Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án nhằm nghiên cứu tổng quát hóa những tính chất của phương trình cụ thể trong động lực học thủy khí để đề xuất những phương trình tiến hóa tổng quát chứa các phương trình cụ thể đó như là trường hợp riêng; xây dựng hệ điều kiện cho các không gian Banach Y1, Y2 và lớp các không gian nội suy của chúng để có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành: Toán học , Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TS. VŨ THỊ NGỌC HÀ 2. TS. TRẦN THỊ LOAN Hà Nội - 2020
MỤC LỤC MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . 3 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1.1 Không gian nội suy, các định lý nội suy . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian nội suy phức . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY 20 2.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . 21 2.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và tính ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 25 2.2.2 Phương trình tổng quát hóa đối với động lực học thủy khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 i
Chương 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ HẦU TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 36 3.1 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 40 3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 47 4.1 Ứng dụng vào phương trình của động lực học thủy khí . . 47 4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen . . . . . . . . . 47 4.1.2 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng 52 4.1.3 Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov 55 4.2 Ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trình truyền nhiệt với hệ số thô . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . 57 4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô . . . . . . 62 4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . 68 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ii
LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tác giả. Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trung thực, và không sao chép từ bất kỳ một nguồn nào và dưới bất kỳ hình thức nào. Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được thực hiện trích dẫn và ghi nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định. Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020 Tập thể hướng dẫn Tác giả TS. Vũ Thị Ngọc Hà TS. Trần Thị Loan Vũ Thị Mai 1
LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ Thị Ngọc Hà, TS. Trần Thị Loan, hai cô đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường nghiên cứu khoa học. Các cô đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ những người cô đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các cô. Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy, một nhà khoa học, một người thầy vô cùng mẫu mực, đã tận tình giúp đỡ tôi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar “Phương trình vi phân và ứng dụng” tại trường ĐH Bách khoa Hà Nội do PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy điều hành đã luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được chân thành cảm ơn. Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Toán và KHTN Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn. Tác giả 2
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập các số tự nhiên. R : tập các số thực. R+ : tập các số thực không âm. R− : tập các số thực không dương. Z : tập các số nguyên. C : tập các số phức. Z 1/p p
Lp (R) := u : R → R
kukp = |u(x)| dx < +∞ , 1 ≤ p < ∞. R
L∞ (R) := u : R → R
kuk∞ = ess sup |u(x)| < +∞ . x∈R X, Y : không gian Banach. L(X, Y ) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . L(X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào chính nó. n o Cb (R+ , X) := v : R+ → X | v liên tục và sup kv(t)k < ∞ , t∈R+ với chuẩn kvkCb (R+ ,X) := sup kv(t)k. t∈R+ n o Cb (R, X) := v : R → X | v liên tục và sup kv(t)k < ∞ t∈R với chuẩn kvkCb (R,X) := sup kv(t)k. t∈R A : toán tử tuyến tính. (e−tA )t≥0 : nửa nhóm sinh bởi toán tử −A. 3
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Bài toán về hệ phương trình Navier - Stokes được đưa ra từ năm 1882, mô tả các hình dạng của sóng, sự chuyển động của đại dương, sự hình thành của bão, sự chuyển động của không khí,...Bên cạnh hệ phương trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác trong cơ học chất lỏng thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi ý nghĩa về mặt toán học và tầm quan trọng của chúng cũng như những thách thức khó khăn khi nghiên cứu. Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triển gần đây của toán học như khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy, định lý nội suy,... để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó. Bài toán tìm nghiệm bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong các miền Ω không bị chặn về mọi hướng được Maremonti [1] phát biểu dưới dạng sau: Bài toán A: “Ký hiệu f (t, x) là ngoại lực và u(t, x) là một nghiệm của phương trình Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X và Y là hai không gian Banach với chuẩn k · kX và k · kY tương ứng. Nếu f (t, ·) ∈ X với kf (t, ·)kX bị chặn đều theo thời gian, thì u(t, ·) ∈ Y với ku(t, ·)kY cũng bị chặn đều theo thời gian.” Trong trường hợp, nếu Ω là bị chặn (theo hướng nào đó), thì bằng cách sử dụng bất đẳng thức Poincaré và một số định lý nhúng Sobolev compact, người ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán A. Khi miền là không bị chặn theo mọi hướng thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều vì bất đẳng thức Poincaré không còn đúng nữa và các định lý nhúng compact cũng không 4
khả dụng. Vì thế, có nhiều cách tiếp cận được đưa ra để vượt qua khó khăn này. Như một số đường hướng của Maremonti [1, 2] và Maremonti-Padula [3], của Galdi và Sohr [4], của Yamazaki [5], và của Thieu Huy Nguyen [6]. Bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không bị chặn và chứng minh sự ổn định của nghiệm là bài toán thời sự và mang đến nhiều ứng dụng trong các vấn đề về luồng thủy khí qua các vật cản đứng yên hay quay tròn như là Tuabin hay cánh quạt. Một số kết quả nền móng ban đầu đã đạt được bởi Thieu Huy Nguyen và một số tác giả khác (xem [4, 5, 6, 7, 8, 9]). Chúng tôi sẽ phát triển và hoàn thiện các kết quả về tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hoàn của nghiệm các phương trình tiến hóa trong các không gian nội suy để nhận được các kết quả tổng quát và ứng dụng vào các phương trình cụ thể của động lực học thủy khí. Luận án “Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí”. Luận án nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn định của nghiệm của các phương trình tiến hóa tổng quát trong các không gian nội suy. Từ đó, áp dụng vào các bài toán cụ thể của động lực học thủy khí. Chúng tôi tổng quát hóa cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen, đó là khai thác đặc trưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld -yếu để chỉ ra nghiệm bị chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa. Cùng với đó là kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa chuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội suy, vv... Cụ thể như sau: Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach Y1 , Y2 , và không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa nhóm trên đó để có thể rút ra được nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa dạng: du(t) + Au(t) = B(G(u)), t ≥ 0 (1) dt trên không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ , trong đó −A là toán tử sinh ra nửa nhóm; B là “toán tử liên kết”; G là toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương. 5
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của Luận án: Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach Y1 , Y2 , và không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa nhóm trên đó để có thể chứng minh được sự tồn tại của nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa (1) trên không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ . Sau đó chỉ ra nghiệm bị chặn đó là ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức dạng Lp − Lq và chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn hay hầu tuần hoàn. • Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án: Nghiên cứu tổng quát hóa những tính chất của phương trình cụ thể trong động học thủy khí để đề xuất những phương trình tiến hóa tổng quát chứa các phương trình cụ thể đó như là trường hợp riêng. Xây dựng hệ điều kiện cho các không gian Banach Y1 ,Y2 và lớp các không gian nội suy của chúng để có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa. Dưới các điều kiện và hệ tiên đề sẽ xây dựng, chứng minh nghiệm bị chặn là ổn định. Xét một số lớp phương trình tiến hóa là mô hình của các quá trình xảy ra trong bài toán cơ học thủy khí: phương trình Navier- Stokes qua vật cản xoay, qua các miền có lỗ thủng, phương trình Navier - Stokes trong không gian Besov. Đồng thời xét một số ví dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trình truyền nhiệt với hệ số thô... 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau: • Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính và các đánh giá Lp − Lq để đưa ra những đặc trưng nội suy của lớp các hàm đối ngẫu đặc biệt 6
• Sử dụng các không gian nội suy và hàm tử nội suy để chứng minh tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa. • Mở rộng các hàm tử nội suy để xét bài toán có nghiệm ổn định. • Sử dụng các đặc trưng tô-pô và lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được cùng với các khái niệm nghiệm khác nhau (đủ tốt, đủ tốt yếu, rất yếu,...) để xét bài toán nghiệm hầu tuần hoàn. 4. Ý nghĩa các kết quả của luận án Như trên đã nói, bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không bị chặn và chứng minh sự ổn định của nó là bài toán thời sự và mang đến nhiều ứng dụng trong các vấn đề của luồng thủy khí qua các vật như là Tuabin hay cánh quạt, hoặc là bài toán dao động của sóng đại dương. Việc nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn định của nó của các phương trình tiến hóa tổng quát trong các không gian nội suy không những có ý nghĩa rất lớn về việc mở rộng lý thuyết nghiệm của các phương trình tiến hóa mà còn có thể áp dụng để nghiên cứu các phương trình của động lực học thủy khí và một số vấn đề ứng dụng khác. Việc khai thác đặc trưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld -yếu (theo cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen) cho phép mở ra một hướng tiếp cận độc đáo để tìm hiểu sự tồn tại nghiệm bị chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa và xét tính ổn định của chúng và cho phép kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa chuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội suy vào một đường hướng thống nhất và mang lại ứng dụng phong phú vào các bài toán của động học thủy khí. 5. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm bốn chương: • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ sở sử dụng trong các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm về không 7
gian hàm Lorentz và tính chất của nó. Tiếp theo là khái niệm không gian nội suy, định lý nội suy tổng quát. Cuối cùng là khái niệm về nửa nhóm giải tích và đánh giá Lp − Lq . • Chương 2. Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trong không gian nội suy: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trong không gian nội suy. Chứng minh sự ổn định của các nghiệm bị chặn. • Chương 3. Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn của phương trình tiến hóa: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính dựa trên sự ổn định có điều kiện của nửa nhóm. Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn dựa trên lý thuyết nội suy kết hợp với các bất đẳng thức vi phân. • Chương 4. Ứng dụng: Trong chương này, chúng tôi áp dụng các kết quả của chương 2 và 3 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình động lực học thủy khí, phương trình Navier - Stokes và phương trình truyền sóng. Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở “Danh mục công trình đã công bố của luận án”. Các kết quả của luận án được báo cáo tại seminar “Phương trình vi phân và ứng dụng” - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 8
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của các không gian hàm, không gian nội suy, định lý nội suy, nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích, đánh giá Lp − Lq . 1.1 Không gian nội suy, các định lý nội suy 1.1.1 Định nghĩa Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội suy, (xem [10, 11, 12]). Lý thuyết nội suy đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu về tính bị chặn, ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa. Định nghĩa 1.1.1. Cho X0 , X1 là các không gian tuyến tính tựa chuẩn. Cặp (X0 , X1 ) được gọi là cặp nội suy nếu X0 , X1 được nhúng vào trong không gian tôpô Hausdorff V . Cho cặp nội suy X0 , X1 , khi đó X0 ∩ X1 được trang bị tựa chuẩn kxkX0 ∩X1 := kxkX0 + kxkX1 . Tổng X0 + X1 được trang bị tựa chuẩn kxkX0 +X1 := inf{kx0 kX0 + kx1 kX1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }. Không gian véc tơ X được gọi là không gian nội suy của cặp nội suy (X0 , X1 ) nếu X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , và các phép nhúng là liên tục. 1.1.2 Không gian nội suy phức Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội suy phức, (xem [10], phần 2.1). 9
Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach phức, ta định nghĩa dải S := {x + iy ∈ C : 0 ≤ x ≤ 1}. Cho tập F(X0 , X1 ) là không gian của các hàm f : S → X0 + X1 thỏa mãn các tính chất sau: (i) f liên tục trên S và giải tích trong S, (ii) t 7→ f (it) ∈ C(R, X0 ),t 7→ f (1 + it) ∈ C(R, X1 ) và kf kF(X0 ,X1 ) := max sup kf (it)kX0 , sup kf (1 + it)kX1 < ∞. t∈R t∈R Định nghĩa 1.1.2. Cho θ ∈ [0, 1] và (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach phức. Không gian nội suy phức [X0 , X1 ]θ được xác định bởi [X0 , X1 ]θ := {f (θ) : f ∈ F(X0 , X1 )} , với chuẩn kxk[X0 ,X1 ]θ := inf kf kF (X0 ,X1 ) : f (θ) = x . Mệnh đề 1.1.3. Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy của không gian Banach phức, T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) và θ ∈ (0, 1). Khi đó T ∈ L([X0 , X1 ]θ , [Y0 , Y1 ]θ ), và kT kL([X0 ,X1 ]θ ,[Y0 ,Y1 ]θ ) ≤ kT k1−θ θ L(X0 ,Y0 ) kT kL(X1 ,Y1 ) . 1.1.3 Không gian nội suy thực Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về không gian nội suy thực và các tính chất của nó. Trước hết ta định nghĩa phiếm hàm K: Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian tuyến tính tựa chuẩn và định nghĩa K(t, x, X0 , X1 ) := inf {kx0 kX0 + tkx1 kX1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } , 10
với x ∈ X0 + X1 , t ∈ [0, ∞). Để ngắn gọn, ký hiệu K(t, x) = K(t, x, X0 , X1 ). Cho θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞], không gian nội suy thực được định nghĩa như sau (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : kxk(X0 ,X1 )θ,q < ∞ , ở đó, nếu q < ∞ thì Z ∞ 1q dt kxk(X0 ,X1 )θ,q := [t−θ K(t, x)]q , 0 t nếu q = ∞ thì kxk(X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x). t∈(0,∞) Hơn nữa, đối với không gian Banach X0 và X1 , không gian nội suy liên tục được đưa ra bởi n o −θ −θ (X0 , X1 )0θ,∞ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim t K(t, x) = lim t K(t, x) = 0 . t→0 t→∞ Sau đây là một số tính chất cơ bản của các không gian này. Mệnh đề 1.1.4. Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian tuyến tính tựa chuẩn, θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]. Ta có: (a) Không gian nội suy thực (X0 , X1 )θ,q là không gian tuyến tính tựa chuẩn. Nếu X0 và X1 là đủ thì không gian nội suy thực liên tục cũng đủ. (b) Nếu X0 và X1 là các không gian tuyến tính định chuẩn thì không gian (X0 , X1 )θ,q cũng là không gian tuyến tính định chuẩn. (c) Nếu q < ∞ thì X0 ∩ X1 là trù mật trong (X0 , X1 )θ,q . Nếu thêm điều kiện X0 hoặc X1 tách được và q < ∞, thì (X0 , X1 )θ,q cũng tách được. Mệnh đề 1.1.5. Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy của không gian tựa chuẩn. Cho T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) với θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞]. Khi đó T ∈ L((X0 , X1 )θ,q , (Y0 , Y1 )θ,q ) với chuẩn được tính bởi kT kL((X0 ,X1 )θ,q ,(Y0 ,Y1 )θ,q ) ≤ kT k1−θ θ L(X0 ,Y0 ) kT kL(X1 ,Y1 ) . 11
Mệnh đề 1.1.6. (xem [10], Mệnh đề 1.17) Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach. Khi đó (X0 , X1 )0θ,∞ trùng với bao đóng của X0 ∩X1 trong (X0 , X1 )θ,∞ và (X0 , X1 )0θ,∞ cũng là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.7. Cho hai không gian véc tơ tựa chuẩn X và Y , một toán tử T : X → Y được gọi là toán tử dưới tuyến tính nếu kT (λx)kY = |λ|kT (x)kY , ∀x ∈ X, λ ∈ R kT (x0 + x1 )kY ≤ M (kT (x0 )kY + kT (x1 )kY ) ∀x0 , x1 ∈ X ở đó M ≥ 0 độc lập với x0 và x1 . Hằng số M được gọi là tựa chuẩn của T . Định lý 1.1.8 (Định lý nội suy tổng quát). (xem [11],Định lý 3.11.2) Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là cặp nội suy của không gian tựa chuẩn. Cho T : X0 + X1 → Y0 + Y1 sao cho T : X0 → Y0 và T : X1 → Y1 là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M0 và M1 . Khi đó với bất kỳ θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞] có T : (X0 , X1 )θ,q → (Y0 , Y1 )θ,q là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M bị chặn bởi M ≤ M01−θ M1θ . Mệnh đề 1.1.9. (xem [10], Định lý 1.23) Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach, θ0 , θ1 , θ, ∈ (0, 1) và q0 , q1 , q ∈ [1, ∞]. Khi đó các tính chất sau là đúng ((X0 , X1 )θ0 ,q0 , (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,q = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,q ((X0 , X1 )0θ0 ,∞ , (X0 , X1 )0θ1 ,∞ )θ,q = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,q (X, (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,q = (X0 , X1 )θθ1 ,q . Các không gian đối ngẫu của không gian nội suy thực có mối quan hệ như sau Mệnh đề 1.1.10. Cho (X0 , X1 ) là cặp nội suy của không gian Banach sao cho X0 ∩ X1 là trù mật trong X0 và X1 . Giả sử θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞]. Khi đó các tính chất sau là đúng 1 1 ((X0 , X1 )θ,q )0 = (X00 , X10 )θ,q0 ; 1 = + q q0 12