ω . T½ch chªp èi vîi lîp h m kh£ têng T½ch chªp èi vîi bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c cõa hai d¢y x(n) v y(n) câ d¤ng nh÷ sau (xem [43, 46, 47, 48]) ∞ X {x(n) ∗ y(n)}(m) = x(m)y(n − m), −∞ < n < ∞, (0.22) m=−∞ thäa m¢n ¯ng thùc nh¥n tû hâa FDT {x(n) ∗ y(n)}(ω) = FDT {x(n)}(ω) · FDT {y(n)}(ω), (0.23) vîi x(n), y(n) ∈ C, −∞ < n < ∞, v ¯ng thùc Parseval ∞ Zπ X 1 x(n)y(n) = X(ω)Y ∗ (ω)dω (0.24) 2π n=−∞ −π vîi y ∗ (n) l li¶n hñp phùc cõa y(n) v câ Y ∗ (ω) = FDT {y ∗ (n)}. Mët c¡ch h¼nh thùc, biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng têng câ mët ph¦n gièng vîi biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n cõa lîp h m kh£ t½ch, nh÷ng thüc ch§t biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng têng kh¡c vîi biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n. T½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n l mët cæng cö ph¥n t½ch to¡n håc trong lþ thuy¸t h» thèng tuy¸n t½nh thíi gian li¶n töc, cán biºu thùc t½ch chªp d÷îi d¤ng têng ð ¥y (t½ch chªp thíi gian ríi r¤c) âng vai trá quan trång èi vîi h» thèng tuy¸n t½nh thíi gian ríi 14
r¤c, vîi dú li»u ¦u v o l c¡c d¢y gi¡ trà (thüc ho°c phùc). V¼ vªy t½ch chªp d÷îi d¤ng t½ch ph¥n v t½ch chªp d÷îi d¤ng têng l hai èi t÷ñng ho n to n kh¡c nhau, d¨n tîi c¡ch ti¸p cªn v nghi¶n cùu chóng công kh¡c nhau. T½ch chªp Fourier thíi gian ríi r¤c r§t câ þ ngh¾a trong l¾nh vüc xû lþ t½n hi»u sè, °c bi»t l h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian º xû lþ c¡c t½n hi»u ¦u v o (xem [42, 44, 49]). Vîi þ ngh¾a quan trång trong nhi·u l¾nh vüc nh÷ vªy, nh÷ng cho tîi thíi iºm hi»n nay câ r§t ½t k¸t qu£ cæng bè li¶n quan tîi ph²p bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c, v¨n døng l¤i ð vi»c ÷a ra t½nh ch§t, cæng thùc t½ch chªp (xem [42, 43, 46, 50]). Cho tîi nay v¨n ch÷a câ cæng tr¼nh n o v· ph²p bi¸n êi thíi gian ríi r¤c nâi chung v bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c, Fourier sine thíi gian ríi r¤c nâi ri¶ng công nh÷ b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c v ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c công ch÷a h· ÷ñc nhc tîi. Do â v§n · nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suy rëng li¶n quan ¸n ph²p bi¸n êi Fourier cosine ho°c Fourier sine thíi gian ríi r¤c, c¡c t½nh ch§t to¡n tû, c¡c b§t ¯ng thùc kiºu t½ch chªp suy rëng, c¡c ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng v ùng döng v o gi£i ph÷ìng tr¼nh Toeplitz - Hankel ríi r¤c l mët nëi dung câ þ ngh¾a khoa håc c¦n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu. Tr¶n cì sð â v º ph¡t triºn h÷îng nghi¶n cùu n y chóng tæi chån · t i cho Luªn ¡n vîi t¶n gåi "T½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v ùng döng ". 2. Möc ½ch, èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu Möc ½ch: Nghi¶n cùu bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c vîi c¡c d¢y t½n hi»u ban ¦u l c¡c d¢y ch®n l´ èi xùng. Tø â x¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c ph²p bi¸n êi Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v t½ch chªp vîi ph²p bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c. ¡nh gi¡ c¡c b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c v ùng döng gi£i mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c. èi t÷ñng: T½ch chªp suy rëng, t½ch chªp, b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng, bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c bi¸n êi t½ch ph¥n Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c v ph÷ìng tr¼nh Toeplitz - Hankel ríi r¤c. Ph¤m vi nghi¶n cùu: L t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp, ph²p bi¸n êi kiºu t½ch 15
chªp suy rëng Fourier cosine thíi gian ríi r¤c, ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng Fourier sine thíi gian ríi r¤c; c¡c b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng Fourier cosine v Fourier sine thíi gian ríi r¤c; ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c. 3. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Trong Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch h m, ph÷ìng ph¡p to¡n tû, ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t½ch ph¥n. B¶n c¤nh â, ph÷ìng ph¡p bi¸n êi thíi gian ríi r¤c công ÷ñc sû döng. 4. C§u tróc v c¡c k¸t qu£ cõa Luªn ¡n Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong ba ch÷ìng sau: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nhc l¤i nhúng ki¸n thùc c¦n dòng trong Luªn ¡n. Cö thº l c¡c d¢y t½n hi»u thíi gian ríi r¤c, h» thèng t½n hi»u, h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸t thíi gian, t½ch chªp cõa h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian, bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c v nhúng ành lþ, m»nh · câ li¶n quan ¸n Luªn ¡n. Ch÷ìng 2: T½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c. Trong ch÷ìng n y chóng tæi x¥y düng c¡c bi¸n êi Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c, t½ch chªp suy rëng v t½ch chªp èi vîi bi¸n êi ¢ x¥y düng ÷ñc. Nghi¶n cùu t½nh ch§t to¡n tû cõa c¡c t½ch chªp suy rëng n y nh÷ sü tçn t¤i, t½nh bà ch°n, ¯ng thùc nh¥n tû hâa, ¯ng thùc Parseval. Nghi¶n cùu c¡c b§t ¯ng thùc èi vîi c¡c t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c li¶n quan tîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine v Fourier sine thíi gian ríi r¤c tr¶n c¡c khæng gian d¢y. Nhªn ÷ñc ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ng thùc kiºu Young ríi r¤c, tø â thu ÷ñc c¡c ¡nh gi¡ c¡c b§t ¯ng thùc chu©n èi vîi c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp â. Ch÷ìng 3: Ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng thíi gian ríi r¤c v ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c. Trong ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu mët sè ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp li¶n quan tîi c¡c t½ch chªp suy rëng Fourier cosine, Fourier sine thíi gian ríi r¤c x¥y düng ÷ñc trong Ch÷ìng 2, nhªn ÷ñc i·u ki»n c¦n v õ º bi¸n êi t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp suy rëng nâi tr¶n l unita trong c¡c khæng gian l2 (N0 ) v `o2 (N0 ). Ùng döng cõa c¡c t½ch chªp, t½ch chªp suy rëng ¢ x¥y düng ÷ñc trong Ch÷ìng 2 v o vi»c gi£i v ¡nh gi¡ nghi»m cõa mët v i lîp cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c. 5. Þ ngh¾a c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc trong Luªn ¡n 16
X¥y düng c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp suy rëng vîi h m trång v t½ch chªp mîi èi vîi c¡c bi¸n êi Fourier cosine thíi gian ríi r¤c v bi¸n êi Fourier sine thíi gian ríi r¤c, tø â nghi¶n cùu c¡c ph²p bi¸n êi kiºu t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp thíi gian ríi r¤c. Nghi¶n cùu v thi¸t lªp ÷ñc nhúng b§t ¯ng thùc v· chu©n èi vîi c¡c t½ch chªp suy rëng, t½ch chªp Fourier sine thíi gian ríi r¤c v Fourier sine thíi gian ríi r¤c mîi x¥y düng ÷ñc, c¡c ành lþ kiºu Young ríi r¤c, b§t ¯ng thùc kiºu Young ríi r¤c. Tø â nhªn ÷ñc ùng döng gi£i v ¡nh gi¡ nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh Toeplitz-Hankel ríi r¤c. Gâp ph¦n l m phong phó th¶m v· lþ thuy¸t c¡c bi¸n êi thíi gian ríi r¤c, b§t ¯ng thùc t½ch chªp suy rëng v b§t ¯ng thùc t½ch chªp. C¡c k¸t qu£ v þ t÷ðng cõa Luªn ¡n câ thº sû döng trong nghi¶n cùu c¡c t½ch chªp suy rëng èi vîi c¡c bi¸n êi thíi gian ríi r¤c kh¡c. Nëi dung ch½nh cõa Luªn ¡n düa tr¶n 4 cæng tr¼nh ¢ cæng bè, trong â câ 2 b i «ng tr¶n t¤p ch½ khoa håc thuëc danh möc ISI, 1 b i «ng tr¶n t¤p ch½ quèc t¸ v 1 b i thuëc t¤p ch½ quèc gia. C¡c k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc b¡o c¡o to n bë hay tøng ph¦n t¤i c¡c Hëi nghà khoa håc v c¡c Seminar sau: C¡c hëi nghà khoa håc: - Hëi nghà Khoa håc ¤i håc B¡ch khoa H Nëi, th¡ng 11 n«m 2016; - Hëi nghà Quèc t¸ "Xu h÷îng mîi trong tèi ÷u hâa v gi£i t½ch bi¸n ph¥n cho c¡c ùng döng" t¤i Quy Nhìn th¡ng 12 n«m 2016; - Hëi nghà Ùng döng to¡n håc Vi»t Nam l¦n thù 2 t¤i Hç Ch½ Minh th¡ng 12 n«m 2017; - ¤i hëi to¡n håc to n quèc l¦n thù 9 t¤i Nha Trang th¡ng 8 n«m 2018; - Hëi th£o Khoa håc li¶n k¸t quèc t¸ v· "Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v ùng döng" t¤i H÷ng Y¶n th¡ng 10 n«m 2018. C¡c seminar: - Seminar Gi£i t½ch v ¤i sè, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ¤i håc Quèc gia H Nëi; - Seminar Gi£i t½ch, Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H Nëi; - Seminar Bë mæn To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Kÿ thuªt H÷ng Y¶n. 17
Ch÷ìng 1 BIN ÊI FOURIER THÍI GIAN RÍI RC Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m cì b£n v· t½n hi»u thíi gian ríi r¤c, h» thèng t½n hi»u thíi gian ríi r¤c, h» thèng tuy¸n t½nh b§t bi¸n thíi gian. Tr¼nh b y v· bi¸n êi Fourier thíi gian ríi r¤c, c¡c ành ngh¾a, t½nh ch§t cì b£n v t½ch chªp Fourier thíi gian ríi r¤c, l c¡c ki¸n thùc chu©n bà c¦n sû döng trong c¡c ch÷ìng ti¸p theo cõa luªn ¡n. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [37, 42, 43, 44, 46, 48]. 1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c v h» thèng 1.1.1 T½n hi»u thíi gian ríi r¤c T½n hi»u ríi r¤c (v· m°t thíi gian) l t½n hi»u ch¿ x¡c ành tr¶n mët tªp ríi r¤c cõa thíi gian (mët tªp nhúng thíi iºm ríi r¤c). D÷îi d¤ng to¡n håc, t½n hi»u ríi r¤c mang gi¡ trà thüc (ho°c phùc) câ thº ÷ñc xem l mët h m li¶n k¸t t÷ìng ùng tø tªp sè tü nhi¶n ¸n tªp sè thüc (ho°c phùc) ([46], 8.3 Basic Discrete-Time Signals ). T½n hi»u thíi gian ríi r¤c ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng mët d¢y c¡c gi¡ trà vîi ph¦n tû thù n cõa d¢y ÷ñc k½ hi»u l x(n), ÷ñc vi¸t ð d¤ng nh÷ sau ([46], 8.3 Basic Discrete-Time Signals ) x = {x(n)}, −∞ < n < ∞, (1.1) ð â n l mët sè nguy¶n. Mët d¤ng cõa d¢y sè cì b£n ¦u ti¶n â l d¢y ìn và m¨u hay cán ÷ñc gåi l d¢y xung ìn và, d¢y ÷ñc ành ngh¾a bði ([48])  0, n¸u n = 6 0, δ(n) = (1.2) 1, n¸u n = 0. º thuªn ti»n, ta th÷íng · cªp ¸n d¢y ìn và m¨u l mët xung thíi gian ríi r¤c ho°c ìn gi£n l mët xung lüc. 18