Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng song song với mặt phân cách, ở trạng thái cân bằng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM ????? Phạm Thế Song NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 62.44.01.03 DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn: GS. TSKH. Trần Hữu Phát TS. Nguyễn Văn Thụ Hà Nội, 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Trần Hữu Phát và TS. Nguyễn Văn Thụ. Các kết quả nghiên cứu của luận án là trung thực và chưa từng được công bố trên bất kì công trình nào trước đây. Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận án Phạm Thế Song ii
LỜI CẢM ƠN! Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS. TSKH. Trần Hữu Phát. Sự hướng dẫn tận tụy và những động viên khích lệ của thầy là nguồn động lực to lớn cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm luận án. Thầy mãi là tấm gương sáng về đạo đức, về tinh thần làm việc nghiêm túc, cống hiến hết mình vì khoa học để tác giả học tập và noi theo. Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn và cùng thảo luận giúp đỡ tác giả hoàn thành các tính toán quan trọng nhất trong luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Viết Hòa, NGƯT. TS. Đinh Thanh Tâm, những người đã dẫn dắt tác giả đến với con đường nghiên cứu khoa học. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các bạn cùng nhóm nghiên cứu, TS. Đặng Thị Minh Huệ, ThS. Hoàng Văn Quyết, ThS. Nguyễn Thị Thắm đã nhiệt tình giúp đỡ, cùng thảo luận về luận án và các vấn đề nghiên cứu liên quan. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trung Tâm Đào Tạo Hạt Nhân - Viện Năng Lượng Nguyên Tử Việt Nam, Khoa Toán Lý Tin - Trường Đại Học Tây Bắc, Khoa Vật Lý - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành luận án. Con xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đối với Cha và Mẹ, người đã cho con được thấy ánh sáng Mặt Trời, cho con nghị lực vượt qua mọi khó khăn và trở ngại. Xin cảm ơn người vợ hiền dịu, cảm ơn các con. Gia đình luôn là nguồn động lực to lớn cho tôi trên con đường nghiên cứu khoa học đầy gian nan và thử thách. Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận án Phạm Thế Song iii
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh sách từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ động lực học của hàm sóng ngưng tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn . . . . . . . . 12 1.3.Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng 18 1.5.Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.1. Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.2. Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 27 2.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng. . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . 30 iv
2.2.Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECs trong tập hợp chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Robin tại tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắc . 45 2.3.1. Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng . . . . . . 46 2.3.2. Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại tường cứng . . . . . . . . . 48 Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng . 54 3.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng . . . . . . . . . 54 3.1.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng . . . . . . . . . . . 55 3.2.Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng. Lực Casimir-like . . . . . . . . 59 3.2.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2.3. Lực Casimir-like . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận án 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 v
Danh sách từ viết tắt Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein two segregated Bose-Einstein ngưng tụ Bose-Einstein hai BECs condensates thành phần phân tách CE Canonical ensemble tập hợp chính tắc GCE Grand canonical ensemble tập hợp chính tắc lớn Double-parabola approxima- DPA gần đúng parabol kép tion Modified double-parabola ap- MDPA gần đúng parabol kép mở rộng proximation GP Gross-Pitaevskii Gross-Pitaevskii (hệ) phương trình Gross- GPE(s) Gross-Pitaevskii equation(s) Pitaevskii hệ phương trình Gross- Time-independent Gross- TIGPEs Pitaevskii không phụ thuộc Pitaevskii equations thời gian Tripple-parabola approxima- TPA gần đúng ba parabol tion MFA Mean-field approximation gần đúng trường trung bình vi
Danh sách hình vẽ 1.1 Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách theo phương pháp DPA. . . . 17 2.1 ˜ mặt phân cách giữa hai thành Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại z˜ = −h, phần tại z˜ = z˜0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h = 20(a) và h = 50(b). Đường màu đỏ và đường màu xanh tương ứng là MDPA và GP. . . 29 2.3 Sự phụ thuộc của vị trí mặt phân cách vào vị trí của tường cứng với K = 1.01. . . . . 30 2.4 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW 2 1), K = 3, h = 20; ξ = 1(a), 3(b). . 32 2.5 (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với h = 0(đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào vị trí tường cứng với K = 1.01, ξ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 (GCE) Sự biến thiên của γh theo ζ = (h + z0 ) với ξ = 1(đường màu đỏ) và ξ = 2(đường màu xanh). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 Pha không dính ướt(a), pha dính ướt(b) của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng. . . . . 38 2.9 (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng ứng với h = 0 (đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.10 (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với ξ = 1.0, 3.0, vị trí của tường cứng tại z = −20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.11 (GCE) Hiệu ứng giới hạn không gian của sức căng mặt phân cách với ξ = 1. . . . . . . 42 2.12 (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng với ζ = (h + z0 ) = 20 và ζ = (h + z0 ) → +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.13 (GCE) Ảnh hưởng của điều kiện biên tới sức căng mặt phân cách với ξ = 1, h = 20. . . 44 vii
2.14 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với n21 = 1, ζ = (h + z0 ) = 20, 100; φj (−h) = 0, ξ = 5(a); ∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 10(b). . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.15 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại n21 = 1, ζ = (h + z0 ) = 20; φj (−h) = 0, ξ = 1, 6, 11(a); ∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 5, 10, 15(b). . . . . . . . . . . . . 50 2.16 Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1, ζ = (h + z0 ) = 20 với n21 = 0.5, 1.0, 2.0; φj (−h) = 0(a), ∂z φ2 |z=−h = 0(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1 ˜ mặt phân cách giữa hai thành Hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng tại z˜ = ±h, phần tại z˜ = z˜0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj (±h) = 0) trong MDPA (đường liền) và trong lý thuyết GP (đường gạch), K = 3; ξ = 0.5(a), 1(b), 2(c). . . . . . . . . 57 3.3 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW W2 1 , λ2 1 1) trong MDPA (đường gạch) và trong lý thuyết GP (đường liền). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với các giá trị khác nhau của K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường chấm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo h tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với K = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6 (GCE, CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch). Màu xanh và màu đỏ lần lượt tương ứng với GCE và CE. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.7 (GCE) Sự phụ thuộc của lực Casimir-like trên một đơn vị diện tích tường cứng vào h tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường chấm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.8 (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1, với các giá trị khác nhau của K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường chấm-gạch). . . 72 3.9 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại ξ = 1 với h = 4, 7, 10 và h → ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.10 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại h = 10 với ξ = 0.5, 1. . . 73 3.11 (CE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào h tại n21 = 1, ξ = 1 với K = 1.1, 2.0, 3.0.74 viii
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài BEC là trạng thái lượng tử vĩ mô của một số lượng lớn các hạt vi mô khi phần lớn các hạt boson cùng chiếm một mức năng lượng thấp nhất nếu nhiệt độ của hệ hạt nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn. Trạng thái lượng tử đặc biệt này liên quan mật thiết tới nhiều đặc tính quan trọng của vật chất chẳng hạn như siêu dẫn (superconductivity), rối lượng tử (quantum entanglement), độ trung thành lượng tử (quantum fidelity).... Vì vậy, các nghiên cứu cơ bản về BEC có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực công nghệ then chốt như vật liệu, điện tử, thông tin lượng tử. Không lâu sau thành công của thí nghiệm về sự tồn tại của BEC (1995), pha phân tách trong hệ BEC hai thành phần đã được nghiên cứu lý thuyết (1998) [1, 2] và sau đó là nghiên cứu thực nghiệm (1999) [3–12]. Kể từ đó, nghiên cứu về BECs đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên toàn cầu và đạt được nhiều thành tựu. Nhiều công trình nghiên cứu về tính chất tĩnh, tính chất động lực học của BECs được công bố [13–44]. Trong đó điển hình là các nghiên cứu về trạng thái cơ bản, sức căng bề mặt [2, 16, 40–44], dao động kích thích bề mặt (sóng bề mặt) [13, 15, 17, 20, 28, 29]. Từ đây, nhiều hiện tượng vật lý quan trọng của BECs đã được khám phá chẳng hạn như chuyển pha ướt (wetting phase transition) [42–44], bất ổn định Rayleigh-Taylor (Rayleigh-Taylor instability), bất ổn định Kelvin-Helmholtz (Kelvin-Helmholtz instability) [18, 24–27]. Sử dụng phương pháp MFA và các phương pháp gần đúng khác (DPA, TPA), các nghiên cứu về sức căng bề mặt và chuyển pha ướt 1
của hệ BECs không giới hạn đã được giải quyết một cách có hệ thống trong [40–42], sau đó phát triển thêm trong [43, 44] với rất nhiều kết quả quan trọng. Tuy nhiên, tất cả các nghiên cứu đó đều chưa xem xét tới ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các đặc tính vật lý của hệ. Trong khi đó, hiện tượng chuyển pha và đặc tính vật lý của các hệ lượng tử trong không gian giới hạn đã và đang được nghiên cứu chuyên sâu do ý nghĩa đặc biệt của nó đối với sự phát triển của công nghệ [45–59]. Do vậy, đã hình thành một lĩnh vực nghiên cứu mới đó là Vật lý của các hệ lượng tử trong không gian giới hạn. Vì các lý do nêu trên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài của luận án là Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần. 2. Lịch sử vấn đề BEC được tiên đoán bằng lý thuyết bởi Bose S. N. và Einstein A. cách đây hơn 90 năm [60]. Thí nghiệm về BEC của khí boson siêu lạnh (87 Rb, 23 Na, 7 Li) được tạo ra sau đó 70 năm [61–66]. Những kết quả thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho Conell E. A., Wieman C. E. và Ketterle W. vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí loãng của các nguyên tử kiềm [64]. Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm về khí siêu lạnh phát triển rất mạnh mẽ, người ta đã tạo ra được BEC từ hai thành phần khí khác nhau. Phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng hạn như cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng thái bất kỳ theo ý muốn [12]. Nhờ đó, nhiều hiện tượng lượng tử trong hệ BECs như các bất ổn định, sự hình thành các xoáy (votex), các vách ngăn (domain wall) giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực (monopole) [67–76] đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho các nhà khoa học nghiên cứu về loại vật chất đặc biệt này. 2
Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC được đánh dấu bởi thành công của Gross E. P. và Pitaevskii L. P. trong việc thiết lập GPE(s) dựa trên MFA [59, 65, 66]. GPE(s) cho thấy hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình thủy động lực học [65,66]. Thực nghiệm cũng đã xác nhận BEC có những tính chất tương tự với chất lỏng lượng tử (4 He). Từ đây mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng đó là nghiên cứu các hiện tượng lượng tử của BEC tương tự với các hiện tượng đã biết trong thủy động lực học cổ điển, trong đó có sức căng bề mặt và chuyển pha ướt. Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lời giải của GPEs. Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phi tuyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫn còn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặc biệt [43], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương pháp gần đúng [2, 29, 43, 44, 77]. Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặt phân cách, Ao P. và Chui S. T. đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEs cho hệ BECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạt xác định bị giam trong một giếng thế hữu hạn [2]. Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh của BECs, Barankov R. A. đã tìm được lời giải cho GPEs ở các điều kiện tương ứng và xác định được sức căng mặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng tụ [16]. Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (optical wall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu J. O. và Schaeybroeck B. V. đề cập trong [40], sau đó tiếp tục phát triển dựa trên các tính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck B. V. [41], các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [42]. Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao P. và Chui S. T. [2], Indekeu J. O. và các cộng sự đã xây dựng thành công phương 3
pháp DPA [43], sau đó được mở rộng thành TPA [44], nhờ đó tìm được nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. Từ đây, các tác giả đã tính toán một cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển pha ướt. So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết GP cho thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha ướt trong DPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng thái phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong segregation) [43, 44]. Kết quả của các nghiên cứu trên đều có một điểm chung đó là sức căng mặt phân cách là năng lượng tương tác giữa hai thành phần ngưng tụ trên một đơn vị diện tích mặt phân cách, đóng góp của mỗi thành phần vào sức căng mặt phân cách tỉ lệ thuận với độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ tương ứng [2, 16, 41–45]. Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiên cứu hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ. 3. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng song song với mặt phân cách, ở trạng thái cân bằng. 4. Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng và hai tường cứng. • Nhiệm vụ nghiên cứu: 4
♦ Tìm hàm sóng ngưng tụ của hệ thoả mãn điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Robin tại các tường cứng; ♦ Xác định sức căng mặt phân cách giữa hai thành phần; ♦ Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng; ♦ Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng; ♦ Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tính chất vật lý của hệ; ♦ Đề xuất mô hình thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu và một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo. • Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs ở nhiệt độ cực thấp, không phụ thuộc thời gian, trong GCE và CE. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với sự hỗ trợ của các phần mềm tính toán. 6. Đóng góp của luận án Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính được trình bày trong phần Kết luận của luận án. 7. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein 5
1.2. Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn 1.3. Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn 1.4. Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng 1.5. Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 2.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECs trong tập hợp chính tắc lớn 2.3. Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắc Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng 3.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng 3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng. Lực Casimir-like 3.3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng 6
Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách Chương này sẽ trình bày những vấn đề cơ bản có liên quan trực tiếp tới các nghiên cứu ở các chương tiếp theo, bao gồm những nội dung chính như sau: Tổng quan về BEC; Lý thuyết GP và phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn; Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng; Năng lượng dư (excess energy) trên mặt phân cách của hệ BECs trong GCE và CE. Trong đó trọng tâm là GPEs và phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng. 7
1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.1. Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein Trong hệ khí boson lý tưởng (không tương tác) gồm N hạt có spin nguyên chiếm thể tích V và tuân theo quy luật thống kê Bose-Einstein, số hạt có năng lượng từ εk đến εk + dε là dN (εk ) = n ¯ (εk )ρ(εk )dε, trong đó 1 n ¯ (εk ) = εk −µ (1.1) e kB T −1 là công thức thống kê Bose-Einstein xác định số hạt trung bình lấp đầy các mức năng lượng trong khoảng (εk , εk + dε), gV (2m)3/2 1/2 ρ(εk ) = εk . (1.2) 4π 2 ~3 Ở đây, µ là thế hóa học, kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ, g là bội suy biến (phụ thuộc vào spin) của năng lượng εk , m là khối lượng của hạt, ~ là hằng số Planck rút gọn. Vì N hạt chiếm tất cả các mức năng lượng có thể có nên số hạt của hệ được xác định bởi Z+∞ Z+∞ Z+∞ gV (2m)3/2 ε1/2 N= dN (ε) = n ¯ (ε)ρ(ε)dε = ε−µ dε. (1.3) 4π 2 ~3 e kB T − 1 0 0 0 Sử dụng (1.2) và (1.3) ta tính được tổng số hạt của hệ theo nhiệt độ tới hạn Tc (nhiệt độ tại đó µ = 0) g(mkB Tc )3/2 V N = 2.31 √ (1.4) 2π 2 ~3 và nhiệt độ tới hạn theo mật độ hạt ~2 n2/3 Tc ≈ 3.31 , (1.5) g 2/3 mkB với n = N/V là mật độ hạt. 8
Trong khoảng nhiệt độ 0 ≤ T ≤ Tc , số hạt có năng lượng ε > 0 của hệ được xác định tương tự như (1.4) g(mkB T )3/2 V N (ε > 0) = 2.31 √ . (1.6) 2π 2 ~3 Năng lượng của hạt không thể âm nên số hạt còn lại tồn tại ở trạng thái ε = 0, số hạt này là h T 3/2 i N (ε = 0) = N − N (ε > 0) = N 1 − . (1.7) Tc Nếu nhiệt độ của hệ hạt boson nhỏ hơn nhiệt độ mà tại đó thế hóa học bằng 0 (T < Tc ) thì phần lớn số hạt trong hệ cùng chiếm trạng thái có mức năng lượng thấp nhất. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein. BEC cũng xảy ra đối với những hạt fermion trong trường hợp chúng kết cặp với nhau tạo thành các hạt "giả" boson [45]. Dựa vào (1.5) ta ước lượng được nhiệt độ xuất hiện chuyển pha BEC là rất nhỏ, dưới 10−3 (K), tương đương với nhiệt độ của những nguyên tử lạnh nhất trong vũ trụ. Các thí nghiệm đầu tiên đã xác nhận nhiệt độ của BEC cỡ 10−4 (K). Vì boson là những hạt có spin nguyên, số hạt cùng chiếm một trạng thái lượng tử không bị khống chế bởi nguyên lý loại trừ Pauli, nên số hạt ngưng tụ càng lớn nếu tổng số hạt (N ) của hệ càng nhiều và nhiệt độ (T ) của hệ càng nhỏ so với nhiệt độ tới hạn Tc , tất cả các hạt của hệ cùng ở trạng thái ngưng tụ tại T = 0(K), không có hạt nào ở trạng thái ngưng tụ nếu T > Tc . Bước sóng de Broglie của vi hạt được xác định thông qua nhiệt độ của hệ s 2π ~2 λT = , (1.8) mkB T bước sóng này cùng cỡ với khoảng cách trung bình giữa các hạt ở trạng thái ngưng tụ. 9
1.1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ động lực học của hàm sóng ngưng tụ a. Phương trình Gross-Pitaevskii Để mô tả trạng thái ngưng tụ của hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE trong MFA từ Lagrangian L = Ld~x [65, 66]. Ở đây, R V i~ ∗ ∗ L= ψ ∂t ψ − ψ∂t ψ − Hb , (1.9) 2 √ với ψ = ψ(~x, t) = N ϕ(~x, t) là hàm sóng của hệ hạt, ϕ(~x, t) là hàm sóng đơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, ~2 ∗ 2 G Hb = − ψ ∇ ψ + U (~x)|ψ|2 + |ψ|4 (1.10) 2m 2 là mật độ Hamiltonian, U (~x) là mật độ thế ngoài, G = 4π ~2 a/m là cường độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering length) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy, a < 0 ứng với tương tác hút). Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = L dt. Trong phép biến đổi R trường ψ → ψ + δψ , tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS . Các biến đổi δS này phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ = 0, biến đổi của tác dụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0. Từ đây ta có phương trình Euler-Lagrange ∂L ∂L − ∂ν = 0, (1.11) ∂ψ ∂(∂ν ψ) với ν = (x, y, z˜, t). Sử dụng (1.11) tìm được phương trình ~2 2 i~∂t ψ = − ∇ ψ + U (~x)ψ + G|ψ|2 ψ (1.12) 2m gọi là GPE phụ thuộc thời gian. Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng ψ = Ψ(~x)e−iµt/~ , Ψ(~x) là hàm thực, thì (1.12) trở thành ~2 2 − ∇ Ψ(~x) + U (~x)Ψ(~x) + G|Ψ(~x)|2 Ψ(~x) = µΨ(~x). (1.13) 2m 10
Phương trình (1.13) có dạng của phương trình Schr¨odinger dừng, trong đó mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (~x) và thành phần phi tuyến G|Ψ(~x)|2 , được gọi là GPE không phụ thuộc thời gian. Lời giải của (1.13) cho biết hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt boson. b. Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ Nhân hai vế (1.12) với liên hợp phức của hàm sóng ψ ∗ rồi trừ đi kết quả nhân liên hợp phức của nó với ψ và thực hiện một vài biến đổi toán học ta thu được h i~ i 2 ∗ ∗ ∂t |ψ| + ∇ ψ∇ψ − ψ ∇ψ = 0 (1.14) 2m hay ∂t n + ∇(n~v ) = 0, (1.15) i~ trong đó n = |ψ|2 , ~v = 2mn ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là vận tốc của ngưng tụ, ~j = i~ ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là mật độ động lượng của ngưng tụ. Phương trình 2 (1.15) được gọi là phương trình liên tục của ngưng tụ. Một cách đơn giản, biểu thức của hàm sóng được viết dưới dạng hai thành phần gồm biên độ và pha của nó là ψ = ψ0 eiφ . (1.16) Thay (1.16) vào (1.12) rồi tách riêng phần thực - phần ảo ta thu được ~ ∂t |ψ0 |2 = − ∇(|ψ0 |2 ∇φ) (1.17) m là phương trình chuyển động của biên độ, 1 δE ∂t φ = − (1.18) ~ δn là phương trình chuyển động của pha. (1.15), (1.17) và (1.18) cho thấy ta có thể nghiên cứu các hệ ở trạng thái BEC trên quan điểm xem chúng như các chất lỏng lượng tử. 11