Luận án Tiến sĩ Toán học: Tương đương morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:114

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của Luận án nhằm đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) và bài toán ([32, Problem 3.9]) nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tương đương morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN 2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG VINH - 2011
i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1 Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.2 Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 1. TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 11 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Vật sinh xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Tương đương Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG 35 2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng . . . . . 35 2.2 Bất biến Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ii Chương 3. TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH 56 3.1 Nửa vành được sắp thứ tự dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Nửa vành nửa đơn cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường . . . 68 3.4 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Chương 4. ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA NỬA VÀNH 83 4.1 Nửa vành nửa đơn và nửa vành cô lập . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Kết luận của Luận án 102 Các công trình liên quan đến Luận án 103 Tài liệu tham khảo 104
iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Trần Giang Nam
iv Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và đầy trách nhiệm của PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy Nguyễn Xuân Tuyến và thầy Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. Yefim Katsov, Department of Mathematics and Computer Science Hanover College, Hanover, IN 47243-0890, USA vì sự cộng tác viết bài báo chung và giúp đỡ to lớn trong trao đổi tài liệu, thảo luận những bài toán có liên quan. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS. Jens Zumbr¨agel, Claude Shannon Institute, University College Dublin, Ireland vì sự cộng tác viết bài báo chung. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH. Ngô Việt Trung, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa và PGS. TSKH. Phùng Hồ Hải, đã tạo điều kiện cho tác giả học tập tại viện Toán học Hà Nội. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán học và Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm nghiên cứu sinh. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và Khoa Toán học - Trường Đại học Đồng Tháp nói riêng, nơi tác giả đã công tác và giảng dạy từ năm 2007 tới nay. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sự giúp đở của các bạn, anh trong Seminar Lý thuyết vành và môđun tại Trường Đại học Vinh, do PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng chủ trì. Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè thân hữu luôn động viên và khích lệ tác giả học tập và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, hai em và những người thân của minh luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu đáo để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu. Trần Giang Nam
1 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [52] vào nằm 1934, là tổng quát hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương diện lý thuyết lẫn áp dụng. Nhiều tính chất và áp dụng của nửa vành đã được trình bày trong một số tài liệu như [17], [18], [21]. Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói trên. Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta tìm cách đưa nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn, để nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phẳng và nghiên cứu các siêu diện. Điều này cũng được tiến hành một cách tương tự cho các nửa vành, ở đây các siêu phẳng được thay thế bằng các quan hệ tương đẳng và các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R, luôn tồn tại một tương đẳng ρ trên R sao cho nửa vành thương R/ρ là không có tương đẳng không tầm thường (hoặc là tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/ρ chỉ có hai tương đẳng tầm thường. Do đó, theo một nghĩa nào đó, nghiên cứu nửa vành không có tương đẳng không tầm thường giúp ta hiểu một phần nào cấu trúc của nửa vành R. Lưu ý rằng với mỗi tương đẳng ρ trên nửa vành R, lớp tương đương 0ρ của phần tử 0 theo quan hệ ρ, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R, nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡I trên R. Nói cách khác, ta có hai tương ứng ρ 7−→ 0ρ và I 7−→ ≡I lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến tập các iđêan của R và ngược lại. Từ đây, theo một nghĩa nào đó, ta cũng có thể hiểu được nửa vành không có tương đẳng không tầm thường R thông qua việc nghiên cứu dàn các iđêan của nó; chẳng hạn, khi R là một vành, hai ánh xạ trên là các song ánh (chúng là các ánh xạ ngược của nhau), do đó, vành R là không có tương đẳng không tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là hai iđêan của nó (khi đó, R được gọi là vành đơn). Khẳng định này nói chung không còn đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành chỉ chứa các iđêan tầm thường, được gọi là không có iđêan không tầm thường, hay là iđêan-đơn.
2 Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng và iđêan không tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, năm 1988, Sidney S. Mitchell - Paul B. Fenoglio chứng minh được rằng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B := {0, 1} ([44, Theorem 3.2]); dễ dàng thấy rằng các nửa vành giao hoán không có iđêan không tầm thường chỉ là các nửa trường. Gần đây, năm 2001, R. El Bashir - J. Hurt - A. Janˇcaˇrík - T. Kepka đã mở rộng hai kết quả trên cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 và Theorem 11.2]). Xin nói thêm, các tính không có tương đẳng, iđêan không tầm thường của nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị vẫn còn được quan tâm bởi một số tác giả, chẳng hạn [26], [27], [29], [28],... Việc nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành không giao hoán không có tương đẳng và iđêan không tầm thường là khó khăn hơn. Đối với nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, năm 2004, C. Monico đã mô tả các nửa vành (không đòi hỏi phải chứa phần tử không và đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); nhưng sự mô tả này là không đầy đủ. Sau đó, năm 2008, J. Zumbragel chỉ mới phân loại được các nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường (xem [56, Theorem 1.7]). Hơn nữa, các nửa vành không có tương đẳng không tầm thường bất kỳ đã được nghiên cứu bởi một số tác giả, chẳng hạn, [5], [14], [15], [25],... Tuy nhiên, việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương đẳng không tầm thường vẫn chưa làm được. Đối với nửa vành không có iđêan không tầm thường, năm 1957, Bourne - Zassenhaus đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn không có iđêan không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy linh khác không; cụ thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận trên các nửa thể (xem [8, Theorem 1]). Năm 1967, Steinfeld - Wiegandt [57] chỉ ra rằng kết quả này vẫn đúng cho nửa vành nửa đơn không có iđêan không tầm thường. Sau đó, năm 1977, Stone [48] mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được vào một vành nào đó. Năm 1984, Weinert nghiên cứu tính không có iđêan không tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) và nửa vành nửa nhóm ([55, Theorem 4.3]). Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét là không đòi hỏi phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại các nửa vành không có iđêan không tầm thường vẫn là một câu hỏi mở. Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để đặc trưng cấu trúc nửa vành cũng đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như T. S. Fofanova, E. B. Katsov, Y. Katsov, M. Takahashi, H. J. Weinert,... Phạm trù biểu diễn của nửa vành được gọi là phạm trù nửa môđun. Cũng giống
3 như các trường hợp của vành (xem [42]), vị nhóm (xem [39]), dàn phân phối (xem [16]), các khái niệm nửa môđun thường được sử dụng để đặc trưng nửa vành là xạ ảnh, phẳng và nội xạ. Ở đây khái niệm nửa môđun xạ ảnh và nội xạ được định nghĩa theo cách thông thường, còn nửa môđun trái G được gọi là phẳng (đơn-phẳng) nếu hàm tử − ⊗R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo toàn tính đơn cấu của các đồng cấu). Mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng; chiều ngược lại là không đúng. Năm 2002, O. Sokratova đã chỉ ra rằng tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng là phân biệt (xem [47, Theorem 3.4]). Năm 2004, Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao cho tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên R là phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ quả rút ra từ khẳng định này là: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]). Đồng thời, Y. Katsov còn phát biểu giả thuyết dưới đây: Giả thuyết. ([33, Conjecture]) Tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên một nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh. Đối với các nửa môđun, tính phẳng suy ra tính đơn-phẳng, nhưng chiều ngược lại nói chung là không đúng. Năm 1978, Bulman-Fleming và McDonwell chỉ ra rằng một B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi và chỉ khi A là một nửa dàn phân phối (xem [10, Theorem 3.1]). Năm 1986, E. B. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa môđun trên Đại số Boole hữu hạn (xem [59, Theorem 2]). Gần đây nhất, năm 2004, Y. Katsov chứng minh được rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun trên các Đại số Boole bất kỳ (xem [32, Theorem 3.2]). Đồng thời, Y. Katsov cũng nêu ra bài toán sau: Bài toán. ([32, Problem 3.9]) Mô tả lớp của các nửa vành sao cho tính phẳng và tính đơn-phẳng của các nửa môđun trên chúng là tương đương. Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải. Mặt khác, việc dùng nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành cũng đã được quan tâm (xem [1], [23], [30]), và nhận được những kết quả đáng chú ý sau: năm 1994, H. Wang chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành cộng lũy đẳng đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ nào đó ([53, Theorem]). Năm 1997, Y. Katsov mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy ([30, Theorem 4.2]). Năm 2008, S. N. Il’in chứng minh được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer và mọi nửa môđun trên đó đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là các vành ([23, Theorem 3]). Cuối cùng, J. Ahsan - M. Shabir - H. J. Weinert [1] đã đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thông qua các nửa môđun cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn còn ít.
4 Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ. Những vấn đề sau của đề tại được tập trung nghiên cứu: (1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và nửa vành không có iđêan không tầm thường; (2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) và bài toán ([32, Problem 3.9]) nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. 3 Đối tượng nghiên cứu Nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn. 4 Phạm vi nghiên cứu Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun. 5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của Luận án. 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mô tả cấu trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp nửa vành
5 đặc biệt. Đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. 7 Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Trước tiên, Luận án xây dựng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành dựa trên lý thuyết tương Morita quen biết của vành kết hợp và vị nhóm. Định nghĩa 1.3.1 nêu ra khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành. Để đặc trưng được khái niệm tương đương Morita, Luận án mô tả hàm tử hiệp biến có phù hợp phải giữa các phạm trù nửa môđun. Định lý dưới đây cho thấy hàm tử này chính là hàm tử tích tenxơ. Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : MR −→ MS , các phát biểu sau đây là tương đương: (i) F có một phù hợp phải; (ii) F là khớp phải và bảo toàn đối tích; (iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun P ∈ |R MS | sao cho các hàm tử − ⊗R P : MR −→ MS và F là đẳng cấu tự nhiên. Sử dụng Định lý 1.3.5, Luận án thu được kết quả dưới đây, nó đặc trưng tương đương Morita cho nửa vành thông qua phạm trù nửa môđun. Định lý 1.3.12. Với hai nửa vành R và S, các điều kiện sau là tương đương: (i) R và S là tương đương Morita; (ii) Hai phạm trù nửa môđun MR và MS là tương đương; (iii) Hai phạm trù nửa môđun RM và S M là tương đương. Áp dụng tương đương Morita vào nghiên cứu tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn của nửa vành, Luận án chỉ ra rằng những tính chất này là bất biến qua tương đương Morita. Định lý 2.2.6. Cho R và S là hai nửa vành tương đương Morita với nhau. Khi đó, R là không có iđêan không tầm thường (không có tương đẳng không tầm thường) khi và chỉ khi S là không có iđêan không tầm thường (không có tương đẳng không tầm thường). Đặc biệt, R là một nửa vành đơn khi và chỉ khi S là một nửa vành đơn. Từ Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.12 và Định lý 2.2.6, chúng tôi mô tả cấu trúc nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó. Định lý 2.3.1. Cho R là một nửa vành đơn và I là một iđêan trái khác không.
6 Đặt D = End(R I). Khi đó, các khẳng định sau là đúng: (i) Đồng cấu tự nhiên f : R −→ End(ID ) là một đẳng cấu nửa vành; (ii) I là một vật sinh của R M và là một D-nửa môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh; (iii) Tồn tại một số nguyên dương n và một phần tử lũy đẳng e trong nửa vành ma trận Mn (D) sao cho R ∼= eMn (D)e; (iv) D là một nửa vành đơn nếu và chỉ nếu I là một R-nửa môđun trái xạ ảnh hữu hạn sinh. Dựa vào các kết quả nêu trên, chúng tôi đặc trưng nửa vành đơn chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh. Định lý 2.3.2. Với mỗi nửa vành R, các điều kiện sau là tương đương: (i) R là một nửa vành đơn chứa iđêan trái tối tiểu xạ ảnh; (ii) R là một nửa vành đơn chứa iđêan phải tối tiểu xạ ảnh; (iii) R là tương đương Morita với thể D, hoặc tương đương Morita với B; (iv) R là đẳng cấu với một vành ma trận Mn (D) trên một thể D, hoặc đẳng cấu với nửa vành tự đồng cấu End(M ) của một dàn phân phối hữu hạn M. Hệ quả thu được từ Định lý 2.3.2 là một biểu diễn của nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh. Định lý 2.3.4. Cho R là một nửa vành chứa một iđêan trái (hoặc phải) tối tiểu xạ ảnh. Khi đó, R là nửa vành không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi R đẳng cấu với một vành ma trận Mn (D) trên một thể D, hoặc tồn tại một nửa đẳng cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M ) của một dàn phân phối hữu hạn M. Tiếp theo, Luận án chứng minh rằng nửa vành Artin một phía xích không có iđêan không tầm thường chỉ là nửa vành "max–plus" (Định lý 3.1.4) và nửa vành Artin một phía xích đơn, cũng như nửa vành sắp thứ tự dàn không có tương đẳng không tầm thường chỉ là nửa vành Boole B (Định lý 3.1.4 và Định lý 3.1.5). Dựa vào mối liên hệ giữa tương đẳng và iđêan, chúng tôi chỉ ra rằng mọi nửa vành cô lập một phía không có tương đẳng không tầm thường là nửa vành không có iđêan không tầm thường. Khẳng định này gợi ý cho chúng tôi nghiên cứu tính không có tương đẳng không tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho nửa vành Artin cô lập. Để làm điều này, trước hết, chúng tôi mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cô lập một phía. Định lý 3.2.4. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là một nửa vành nửa đơn;
7 (ii) R là một tổng hữu hạn của các iđêan trái tối tiểu; (iii) Mọi iđêan trái của R là một hạng tử trực tiếp của R; (iv) R là Artin trái và Rad(R R) = 0. Sử dụng Định lý 3.2.4 và định lý cấu trúc của O. Steinfeld - R. Wiegandt về nửa vành nửa đơn ([57, Satz 6.2]), chúng tôi phân loại nửa vành nửa đơn cô lập một phía. Định lý 3.2.6. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là một nửa vành nửa đơn cô lập trái; (ii) R là một nửa vành nửa đơn cô lập phải; (iii) R ∼ = D1 × · · · × Dn × Mn1 (R1 ) × · · · × Mnr (Rr ), trong đó D1 , . . . , Dn là các nửa thể phi đối xứng, R1 , . . . , Rr là các thể và n, r, n1 , . . . , nr là các số tự nhiên. Tiếp theo, áp dụng các kết quả này, chúng tôi phân loại nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có iđêan không tầm thường. Định lý 3.2.7. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi R ∼ = Mn (R1 ) với R1 là một thể nào đó và n là một số nguyên dương, hoặc R là một nửa thể phi đối xứng. Kết quả dưới đây là một hệ quả của Định lý 3.2.7, nó phân loại nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có tương đẳng không tầm thường. Định lý 3.2.10. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là không có tương đẳng không tầm thường khi và chỉ khi R ∼= Mn (R1 ) với R1 là một thể ∼ và n là một số nguyên dương, hoặc R = B. Mệnh đề 2.1.1 và Mệnh đề 2.1.6 đã quy việc nghiên cứu nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường và nửa vành đơn về việc nghiên cứu các nửa vành này cho lớp nửa vành cộng lũy đẳng. Hơn nữa, mỗi nửa vành cộng lũy đẳng được nhúng vào một nửa vành đầy đủ nào đó (xem, chẳng hạn, [18, Proposition 23.5]). Các khẳng định này đã gợi ý cho chúng tôi nghiên cứu ba nửa vành nêu trên cho lớp nửa vành đầy đủ. Định lý dưới đây mô tả cấu trúc nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường, nó mở rộng định lý cấu trúc của Zumbragel về nửa vành hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường. Định lý 3.3.6. Với mỗi nửa vành đầy đủ R là không có tương đẳng không tầm thường khi và chỉ khi R đẳng cấu với một nửa vành con đầy đủ S của nửa vành đầy đủ CEnd(M ) sao cho FM ⊆ S, trong đó M là một dàn đầy đủ khác không. Tiếp theo, sử dụng Định lý 2.2.6, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng, và đặc biệt là nửa vành đơn đầy đủ. Định lý 3.3.9. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:
8 (i) R là một nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng; (ii) R tương đương Morita với nửa vành Boole B; (iii) R ∼ = End(M ), trong đó M là một dàn hữu hạn phân phối; (iv) R là một nửa vành đơn đầy đủ. Hệ quả của Định lý 3.3.9 là một biểu diễn cho nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng. Định lý 3.3.10. Cho R là một nửa vành chứa phần tử vô cùng. Khi đó, R là nửa vành không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi tồn tại một nửa đẳng cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M ) của một dàn phân phối hữu hạn M. Áp dụng tương đương Morita (Định lý 1.3.5 và Định lý 1.3.12), chúng tôi đặc trưng nửa vành nửa đơn dựa vào các khái niệm của nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ. Định lý 4.1.6. Với mỗi nửa vành nửa đơn R, các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là xạ ảnh; (ii) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là phẳng; (iii) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là đơn-phẳng; (iv) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là nội xạ; (v) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là nội xạ ổn định; (vi) R là một vành nửa đơn. Dùng Định lý 4.1.6, cho phép ta nhận lại được kết quả của S. N. Il’in - Y. Katsov ([24, Theorem 2.4]) về đặc trưng của nửa thể và đặc trưng vành nửa đơn cho nửa vành cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ ổn định. Định lý 4.1.10. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là một vành nửa đơn; (ii) Mọi R-nửa môđun trái là xạ ảnh; (iii) Mọi R-nửa môđun trái là nội xạ ổn định. Áp dụng tương đương Morita (Định lý 1.3.5 và Định lý 1.3.12), Luận án chứng minh được giả thuyết ([33, Conjecture]) của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Định lý 4.2.1. Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng chính quy R, các phát biểu sau là tương đương: (i) Mọi R-nửa môđun trái phẳng là xạ ảnh;
9 (ii) R là một vành nửa đơn. Cuối cùng, áp dụng tương đương Morita (Định lý 1.3.5 và Định lý 1.3.12), Luận án đưa ra câu trả lời cho bài toán ([32, Problem 3.9]) của Y. Katsov cho lớp nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Định lý 4.2.4. Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng chính quy R, các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi R-nửa môđun trái đơn-phẳng là phẳng; (ii) R ∼ = Mn1 (D1 ) × · · · × Mnr (Dr ), trong đó D1 , . . . , Dr là các thể, hoặc là nửa vành Boole B. 7.2 Cấu trúc của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia làm bốn chương. Chương 1 của Luận án tìm cách mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm, tính chất và ví dụ về nửa vành và nửa môđun. Trong Mục 1.2, thiết lập điều kiện cần và đủ để một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh (Mệnh đề 1.2.4), hoặc là một vật sinh (Mệnh đề 1.2.8) và đặc trưng vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun (Định lý 1.2.9). Trong Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành (Định nghĩa 1.3.1). Chúng tôi đặc trưng được các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải (Định lý 1.3.5). Đồng thời, chúng tôi đặc trưng được tương đương Morita của các nửa vành thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12). Nội dụng của chương này được viết dựa trên bài báo [36]. Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu áp dụng của lý thuyết tương đương Morita cho tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn của nửa vành. Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số kết quả về nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và nửa vành không có iđêan không tầm thường. Đồng thời, chúng tôi đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính không có iđêan không tầm thường, tính đơn của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán cộng lũy đẳng (Định lý 2.1.9). Trong Mục 2.2, chúng tôi chỉ ra rằng tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6). Trong Mục 2.3, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó (Định lý 2.3.1). Áp dụng kết quả này, chúng tôi mô tả cấu trúc nửa vành đơn chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 2.3.2, chúng tôi đưa ra một biểu diễn cho nửa vành
10 không có iđêan không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.4). Nội dung của chương này được viết dựa trên hai bài báo [35] và [37]. Chương 3 của Luận án nghiên cứu tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn cho một số lớp nửa vành đặc biệt. Trong Mục 3.1, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành Artin trái (phải) xích không có iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái (phải) xích đơn (Định lý 3.1.4); cũng như, mô tả cấu trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường sắp thứ tự dàn (Định lý 3.1.5). Trong Mục 3.2, chúng tôi đặc trưng nửa vành nửa đơn cô lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6). Áp dụng Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6, chúng tôi phân loại nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có iđêan không tầm thường (Định lý 3.2.7) và nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.2.10). Trong Mục 3.3, chúng tôi phân loại nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.3.6). Dùng Định lý 2.2.6, chúng tôi đặc trưng nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng, đặc biệt là nửa vành đơn đầy đủ (Định lý 3.3.9). Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 3.3.9 cho ta một biểu diễn của nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.10). Nội dung của chương này được viết dựa trên các bài báo [34], [35] và [37]. Chương 4 của Luận án nhằm đặc trưng nửa vành nửa đơn và nửa vành nửa đơn cô lập dựa vào các khái niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa môđun nội xạ...; đặc biệt là trả lời giả thuyết và bài toán của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Trong Mục 4.1, chúng tôi chứng minh các tính xạ ảnh, nội xạ, nội xạ ổn định, phẳng và đơn-phẳng đều bất biến qua phép tương đương phạm trù giữa các phạm trù nửa môđun. Áp dụng các kết quả này và Định lý 1.3.12, chúng tôi đặc trưng được nửa vành nửa đơn thông qua các nửa môđun nêu trên (Định lý 4.1.6). Kết hợp Định lý 3.2.4 và Định lý 4.1.6 cho phép ta đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh và nội xạ ổn định (Định lý 4.1.10). Trong Mục 4.2, chúng tôi chỉ ra rằng giả thuyết của Y. Katsov là đúng cho các nửa vành nửa đơn cộng chính quy (Định lý 4.2.1), và mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên đó tính phẳng và đơn-phẳng của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.4). Nội dung của chương này được viết dựa trên hai bài báo [34] và [36].
11 Chương 1 TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong tiết này, Luận án trình bày lại một số khái niệm, ví dụ và tính chất của nửa vành, nửa môđun; khái niệm tích tenxơ cho các nửa môđun theo quan niệm của Y. Katsov. Đồng thời, chúng tôi chứng minh được tính chất kết hợp của tích tenxơ. Nội dung của tiết này chủ yếu được trích từ các tài liệu [18], [22], [30], [33] và [43]. Định nghĩa 1.1.1. ([18, p. 1]) Một nửa vành là một cấu trúc đại số dạng (R, +, ·, 0, 1) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) (R, +, 0) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị 0; (2) (R, ·, 1) là một vị nhóm với đơn vị 1; (3) Phép nhân phân phối hai phía với phép cộng; (4) 0r = 0 = r0 với mọi r ∈ R. Ví dụ 1.1.2. (i) Mọi vành đều là nửa vành. Một nửa vành mà không phải là vành, được gọi là nửa vành thực sự. Một nửa vành R được gọi là phi đối xứng (zerosumfree) nếu 0 là phần tử khả nghịch duy nhất của vị nhóm (R, +, 0); nghĩa là, với mọi r, r0 ∈ R, nếu r + r0 = 0, thì r = r0 = 0 (xem [18, p. 4]). (ii) Tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các số thực không âm R+ cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là các nửa vành. (iii) Cho (M, +) là một vị nhóm giao hoán. Ký hiệu End(M ) là tập hợp tất
12 cả các tự đồng cấu của vị nhóm M . Khi đó, End(M ) là một nửa vành với phép cộng và phép nhân xác định bởi: với mọi f, g ∈ End(M ), (f + g)(x) = f (x) + g(x) và f g(x) = f (g(x)) với mọi x ∈ M . (iv) Giả sử X là một tập hợp bất kỳ khác rỗng và P(X) là tập hợp gồm tất cả các tập con của nó. Khi đó, P(X) cùng với phép hợp và phép giao các tập hợp, lập thành một nửa vành. Đặc biệt, nếu X = {x}, thì nửa vành P(X) = {∅, X} được gọi là nửa vành Boole, và được ký hiệu lại là B := {0, 1}. (v) Cho n là một số nguyên dương và R là một nửa vành. Một ánh xạ f : {1, 2, ..., n}2 −→ R được gọi là một ma trận vuông cấp n trên R. Ký hiệu Mn (R) là tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó, với phép cộng và phép nhân được xác định bởi: (f + g)(i, j) = f (i, j) + g(i, j), n X f g(i, j) = f (i, k)g(k, j), k=1 Mn (R) là một nửa vành và được gọi là nửa vành ma trận trên R. Một nửa vành R được gọi là giao hoán nếu vị nhóm (R, ·) là giao hoán. Nửa vành R được gọi là nửa thể (nửa trường) nếu (R \ {0}, ·, 1) là một nhóm (giao hoán). Cho R và S là hai nửa vành. Ánh xạ f : R −→ S, được gọi là đồng cấu nếu f bảo toàn phép cộng, phép nhân, phần tử không và phần tử đơn vị. Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn ánh, toàn ánh và song ánh, một cách tương ứng. Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các nửa vành R và S, thì chúng ta nói R và S là đẳng cấu, và ký hiệu là R ∼ = S. Định nghĩa 1.1.3. ([18, p. 149]) Một R-nửa môđun trái trên nửa vành R là một vị nhóm giao hoán (M, +, 0M ) cùng với một phép nhân với vô hướng 0 (r, m) 7→ rm từ R × M vào M thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi r, r ∈ R và 0 m, m ∈ M : 0 0 (1) (rr )m = r(r m); 0 0 (2) r(m + m ) = rm + rm ; 0 0 (3) (r + r )m = rm + r m;
13 (4) 1m = m; (5) r0M = 0M = 0m. Các nửa môđun phải trên nửa vành R cũng được định nghĩa theo một cách tương tự. Mỗi nửa vành có thể được xem như các nửa môđun phải và trái trên chính nó. Ánh xạ f : M −→ N từ R-nửa môđun trái M đến R-nửa môđun trái N , được gọi là R-đồng cấu (hoặc đồng cấu) nếu f bảo toàn phép cộng và phép nhân với vô hướng. Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn ánh, toàn ánh và song ánh, một cách tương ứng. Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các R-nửa môđun M và N , thì chúng ta nói M và N là đẳng cấu, và ký hiệu M ∼= N. Một tập con khác rỗng N của một R-nửa môđun trái M được gọi là nửa môđun con của M nếu đóng kín với phép cộng và phép nhân với vô hướng. Cho R là một nửa vành và {Mi | i ∈ I} là một họ những R-nửa môđun trái Mi . Q Khi đó, i∈I Mi cũng là một R-nửa môđun trái với phép cộng và nhân từng thành phần, và được gọi là tích trực tiếp của các R-nửa môđun Mi . Tương tự, ⊕i∈I Mi = {(mi )i∈I | mi = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i} Q là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái i∈I Mi , và được gọi là tổng trực tiếp (đối tích) của các R-nửa môđun Mi . Đặc biệt, khi Mi = M với mọi i ∈ I, thì ⊕i∈I Mi chính là M (I) := {f ∈ M I | f có giá hữu hạn}, và nó được ký hiệu lại là ⊕I M hoặc M (I) . Giao của một họ bất kỳ các nửa môđun con của một R-nửa môđun trái M cũng là một nửa môđun con của M . Đặc biệt, nếu A là một tập con của R-nửa môđun trái M , thì giao của tất cả các nửa môđun con của M chứa A, là một nửa môđun con của M , gọi là nửa môđun con được sinh bởi A. Thực chất, nửa môđun con này đúng bằng RA := {r1 a1 + ... + rn an | n ≥ 1, ri ∈ R, ai ∈ A}. Nếu A sinh ra toàn bộ M , thì A được gọi là một tập sinh của M . Một R-nửa môđun trái M là hữu hạn sinh nếu nó chứa một tập sinh hữu hạn. Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái. Một quan hệ tương đương ρ trên R được gọi là một tương đẳng nếu mρm0 và nρn0 , thì suy ra
14 (m + n)ρ(m0 + n0 ) và rmρrm0 với mọi r ∈ R. Nói một cách khác, một tương đẳng ρ trên M là một quan hệ tương đương và thỏa mãn điều kiện ρ là nửa môđun con của M × M . Cho ρ là một tương đẳng trên R-nửa môđun trái M , và với mỗi m ∈ M , gọi m/ρ là lớp tương đương của m theo tương đẳng ρ. Đặt M/ρ := {m/ρ | m ∈ M } và định nghĩa phép toán cộng, nhân với vô hướng trên M/ρ như sau: (m/ρ) + (n/ρ) = (m + n)/ρ và r(m/ρ) = (rm)/ρ với mọi m, n ∈ M và r ∈ R. Khi đó, M/ρ là một R-nửa môđun trái và được gọi nửa môđun thương của M bởi ρ. Hơn nữa, ta có một toàn cấu giữa các nửa môđun M −→ M/ρ, được xác bởi m 7→ m/ρ. Đặc biệt, nếu N là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái M , thì N cảm sinh một tương đẳng ≡N trên M , gọi là tương đẳng Bourne, được xác định bởi m ≡N m0 nếu và chỉ nếu tồn tại n, n0 ∈ N sao cho m + n = m0 + n0 . Nếu m ∈ M thì ta viết m thay thế cho m/ ≡N . Nửa môđun thương M/ ≡N được ký hiệu bởi M/N . Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái. Nếu A là một tập con khác rỗng của M , tồn tại một đồng cấu α : R(A) −→ M xác định như sau P α(f ) = m∈A f (m)m. A là một tập sinh của M chỉ khi α là toàn cấu. A được gọi là độc lập tuyến tính nếu α là đơn cấu; tức là, A là độc lập tuyến tính nếu P P và chỉ nếu m∈A f (m)m = m∈A g(m)m suy ra f = g. Một tập sinh và độc lập tuyến tính của M được gọi là một cơ sở của M trên R. Theo [18, p. 194], một R-nửa môđun trái M được gọi là tự do nếu M chứa một cơ sở trên R. Dễ thấy rằng với mọi tập khác rỗng A, R-nửa môđun trái R(A) là tự do, và mỗi R-nửa môđun trái tự do là đẳng cấu với R(A) , với tập A thích hợp nào đó (xem [18, p. 194]). Mệnh đề sau cho thấy mọi nửa môđun là đều thương của một nửa môđun tự do nào đó. Mệnh đề 1.1.4. ([18, Proposition 17.11]) Nếu R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái, thì tồn tại một R-nửa môđun tự do F và một toàn cấu từ F tới M . Theo [18, p. 195], một R-nửa môđun trái P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu giữa các nửa môđun trái f : M −→ N , và với mọi đồng cấu g : P −→ N , tồn tại một R-đồng cấu h : P −→ M sao cho f ◦ h = g.