Luận văn: Điều kiện cực trị cho bào toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

144
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phép tính biến thiên cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủ trơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nào cũng bảo đảm.Vào khoảng những năm 60 của thế kỹ trước, một thành tựa nỗi bật trong lý thuyết điều khiển tối ưu.............

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Điều kiện cực trị cho bào toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n Lª §×nh Träng §iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc Quy nh¬n - 2008
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n Lª §×nh Träng §iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc Chuyªn ngµnh : To¸n Gi¶i tÝch M· sè : 60 46 01 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc TSKH - Huúnh V¨n Ng·i Quy nh¬n - 2008
1 Môc Lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch-¬ng 1. kiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. D-íi vi ph©n proximal vµ c«ng thøc tæng mê . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Nãn ph¸p tuyÕn proximal .................... 6 1.2.2. D-íi vi ph©n proximal ...................... 7 1.2.3. C«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal . . . . . . . . . . . 8 Ch-¬ng 2. ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Bµi to¸n Bolza tæng qu¸t - ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ ........... 12 2.2. Chøng minh ®Þnh lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 . D-íi vi ph©n cña hµm bao låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 . Bµi to¸n phô: sù níi láng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 . §iÒu kiÖn cÇn cho bµi to¸n phô . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 . Chøng minh ®Þnh lÝ 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ch-¬ng 3. bµi to¸n qui ho¹ch ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. §iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. TÝnh chÝnh quy .............................. 40 3.3. Chøng minh ®Þnh lý3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4. nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Mét sè ký hiÖu Nãn ph¸p tuyÕn proximal cña S t¹i x. P NS (x) D-íi vi ph©n proximal cña f t¹i x. ∂ p f (x ) Trªn ®å thÞ cña f . epif §å thÞ cña f . graphf MiÒn h÷u hiÖu cña f . domf Hµm chØ cña tËp S . δ S (x ) Giíi h¹n d-íi vi ph©n proximal cña f t¹i x. ∂f (x) Kh«ng gian ®èi ngÉu cña X . X∗ Bao låi cña S . convS HÇu kh¾p n¬i. h.k.n Kho¶ng c¸ch tõ x tíi tËp S . ρS (x)
3 Më ®Çu PhÐp tÝnh biÕn ph©n cæ ®iÓn ra ®êi vµo thÕ kû 18, g¾n liÒn víi nh÷ng tªn tuæi lín nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli,... nh»m môc ®Ých gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ xuÊt hiÖn trong vËt lý vµ c¬ häc. Nh÷ng thµnh tùu vµ ph-¬ng ph¸p cña nã cµng ngµy cµng th©m nhËp vµo rÊt nhiÒu lÜnh vùc khoa häc, kû thuËt kh¸c nhau. PhÐp tÝnh biÕn ph©n cæ ®iÓn chØ giíi h¹n xem xÐt nh÷ng hµm vµ to¸n tö ®ñ tr¬n. Tuy nhiªn trong nhiÒu bµi to¸n thùc tiÔn, yªu cÇu nµy kh«ng ph¶i lóc nµo còng ®¶m b¶o. Vµo kho¶ng nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tr-íc, mét thµnh tùu næi bËt trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi -u ra ®êi ®ã lµ nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin, ®-îc ®-a ra bëi nhµ to¸n häc xuÊt chóng ng-êi Nga Pontryagin. KÕt qu¶ nµy ®¸nh dÊu mét mèc lín trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi -u. Trong kho¶ng vµi chôc n¨m gÇn ®©y, víi nh÷ng thµnh tùu cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n cô thÓ lµ lý thuyÕt vi ph©n tæng qu¸t, cho phÐp ta xem xÐt nh÷ng bµi to¸n biÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u mµ d÷ kiÖn cña nã kh«ng nhÊt thiÕt tr¬n. §iÒu nµy kh«ng nh÷ng cã ý nghÜa vÒ mÆt lý thuyÕt mµ cßn më réng ph¹m vi øng dông, bëi v× nh÷ng bµi to¸n trong thùc tiÔn th-êng lµ kh«ng tr¬n. H¬n n÷a, nh÷ng ph-¬ng ph¸p vµ thµnh tùu cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n cho phÐp ta ®-a ra chøng minh ®¬n gi¶n h¬n cho c¸c kÕt qu¶ biÕn ph©n cæ ®iÓn, vµ gióp cho ta cã mét c¸i nh×n nhÊt qu¸n trong mét bèi c¶nh tæng qu¸t nh÷ng bµi to¸n biÕn ph©n cæ ®iÓn. Môc ®Ých cña luËn v¨n kh«ng ngoµi viÖc ®äc hiÓu, hÖ thèng nh÷ng kÕt qu¶ gÇn ®©y vÒ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n tæng qu¸t Bolza vµ bµi to¸n qui ho¹ch ®éng kh«ng tr¬n nh- ®iÒu kiÖn Euler, Weierstrass, nguyªn lý cùc ®¹i. Chñ yÕu lµ nh÷ng kÕt qu¶ trong hai bµi b¸o cña Rockafellar vµ Ioffe [4], [5]. Ngoµi phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn, luËn v¨n ®-îc chia lµm ba ch-¬ng. Ch-¬ng I: Tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm, ®Þnh lý sÏ dïng trong c¸c ch-¬ng sau. Chøng minh c«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal.
4 Ch-¬ng II: Nªu ®Þnh lý ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tæng qu¸t cña Bolza khi d÷ kiÖn lµ kh«ng tr¬n vµ qui tr×nh chøng minh ®Þnh lý. §-a ra hai vÝ dô minh ho¹ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý. Ch-¬ng III: XÐt bµi to¸n qui ho¹ch ®éng trong tèi -u ®iÒu khiÓn. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ, nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin khi d÷ kiÖn lµ kh«ng tr¬n.
4 Ch-¬ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch-¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm, ®Þnh lý sÏ ®-îc dïng ë c¸c ch-¬ng sau. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Banach vµ cho f : X −→ R ∪ {+∞}. Ta dïng nh÷ng ký hiÖu sau: MiÒn h÷u hiÖu cña hµm f, domf := {x ∈ X : f (x) < +∞}. Trªn ®å thÞ cña hµm f , epif := {(x, α) ∈ domf × R : f (x) ≤ α}. §å thÞ cña hµm f , graphf := {(x, α) ∈ X × R : f (x) = α}. Hµm f ®-îc gäi lµ chÝnh th-êng (proper) nÕu domf = ∅. Hµm f lµ Lipschitz ®Þa ph-¬ng t¹i x ∈ X , nÕu tån t¹i l©n cËn U cña x ∈ X vµ sè K > 0 sao cho (1.1) f (x) − f (x ) ≤ K x − x , ∀ x, x ∈ U. Hµm f ®-îc gäi lµ Lipschitz ®Þa ph-¬ng trªn X , nÕu f Lipschitz ®Þa ph-¬ng t¹i mäi x ∈ X . Hµm f ®-îc gäi lµ Lipschitz víi h»ng sè Lipschitz K trªn X , nÕu (1.1) ®óng víi mäi x, x ∈ X . Hµm sè f : X −→ (−∞, +∞] ®-îc gäi lµ nöa liªn tôc d-íi t¹i x ∈ X nÕu lim inf f (x) ≥ f (x) (víi f (x) < ∞), tøc lµ víi mäi ε > 0, tån t¹i l©n cËn U cña x x→x sao cho (1.2) f (x) − ε ≤ f (y ), ∀ y ∈ U. NÕu f (x) = +∞, th× f ®-îc gäi lµ nöa liªn tôc d-íi t¹i x, nÕu víi mäi N > 0 tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho (1.3) f (y ) ≥ N, ∀ y ∈ U. Hµm f ®-îc gäi lµ nöa liªn tôc d-íi nÕu f nöa liªn tôc d-íi t¹i mäi x ∈ X . NÕu thay (1.2) vµ (1.3) t-¬ng øng bëi (1.4) vµ (1.5) ta ®-îc ®Þnh nghÜa hµm nöa liªn tôc trªn t¹i x. (1.4) f (y ) ≤ f (x) + ε, ∀ y ∈ U. (1.5) f (y ) ≥ −N, ∀ y ∈ U.
5 Cho S ⊂ X , hµm chØ cña tËp S ®-îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh- sau nÕu x∈S 0 δ S (x ) = nÕu ∞ x∈S / Ta thÊy r»ng hµm f ®¹t cùc tiÓu trªn S ⊂ X khi vµ chØ khi f + δS ®¹t cùc tiÓu trªn X . 1.1. Hµm låi Hµm f : X −→ R ∪ {+∞} ®-îc gäi lµ hµm låi nÕu nã tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y ), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]. Gi¶ sö (X, . ) lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f : X −→ R lµ mét phiÕm hµm låi. Víi mäi x ∈ X , tËp tÊt c¶ c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc l trªn X ký hiÖu ∂f (x) sao cho f (x ) ≥ f (x ) + l (x − x ) ∀ x ∈ X ®-îc gäi lµ d-íi vi ph©n cña f t¹i x. Mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc l ∈ ∂f (x) gäi lµ d-íi vi ph©n cña f t¹i x. Cho f : Rn −→ [−∞, +∞] lµ mét hµm bÊt kú. Hµm f ∗ (x∗) = sup{ x∗ , x − f (x)| x ∈ Rn }, ®-îc gäi lµ hµm liªn hîp cña f . §Þnh lý 1.1.1. [7] Víi mäi hµm sè f , hµm liªn hîp f ∗ lµ mét hµm låi ®ãng tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc Fenchel sau f ∗ (x∗ ) ≥ x∗ , x − f (x) ∀x, x∗ ∈ Rn . Nãi riªng nÕu f låi chÝnh th-êng th× f∗ låi chÝnh th-êng. §Þnh lý 1.1.2. [7] Cho f lµ mét hµm trªn X th× hµm liªn hîp f ∗ lµ låi vµ ®ãng trong t«p« yÕu* cña kh«ng gian X∗ . §Þnh lý 1.1.3. [8](Moreau - Rockafellar) Gi¶ sö f1 , . . . , fn lµ c¸c hµm låi chÝnh th-êng trªn X . Khi ®ã ∀x ∈ X, ∂ (f1 + . . . + fn ) ⊃ ∂f1(x) + . . . + ∂fn (x).
6 NÕu tÊt c¶ c¸c fi , i = 1, . . . , n lµ hµm låi chÝnh th-êng trªn X trõ mét sè hµm liªn tôc t¹i x ∈ domf1 domfn th× ta cã ®¼ng thøc. ... §Þnh lý 1.1.4. [8] (Lyapunov) Cho T lµ mét tËp vµ µ1 , µ2 , . . . , µn lµ c¸c ®é ®o h÷u h¹n liªn tôc x¸c ®Þnh trªn mét σ − ®¹i sè c¸c tËp con cña T . Th× h¹ng cña ®é ®o vect¬ m = (µ1 , . . . , µn) lµ låi vµ ®ãng. §Þnh lý 1.1.5. [8] (Mazur) Cho X lµ mét kh«ng gian Banach vµ cho mét ®iÓm x thuéc vµo mét tËp ®ãng yÕu A ⊂ X . Th× tån t¹i mét d·y tæ hîp låi c¸c phÇn tö cña A héi tô tíi x theo chuÈn. Chó ý 1.1.6. Mét tËp F ⊂ X ®-îc gäi lµ ®ãng yÕu theo d·y nÕu d·y {x n} ⊂ F cã giíi h¹n yÕu lµ x th× x ∈ X. §Þnh lý 1.1.7. [1] (Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland) Gi¶ sö (X, ρ) lµ kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ f : X −→ R ∪ {+∞} lµ mét hµm chÝnh th-êng nöa liªn tôc d-íi vµ bÞ chÆn d-íi. §iÓm u ∈ X vµ ε > 0 tháa m·n f (u) ≤ inf f + ε. Khi ®ã, víi bÊt kú λ > 0, tån t¹i v ∈ X sao cho (i) f (v ) ≤ f (u), (ii) ρ(v, u) ≤ λ, ε (iii) f (w) + ρ(w, v ) > f (v ), ∀w ∈ X, w = v. λ 1.2. D-íi vi ph©n proximal vµ c«ng thøc tæng mê . Nãn ph¸p tuyÕn proximal 1.2.1 Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ S lµ tËp con kh¸c rçng cña X . Gi¶ sö x ∈ X, x ∈ S . / NÕu tån t¹i s ∈ S sao cho kho¶ng c¸ch tõ s ®Õn x lµ nhá nhÊt th× s ®-îc gäi lµ h×nh chiÕu cña x lªn S . TËp gåm c¸c h×nh chiÕu cña x lªn S ký hiÖu lµ projS (x). VÐc t¬ x − s ®-îc gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn proximal cña S t¹i x. Nãn ph¸p tuyÕn proximal cña tËp S t¹i s ký hiÖu NS (s) ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau P P NS (s) := ζ ∈ X : ζ = t(x − s), t ≥ 0, s ∈ projS (x) .
7 Hµm kho¶ng c¸ch ρS : X → R ®-îc x¸c ®Þnh bëi ρS (x) := inf { x − s : s ∈ S }, ta còng cã thÓ viÕt ρ(x, S ) thay cho ρS (x). MÖnh ®Ò 1.2.1. [2] a) BÊt ®¼ng thøc ph¸p tuyÕn proximal ζ ∈ NN (s) ⇔ ∃σ ≥ 0 sao cho ζ , s − s ≤ σ s − s 2 S ∀s ∈ S. H¬n n÷a, víi mäi δ > 0 cho tr-íc ta cã b) ζ ∈ NN (s) ⇔ ∃σ ≥ 0 sao cho ζ , s − s ≤ σ s − s 2 S ∀s ∈ S ∩ B (s, δ ). c) NÕu S lµ tËp låi vµ ®ãng th× S ζ ∈ NN (s) ⇔ ζ , s − s ≤ 0 ∀s ∈ S. . D-íi vi ph©n proximal 1.2.2 §Þnh nghÜa 1.2.2. [4] Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ f : X → R ∪{+∞} = R. D-íi vi ph©n proximal cña hµm nöa liªn tôc d-íi f t¹i mét ®iÓm x víi f (x) h÷u h¹n, ký hiÖu ∂ p f (x) lµ mét phÇn tö x∗ ∈ X ∗ sao cho tån t¹i > 0, k > 0, f (x + u ) − f (x ) − x ∗ , u ≥ − k u 2 , nÕu u 0; η > 0 : f (y ) ≥ f (x) + ζ , y − x − σ y − x ∀y ∈ B (x, η ). Khi x ∈ S vµ S lµ ®ãng th× (1.6) N (S, x) = λ∂ρ(x, S ). λ≥0
8 Trong ®ã ρ lµ hµm kho¶ng c¸ch víi chuÈn trong Rn . (1.7) ∂ρ(x, S ) = N (x, S ) ∩ B B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ trong Rn . . C«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal 1.2.3 Trong phÇn nµy ta xem xÐt vÒ -íc l-îng xÊp xØ d-íi vi ph©n cña mét tæng c¸c hµm bëi trung b×nh céng cña xÊp xØ d-íi vi ph©n. §Þnh lý 1.2.4. [4] Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ f 1 , . . . , fk lµ (gi¸ trÞ thùc më réng) c¸c hµm x¸c ®Þnh vµ nöa liªn tôc d-íi trªn mét l©n cËn cña x, h÷u h¹n t¹i x. Gi¶ sö tÝnh chÊt nöa liªn tôc d-íi ®-îc lÊy trªn ®-êng th¼ng. (ULC) Cã mét δ > 0 sao cho víi bÊt k× k , c¸c d·y {xir }, i = 1, . . . , k; r = 1, 2, . . . thuéc h×nh cÇu t©m x b¸n kÝnh δ tho¶ xir − xjr → 0 khi r → ∞, cã mét d·y {ur } c¸c phÇn tö cña h×nh cÇu sao cho xir − ur → 0 vµ fi (xir ) − fi (ur ) ≥ 0. lim inf r →∞ i Th× víi mäi x∗ ∈ ∂p fi (x) vµ mäi ε > 0 cã ui , u∗ , i = 1, . . . , k sao cho i i fi (ui) − fi (x) ≤ ε; ui − x < ε, u∗ ∈ ∂p fi (ui ); u∗ − x∗ < ε. i i i Chøng minh. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö x = 0; fi (0) = 0 vµ x∗ = 0. (NÕu kh«ng ta thay fi (x) bëi fi (x+x)−fi(x)−k −1 x∗ , x ) Ta cã 0 ∈ ∂p fi (0), nghÜa lµ cã N > 0 vµ δ > 0 sao cho i fi (0) + 0, x − N x 2 , x < δ. fi (x + 0) ≥ i i fi (x) ≥ −N x 2 , khi ⇐⇒ x < δ. i Ta cã thÓ gi¶ sö δ ®ñ nhá ®Ó nã kh«ng v-ît qu¸ δ trong (ULC) vµ fi (x) ≥ −1, nÕu x < δ. XÐt hµm
9 xi − xj 2 , 2 φ r (x 1 , . . . , x k ) = fi (xi) + N xi +r i i i,j =⇒ 0 = φr (0, . . . , 0) ≥ αr = inf φr (x1, . . . , xk ) : xi ≤ δ ≥ −k . Do k 2 2 inf φr (x1 , . . . , xk ) : xi ≤ δ = inf xi − xj fi (xi ) + N xi +r i=1 i i,j k ≥ inf fi (xi ) ≥ −k. i=1 1 LÊy x ir sao cho φr (xir , . . . , xkr ) ≤ αr + th× r 1 2 xir − xjr ≤ φr (x1r , . . . , xkr ) < , fi (xi) + r r i i,j 1 xir − xjr 2 ≤ φr (x1r , . . . , xkr ) < , ⇐⇒ −k + r i,j r 1 + kr 1+k 2 ⇐⇒ i,j xir − xjr ≤ ≤ . r2 r 1+k Do ®ã xir − xjr 2 ≤ −→ 0 khi r −→ ∞. r Theo (ULC) cã u r sao cho xir − ur → 0 vµ fi (xir ) − fi (ur ) ≥ 0, lim inf r →∞ i ⇐⇒ fi (xir ) ≥ fi (ur ) + o(1). i i Suy ra 2 2 0≤ ≤ fi (ur ) + kN ur fi (xir ) + N xir + o(1), i i i 1 ≤ φr (xir , . . . , xkr ) + o(1) ≤ + o(1) = o(1). r Do ®ã 2 −→ 0. fi (ur ) + kN ur i Nh-ng ≥ 0 v× vËy u r → 0 víi tÊt c¶ c¸c xir . 2 fi (ur ) + N ur i BÊt ®¼ng thøc trªn suy ra 0≤ lim inf fi (xir ) ≤ lim sup fi (xir ) = 0. r →∞ r →∞ i i §iÒu nµy cã nghÜa lµ víi mçi i ta cã fi (xir ) → 0 hoÆc t-¬ng ®-¬ng víi fi (xir ) − fi (0) −→ 0.
10 δ LÊy σ > 0 ®ñ nhá, nh- σ < vµ mét r = r(σ ) sao cho xir < σ, i = 1, . . . , k vµ 2 r−1 (σ ) < σ 3. Theo nguyªn lý biÕn ph©n tr¬n cña Borwein- Preiss [3] cã c¸c hµm bËc hai 2 − ai , x + βi . i (x ) =x Víi a i ≤ 2δ vµ c¸c ui , i = 1, . . . , k sao cho ui − xir < σ vµ hµm g (x 1 , . . . , x k ) = φ r (x 1 , . . . , x k ) + σ i (x i ), i ®¹t cùc tiÓu t¹i (u1, . . . , uk ) thuéc tËp cña (x1 , . . . , xk ), tho¶ m·n xi < δ vµ khi g (u1, . . . , uk ) ≤ g (x1r , . . . , xkr ) ui < δ, tøc lµ hµm 2 2 2 xi − xj − a i , xi fi (xi ) + N xi +r +σ xi , i i i,j i ®¹t ®-îc mét cùc tiÓu ®Þa ph-¬ng tuyÖt ®èi t¹i (u1 , . . . , uk ). §Æt xi = ui + hi ta cã ui +hi 2 +r ui+hi −(uj +hj ) 2 +σ ui+hi 2− ai , ui +hi − fi (ui+hi )+N i i i,j i 2 2 2 ui − uj − a i , ui fi (ui ) + N ui +r +σ ui . i i i,j i 2 ⇐⇒ fi (ui + hi ) − fi (ui ) + (N + σ )( hi + 2 ui , hi + σ ai, hi i 2 2 + 2 ui − uj , hi − hj ≥ 0. +r hi + hj i,j cho tÊt c¶ c¸c hi ®ñ nhá. Khi i = 1, . . . , k ; h j = δij h, vµ M = N + ε + r. u∗ = −2(N + σ )ui − σai + 2r (u i − u j ) i j Suy ra fi (ui + hi ) − fi (ui ) ≥ u∗ , h − M h 2 , ∀i = 1, . . . , k. i Tøc lµ u∗ ∈ ∂pfi (ui). i
11 MÆc kh¸c tõ u∗ = −2(N + σ )ui − σai + 2r − uj ) j (u i i u∗ = −2(N + σ ) =⇒ ui − σ − uj ) ai + 2r i,j (ui i i i i = −2(N + σ ) ui − σ ai i i u∗ ≤ (2N + σ ) i ui + σ i ai ≤ 2k (2N + σ )σ + kσ.2σ. =⇒ i i ε Víi ε > 0, lÊy σ < ®ñ nhá th× phÇn bªn ph¶i cña bÊt ®¼ng thøc trªn lµ nhá h¬n 2 ε vµ fi (x) ≥ fi (0) − ε khi x < σ.
12 Ch-¬ng 2 ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza tæng qu¸t 2.1. Bµi to¸n Bolza tæng qu¸t - ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ Cho W11 lµ kh«ng gian Banach cña c¸c hµm liªn tôc tuyÖt ®èi trªn [0, 1] vµ lÊy gi¸ trÞ trong Rn , víi x(t) ∈ Lp (xÐt chuÈn, x(.) = |x(0)| + x(.) p, trong ®ã |.| lµ 1 ˙ ˙ p chuÈn Euclicd cña mét vect¬ trong Rn ). XÐt bµi to¸n Bolza tæng qu¸t sau. X¸c ®Þnh hµm trªn W 11 lµm cùc tiÓu phiÕm hµm 1 (2.8) J (x(.)) = l(x(0), x(1)) + L(t, x(t), x(t))dt. ˙ 0 trong ®ã c¸c hµm l, L : Rn −→ R cho tr-íc kh«ng nhÊt thiÕt kh¶ vi vµ liªn tôc. Ta nãi r»ng, cung x∗ (.) ∈ W11 lµ mét cùc tiÓu m¹nh ®Þa ph-¬ng cña J nÕu J (x∗(.)) ≤ J (x(.)) víi mäi x(.) thuéc tËp cã d¹ng 1 x(.) ∈ W1 : x(t) − x∗(t) ≤ ε ∀t ∈ [0, 1], ∀ε > 0 . Ng-îc l¹i, cung x∗(.) ∈ W11 lµ mét cùc tiÓu yÕu ®Þa ph-¬ng cña J nÕu J (x∗(.)) ≤ J (x(.)) víi mäi x(.) thuéc tËp cã d¹ng vµ 1 x(.) ∈ W1 : x(t) − x∗(t) ≤ ε x(t) − x∗(t) ≤ ε t ∈ [0, 1] h.k.n . ˙ ˙ Nh÷ng gi¶ thiÕt sau lµ chuÈn vµ cÇn thiÕt. A1) l(x, y ) lµ hµm nöa liªn tôc d-íi, cã thÓ b»ng +∞ nh-ng kh«ng b»ng −∞ vµ l(x∗(0), x∗ (1)) h÷u h¹n. A2) L(t, x, y ) lµ h÷u h¹n kh¾p n¬i vµ lµ hµm nöa liªn tôc d-íi cña (x, y ) khi t ∈ [0, 1] hÇu kh¾p n¬i. L(t, x, y ) lµ hµm ®o ®-îc víi t theo nghÜa r»ng ¸nh x¹ gi¸ trÞ tËp t −→ epiL(t, ., .) ®o ®-îc tõ [0, 1] vµo Rn × Rn . A3 ) Víi mäi N > 0 cã mét ε > 0 vµ k (t) ∈ L1 , c(t) ∈ L1 sao cho vµ L(t, x, y ) − L(t, x , y ) ≤ k (t)|x − x | |L(t, x, y )| ≤ c(t). khi |y − x∗ (t)| ≤ N ; |x − x∗(t)| ≤ ε; |x − x∗(t)| ≤ ε. ˙
13 Néi dung chÝnh cña ch-¬ng nµy lµ tr×nh bµy chøng minh ®Þnh lý sau. Nã cho nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza tæng qu¸t, ®-îc gi¶i quyÕt bëi Ioffe - Rockafellar. §©y lµ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ rÊt tæng qu¸t cho bµi to¸n víi d÷ kiÖn kh«ng nhÊt thiÕt tr¬n. Chó ý r»ng khi c¸c d÷ kiÖn lµ tr¬n, ®Þnh lý trªn suy ra nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cæ ®iÓn ®· biÕt. §Þnh lý 2.1.1. [4] Gi¶ sö x ∗(t) lµ mét cùc tiÓu ®Þa ph-¬ng cña J (x(t)) víi chuÈn lÊy trong W11 (hoÆc x∗(.) lµ mét cùc tiÓu m¹nh cæ ®iÓn) vµ (A1) - (A3) ®-îc tho¶ m·n th× cã mét cung p(t) ∈ W11 sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®-îc tho¶ m·n. a) §iÒu kiÖn Euler p(t) ∈ conv {w : (w, p(t)) ∈ ∂L(t, x∗(t), x∗(t))} t ∈ [0; 1] h.k.n. ˙ ˙ b) §iÒu kiÖn Weierstrass L(t, x∗(t), y ) ≥ L(t, x∗(t), x∗(t)) + p(t), y − x∗ (t) ∀y, t ∈ [0; 1] h.k.n. ˙ ˙ c) §iÒu kiÖn c¾t ngang (p(0), −p(1)) ∈ ∂l(x∗(0), x∗ (1)). H¬n n÷a ®iÒu kiÖn Euler (a) vµ ®iÒu kiÖn chuyÓn (c) vÉn tho¶ m·n nÕu x (.) ∗ lµ mét cùc tiÓu yÕu cæ ®iÓn. HÖ qu¶ 2.1.2. Víi gi¶ thiÕt nh- trªn,nÕu l, L lµ c¸c hµm tr¬n, ta cã a) §iÒu kiÖn Euler ∂ ∂L ∂L (t, x∗(.), x∗(.) − t, x∗(.), x∗(.) = 0 t ∈ [0; 1] h.k.n. ˙ ˙ ∂t ∂y ∂x b) §iÒu kiÖn Weierstrass ∂L L(t, x∗(t), y ) ≥ L(t, x∗(t), x∗(t)) + (t, x∗(.), x∗(.)), y − x∗(t) ∀y, t ∈ [0; 1] h.k.n. ˙ ˙ ˙ ∂y c) §iÒu kiÖn c¾t ngang ∂l p(0) = (x∗ (0), x∗(0)) ˙ ∂x ∂l p(1) = − (x∗(1), x∗ (1)) ˙ ∂y
14 2.2. Chøng minh ®Þnh lý 2.1.1 §Ó chøng minh ®Þnh lý, ta cÇn mét sè kÕt qu¶ vÒ d-íi vi ph©n cña hµm bao låi sau. 2.2.1. D-íi vi ph©n cña hµm bao låi Cho f : Rm × Rn −→ R lµ mét hµm nöa liªn tôc d-íi. XÐt hµm bao låi cña nã theo biÕn thø hai f (z, y ) = convy f (z, y ) lµ chÝnh th-êng (lu«n lín h¬n −∞ vµ víi mäi z tån t¹i mét y sao cho f (z, y ) < ∞). Ta ®i xem xÐt mèi quan hÖ gi÷a ∂f vµ ∂ f. Theo ®Þnh lý Caratheodory vÒ tÝnh chÊt bao låi ta cã n f (z, y ) = inf Φ(z, yi, λi ) λ0 ≥ 0, . . . , λn ≥ 0 i=0 n i=1 yi = y, i λi = 1 Trong ®ã  y nÕu λf (z, ) λ > 0,  λ Φ(z, y, λ) = 0 nÕu λ = 0 vµ y = 0,   c¸c tr-êng hîp kh¸c. +∞ Ta còng cã thÓ viÕt u = (y0, . . . , yn , λ0 , . . . , λn ) ∈ (Rn )n+1 × Rn+1 , khi f (z, y ) = inf F (z, y, u), u trong ®ã n n n Φ(z, yi, λi ) + δ u| F (z, y, u) = yi = y ; λi = 1 . i=0 i=0 i=0 ë ®ã δ (u|C ) thay thÕ cho hµm chØ thÞ cña C .Tøc lµ nÕu u∈C 0 δ C (u ) = nÕu ∞ u∈C /
15 §Þnh lý 2.2.1. [4] Gi¶ sö hai ®iÒu kiÖn sau ®-îc tho¶ m·n (B) Víi mçi (z, y) ∈ Rm × Rn vµ mçi α ∈ R, cã mét ε > 0 sao cho tËp (z, y, u) : |z − z | ≤ ε; |y − y | ≤ ε; F (z, y, u) ≤ α lµ compact. (C) TËp domf (z, .) = {y : f (z, y ) < ∞} kh«ng phô thuéc vµo z vµ víi mçi y cña tËp nµy f (., y ) lµ Lipschitz ®Þa ph-¬ng. XÐt (z, y) mµ f (z, y) h÷u h¹n. Th× víi mäi (w, v ) ∈ ∂ f (z, y ) tån t¹i u = (y 0, . . . , yn , λ0 , . . . , λn ) tho¶ m·n f (z, y) = F (z, y, u) vµ n +1 vect¬ wi , i = 0, . . . , n sao cho (2.9) λi wi = w; i yi vµ víi mçi i mµ λi > 0, ta cã víi yi = ˆ λi (2.10) (wi , v) ∈ ∂f (z, yi ) ∀i. ˆ HÖ qu¶ 2.2.2. [4] Víi gi¶ thiÕt ®· cho trong ®Þnh lý trªn th× y lµ ®iÓm hiÓn lé cña f t¹i z theo nghÜa. Cùc tiÓu cña f (z, y) chØ ®¹t ®-îc bëi c¸c vect¬ yi u = (y0 , . . . , y n , λ0 , . . . , λn ), vµ víi mçi i mµ λi > 0 vect¬ yi = trïng víi y ˆ λi nãi c¸ch kh¸c, tõ λi ≥ 0, λi y = y, ˆ λi = 1 i i kÐo theo mµ ∀i λi f (z, yi ) = f (z, y ) ˆ yi = y ˆ λi > 0 . i Th× khi (w, v) ∈ ∂ f (z, y) ta cã vµ w ∈ conv {w : (w, v) ∈ ∂f (z, y)}. f (z, y ) ≥ f (z, y ) + v , y − y ∀y. §Ó chøng minh ®Þnh lý, ta cÇn c¸c mÖnh ®Ò sau. MÖnh ®Ò 2.2.3. [4] §iÒu kiÖn (B) ®-îc suy ra tõ ®iÒu kiÖn y khi lim inf λf (z, ) = ∞ (B1 ) y = 0. λ z→z y→y λ 0 Chøng minh. Ta cã  y nÕu λf (z, ) λ > 0,  λ Φ(z, y, λ) = 0 nÕu λ = 0 vµ y = 0,   c¸c tr-êng hîp kh¸c. +∞
16 vµ n n n Φ(z, yi, λi ) + δ u| F (z, y, u) = yi = y ; λi = 1 . i=0 i=0 i=0 V× f lµ hµm nöa liªn tôc d-íi nªn Φ lµ hµm nöa liªn tôc d-íi. Do ®ã F còng lµ hµm nöa liªn tôc d-íi. TiÕp theo, ta cã tËp {(z, y, λ) : z ∈ Z, λ ∈ [0, 1], Φ(z, y, λ) ≤ α} bÞ chÆn víi mäi tËp bÞ chÆn Z ⊂ Rm vµ bÊt kú α ∈ R. ThËt vËy, nÕu tr¸i l¹i ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra, ta sÏ t×m ®-îc c¸c d·y {zν } ⊂ Z ; {λν } ⊂ [0; 1] vµ mét d·y kh«ng bÞ chÆn {y ν } sao cho Φ(zν , y ν , λν ) ≤ α. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ sö z ν → z , λν > 0 vµ 0 < |yν | → ∞. §iÒu kiÖn Φ(z ν , y ν , λν ) ≤ α cã thÓ viÕt l¹i nh- sau yν yν y ν ˆν λν ˆ ˆ víi α ≥ λν f (z ν , ) = λν f (z ν , )|y ν |, yν = ; λ = ν → 0. ˆ ˆ |y ν | |y | ν λ λν Gi¶ sö r»ng yν → y th× |y| = 1 do ®ã ˆ ˆ ˆ yν ˆ α ˆ lim inf λν f (z ν , ) ≤ lim ( ν ) = 0. ˆ ν →∞ |y | λν ν →∞ §iÒu nµy m©u thuÉn víi (B1 ). Bëi tÝnh chÊt nµy cña Φ, cho bÊt kú tËp bÞ chÆn Z ∈ Rn, tån t¹i β ∈ R sao cho khi Φ(z, y, λ) ≥ β, z ∈ Z, λ ∈ [0, 1]. ¸p dông ®iÒu nµy cho Z = {z : |z − z | ≤ ε} t¹i z vµ ε > 0. Víi u = (y 0, . . . , yn , λ0 , . . . , λn ) vµ mäi |z − z | ≤ ε; |y − y| ≤ ε; F (z, y, u) ≤ α. Trë l¹i c«ng thøc cña F (z, y, u), tõ biÓu diÓn cña F (z, y, u) n n n Φ(z, yi , λi ) + δ u| F (z, y, u) = yi = y, λi = 1 , i=0 i=0 i=0 n n n Φ(z, yi , λi ) + δ u| = Φ(z, yi , λi ) + yi = y, λi = 1 i=0 i=0 i=j =0 ta ®-îc Φ(z, yi , λi ) ≤ α − nβ vµ λi ∈ [0; 1] ∀i = 0, . . . , n. Do tËp c¸c (z, yi , λi ) tho¶ m·n |z − z | ≤ ε; λi ∈ [0; 1]; Φ(z, yi, λi ) ≤ γ lµ bÞ chÆn víi mçi γ ∈ R, tÝnh chÊt bÞ chÆn (B ) ®óng.
17 MÖnh ®Ò 2.2.4. [4] §iÒu kiÖn (B 1 ) t-¬ng ®-¬ng víi ®iÒu kiÖn f (z, y ) lµ c-ìng bøc theo y vµ ®Òu ®Þa ph-¬ng theo z , theo nghÜa (B2 ) Cho bÊt kú z vµ ε > 0 tån t¹i mét hµm kh«ng gi¶m θ : [0; +∞) → R víi θ (s ) θ(0) h÷u h¹n, → ∞ khi s → ∞ th× s khi f (z, y ) ≥ θ(|y |) |z − z | ≤ ε. Chøng minh. NÕu (B 2) tho¶ m·n th× |y | θ( ) |y | y λ = ∞. lim inf λf (z, ) ≥ lim inf λθ( ) = |y | lim |y | λ λ z→z y→y y→y λ y→y λ 0 λ 0 λ 0 V× vËy (B 1 ) ®-îc tho¶ m·n. Ng-îc l¹i, víi ®iÒu kiÖn (B1 ) ë trªn, ta cã thÓ chän hµm θ x¸c ®Þnh nh- sau θ (s ) = min Φ(z, y, λ). |z − z | ≤ ε |y | ≥ s λ ∈ [0, 1] Th× (B 2) ®-îc tho¶ m·n. MÖnh ®Ò 2.2.5. [4] Ký hiÖu h(z, v ) = sup y { y, v − f (z, y )}. lµ hµm Hamilton liªn kÕt víi f . Th× (B2) t-¬ng ®-¬ng víi (B3 ) h(z, v ) lµ hµm nöa liªn tôc trªn vµ h÷u h¹n kh¾p n¬i. Chøng minh. ∗ §iÒu kiÖn ®ñ: NÕu (B 3 ) ®óng ta chän θ lµ hµm liªn hîp cña hµm ψ (t ) = max h(z, v ). |z − z | ≤ ε |v | ≤ t Th× θ lµ hµm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (B2). ∗ §iÒu kiÖn cÇn: Cã thÓ xem h ®-îc ®Þnh nghÜa bëi tèi -u tham sè −h(z, v ) = miny G(z, v, y ), víi G(z, v, y ) = f (z, y ) − y , v . Tõ (B 2 ) vµ do f lµ hµm nöa liªn tôc d-íi, ta thÊy r»ng G tho¶ m·n nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n sao cho −h lµ hµm nöa liªn tôc d-íi. VËy h lµ hµm nöa liªn tôc trªn.