luận văn: ĐỊNH LÝ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

Chia sẻ: Nguyễn Thị Bích Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức Ky Fan có nhiều điểm gần nhau. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu với nhiều ứng dụng đã được nghiên cứu từ những năm sáu mươi của thế kỷ trước. Bất đẳng thức Ky Fan ngay sau khi được công bố đã thu hút sự chú ý của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến bởi sự gần gũi với bất đẳng thức biến phân đơn điệu và khả năng ứng dụng sâu rộng của chúng....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: luận văn: ĐỊNH LÝ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ----------------------- ĐOÀN VĂN SOẠN ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
§¹i Häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc S ph¹m §oµn v¨n so¹n ®Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng blum-oettli vµ mét sè më réng Chuyªn ngµnh: Gi¶i tÝch M· sè: 60.46.01 luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc:T.S Lª V¨n Chãng Th¸i Nguyªn-2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Trang Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch¬ng 1 Bµi to¸n c©n b»ng ®¬n ®iÖu vµ kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Bµi to¸n c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Bµi to¸n c©n b»ng ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Bµi to¸n c©n b»ng kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu . . . . . . . . 17 Ch¬ng 2 ®Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng Blum-Oettli vµ më réng v« híng . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. §Þnh lÝ Brezis-Nirenberg-Stampacchia . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. §Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng Blum-Oettli . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Më réng v« híng §Þnh lÝ Blum-Oettli . . . . . . . . . . . . 36 Ch¬ng 3 më réng vect¬ ®Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng Blum-Oettli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1. Nãn vµ quan hÖ thø tù theo nãn trong kh«ng gian vect¬ t«p« 42 3.2. §Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng Blum-Oettli cho hµm vÐc t¬ ®¬n trÞ . 45 3.3. §Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng Blum-Oettli cho hµm vÐc t¬ ®a trÞ . . 58 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Më §Çu BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bÊt ®¼ng thøc Ky Fan cã nhiÒu ®iÓm gÇn nhau. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu víi nhiÒu øng dông ®· ®îc nghiªn cøu tõ nh÷ng n¨m s¸u m¬i cña thÕ kØ tríc. BÊt ®¼ng thøc Ky Fan ngay sau khi ®îc c«ng bè (1972) ®· thu hót sù chó ý cña nhiÒu nghiªn cøu trong lÜnh vùc gi¶i tÝch phi tuyÕn bëi sù gÇn gòi víi bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ kh¶ n¨ng øng dông s©u réng cña nã. V× vËy ngêi ta t×m c¸ch kÕt nèi hai kÕt qu¶ nµy víi nhau trong mét kÕt qu¶ chung. KÕt qu¶ ®Çu tiªn cña sù kÕt nèi nµy lµ cña Brezis-Nirenberg-Stampacchia(1972). N¨m 1993, Blum-Oettli c«ng bè mét kÕt qu¶ tiÕp theo vÒ sù kÕt nèi nµy. §©y lµ kÕt qu¶ hîp nhÊt hai híng nghiªn cøu c¬ b¶n cña bµi to¸n c©n b»ng, ®ã lµ bµi to¸n c©n b»ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu vµ bµi to¸n c©n b»ng kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu. Bµi to¸n c©n b»ng ®îc xÐt bëi Blum-Oettli(1993) cã d¹ng sau: T×m x∈C sao cho g(x, y) + h(x, y) ≥ 0 víi mäi y ∈ C, trong ®ã C lµ mét tËp låi ®ãng trong mét kh«ng gian vect¬ t«p« X nµo ®ã, hµm g : C × C −→ R ®îc gi¶ thiÕt lµ ®¬n ®iÖu vµ hµm h : C × C −→ R kh«ng nhÊt thiÕt lµ hµm ®¬n ®iÖu (R lµ tËp sè thùc ). NÕu h = 0 ta nhËn ®îc kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n c©n b»ng ®¬n ®iÖu (më réng bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu ). NÕu g = 0 ta cã kÕt qu¶ lµ mét më réng cña BÊt ®¼ng thøc Ky Fan. Sau kÕt qu¶ nµy cña Blum-Oettli, nhiÒu kÕt qu¶ kh¸c cã liªn quan hoÆc më réng ®îc c«ng bè. §ã lµ c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu më réng v« híng vµ më réng vect¬, ®¬n trÞ vµ ®a trÞ, ®èi víi kÕt qu¶ cña Blum-Oettli [3]. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tËp hîp tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu c¬ b¶n xung quanh kÕt qu¶ cña Blum-Oettli [3]. §ã lµ mét sè kÕt qu¶ tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng cã vµ kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu khëi nguån cho kÕt qu¶ cña Blum-Oettli, c¸c kÕt qu¶ chÝnh cña Blum-Oettli vµ mét sè kÕt qu¶ më réng. Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o, luËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng ë hai híng nghiªn cøu cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu vµ kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu, víi ®iÒu kiÖn bøc cæ ®iÓn vµ n¬i gi¶m. Chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ nµy víi môc ®Ých ®Ó thÊy râ h¬n sù kÕt nèi cña hai híng nghiªn cøu nµy trong kÕt qu¶ cña Blum-Oettli[3], kÕt nèi ë kÕt qu¶ vµ kÕt nèi ë ý tëng chøng minh c¸c kÕt qu¶. C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu ®îc tr×nh bµy ë ®©y chñ yÕu ®îc tËp hîp tõ c¸c bµi b¸o Mosco[11], Allen[1], Chong[6]. Ch¬ng 2 tr×nh bµy kÕt qu¶ trung t©m cña luËn v¨n. §ã lµ kÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng ®îc thiÕt lËp bëi Blum-Oettli [3]. KÕt qu¶ nµy cïng ý tëng chøng minh cña nã lµ sù hîp nhÊt c¸c kÕt qu¶ cïng ý tëng chøng minh cña chóng ®îc tr×nh bµy ë ch¬ng 1. Trong ch¬ng nµy chóng t«i còng tr×nh bµy mét kÕt qu¶ cã liªn quan vµ ®îc c«ng bè tríc kÕt qu¶ cña Blum-Oettli [3], ®ã lµ c«ng tr×nh cña Brezis-Nirenberg-Stampacchia [4], ®ång thêi tr×nh bµy mét kÕt qu¶ lµ më réng v« híng ®èi víi kÕt qu¶ cña Blum-Oettli [3], ®ã lµ c«ng tr×nh cña Chadli-Chbani-Riahi [7]. Ch¬ng 3 ®Ò cËp ®Õn sù më réng kÕt qu¶ cña Blum-Oettli[3] ra bµi to¸n c©n b»ng cho hµm vect¬, ®¬n trÞ vµ ®a trÞ. C¸c kÕt qu¶ ë ®©y ®îc tËp hîp tõ c¸c tµi liÖu Bianchi-Hadjisavvass-schaible[2],TÊn-TÜnh[13],TÊn-Minh[14]. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh t¹i Trêng §¹i häc s ph¹m-§¹i Häc Th¸i Nguyªn. Tríc hÕt t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi TiÕn sÜ Lª V¨n Chãng, ngêi thÇy ®· tËn t×nh híng dÉn, gióp ®ì vµ nghiªm kh¾c trong khoa häc ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi c¸c thÇy c« gi¸o trong Trêng §HSP-Th¸i Nguyªn, ViÖn to¸n häc ViÖt Nam, Trêng §HSP Hµ Néi ®· gi¶ng d¹y gióp t«i hoµn thµnh khãa häc. T«i xin c¶m ¬n Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o B¾c Giang, Trêng THPT Lý Thêng KiÖt vµ Trêng THPT ViÖt Yªn sè 1 B¾c Giang, gia ®×nh vµ b¹n bÌ ®· lu«n t¹o ®iÒu kiÖn, ®éng viªn, gióp t«i suèt trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 Bµi to¸n c©n b»ng ®¬n ®iÖu vµ kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu Hai híng nghiªn cøu quan träng trong c¸c nghiªn cøu vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng lµ c¸c nghiªn cøu dïng gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu vµ kh«ng dïng gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu. C¸c kÕt qu¶ vµ ý tëng chøng minh ë hai híng nghiªn cøu nµy lµ c¬ së cho viÖc thiÕt lËp vµ chøng minh §Þnh lÝ ®iÓm c©n b»ng Blum-Oettli [3] ®îc tr×nh bµy ë ch¬ng sau. V× vËy trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n ë hai híng nghiªn cøu nªu trªn. Nh÷ng kÕt qu¶ nµy ®îc tËp hîp tõ c¸c bµi b¸o cña Mosco [11], Allen[1], Chong[6]. Tríc tiªn chóng t«i ®a ra d¹ng chung cña bµi to¸n c©n b»ng vµ mét sè trêng hîp riªng quen biÕt cã tÝnh ®¬n ®iÖu vµ kh«ng ®¬n ®iÖu. 1.1. Bµi to¸n c©n b»ng Bµi to¸n c©n b»ng ®îc Blum-Oettli[3] hiÓu lµ bµi to¸n sau: T×m x∈C sao cho f (x, y) ≤ 0 víi mäi y ∈ C , (EP) trong ®ã C lµ mét tËp cho tríc vµ f : C × C −→ R lµ mét hµm cho tríc. §èi víi bµi to¸n c©n b»ng trong kh«ng gian vÐct¬ t«p« X , tËp C thêng ®îc xÐt lµ tËp låi. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hµm f ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu f (x, y) + f (y, x) ≥ 0 víi mäi x, y ∈ C . Kh¸i niÖm nµy lµ më réng cña kh¸i niÖm to¸n tö ®¬n ®iÖu. To¸n tö A : C −→ X ∗ gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ë ®©y X∗ lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña X. Hµm f ®îc gäi lµ hemi-liªn tôc nÕu víi x, y ∈ C cho tríc tïy ý hµm sè f (x + t(y − x), y) lµ nöa liªn tôc díi theo t trªn [0; 1]. Kh¸i niÖm nµy lµ më réng cña kh¸i niÖm to¸n tö hemi-liªn tôc. To¸n tö A : C −→ X ∗ gäi lµ hemi-liªn tôc nÕu hµm A(x + ty), z víi x, y, z ∈ C bÊt kú cè ®Þnh lµ nöa liªn tôc díi theo t trªn [0; 1]. Bµi to¸n c©n b»ng bao hµm nhiÒu trêng hîp riªng lµ c¸c bµi to¸n quen biÕt. BÊt ®¼ng thøc Ky Fan lµ mét trêng hîp riªng quan träng. Díi ®©y lµ mét sè trêng hîp riªng quan träng kh¸c. 1. Bµi to¸n tèi u Cho ϕ : C −→ R. T×m x ∈ C sao cho ϕ(x) ≤ ϕ(y) víi mäi y ∈ C . Ta còng viÕt: T×m min{ϕ(x) | x ∈ C}. §Æt f (x, y) = ϕ(x)−ϕ(y). Khi ®ã bµi to¸n tèi u trë thµnh: T×m x ∈ C sao cho f (x, y) ≤ 0 víi mäi y ∈ C. Bµi to¸n nµy t¬ng ®¬ng víi bµi to¸n c©n b»ng vµ ë ®©y f lµ hµm sè ®¬n ®iÖu. 2. Bµi to¸n ®iÓm yªn ngùa Cho ϕ : C1 × C2 → R. Khi Êy (x1 , x2 ) gäi lµ ®iÓm yªn ngùa cña ϕ nÕu (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 , ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 . (1.1) §Æt C = C1 × C2 vµ cho hµm f : C × C −→ R x¸c ®Þnh bëi f ((x1 , x2 ); (y1 , y2 )) = ϕ(x1 , y2 ) − ϕ(y1 , x2 ). 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi Êy, x = (x1 , x2 ) lµ nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng (EP) nÕu vµ chØ nÕu x tháa m·n (1.1). DÔ thÊy f lµ hµm ®¬n ®iÖu trong trêng hîp nµy. 3. Bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng Cho X = X∗ lµ kh«ng gian Hilbert, T : C → C lµ mét ¸nh x¹ cho tríc. Bµi to¸n bÊt ®éng ë ®©y lµ bµi to¸n T×m x∈C sao cho T (x) = x. (1.2) §Æt f (x, y) = x − T x, x − y . Ta cã x lµ nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng (EP) nÕu vµ chØ nÕu nã lµ nghiÖm cña (1.2). ThËt vËy (1.2) ⇒ (EP): HiÓn nhiªn. (EP) ⇒ (1.2): Chän y = T x ta cã 2 0 ≥ f (x, y) = x − y ≥ 0 Suy ra x = T x. Do f (x, y) + f (y, x) = x − T x, x − y + y − T y, y − x = T y − T x, x − y + x − y, x − y 2 = T y − T x, x − y + x−y 2 = − T x−T y, x−y + x−y nªn trong trêng hîp nµy f lµ ®¬n ®iÖu khi vµ chØ khi 2 T x − T y, x − y ≤ x − y . 4. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n Cho T : C −→ X . T×m x∈C sao cho T x, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C . (1.3) 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
§Æt f (x, y) = T x, x − y . Râ rµng bµi to¸n (1.3) t¬ng ®¬ng víi bµi to¸n c©n b»ng (EP) vµ f ®¬n ®iÖu khi vµ chØ khi T ®¬n ®iÖu. 5. Bµi to¸n bï Cho C lµ nãn låi ®ãng víi nãn cùc cña nã C = {x ∈ X | x , y ≥ 0, ∀y ∈ C} vµ T :C→X lµ ¸nh x¹ cho tríc. Bµi to¸n bï lµ bµi to¸n t×m x∈X sao cho x ∈ C, T x ∈ C , T x, x = 0. (1.4) DÔ thÊy (1.4) t¬ng ®¬ng víi (1.3). ThËt vËy (1.4) ⇒ (1.3) lµ hiÓn nhiªn. NÕu (1.3) ®óng, lÊy y = 2x vµ y = 0 tõ (1.3) ta thu ®îc T x, x = 0. Do ®ã (1.3) ⇒ (1.4). 6. C©n b»ng Nash trong trß ch¬i Cho I lµ mét tËp chØ sè h÷u h¹n (tËp c¸c ngêi ch¬i). Víi i ∈ I, cho tríc tËp Ki (tËp chiÕn lîc ngêi ch¬i thø i). §Æt K = i∈I Ki . Víi mçi i ∈ I, cho hµm fi : K −→ R (hµm tæn thÊt cña ngêi ch¬i thø i, phô thuéc vµo chiÕn lîc cña tÊt c¶ ngêi ch¬i). Víi x = (xi )i∈I ∈ K ta ®Þnh nghÜa xi = (xj )j∈I,j=i . §iÓm x = (xi )i∈I ∈ K ®îc gäi lµ ®iÓm c©n b»ng Nash nÕu víi mäi i∈I ta cã fi (x) ≤ fi (xi , yi ), ∀yi ∈ Ki (1.5) (nghÜa lµ ngêi ch¬i kh«ng thÓ gi¶m tæn thÊt cña m×nh b»ng c¸ch ®¬n lÎ thay 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
®æi chiÕn lîc cña m×nh ). Cho hµm f : K × K −→ R x¸c ®Þnh bëi f (x, y) = (−fi (xi , yi ) + fi (x)). i∈I Khi Êy, x∈K lµ ®iÓm c©n b»ng Nash nÕu vµ chØ nÕu x tháa m·n bµi to¸n c©n b»ng (EP). ThËt vËy, nÕu (1.5) ®óng víi mäi i ∈ I, th× hiÓn nhiªn (EP) ®îc tháa m·n. NÕu víi i ∈ I, ta chän y ∈ K sao cho xi = y i , th× f (x, y) = −fi (xi , yi ) + fi (x). Do ®ã (EP) suy ra (1.5) víi mäi i ∈ I. Hµm f trong trêng hîp nµy kh«ng ®¬n ®iÖu. 7.BÊt ®¼ng thøc Ky Fan Víi C lµ mét tËp låi comp¾c vµ hµm F : C × C −→ R BÊt ®¼ng thøc Ky Fan lµ bÊt ®¼ng thøc thiÕt lËp ®iÒu kiÖn ®èi víi F ®Ó tån t¹i x∈C sao cho F (x, y) ≤ 0 víi mäi y ∈ C , trong ®ã kh«ng ®ßi hái F cã tÝnh ®¬n ®iÖu. 1.2. Bµi to¸n c©n b»ng ®¬n ®iÖu §Ó më réng mét sè kÕt qu¶ tån t¹i nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, n¨m 1976 Mosco [11] chøng minh kÕt qu¶ tån t¹i nghiÖm quan träng sau cho bµi to¸n c©n b»ng dïng gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu. §Þnh lÝ 1.1 (Mosco [11]) Cho C lµ mét tËp låi, ®ãng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X , hµm g : C × C −→ R, g(x, x) ≤ 0 víi mäi x ∈ C sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau tháa m·n: 1) g lµ hemi-liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu; 2) Víi mçi x ∈ C, hµm g(x, .) lµ lâm vµ nöa liªn tôc trªn; 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3) §iÒu kiÖn bøc: Tån t¹i tËp comp¾c B ⊂ C vµ y0 ∈ B sao cho g(x, y0 ) > 0, ∀x ∈ C \ B. Khi ®ã tËp nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng: x ∈ C : g(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C (1.6) lµ tËp con kh¸c rçng, låi vµ comp¾c trong B . §Þnh lÝ trªn chÝnh lµ §Þnh lÝ 3.1 trong [11] víi ψ=0 (Cho ψ=0 ®Ó tiÖn cho viÖc sö dông ë c¸c phÇn sau). §Ó chøng minh ®Þnh lÝ trªn Mosco[11] dïng mét kÕt qu¶ quen biÕt cña Ky Fan [8] vÒ giao cña hä c¸c tËp ®ãng vµ chøng minh mét kÕt qu¶ më réng cña tÝnh chÊt to¸n tö ®¬n ®iÖu. §ã lµ Bæ ®Ò 1.1 vµ Bæ ®Ò 1.2 díi ®©y. Víi mçi y∈C ta ®Æt G(y) = {x ∈ C : g(x, y) ≤ 0} H(y) = {x ∈ C : g(y, x) ≥ 0} F (y) = G(y) (A kÝ hiÖu bao ®ãng cña tËp A ). Bæ ®Ò 1.1 (Ky Fan[8]) Cho T lµ mét tËp tïy ý trong mét kh«ng gian vect¬ t«p« E , víi mçi w ∈T cho mét tËp ®ãng F (w) cña E sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®îc tháa m·n: 1) Víi mçi tËp h÷u h¹n {w1 , w2 , ..., wn } th× n co{w1 , w2 , ..., wn } ⊂ F (wi ) i=1 (coA kÝ hiÖu bao låi cña tËp A); 2) Tån t¹i w0 ∈ T ®Ó F (w0 ) lµ comp¾c. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi ®ã ta cã F (w) = ∅. w∈T Trong tµi liÖu Bæ ®Ò 1.1 cßn gäi lµ Bæ ®Ò Ky Fan hay Nguyªn lÝ ¸nh x¹ KKM, ¸nh x¹ nµy ®îc ®Þnh nghÜa nh díi ®©y. Cho X lµ kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff, C lµ mét tËp con kh¸c rçng cña X , ¸nh x¹ ®a trÞ F : C −→ 2X gäi lµ ¸nh x¹ KKM nÕu víi mçi tËp con h÷u h¹n {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ C ta cã n co{x1 , x2 , ..., xn } ⊂ F (xi ). i=1 Nh vËy, §iÒu kiÖn 1) cña Bæ ®Ò 1.1 cã nghÜa: ¸nh x¹ F : T → 2X lµ ¸nh x¹ KKM. Bæ ®Ò 1.2 Cho C lµ mét tËp låi, ®ãng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm g : C × C −→ R víi g(x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C , tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1)g lµ hemi-liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu; 2) Víi mçi x ∈ C, hµm g(x, .) lµ lâm vµ nöa liªn tôc trªn. Khi Êy F (y) = H(y) = G(y) y∈C y∈C y∈C vµ mçi giao nµy lµ mét tËp con låi ®ãng cña C. Chøng minh Do G(y) ⊂ F (y) víi mäi y∈C nªn ta chØ cÇn chøng minh F (y) ⊂ H(y) ⊂ G(y). y∈C y∈C y∈C 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ThËt vËy, lÊy mét x ∈ G(y) bÊt k× ta cã g(x, y) ≤ 0 . Do g ®¬n ®iÖu nªn g(x, y) ≤ 0 ≤ g(x, y) + g(y, x). Suy ra g(y, x) ≥ 0 , nghÜa lµ x ∈ H(y) hay G(y) ⊂ H(y) . Ta cã víi mçi y ∈ C H(y) , lµ låi vµ ®ãng do g(y, .) lµ lâm vµ nöa liªn tôc trªn. Do F (y) lµ bao ®ãng cña G(y) vµ do G(y) ⊂ H(y) nªn F (y) ⊂ H(y) . VËy suy ra F (y) ⊂ H(y). y∈C y∈C B©y giê ta chøng minh H(y) ⊂ G(y), y∈C y∈C nghÜa lµ chøng tá: g(y, x) ≥ 0 ∀y ∈ C, (1.7) kÐo theo g(x, y) ≤ 0 ∀y ∈ C. (1.8) Gi¶ sö (1.8) kh«ng ®óng, tøc lµ tån t¹i x ∈ C tháa m·n (1.7) vµ mét y∈C ®Ó cho g(x, y) > 0. (1.9) XÐt vect¬ xt = ty + (1 − t)x, t ∈ [0; 1] . Theo ®iÒu kiÖn 1) hµm g(xt , y) cña biÕn thùc t ∈ [0, 1] lµ nöa liªn tôc díi khi t → 0+ . Do ®ã víi t>0 (®ñ nhá), tõ (1.9) suy ra g(xt , y) > 0, ∀t ∈ (0; t). (1.10) LÊy y = xt , tõ (1.7) suy ra 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
g(xt , x) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1]. (1.11) Do tÝnh lâm cña g(x, .) nªn tõ (1.10) vµ (1.11) ta suy ra g(xt , xt ) > 0, ∀t ∈ (0, t), ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (1.8) ®óng. Do ®ã H(y) ⊂ G(y). y∈C y∈C Bæ ®Ò ®îc chøng minh. Chøng minh §Þnh lÝ 1.1 Theo Bæ ®Ò 1.2 vµ do H(y) lµ låi, ®ãng víi mçi y∈C ta cã tËp nghiÖm cña bµi to¸n lµ låi vµ ®ãng. TËp nghiÖm nµy lµ comp¾c v× nã lµ tËp con ®ãng cña tËp comp¾c B (theo §iÒu kiÖn bøc 3). Ta chøng minh tËp nghiÖm nµy kh¸c rçng b»ng c¸ch dïng Bæ ®Ò Ky Fan víi hä c¸c tËp ®ãng {F (y) : y ∈ C} . ThËt vËy, víi mçi y∈C ta cã F (y) lµ tËp ®ãng vµ F (y0 ) lµ bao ®ãng cña tËp G(y0 ) thuéc tËp comp¾c B⊂C nªn F (y0 ) còng comp¾c. Cho tËp {y1 , y2 , ..., yn } lµ mét tËp h÷u h¹n trong C . Ta cÇn chØ ra: n co{y1 , y2 , ..., yn } ⊂ F (yi ). i=1 Do F (y) lµ bao ®ãng cña G(y) nªn chØ cÇn chØ ra n co{y1 , y2 , ..., yn } ⊂ G(yi ). i=1 Gi¶ sö ngîc l¹i, tøc lµ cã mét n y ∈ co{y1 , y2 , ..., yn } \ G(yi ). i=1 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi ®ã cã n n λi ≥ 0, i = 1, ..., n, λi = 1, y = λi yi i=1 i=1 vµ g(y, yi ) > 0, ∀i = 1, 2, ..., n . Do g(y, .) lµ hµm lâm ta cã n n 0< λi g(y, yi ) ≤ g(y, λi yi ) = g(y, y). i=1 i=1 §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt g(y, y) ≤ 0 . VËy hä c¸c tËp ®ãng {F (y) : y ∈ C} tháa m·n c¸c gi¶ thiÕt cña Bæ ®Ò Ky Fan nªn F (y) = ∅. y∈C Theo Bæ ®Ò 1.2 ta cã F (y) = H(y) = G(y) = ∅, y∈C y∈C y∈C vËy tËp nghiÖm cña bµi to¸n c©n lµ tËp låi comp¾c. §Þnh lý ®· ®îc chøng minh. HÖ qu¶ díi ®©y tõ §Þnh lÝ 1.1 lµ mét kÕt qu¶ tån t¹i nghiÖm kinh ®iÓn cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. HÖ qu¶ 1.1 (Hartman-Stampacchia[10]) Cho C lµ mét tËp låi, ®ãng trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ X , ¸nh x¹ A : C −→ X ∗ lµ ®¬n ®iÖu, hemi-liªn tôc vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn bøc sau Ax,x−y0 ∃y0 ∈ C : x −→ +∞ khi x −→ +∞, x ∈ C. (1.12) Khi Êy tËp nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n x ∈ C : Ax, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C (1.13) lµ tËp con kh¸c rçng, låi, ®ãng vµ giíi néi trong C. 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh VËn dông §Þnh lý 1.1 víi t«p« yÕu trªn X vµ g(x, y) = Ax, x − y . §iÒu kiÖn bøc nªu trong §Þnh lý 1.1 ®îc tháa m·n do (1.12) b»ng c¸ch lÊy y0 trong (1.12) vµ B = {x ∈ C : x ≤ R} víi R>0 ®ñ lín. §iÒu kiÖn bøc trong §Þnh lÝ 1.1 tá ra kh¸ chÆt v× ë mét sè trêng hîp nã kh«ng tháa m·n, mÆc dÇu bµi to¸n c©n b»ng ®îc xÐt vÉn cã nghiÖm. V× vËy viÖc gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn bøc ë c¸c nghiªn cøu tån t¹i nghiÖm bµi to¸n c©n b»ng lu«n ®îc quan t©m. Díi ®©y lµ mét kÕt qu¶ víi ®iÒu kiÖn bøc n¬i gi¶m cho bµi to¸n c©n b»ng ®¬n ®iÖu. §Þnh lÝ 1.2 (Chong [6]) Cho X lµ mét kh«ng gian låi ®Þa ph¬ng Hausdorff vµ C ⊂ X lµ mét tËp låi ®ãng. Cho f : C × C −→ R lµ mét hµm ®¬n ®iÖu vµ hemi-liªn tôc sao cho víi mçi x ∈ C, f (x, x) ≤ 0 vµ hµm f (x, .) lµ lâm vµ nöa liªn tôc trªn. Gi¶ sö tån t¹i tËp låi comp¾c B ⊂ C sao cho víi mçi x ∈ C \ B cã mét y ∈ B víi f (x, y) > 0. (§iÒu kiÖn bøc). Khi Êy tËp c¸c x ∈ C víi f (x, y) ≤ 0 víi mäi y ∈ C lµ kh¸c rçng, låi vµ comp¾c. Chøng minh Víi y∈C , ®Æt K(y) = {x ∈ B : f (x, y) ≤ 0}, G(y) = {x ∈ C : f (x, y) ≤ 0}, gäi Q(y) vµ F (y) lÇn lît lµ bao ®ãng cña K(y) vµ G(y) . 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Do ®iÒu kiÖn bøc ta cã K(y) = [G(y) ∩ B] = [ G(y)] ∩ B = G(y) y∈C y∈C y∈C y∈C theo Bæ ®Ò 1.2 ta cã Q(y) ⊆ F (y) = G(y) y∈C y∈C y∈C nhng K(y) ⊆ Q(y), y∈C y∈C do ®ã K(y) = Q(y). y∈C y∈C LÊy y1 , ..., yn ∈ C , ®Æt C0 = co(B ∪ {y1 , ..., yn }) , ta cã C0 låi comp¾c vµ x0 ∈ C0 sao cho f (x0 , y) ≤ 0, ∀y ∈ C0 (theo §Þnh lÝ 1.1 víi C låi comp¾c), nghÜa lµ n n x0 ∈ K(yi ) ⊆ Q(yi ). i=1 i=1 VËy c¸c tËp Q(y), y ∈ C, lµ ®ãng trong tËp comp¾c B vµ cã tÝnh giao h÷u h¹n nªn tån t¹i x∈ K(y) = Q(y), y∈C y∈C nghÜa lµ f (x, y) ≤ 0 víi mäi y∈C . TÝnh låi comp¾c cña tËp c¸c x suy ra tõ ®iÒu kiÖn bøc vµ Bæ ®Ò 1.2. Lu ý ®Þnh lÝ trªn vÉn ®óng khi X lµ kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff, v× vËy §Þnh lÝ 1.2 lµ mét më réng cña §Þnh lÝ 1.1. Díi ®©y lµ mét vÝ dô dïng §Þnh lÝ 1.2 ta cã sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng, trong khi §Þnh lÝ 1.1 kh«ng ¸p dông ®îc (v× ®iÒu kiÖn bøc kh«ng ®îc tháa m·n). 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Cho C = Rn , n ch½n, lµ tËp låi ®ãng, to¸n tö A : C −→ Rn vµ hµm f : C × C −→ R ®îc x¸c ®Þnh bëi f (x, y) = Ax(x − y)T Ax = (x2 , −x1 , x4 , −x3 , ..., xn , −xn−1 ) Do tËp {x ∈ C : f (x, y) ≤ 0} kh«ng giíi néi víi mçi y∈C nªn ®iÒu kiÖn bøc cña §Þnh lÝ 1.1 kh«ng tháa m·n, nhng ®iÒu kiÖn bøc trong §Þnh lÝ 1.2 l¹i tháa m·n víi tËp låi comp¾c B = {x = (x1 , ..., xn ) ∈ C : −1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, ..., n} . C¸c gi¶ thiÕt kh¸c cña hai ®Þnh lÝ trªn ®Òu tháa m·n. 1.3. Bµi to¸n c©n b»ng kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu §èi víi bµi to¸n c©n b»ng kh«ng cã gi¶ thiÕt ®¬n ®iÖu, Mosco [11] chøng minh kÕt qu¶ c¬ b¶n sau lµ më réng cña bÊt ®¼ng thøc Ky Fan[9] vµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cæ ®iÓn. §Þnh lÝ 1.3 (Mosco[11]) Cho C lµ mét tËp låi, ®ãng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm g : C × C −→ R víi g(x, x) ≤ 0, víi mäi x ∈ C . Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau tháa m·n: 1) Víi mçi x ∈ C, g(x, .) lµ hµm lâm; 2) Víi mçi y ∈ C, g(., y) lµ hµm nöa liªn tôc díi trªn X ; 3) §iÒu kiÖn bøc: Tån t¹i tËp comp¾c B ⊂ C vµ y0 ∈ B sao cho g(x, y0 ) > 0 víi mäi x ∈ C \ B . 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi ®ã tËp nghiÖm cña bµi to¸n c©n b»ng : x ∈ C : g(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C (1.14) lµ tËp con kh¸c rçng, comp¾c trong B. Chøng minh §Æt G(y) = {x ∈ C : g(x, y) ≤ 0}, y ∈ C . Ta thÊy G(y) ®ãng víi mäi y∈C do tÝnh nöa liªn tôc díi cña g(., y) . Theo ®iÒu kiÖn bøc 3), G(y0 ) lµ mét tËp con ®ãng trong tËp comp¾c B nªn G(y0 ) lµ tËp comp¾c. H¬n n÷a G lµ ¸nh x¹ KKM. ThËt vËy, gi¶ sö tr¸i l¹i, nghÜa lµ cã {y1 , ..., yn } ⊂ C mµ n co{y1 , ..., yn } ⊂ G(yi ), i=1 n n th× khi Êy tån t¹i mét y= i=1 λi yi víi λi ≥ 0, ∀i = 1, ..., n, i=1 λi =1 sao cho y ∈ G(yi ), ∀i = 1, ..., n. NghÜa lµ cã g(y, yi ) > 0∀i = 1, ..., n . Do ®ã n λi g(y, yi ) > 0 i=1 do g(y, .) lµ hµm lâm nªn suy ra n n 0< λi g(y, yi ) ≤ g(y, λi yi ) = g(y, y), i=1 i=1 tr¸i víi gi¶ thiÕt g(x, x) ≤ 0 víi mäi x∈C . VÇy G lµ ¸nh x¹ KKM. Theo Bæ ®Ò 1.1 ta cã G(y) = ∅, y∈C mµ tËp giao nµy lµ mét tËp ®ãng trong tËp comp¾c B nªn nã lµ tËp comp¾c, vËy tËp nghiÖm cña Bµi to¸n (1.14) lµ kh¸c rçng vµ comp¾c trong B . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn