Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> NGUYỄN THỊ ÁI<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TOÁN<br /> CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2015<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI<br /> <br /> Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí<br /> Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt<br /> nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12<br /> tháng 12 năm 2015.<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lí do chọn đề tài<br /> Trong lý thuyết và ứng dụng ta thƣờng gặp các bài toán cực trị<br /> có điều kiện (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị<br /> ngƣời ta thƣờng tìm cách đƣa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số<br /> biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc. Ý tƣởng<br /> này đƣợc thể hiện rõ nét trong phƣơng pháp nhân tử Lagrange và<br /> trong một số phƣơng pháp tối ƣu khác.<br /> Phƣơng pháp nhân tử Lagrange là một phƣơng pháp tìm cực<br /> trị của hàm số với các ràng buộc cho bởi phƣơng trình. Phƣơng pháp<br /> tƣơng đối hiệu quả, dễ áp dụng. Trong chƣơng trình toán đại học,<br /> phƣơng pháp này cũng đã đƣợc giới thiệu và áp dụng để giải một số<br /> bài toán cực trị có điều kiện. Tuy nhiên, hầu hết các giáo trình tiếng<br /> việt, chƣa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phƣơng<br /> pháp nhân tử Lagrange. Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán<br /> cực trị có điều kiện cũng xuất hiện dƣới dạng tìm giá trị lớn nhất<br /> hoặc nhỏ nhất của một biểu thức với các điều kiện nào đó cho các ẩn<br /> số. Các bài toán dạng này thƣờng xuất hiện trong các tài liệu, trong<br /> các kỳ thi dành cho học sinh giỏi.<br /> Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều<br /> kiện và các phƣơng pháp giải là cần thiết cho giáo viên và có thể đƣa<br /> vào giảng dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi và học sinh trƣờng chuyên,<br /> giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề<br /> cực trị của hàm nhiều biến. Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh THPT<br /> giải các bài cực trị trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi Đại<br /> học. Việc nắm chắc cơ sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và<br /> các phƣơng pháp giải cũng giúp cho giáo viên có khả năng giải và<br /> sáng tạo ra các bài toán mới, điều này đặc biệt quan trọng khi ra đề<br /> thi học sinh giỏi.<br /> Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều<br /> <br /> 2<br /> kiện, các phƣơng pháp giải cũng nhƣ cách sáng tạo ra các bài toán<br /> mới, tôi chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho bài toán cực trị<br /> có điều kiện và ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học của<br /> mình.<br /> 2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài<br /> - Nắm đƣợc bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều<br /> kiện cần và đủ của cực trị.<br /> - Phƣơng pháp nhân tử Lagrange và ứng dụng để giải bài toán<br /> cực trị của hàm nhiều biến.<br /> - Sáng tạo đƣợc bài toán mới vận dụng phƣơng pháp này.<br /> 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu<br /> - Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực<br /> trị trong hình học và đại số trong chƣơng trình toán ở cấp phổ thông<br /> và ở cấp đại học.<br /> - Sáng tạo ra một số bài toán mới.<br /> 4. Phƣơng pháp nghiên cứu<br /> - Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nƣớc và ngoài nƣớc để<br /> tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài.<br /> - Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập.<br /> - Thảo luận, trao đổi.<br /> - Dựa trên các kết quả đã đạt đƣợc để sáng tạo và giải một số<br /> bài toán mới.<br /> 5. Cấu trúc luận văn:<br /> Phần mở đầu.<br /> Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.<br /> Chƣơng 2. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC<br /> PHƢƠNG PHÁP GIẢI.<br /> Chƣơng 3. ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN<br /> <br /> 3<br /> CHƢƠNG 1<br /> KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> 1.1. KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN<br />  Một số khái niệm và tính chất cơ bản:<br /> - Với mỗi số nguyên không âm n, tập<br /> <br /> n<br /> <br /> bộ n số thực có thứ tự. Một phần tử của<br /> <br /> là tập tất cả các<br /> đƣợc viết là:<br /> <br /> n<br /> <br /> x  ( x1 , x2 ,...xn ), xi  , i  1, n .<br /> <br /> - Trên<br /> mọi  <br /> <br /> ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với<br /> <br /> n<br /> <br /> và với mọi x  ( x1 , x2 ,, xn ), y  ( y1, y2 ,, yn ) <br /> <br /> n<br /> <br /> ,<br /> <br /> x  y  ( x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn ) ,  x  ( x1 , x2 ,..., xn ) .<br /> <br /> - Tập n cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hƣớng ở<br /> trên tạo thành một không gian vectơ n chiều trên<br /> và thƣờng đƣợc<br /> gọi là không gian vectơ<br /> <br /> n<br /> <br /> hoặc không gian<br /> <br /> - Không gian vectơ<br /> e1  1;0;0;...;0  ,<br /> <br /> đó, một vectơ trong<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> cho ngắn gọn.<br /> <br /> có một cơ sở chính tắc:<br /> <br /> e2   0;1;0;...;0  , ..., en   0;0;...;0;1 . Khi<br /> <br /> có thể đƣợc viết dƣới dạng: x <br /> <br /> n<br /> <br /> x e .<br /> i i<br /> <br /> i 1<br /> <br /> - Tích vô hƣớng trên<br /> định bởi<br /> <br /> x, y <br /> <br /> n<br /> <br /> x y<br /> <br /> i i<br /> <br /> n<br /> <br /> là ánh xạ:<br /> <br /> , :<br /> <br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> xác<br /> <br />  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn .<br /> <br /> i 1<br /> <br /> - Độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x đƣợc định nghĩa bởi:<br /> x <br /> <br /> x, x <br /> <br /> n<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> i<br /> <br /> .<br /> <br /> i 1<br /> <br /> - Không gian<br /> không gian Hilbert.<br /> <br /> n<br /> <br /> cùng với tính vô hƣớng .,. tạo thành một<br /> <br />