Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu tính toán thừa số dạng đa cực cho các hạt nhân nhẹ trong tán xạ electron hạt nhân ở năng lượng cao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Vật lý "Nghiên cứu tính toán thừa số dạng đa cực cho các hạt nhân nhẹ trong tán xạ electron hạt nhân ở năng lượng cao" trình bày các nội dung chính sau: Tổng quan về khai triển đa cực trong tán xạ electron-hạt nhân; Mô tả cách thức tính toán cho tán xạ electron-hạt nhân ở năng lượng cao, xét với các electron phân cực và hạt nhân không định hướng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu tính toán thừa số dạng đa cực cho các hạt nhân nhẹ trong tán xạ electron hạt nhân ở năng lượng cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM ----------------------------- VÕ MINH TRƯỜNG NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN THỪA SỐ DẠNG ĐA CỰC CHO CÁC HẠT NHÂN NHẸ TRONG TÁN XẠ ELECTRON-HẠT NHÂN Ở NĂNG LƯỢNG CAO LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ HÀ NỘI – 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM ----------------------------- VÕ MINH TRƯỜNG NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN THỪA SỐ DẠNG ĐA CỰC CHO CÁC HẠT NHÂN NHẸ TRONG TÁN XẠ ELECTRON-HẠT NHÂN Ở NĂNG LƯỢNG CAO LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 9 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Lương Duyên Phu Hà Nội – 2023
LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin dành sự tri ân sâu sắc đối với PGS. TSKH. Lương Duyên Phu (Thầy hướng dẫn) đã dành nhiều tâm huyết để giúp nghiên cứu sinh hoàn thành luận án. Tiếp theo, xin được tri ân cố GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn (ĐH KHTN Hà Nội), GS. TS. Nguyễn Quang Báu (ĐH KHTN Hà Nội), GS. TS. Đào Tiến Khoa (Viện NLNT VN) và GS. TS. Lê Hồng Khiêm (Viện Vật lý Hà Nội) đã tận tình hướng dẫn, giúp nghiên cứu sinh trang bị thêm nhiều kiến thức bổ ích liên quan đến đề tài. Người viết xin tri ân GS. TS. Achim Weidemann (Trung tâm SLAC, Stanford, Hoa Kỳ) đã chia sẻ dữ liệu thực nghiệm liên quan đến tán xạ electron, cùng với những ý kiến trao đổi giá trị. Xin tri ân PGS. TS. Nguyễn Nhị Điền (Viện NLNT VN), PGS. TS. Nguyễn Xuân Hải (Viện NCHN Đà Lạt), TS. Nguyễn Hữu Hà (Trường ĐH Đà Lạt) đã truyền đạt những kinh nghiệm quý báu và giúp đỡ nhiệt tình. Đồng thời, người viết xin dành lời cảm ơn đối với ThS. Nguyễn Thúy Hằng (TT Đào tạo hạt nhân), ThS. Nguyễn Thị Thu Hằng (ĐH KHTN Hà Nội), ThS. Nguyễn Duy Lý (Trường ĐH Văn Lang TP. HCM) và ThS. Nguyễn Quốc Thanh (Trường CĐ nghề Cần Thơ) với những hỗ trợ thiết thực trong khi thực hiện luận án. Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐH Xây dựng Miền Tây, ban lãnh đạo cùng tập thể Khoa Khoa học Cơ bản và Phòng Quản lý Đào tạo đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của ban lãnh đạo cùng tập thể TT Đào tạo hạt nhân, Viện NLNT VN và Viện NCHN Đà Lạt trong suốt khóa học. Xin trân trọng cảm ơn Gia đình đã làm điểm tựa, cùng với quý đồng nghiệp đã luôn động viên ủng hộ và tiếp thêm động lực giúp tác giả vượt qua mọi khó khăn. Cầu chúc những điều tốt đẹp nhất đến với tất cả mọi người! Tác giả luận án Võ Minh Trường i
LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TSKH. Lương Duyên Phu. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào mà tôi chưa tham gia. Tác giả luận án Võ Minh Trường ii
MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ i LỜI CAM ĐOAN.................................................................................................. ii MỤC LỤC ............................................................................................................. 1 DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VÀ CHỮ VIẾT TẮT .................................... 3 DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG BIỂU................................................................. 5 MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 7 Chương 1. TỔNG QUAN VỀ KHAI TRIỂN ĐA CỰC TRONG TÁN XẠ ELECTRON-HẠT NHÂN................................................................................ 11 1.1. Các thừa số dạng đa cực........................................................................... 11 1.2. Phương pháp tính thừa số dạng đa cực .................................................... 16 1.3. Tán xạ electron-hạt nhân ở năng lượng cao và lý thuyết hợp nhất điện từ- yếu ....................................................................................................................20 Chương 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ ÁP DỤNG CHO MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ ................................................................................. 26 2.1. Tiết diện tán xạ và độ bất đối xứng ......................................................... 26 2.2. Xây dựng biểu thức của các toán tử đa cực ............................................. 40 2.3. Yếu tố ma trận của các toán tử đa cực ..................................................... 46 2.3.1. Yếu tố ma trận trong trường hợp riêng ............................................ 46 2.3.2. Yếu tố ma trận trong trường hợp tổng quát ..................................... 51 2.4. Tính toán cho một số trường hợp cụ thể .................................................. 56 2.4.1. Tán xạ đàn hồi 6Li ............................................................................. 57 2.4.2. Tán xạ đàn hồi 7Li ............................................................................. 60 1
2.4.3. Tán xạ đàn hồi 7Be ........................................................................... 67 2.4.4. Tán xạ tựa đàn hồi 7Li tương ứng với dịch chuyển 3/2→1/2 ........... 69 Chương 3. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN BẰNG SỐ ............................ 76 3.1. Tiết diện tán xạ ....................................................................................................76 3.2. Tỉ số tiết diện tán xạ ................................................................................. 83 3.3. Độ bất đối xứng ........................................................................................ 91 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 102 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ........................................ 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 106 2
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VÀ CHỮ VIẾT TẮT TT Thuật ngữ và chữ viết tắt Ý nghĩa 1. Alignment, polarization Định phương (sắp hàng), phân cực 2. Angular momentum Mômen động lượng góc 3. Asymmetry Độ bất đối xứng 4. Axial-vector form factor Thừa số dạng (vectơ) trục 5. Born approximation Phép gần đúng Born 6. Convection current Dòng đối lưu 7. Coulomb multipole Đa cực Coulomb 8. Current density Mật độ dòng 9. Density matrix Ma trận mật độ 10. Electric multipole Đa cực điện 11. Electromagnetic current Dòng điện từ 12. Electromagnetic form factor Thừa số dạng điện từ 13. Electroweak theory Lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu European Organization for Nuclear Tổ chức Nghiên cứu hạt nhân Châu 14. Research (CERN) Âu 15. Fractional parentage coefficient Hệ số dòng họ 16. Gravitational form factor Thừa số dạng hấp dẫn 17. Impulse approximation Phép gần đúng xung lực 18. Induced pseudoscalar form factor Thừa số dạng giả vô hướng cảm ứng 19. Induced pseudotensor form factor Thừa số dạng giả tenxơ cảm ứng 20. Longitudinal multipole Đa cực dọc 3
TT Thuật ngữ và chữ viết tắt Ý nghĩa 21. Magnetic multipole Đa cực từ 22. Magnetization density Mật độ độ từ hóa 23. Multi-particle matrix element Yếu tố ma trận đa hạt 24. Multi-particle shell model Mẫu lớp nhiều hạt 25. Multipole expansion Khai triển đa cực 26. Multipole operator Toán tử đa cực 27. Multipole form factor Thừa số dạng đa cực 28. Nuclear current Dòng của hạt nhân 29. Nuclear transition current Dòng chuyển dời của hạt nhân 30. Nuclear structure Cấu trúc hạt nhân 31. One-particle matrix element Yếu tố ma trận đơn hạt 32. Parent state Trạng thái gốc 33. Reduced matrix element Yếu tố ma trận rút gọn 34. Scattering amplitude Biên độ tán xạ 35. Scattering cross section Tiết diện tán xạ 36. Sharp minimum Cực tiểu sắc (rõ nét) 37. Spectral function Hàm phổ Stanford Linear Accelerator Center Trung tâm Máy gia tốc tuyến tính 38. (SLAC) Stanford 39. Symmetrized (sym) Đối xứng hóa 40. Transverse multipole Đa cực ngang 41. Vector current, axial-vector current Dòng vectơ, dòng (vectơ) trục 42. Vector form factor Thừa số dạng vectơ 4
DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG BIỂU TT Tên hình và bảng biểu Trang 1. Hình 1.1. Hệ tọa độ mô tả quá trình tán xạ đang xét 13 2. Hình 3.1. Tiết diện tán xạ đàn hồi 6Li xét ở 1, 10, 100 và 1000 GeV 78 3. Hình 3.2. Tiết diện tán xạ đàn hồi 7Li xét ở 1, 10, 100 và 1000 GeV 80 4. Hình 3.3. Tiết diện tán xạ đàn hồi và tựa đàn hồi 7Li xét ở 1 GeV 82 Hình 3.4. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi của tương tác yếu trên 5. 85 tương tác điện từ của 6Li xét ở 1 GeV Hình 3.5. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi của tương tác yếu trên 6. 85 tương tác điện từ của 6Li xét ở 10 GeV Hình 3.6. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi của tương tác yếu trên 7. 86 tương tác điện từ của 6Li xét ở 50, 100, 500 và 1000 GeV Hình 3.7. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi của tương tác yếu trên 8. 87 tương tác điện từ của 7Li xét ở 50, 100, 500 và 1000 GeV Hình 3.8. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi của tương tác yếu trên 9. 88 tương tác điện từ của 7Li và 7Be xét ở 10 GeV Hình 3.9. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi của tương tác yếu trên 10. 89 tương tác điện từ của 7Be xét ở 50, 100, 500 và 1000 GeV Hình 3.10. Tỉ số tiết diện tán xạ đàn hồi và tựa đàn hồi của tương 11. 90 tác yếu trên tương tác điện từ của 7Li xét ở 10 GeV 12. Hình 3.11. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi 6Li xét ở 1 GeV 92 Hình 3.12. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi 6Li xét ở 10, 50, 13. 93 100, 500 và 1000 GeV 14. Hình 3.13. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi 7Li xét ở 1 GeV 95 15. Hình 3.14. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi 7Li xét ở 10, 50, 95 5
TT Tên hình và bảng biểu Trang 100, 500 và 1000 GeV Hình 3.15. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi 7Li và 7Be xét ở 16. 97 10 GeV Hình 3.16. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi 7Be xét ở 10, 50, 17. 97 100, 500 và 1000 GeV Hình 3.17. Độ bất đối xứng trong tán xạ đàn hồi và tựa đàn hồi 7Li 18. 99 xét ở 10 GeV Hình 3.18. Độ bất đối xứng trong tán xạ tựa đàn hồi 7Li xét ở 10, 19. 99 50, 100, 500 và 1000 GeV 20. Bảng 3.1. Một số giá trị tiết diện tán xạ của 6Li, 7Li và 7Be 83 21. Bảng 3.2. Một số giá trị tỉ số tiết diện tán xạ của 6Li, 7Li và 7Be 91 Bảng 3.3. Một số giá trị độ bất đối xứng trong tán xạ của 6Li, 7Li và 22. 7 101 Be 6
MỞ ĐẦU Vào những năm 1960, S.L. Glashow, S. Weinberg và A. Salam đã phát hiện hai tương tác điện từ và yếu có thể hợp nhất, lập thành tương tác hợp nhất điện từ-yếu. Các nhà vật lý đã xác định rằng trong tự nhiên có ba loại tương tác (chứ không phải bốn) gồm hấp dẫn, mạnh và điện từ-yếu. Cách nghiên cứu tương tác hợp nhất hiệu quả hơn cả là tán xạ lepton-hadron, nói riêng và rất thông dụng là tán xạ electron-hạt nhân. Khi đó tương tác mạnh không xuất hiện, còn tương tác hấp dẫn thì quá nhỏ có thể bỏ qua. Theo đó, tán xạ electron cũng là công cụ hiệu quả trong nghiên cứu hạt nhân, đặc biệt là ở năng lượng thấp khi tương tác yếu không đáng kể [45-46, 59, 102-103]. Trong quá trình tán xạ có nhiều cơ chế tương tác khác nhau diễn ra nhưng tất cả đều liên quan đến truyền xung lượng. Trọng tâm trong các nghiên cứu lý thuyết đều liên quan đến tiết diện tán xạ, đại lượng được xác định bởi bình phương biên độ tán xạ. Do sự hợp nhất của tương tác điện từ-yếu và do năng lượng máy gia tốc electron đã đủ để kiểm tra sự hợp nhất này nên việc tính toán tiết diện tán xạ electron-hạt nhân (nhẹ) ở năng lượng cao bây giờ là thích hợp. Phương pháp tính toán tốt nhất đó là khai triển các dòng chuyển dời bên trong hạt nhân thành các thành phần đa cực, trong đó mỗi thành phần có mômen động lượng góc xác định gọi là thừa số dạng [3, 109-110]. Thừa số dạng đa cực là thành phần cơ bản nhất của dòng chuyển dời mà tính được trực tiếp từ mô hình cấu trúc hạt nhân. Khai triển đa cực giúp liên hệ các mômen động lượng góc của hạt nhân ở trạng thái đầu và trạng thái cuối với mômen động lượng góc của hạt truyền tương tác, đồng thời làm rõ nhiều tính chất của hạt nhân. Ở năng lượng MeV, tương tác điện từ giữ vai trò chính trong quá trình tán xạ do tương tác yếu rất nhỏ và thường bỏ qua. Khai triển đa cực cho tương tác thuần túy điện từ được thực hiện đầu tiên bởi Weigert-Rose [109] và Willey [110], sau đó được cải tiến bởi Donnelly-Raskin [41]. Tuy nhiên, khi năng lượng lên tới hàng trăm GeV thì hai tương tác trở nên hợp nhất do bậc độ lớn của 7
tương tác yếu và tương tác điện từ là tương đương [29, 56]. Ở năng lượng mà các máy gia tốc electron đạt được, khoảng 50 GeV tại SLAC năm 1990 [92] và 105 GeV tại CERN năm 2000 [52], tán xạ electron-hạt nhân được mô tả bởi lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu [17, 25, 27, 64]. Theo đó, các hiệu ứng liên quan đến dòng trung hòa yếu bên trong hạt nhân cũng được nghiên cứu cụ thể [38- 40]. Nghiên cứu tán xạ năng lượng cao của electron lên hạt nhân không dẫn đến tìm được cấu trúc mới của hạt nhân mà làm sáng tỏ vai trò của tương tác yếu, thấy rõ khi năng lượng từ 250 GeV trở lên. Chú ý rằng ở năng lượng cao, các hằng số tương tác, mà lúc này phải gọi là các hệ số tương tác, sẽ tiến tới xấp xỉ bằng nhau! Khai triển đa cực cho tiết diện tán xạ electron-hạt nhân ở năng lượng cao cũng là một hệ quả của khai triển đa cực cho dòng chuyển dời. Bên cạnh các thừa số dạng điện từ quen thuộc còn có các thừa số dạng của tương tác yếu là thừa số dạng vectơ và thừa số dạng trục [40, 62, 71-72, 74, 93]. Việc tính toán các thừa số dạng đa cực sẽ giúp thu được những thông tin chi tiết hơn về tính chất của hạt nhân và làm sáng tỏ vai trò của tương tác yếu mà đã bị bỏ qua trong các nghiên cứu chỉ xét tương tác điện từ. Các thừa số dạng trục thường được tính theo cách gần đúng vì chưa có cách tính trực tiếp cho chúng. Theo phép gần đúng xung lực, dòng đối lưu được bỏ qua và thừa số dạng trục được xác định qua thừa số dạng điện từ [40, 62, 74]. Người ta dùng hệ số dòng họ [50, 60, 67, 85, 91], ma trận mật độ hạt hoặc hàm phổ [4, 8-9, 21, 37, 40, 42-47] để chuyển yếu tố ma trận đa hạt sang yếu tố ma trận đơn hạt. Từ đó, các thừa số dạng đa cực được xác định thông qua tính toán các yếu tố ma trận đa hạt. Các nghiên cứu [39-40, 42, 62, 72, 74, 110] thực hiện theo hướng này cho hạt nhân nhẹ. Các tính toán cụ thể cho thừa số dạng điện từ đã được thực hiện hoàn chỉnh ở năng lượng thấp bởi Willey [110]. Trong đó, các công thức tính yếu tố ma trận được xây dựng dựa trên mẫu lớp nhiều hạt [1, 28] và lý thuyết mômen động lượng góc. 8
Tuy nhiên, phép gần đúng xung lực chỉ thích hợp áp dụng cho tán xạ nucleon-nucleon trong không gian tự do, tương ứng với năng lượng trung bình và góc tán xạ nhỏ. Ngoài ra, các đại lượng cơ bản của tương tác yếu như mật độ dòng vectơ, mật độ dòng trục cùng với các thừa số dạng tương ứng với khai triển đa cực của chúng cần được tính theo cách chính xác giống như đã thực hiện đối với tương tác điện từ. Do đó, nghiên cứu này nhằm tính toán hoàn chỉnh cho các thừa số dạng đa cực, hay rộng hơn là cho tiết diện tán xạ, của hạt nhân nhẹ trong tán xạ electron sử dụng lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu. Qua đó góp phần bổ sung hoàn thiện các tính toán lý thuyết liên quan đến tán xạ electron-hạt nhân. Các công thức tính yếu tố ma trận rút gọn sẽ được suy ra dựa trên mẫu lớp nhiều hạt và hệ số dòng họ. Nhờ đó có thể tính toán trực tiếp tất cả các thừa số dạng đa cực mà không dùng bất kỳ phép gần đúng nào. Các công thức sau đó được áp dụng tính toán cho một vài hạt nhân điển hình mà đã được thực hiện chính xác ở năng lượng thấp. Quy ước kí hiệu in đứng-đậm biểu thị vectơ, in nghiêng-thường biểu thị độ lớn vectơ hoặc đại lượng vô hướng và = c =1. Bên cạnh phần Mở đầu và Kết luận, nội dung chính của luận án được chia thành ba Chương gồm: Chương 1 trình bày tổng quan về khai triển đa cực trong tán xạ electron-hạt nhân. Trước tiên, cách thức khai triển cho tiết diện tán xạ theo thừa số dạng đa cực sử dụng phép gần đúng Born được làm rõ dựa trên nghiên cứu của Weigert- Rose [109]. Tiếp theo, phương pháp tính toán các thừa số dạng đa cực điện từ được phân tích dựa trên nghiên cứu của Willey [110] và một số tác giả. Sau cùng, việc mở rộng phương pháp khai triển đa cực áp dụng cho tán xạ ở năng lượng cao [37-40, 41-44, 55, 62, 71-74] cũng được trình bày cụ thể. Chương 2 mô tả cách thức tính toán cho tán xạ electron-hạt nhân ở năng lượng cao, xét với các electron phân cực và hạt nhân không định hướng. Trước tiên là khai triển đa cực cho tiết diện tán xạ trong khuôn khổ lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu và suy ra biểu thức độ bất đối xứng xác định qua các thừa số dạng. Tiếp theo là xây dựng biểu thức cụ thể của các toán tử đa cực trong khuôn khổ 9
mẫu lớp nhiều hạt, từ đó dùng phương pháp hệ số dòng họ suy ra công thức tính trực tiếp cho các thừa số dạng. Ở phần cuối chương là áp dụng tính thừa số dạng đa cực của hạt nhân 6Li, 7Li và 7Be trong tán xạ đàn hồi ở trạng thái cơ bản và của hạt nhân 7Li trong tán xạ tựa đàn hồi tương ứng với sự dịch chuyển từ trạng thái cơ bản lên trạng thái gần nhất. Bộ ba gồm hai hạt nhân bền và một hạt nhân không bền được chọn để khảo sát vì đều là các hạt nhân nhẹ tuân theo mẫu lớp và có nhiều dữ liệu thực nghiệm cùng với dữ liệu lý thuyết sẵn có để kiểm chứng các kết quả tính toán khi xét ở năng lượng thấp. Ngoài ra, sự sai khác nhau bởi một nucleon ở lớp ngoài cùng có khả năng dẫn đến những đặc trưng mà có thể được tìm thấy khi so sánh một số đại lượng vật lý tính được cho chúng. Chương 3 nêu ra các tính toán bằng số tương ứng với các trường hợp đã xét ở Chương 2, áp dụng lý thuyết Weinberg-Salam. Cụ thể là tiết diện tán xạ toàn phần của hạt nhân với electron không phân cực được khảo sát theo năng lượng và góc tán xạ. Bên cạnh đó, mức độ đóng góp của tương tác yếu trong tương tác hợp nhất được ước tính thông qua tỉ số tiết diện tán xạ. Ngoài ra, mức độ vi phạm chẵn lẻ cũng được đánh giá thông qua độ bất đối xứng. 10
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ KHAI TRIỂN ĐA CỰC TRONG TÁN XẠ ELECTRON-HẠT NHÂN Chương này trình bày tổng quan về khai triển đa cực trong tán xạ electron- hạt nhân và phương pháp tính các thừa số dạng đa cực, trước tiên là trong khuôn khổ lý thuyết điện từ và sau đó là trong lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu. 1.1. Các thừa số dạng đa cực Nghiên cứu liên quan đến tán xạ electron-hạt nhân ở năng lượng thấp đã thực hiện hoàn chỉnh về nhiều mặt vào cuối những năm 1950 đến đầu những năm 1960 [59, 97, 109-110]. Với các hạt nhân nhẹ, kết quả thí nghiệm phù hợp với các trạng thái kích thích đơn hạt, trong đó đóng góp của tương tác điện và tương tác từ có cùng bậc độ lớn như đóng góp của tương tác Coulomb. Trong nghiên cứu lý thuyết, thông tin về quá trình tán xạ có thể thu được nhờ tính toán đại lượng gọi là tiết diện tán xạ. Khi xét tán xạ của electron với các hạt nhân nhẹ, phương pháp khai triển đa cực thường được sử dụng. Các tính toán dùng phép gần đúng Born cho kết quả khá chính xác khi hạt nhân thỏa mãn điều kiện Z  1 (  là hằng số tương tác điện từ, Z là số prôton) và electron được mô tả bởi sóng phẳng hoặc sóng phẳng biến dạng [5, 36, 68, 94]. Trong khai triển đa cực, các dòng chuyển dời bên trong hạt nhân được khai triển thành các thành phần có mômen động lượng góc xác định gọi là các thừa số dạng và từ đó tiết diện tán xạ cũng được biểu diễn qua chúng. Các thừa số dạng đa cực là thành phần cơ bản nhất mà qua đó có thể thu được thông tin chi tiết về tính chất của hạt nhân. Phương pháp khai triển đa cực được Weigert-Rose [109] thực hiện đầu tiên cho tán xạ điện từ của electron phân cực và hạt nhân định hướng. Theo Weigert-Rose, tiết diện tán xạ của quá trình được xác định bởi:  (k, k, ξ) = Sp[A(k, k)  (ξ) A+ (k, k)] , (1.1) 11
trong đó kí hiệu Sp biểu thị lấy vết của ma trận. Biên độ tán xạ được tính bởi k A(k, k ) = [ ]1/2[( + 1)T11 + T12 σ.k ] , trong đó ma trận T (k, k) cho k ( + 1)(  + 1) phép biến đổi biên độ spinơ electron từ trạng thái đầu sang trạng thái cuối theo hệ thức u(k) = T (k, k)u(k ) . Kí hiệu  ,   là năng lượng của electron trước và sau tán xạ và k, k là xung lượng của electron trong không gian ba chiều. Ma trận mật độ phân cực của electron phi tương đối tính có biểu thức  (ξ) = (1+ ξ.σ)/2 , với ξ là vectơ phân cực và σ là vectơ có các thành phần là ma trận Pauli. Biên độ tán xạ trong (1.1) được xác định từ phương trình Schrödinger của bài toán tán xạ: (H − E) = 0 , (1.2) trong đó H = He + HN + Hint là Hamiltonian và E là năng lượng chung của hệ. Hàm sóng electron có dạng sóng phẳng và He là Hamitonian Dirac của hạt chuyển động tự do. Hamiltonian hạt nhân HN phụ thuộc vào mô hình cấu trúc của hạt nhân và cần xác định cụ thể khi tính toán các thừa số dạng đa cực. Trong phép gần đúng Born, Hamiltonian Hint mô tả tương tác điện từ trễ của electron và hạt nhân tương ứng với số hạng bậc thấp nhất của hằng số liên kết. Hàm sóng của hệ được sử dụng ở dạng tiệm cận: eik.r  = u (k )e  i + u (k) ik .r f , (1.3) r trong đó  i và  f là hàm sóng mô tả trạng thái đầu và trạng thái cuối của hạt nhân. Từ đó, biên độ tán xạ được xác định qua mật độ dòng chuyển dời điện từ của hạt nhân trong không gian xung lượng. Trong không gian xung lượng, mật độ dòng chuyển dời được suy ra nhờ vào phép biến đổi Fourier:  (q) =   (r)eiq.r d 3r, J (q) =  J (r)eiq.r d 3r , (1.4) trong đó  (r) , J (r) là thành phần tọa độ thời gian và thành phần tọa độ không gian của mật độ dòng của hạt nhân trong không-thời gian bốn chiều. 12
Khi tính toán biên độ tán xạ, các thành phần của mật độ dòng chuyển dời (1.4) được khai triển theo đa cực trong hệ tọa độ chu trình. Ở đây, các đại lượng được kí hiệu theo quy ước chung của luận án để thuận tiện cho tính toán sau này. Trước tiên, chọn hệ tọa độ Descartes có các vectơ đơn vị e z = q, e y = k  k, e x = e ye z , tức là trục OZ dọc theo chiều của xung lượng truyền, trục OY vuông góc với mặt phẳng tán xạ và trục OX nằm trong mặt phẳng này. Kí hiệu a  a/|a| biểu thị vectơ đơn vị theo hướng của a. Hệ tọa độ chu trình [3, 105-106] là hệ tọa độ có các vectơ đơn vị xác định bởi ζ0 = e z , ζ1 =− ( e x + ie y )/ 2 . Chúng thỏa mãn điều kiện trực giao ζp .ζ p =  pp với p, p = 0,  1 . Một vectơ bất kì có thể được biểu diễn qua các vectơ đơn vị trong hệ tọa độ chu trình, trong đó thành phần tương ứng với ζ 0 gọi là thành phần dọc và thành phần tương ứng với ζ 1 gọi là thành phần ngang. Liên hệ giữa xung lượng truyền với xung lượng trước và sau tán xạ của electron được minh họa như Hình 1.1, với θ là góc tán xạ. ez k q θ O ey k’ ex Hình 1.1. Hệ tọa độ mô tả quá trình tán xạ đang xét Sử dụng biểu thức khai triển của sóng phẳng theo sóng cầu quen thuộc trong cơ học lượng tử, có thể suy ra khai triển đa cực cho mật độ dòng hạt nhân trong hệ tọa độ chu trình có dạng:  (q) =  4 (2 L +1) D0Lm( ,  ,0) S Lm(q) ,  C (1.5a) Lm J (q) =  4 (2 L +1) D pm( ,  ,0) S Lm(q)ζp , ( p = 0, 1) . L p (1.5b) Lmp 13
Hàm Wigner có dạng Dpm( ,  ,) , với biến số là các góc Euler. Vì chọn k và L k  nằm trong mặt phẳng (e x ,e z ) nên  = 0. Kí hiệu S Lm(q) , SLm(q)  S Lm(q) và C 0 1 S Lm(q) là các đa cực Coulomb, dọc và ngang [109]. Đa cực ngang liên hệ với đa 1 cực điện và đa cực từ bởi hệ thức S Lm(q) = − (S Lm  S Lm)/ 2 . Biểu thức ngược của E M các đa cực là: S Lm(q) = i L   (r)ALm(q, r)d 3r , C C (1.6a) S Lm(q) = i L−1 J (r).A||Lm(q, r)d 3r , || (1.6b) S Lm(q) = i L+1 J (r).A E (q, r)d 3r , E Lm (1.6c) S Lm(q) = i L  J (r).A M (q, r)d 3r , M Lm (1.6d) với ALm(q, r) = jL (qr)YLm(r) , A Lm(q, r) = [ALm(q, r)]/ q , A E (q, r) =− i[A M (q, r)]/ q C C Lm Lm và A M (q, r) = jL (qr)YLm(r) là các trường đa cực cơ sở của một trường vectơ [3, Lm L 74, 80] và i là thừa số ảo. Kí hiệu jL(qr) , YLm(r ) và YLm(r) lần lượt là hàm L Bessel cầu, hàm cầu và hàm cầu vectơ [89-90, 104], trong đó: YLm(r) =  CLm1 pYLm(r)ζ p , LYLm(r) = L(L +1)YLm(r) . L Lm L (1.7) mp Trong lý thuyết lượng tử, mật độ dòng chuyển dời là toán tử nên các biểu thức (1.5) và (1.6) đều là toán tử. Để tính toán tiết diện tán xạ, trước tiên cần tính các biên độ chuyển dời của dòng (1.5), hay tương đương với yếu tố ma trận của các thành phần đa cực (1.6), giữa trạng thái đầu |i  |JM và trạng thái cuối ˆ ˆX |f  |J'M', tức là cần tính các biểu thức J M |J  |JM  hay J M |S Lm |JM  . Vì ˆX S Lm là toán tử tenxơ cầu hay tenxơ đa cực bậc Lm nên theo định lý Wigner- Eckart các số lượng tử hình chiếu M, m, M' có thể được gom lại trong hệ số Clebsch-Gordan và thừa số còn lại không chứa chúng: ˆX (−1) 2 L J M  ˆX J M |S Lm|JM  = CJM LmJ ||S L ||J  . (1.8) 2 J  +1 14
ˆX Thừa số S L J ||S L ||J  là yếu tố ma trận rút gọn và được gọi là thừa số dạng đa X cực, trong đó X = C, ||, E, M. Ngoài ra, vì dòng điện từ bảo toàn nên mật độ dòng thỏa mãn phương trình liên tục:  + div J = 0 . (1.9) t Theo đó, thành phần dọc được xác định thông qua thành phần Coulomb nhờ hệ thức S Lm =  S Lm /q . Khai triển đa cực cho dòng chuyển dời của hạt nhân trong hệ C tọa độ chu trình dẫn đến hệ quả là tiết diện tán xạ được khai triển theo các thừa số dạng đa cực gồm thừa số dạng Coulomb, thừa số dạng điện và thừa số dạng từ. Biểu thức khai triển tiết diện tán xạ hoàn chỉnh của electron phân cực và hạt nhân định hướng là tổng có dạng  = 0 + a + p, trong đó mỗi số hạng đều xác định qua các thừa số dạng đa cực S L . Hai số hạng 0 và a là tiết diện tán X xạ tương ứng với electron không phân cực, trong đó số hạng thứ hai phát sinh ứng với định hướng spin của hạt nhân theo kiểu sắp hàng. Số hạng p là tiết diện tán xạ tương ứng với phân cực của electron, xuất hiện khi cả electron và hạt nhân đều phân cực. Phương pháp khai triển đa cực thực hiện bởi Weigert-Rose áp dụng cho tán xạ electron-hạt nhân ở năng lượng thấp, bỏ qua sự giật lùi của hạt nhân và biểu thức độ phân cực của electron tính theo lý thuyết phi tương đối tính. Nhóm tác giả dừng lại ở biểu thức chung của tiết diện tán xạ khai triển theo đa cực mà không nêu ra phương pháp tính toán cụ thể cho các thừa số dạng. Chúng được xem như là các tham số phụ thuộc vào xung lượng truyền và xác định bằng cách đối chiếu tiết diện tán xạ lý thuyết với tiết diện tán xạ thực nghiệm. Phương pháp khai triển đa cực cũng được Willey thực hiện trước đó cho trường hợp tán xạ điện từ của electron không phân cực và hạt nhân không định hướng. Trong đó, tác giả làm rõ điều kiện áp dụng các phép tính gần đúng và 15
đưa ra công thức tính cho các thừa số dạng đa cực. Các công trình của Willey và Weigert-Rose có thể xem như các tính toán hoàn chỉnh cho tán xạ của electron và hạt nhân nhẹ ở năng lượng thấp. 1.2. Phương pháp tính thừa số dạng đa cực Các nghiên cứu lý thuyết về tán xạ electron-hạt nhân bằng phương pháp khai triển đa cực đều liên quan đến các thừa số dạng đa cực. Việc tính thừa số dạng tương đương với tính các yếu tố ma trận rút gọn của toán tử đa cực ứng với chuyển dời trạng thái của hạt nhân. Mật độ dòng chuyển dời và hàm sóng dùng trong tính toán phải dựa trên một mô hình nào đó về cấu trúc hạt nhân. Ở năng lượng thấp, các tính toán cho hạt nhân nhẹ trong khuôn khổ mẫu lớp nhiều hạt cho kết quả khá chính xác khi đối chiếu dữ liệu thực nghiệm [59, 97, 110]. Các đại lượng vật lý của hạt nhân xác định theo mẫu lớp nhiều hạt là tổng của các đại lượng tương ứng của từng nucleon, kể cả mật độ dòng chuyển dời. Mật độ dòng chuyển dời bên trong hạt nhân sẽ chỉ phụ thuộc vào biến của một hạt nếu xem các nucleon là các hạt đồng nhất. Giả thiết cơ bản trong mẫu lớp là mỗi nucleon xem như chuyển động độc lập trong giếng thế mô tả tương tác trung bình của hạt đang xét với các hạt còn lại. Thế tương tác được đưa vào sao cho biểu thức Hamiltonian của hạt nhân có dạng H N = H N + H N , trong đó H N là tổng Hamiltonian của các nucleon riêng lẻ 0 1 0 bao gồm động năng cộng với thế năng, H 1 là Hamiltonian biểu thị tương tác dư N được xác định bởi hiệu giữa số hạng tương tác nhiều hạt và số hạng tương tác một hạt. Tuy thế năng một hạt trong H N có thể tính khá chính xác trong phạm vi 0 sai số phù hợp với thực nghiệm nhờ vào lý thuyết Hartree-Fock nhưng thực tế người ta dùng các hàm thế đơn giản hơn, đồng thời H 1 cũng được tính gần N đúng bằng lý thuyết nhiễu loạn. Hàm thế dao động tử điều hòa và hàm thế Woods-Saxon được sử dụng phổ biến hơn cả trong các tính toán vì mô tả gần với thế Hartree-Fock bên trong hạt nhân nhất [36]. 16