Luận văn: KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một ý tưởng quan trọng trong Hình học đại số và Đại số giao hoán là thông qua việc nghiên cứu thông qua nghiên cứu các bất biến bằng số để nói lên cấu trúc của các đa tạp hoặc cấu trúc của các vành giao hoán điều này có thể thấy rõ trong những lý thuyết nổi tiếng như lý thuyết bất biến của Mumford, lý thuyết giải kỳ dị của Hironaka...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HỒNG NAM KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYÊN KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Lêi nãi ®Çu 4 1 TÝnh ®a thøc cña hµm ®é dµi 5 1.1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 NhËn xÐt më ®Çu ........................ 8 1.3 §Æc trng tÝnh chÊt ®a thøc cña hµm ®é dµi . . . . . . . . . . . 9 1.4 Mét sè ¸p dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 KiÓu ®a thøc 18 2.1 KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 KiÓu ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 C¸c chÆn trªn vµ díi cña kiÓu ®a thøc . . . . . . . . . . . . . 24 A lµ vµnh th¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay 2.4 Trêng hîp . . . 32 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 Lêi nãi ®Çu Mét ý tëng quan träng trong H×nh häc ®¹i sè vµ §¹i sè giao ho¸n lµ th«ng qua viÖc nghiªn cøu th«ng qua nghiªn cøu c¸c bÊt biÕn b»ng sè ®Ó nãi lªn cÊu tróc cña c¸c ®a t¹p hoÆc cÊu tróc cña c¸c vµnh giao ho¸n ®iÒu nµy cã thÓ thÊy râ trong nh÷ng lý thuyÕt næi tiÕng nh lý thuyÕt bÊt biÕn cña Mumford, lý thuyÕt gi¶i kú dÞ cña Hironaka... Mét vÝ dô ®iÓn h×nh trong §¹i sè giao ho¸n lµ vµnh Cohen- Macaulay, mét líp vµnh quan träng nhÊt trong (A, m) §¹i sè giao ho¸n. Cho lµ mét vµnh giao ho¸n , ®Þa ph¬ng, Noether = d. Mét i®ªan q ∈ SpecA ®îc gäi lµ mét i®ªan tham sè nÕu cã chiÒu dimA q lµ m− nguyªn s¬ vµ sinh bëi d phÇn tö. Khi ®ã A lµ vµnh Cohen- Macaulay khi vµ chØ khi tån t¹i mét i®ªan tham sè q sao cho lA (A/q) = e(q; A). ë ®©y lA (∗) kÝ hiÖu cho ®é dµi c¸c A m«®un vµ e(q; A) lµ sè béi Zariski-Samuel cña A ®èi víi i®ªan tham sè q. Ta còng biÕt r»ng víi mäi i®ªan tham sè q th× lA (A/q) ≥ e(q; A). §Æt I (q; A) = lA (A/q) − e(q; A). Khi ®ã nÕu I (q; A) lµ mét h»ng sè kh«ng ®æi víi mäi i®ªan tham sè q, (chó ý r»ng khi A lµ vµnh Cohen- Macaulay th× I (q; A) = 0 víi mäi i®ªan tham sè q) th× líp vµnh ®ã ®îc gäi lµ vµnh Buchbaum. NÕu supq I (q; A) < ∞, trong ®ã q ch¹y kh¾p trªn tËp c¸c i®ªan tham sè cña A th× khi ®ã nã ®îc gäi lµ vµnh Cohen-Macaulay suy réng. Nh vËy c¸c líp vµnh quen thuéc trong §¹i sè giao ho¸n ®Òu ®îc ®Æc trng qua lý thuyÕt béi vµ hµm ®é dµi. Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ cña GS - TSKH NguyÔn Tù Cêng vÒ kiÓu ®a thøc trªn vµnh Noether, ®Þa ph¬ng trong c¸c bµi b¸o [4], [5] vµ [6]. (A, m) Trong suèt luËn v¨n nµy ta lu«n ký hiÖu lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa M lµ mét A− m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu dimM = d. ph¬ng, Noether vµ Mét hÖ phÇn tö x = (x1 , . . . , xd ) cña A ®îc gäi lµ hÖ tham sè cña M nÕu lA (M/xM ) < ∞. Cho n = (n1 , . . . , nd ) lµ mét bé d sè nguyªn d¬ng tuú ý. Khi ®ã chóng ta cã thÓ xem hiÖu IM (n, x) = lA (M/(xn1 , . . . , xnd )M ) − n1 . . . nd e(x, M ) 1 d n nh mét hµm sè theo cã gi¸ trÞ kh«ng ©m víi mäi biÕn nguyªn, trong ®ã e(x; M ) lµ sè béi theo nghÜa Serre cña M x. Khi M = A ®èi víi hÖ tham sè th× nã chÝnh lµ sè béi Zariski - Samuel. N¨m 1985, Sharp ®a ra c©u hái më: IM (n; x) lµ mét ®a thøc theo n khi n ®ñ lín (ký hiÖu lµ n 0)? Ph¶i ch¨ng Mét lo¹t vÝ dô ®îc ®a ra ®Ó chøng tá r»ng IM (n; x) kh«ng ph¶i lµ ®a thøc khi n 0. Tõ ®©y n¶y sinh ra mét c©u hái: Khi nµo th× IM (n; x) lµ ®a thøc theo n khi n 0? Mét tr¶ lêi trän vÑn cho c©u hái nµy ®îc ®a ra trong [4] nãi r»ng IM (n; x) lµ ®a thøc khi vµ chØ khi x lµ mét u.p - d·y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 IM (n; x) kh«ng cßn lµ ®a thøc th× ta nhËn thÊy r»ng hµm IM (n; x) lu«n Khi bÞ chÆn trªn bëi ®a thøc n1 . . . nd l (M/(x1 , . . . , xd )M ) (xem trong [6]). Nh vËy bËc bÐ nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc chÆn trªn theo n chÆn hµm IM (n; x) lµ tån t¹i. §iÒu ®ã dÉn ®Õn mét bÊt biÕn míi trªn M, gäi lµ kiÓu ®a thøc cña M. BÊt biÕn nµy ®îc b¾t ®Çu tõ mét kÕt qu¶ sau (xem trong [6]): n chÆn trªn hµm IM (n; x) kh«ng BËc bÐ nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc theo phô thuéc vµo hÖ tham sè x. VËy bËc bÐ nhÊt nµy lµ mét bÊt biÕn cña M. Ta ký hiÖu bÊt biÕn ®ã lµ p(M ) vµ gäi nã lµ kiÓu ®a thøc cña M. −∞. Ta quy íc bËc cña ®a thøc kh«ng b»ng Khi ®ã ta dÔ dµng thÊy p(M ) = −∞. M r»ng lµ m«®un Cohen-Macaulay khi vµ chØ khi Râ rµng p(M ) ≤ 0. Nh M lµ Cohen-Macaulay suy réng khi vµ chØ khi vËy tÝnh Cohen-Macaulay ®îc dÔ dµng ®Æc trng qua tÝnh ®a thøc. LuËn v¨n ®îc chia thµnh 2 ch¬ng: Ch¬ng I nãi vÒ tÝnh ®a thøc cña hµm IM (n; x) trªn vµnh giao ho¸n Noether (A, m). KÕt qu¶ quan träng nhÊt cña ch¬ng nµy lµ ®Þnh lý 1.3.4 ®Þa ph¬ng nã còng lµ c©u tr¶ lêi trän vÑn cho c©u hái më cña Sharp nãi r»ng : IM (n; x) lµ ®a thøc n n 0 Hµm sè theo víi khi vµ chØ khi hÖ tham sè x = (x1 , . . . , xd ) lµ u.p-d·y p(M ) cña mét m«®un M Ch¬ng II ®a ra kh¸i niÖm kiÓu ®a thøc trªn vµnh giao ho¸n, Noether, ®Þa ph¬ng. §©y lµ kh¸i niÖm quan träng nhÊt trong luËn v¨n. Ngoµi ra mét lo¹t c¸c tÝnh chÊt cña kiÓu ®a thøc còng nh c¸c cËn trªn vµ díi ®îc ®a trong ch¬ng nµy. Mét kÕt qu¶ quan träng lµ ®Þnh lý 2.3.9 vµ hÖ qu¶ 2.4.2 nãi lªn ý nghÜa h×nh häc cña kiÓu ®a thøc nãi r»ng: A A Gi¶ sö cã phøc ®èi ngÉu hoÆc lµ vµnh th¬ng cña vµnh Cohen- M Macaulay. NÕu lµ ®¼ng chiÒu th× p(M ) = dim nCM(M ). Chó ý r»ng quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay nCM(M ) ®îc x¸c ®Þnh bëi = {p ∈ Supp(M )|Mp kh«ng lµ m«®un Cohen-Macaulay}. nCM(M ) LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh cña GS - TSKH NguyÔn Tù Cêng. Nh©n dÞp nµy em xin tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi ThÇy. Em xin bµy tá lßng biÕt ¬n c¸c thÇy c« trong §H Th¸i Nguyªn vµ ViÖn To¸n häc ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì em rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n trêng §H Khoa Häc - Th¸i Nguyªn, Khoa To¸n - Tin ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i thùc hiÖn kÕ ho¹ch häc tËp cña m×nh. T«i xin c¶m ¬n ngêi th©n, ®ång nghiÖp, b¹n bÌ ®· cæ vò, ®éng viªn t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 TÝnh ®a thøc cña hµm ®é dµi (A, m) Trong ch¬ng nµy, chóng ta lu«n gi¶ thiÕt lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa M A-m«®un m ph¬ng, Noether víi lµ i®ªan cùc ®¹i vµ lµ h÷u h¹n sinh cã chiÒu dimM = d. 1.1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Tríc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh lý quan träng sau ®©y l(M/qM ) < ∞. A q Cho lµ i®ªan cña sao cho Khi ®ã §Þnh lý 1.1.1. l(M/qn M ) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ d = dim M = deg(l(M/qn M ) = inf {t|∃ x1 , . . . , xt ∈ m l(M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞}. ®Ó l(M/qn M ), n 0 §a thøc khi ®îc gäi lµ ®a thøc Hilbert-Samuel {x1 , . . . , xd } ⊆ m q. cña M øng víi Theo ®Þnh lý trªn tån t¹i hÖ sao cho l(M/(x1 , . . . , xd )M ) < ∞. {x1 , . . . , xd } Mét hÖ tho¶ m·n tÝnh chÊt trªn M. Chó ý r»ng nÕu x = (x1 , . . . , xd ) lµ mét ®îc gäi lµ mét hÖ tham sè cña (xn1 . . . , xnd ) còng lµ mét hÖ tham sè cña M M hÖ tham sè cña th× víi mäi 1 d (n1 , . . . , nd ) ∈ Nd . x = (x1 , . . . , xd ) M. q = (x1 , . . . , xd )A Cho lµ mét hÖ tham sè cña §Æt q lµ i®ªan tham sè cña M. Theo ®Þnh lý trªn, l(M/qn M ) lµ th× khi ®ã ta gäi n 0, ®a thøc nµy nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 mäi biÕn nguyªn. V× thÕ nã cã biÓu diÔn n+d−1 n+d l(M/qn+1 M ) = e0 (q; M ) +e1 (q; M ) +. . .+ed (q; M ), d−1 d trong ®ã ei ∈ Z, e0 > 0 víi mäi i = 0 . . . , d. e0 Sè trong biÓu diÔn trªn ®îc gäi lµ sè béi Zariski - §Þnh nghÜa 1.1.2. M q vµ ®îc kÝ hiÖu lµ e(q; M ). Samuel cña øng víi i®ªan tham sè x = (x1 , . . . , xt ) A Mét hÖ c¸c phÇn tö cña ®îc gäi lµ §Þnh nghÜa 1.1.3. l(M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞. M hÖ béi cña nÕu t = 0 th× ®iÒu kiÖn trªn ®îc hiÓu lµ l(M ) < ∞. Khi ®ã ký hiÖu béi NÕu e(x; M ) ®èi víi hÖ béi x ®îc ®Þnh nghÜa quy n¹p theo t nh sau: t = 0, tøc lµ l(M ) < ∞. Khi ®ã ta ®Æt e(∅; M ) = l(M ). NÕu t > 0, tøc lµ l(M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞. Tõ ®ã ta suy ra NÕu l((0M : x1 )/(x1 , . . . , xt )(0M : x1 )) < ∞, (x2 , . . . , xt ) lµ hÖ béi cña 0M : x1 . Theo gi¶ thiÕt quy n¹p th× tøc lµ e((x2 , . . . , xt ); M/x1 M ) e((x2 , . . . , xt ); 0M : x1 ) vµ lµ tån t¹i. Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa e(x; M ) = e((x2 , . . . , xt ); M/x1 M ) − e((x2 , . . . , xt ); 0M : x1 ). e(x; M ) M Sè ®îc ®Þnh nghÜa nh trªn ®îc gäi lµ sè béi cña øng víi hÖ x. béi x = ( x1 , . . . , x t ) M. Cho lµ hÖ béi cña Díi ®©y chóng ta sÏ Chó ý 1.1.4. e(x; M ) thêng ®îc sö dông trong ®a ra mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè béi luËn v¨n. 0 ≤ e(x; M ) ≤ l(M/(x1 , . . . , xt )M ). NÕu tån t¹i i sao cho xn M = 0, (i) i n lµ mét sè tù nhiªn nµo ®ã th× e(x; M ) = 0. víi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 (ii) (§Þnh lý céng tÝnh cña béi). Gi¶ sö 0 −→ Mn −→ . . . −→ M1 −→ M0 −→ 0 A− x Mi , lµ d·y khíp c¸c m«®un Noether vµ lµ hÖ béi cña víi mäi i = 0, . . . , n. Khi ®ã, n (−1)i e(x; Mi ) = 0. i=0 x = (x1 , . . . , xt ) lµ mét M. Khi ®ã e(x; M ) = 0 khi (iii) Cho hÖ béi cña t > dim M. vµ chØ khi (n1 , . . . , nt ) ∈ Nt . Khi ®ã, (iv) Cho e((xn1 , . . . , xnt ); M ) = n1 . . . nt e(x; M ) t 1 x lµ mét hÖ tham sè cña M t = d, th× ta cã c«ng thøc liªn (v) NÕu tøc lµ e0 (q; M ) = e(x; M ), hÖ gi÷a sè béi h×nh thøc vµ sè béi Zariski - Samuel lµ q = (x1 , . . . .xd )A. trong ®ã (vi) C«ng thøc Auslander - Buchsbaum [A- B]. Víi nh÷ng kÝ hiÖu trªn th× l(M/(x1 , . . . , xd )M ) − e(x; M ) d−1 = i=0 e((xi+1 , . . . , xd ); (x1 , . . . , xi−1 )M : xi /(x1 , . . . , xi−1 )M. M A-m«®un Khi ®ã lµ Cohen-Macaulay khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ x = (x1 , . . . , xd ) sao cho tham sè l(M/(x1 , . . . , xd )M ) = e(x; M ). A-m«®un M (i) Mét ®îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay §Þnh nghÜa 1.1.5. suy réng nÕu I (M ) = sup{l(M/(x1 , . . . , xd )M − e(x; M ))} < ∞ x = (x1 , . . . , xd ) ch¹y kh¾p tËp c¸c hÖ tham sè cña M. trong ®ã x = (x1 , . . . , xd ) cña M (ii) Mét hÖ tham sè ®îc gäi lµ hÖ tham sè chuÈn M t¾c cña nÕu lA (M/(x1 , . . . , xd )M ) − e(x; M ) = lA (M/(x2 , . . . , x2 ) − e((x2 , . . . , x2 ); M ) 1 d 1 d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Khi ®ã ta cã mét sè ®Æc trng vÒ m«®un Cohen-Macaulay suy Chó ý 1.1.6. réng. M M (i) lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng khi vµ chØ khi cã Ýt nhÊt mét I (M ) = lA (M/(x1 , . . . , xd )M ) − e(x; M ) hÖ tham sè chuÈn t¾c. H¬n n÷a, x lµ mét hÖ tham sè chuÈn t¾c. nÕu M Mp (ii) Gi¶ sö lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng. Khi ®ã lµ m«®un p∈ Cohen-Macaulay vµ dimMp + dimA/p = d víi mäi i®ªan nguyªn tè \{m}. H¬n n÷a nÕu A lµ vµnh th¬ng cña vµnh Cohen-Macaulay th× SuppM ®iÒu ngîc l¹i còng ®óng. M m-adic cña M. Khi ®ã M (iii) Ký hiÖu lµ bao ®Çy ®ñ lµ m«®un Cohen- M Macaulay suy réng khi vµ chØ khi lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng. M (iv) Cho lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng. Khi ®ã p ∈ AssM, p = m. dim(R/p) = dimM víi mäi 1.2 NhËn xÐt më ®Çu x = (x1 , ..., xd ) M Cho hÖ tham sè cña vµ mét tËp c¸c sè nguyªn d¬ng n = (n1 , ..., nd ) ta ®Æt x(n) = (xn1 , ..., xnd ). XÐt hiÖu 1 d IM (n; x) = (M/x(n)M ) − n1 ...nd e(x; M ) n1 , ..., nd , trong ®ã e(x; M ) lµ sè béi cña M nh mét hµm cña t¬ng øng víi x. IM (n; x) n1 , ..., nd Khi ®ã, nh×n chung kh«ng lµ ®a thøc víi ®ñ lín, tuy nhiªn chóng lu«n nhËn gi¸ trÞ kh«ng ©m. ThËt vËy, ta xÐt vÝ dô sau: A = k [[X, Y, Z ]]/I, trong ®ã k [[X, Y, Z ]] lµ vµnh chuçi luü thõa h×nh Cho I = (X 2 , XY Z ). Râ X, Y, Z k thøc theo ba biÕn trªn trêng ®ãng ®¹i sè vµ rµng ta cã dimA = 2 vµ hÖ x = (x1 , x2 ) lµ hÖ tham sè cña A, trong ®ã x1 lµ Y +Z A vµ x2 lµ ¶nh cña Y trong A. Khi ®ã ta cã ¶nh cña trong (x, xn )A nÕu m ≥ n + 1 1 n m x1 A : x2 = (x, xn )A ∩ (x2 , z, xn−m )A nÕu m ≤ n 1 2 trong ®ã x lµ ¶nh cña X trong A vµ z lµ ¶nh cña Z trong A. Cho n = (n, m) x = (x1 , x2 ). Gi¶ sö IM (n; x) = (M/x(n)M ) − nme(x; M ) lµ ®a thøc. vµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 Theo c«ng thøc [A-B] ta cã l(M/(xn , xkm )M ) − l(M/(xn , xm )M ) 1 2 1 2 = l(xn M : xkm /xn M ) − l(xn M : xm /xn M ) 1 2 1 1 2 1 (k −1)m (k −1)m) + e((xn , x2 ; 0 :M xn ) ); M ) + e(x2 1 1 = l(M/(xn , xkm )M ) − l(M/(xn , xm )M ) 1 2 1 2 (k −1)m (k −1)m + l(M/(xn , x2 )M ) − l(xn M : x2 /xn M ) 1 1 1 k. Cè ®Þnh n th× do mäi d·y t¨ng c¸c m«®un con cña M víi mäi sè tù nhiªn k ®Òu dõng nªn ta lu«n t×m ®îc sao cho (k −1)m xn M : xkm = xn M : x2 . 1 2 1 Tõ ®ã suy ra l(xn M : xm /xn M ) = l(M/(xn , xm )M ) 1 2 1 1 2 (k −1)m +l(M/(xn , x2 )M ) − l(M/(xn , xkm )M ). 1 1 2 n 0. Theo gi¶ thiÕt c¸c sè h¹ng bªn ph¶i cña ®¼ng thøc lµ c¸c ®a thøc víi l(xn M : xm /xn M ) còng lµ ®a thøc. Cè ®Þnh n, khi ®ã tån t¹i sè m0 sao VËy 1 2 1 cho xn M : xm = xn M : xm0 , 1 2 1 2 IM (n; x) = (M/x(n)M ) − n1 ...nd e(x; M ) ®iÒu nµy lµ m©u thuÉn. VËy n 0. kh«ng lµ ®a thøc víi = (M/x(n)M )− Do ®ã mét c©u hái ®îc ®Æt ra lµ: Khi nµo th× IM (n; x)) n1 ...nd e(x; M ) lµ mét ®a thøc víi n 0? C©u hái nµy ®îc gi¶i quyÕt trän 1.3 vÑn träng môc 1.3 §Æc trng tÝnh chÊt ®a thøc cña hµm ®é dµi x1 , x2 , . . . , xj M (i) Mét phÇn hÖ tham sè cña ®îc gäi §Þnh nghÜa 1.3.1. n0 lµ p - d·y nÕu tån t¹i mét sè tù nhiªn sao cho n n (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xni = (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xn0 i i 1 1 1 i 1 i n1 , . . . , nj 0 vµ i = 1, . . . , j x0 = 0). víi mäi ( ë ®©y ta ®Æt x1 , x2 , . . . , xj (ii) D·y ®îc gäi lµ p - d·y kh«ng ®iÒu kiÖn, ký hiÖu lµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 u.p - d·y nÕu nã lµ p - d·y víi mäi ho¸n vÞ cña d·y ®ã. Tríc khi ph¸t biÓu kÕt qu¶ chÝnh cña môc nµy chóng ta cÇn sö dông mét sè kÕt qu¶ sau. x = (x1 , . . . , xd ) lµ mét hÖ tham sè cña M. Khi ®ã c¸c Cho MÖnh ®Ò 1.3.2. ph¸t biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng: x lµ mét u.p-d·y; (i) n1 , . . . , nd ≥ n0 n0 (ii) Tån t¹i mét sè tù nhiªn sao cho víi mäi vµ víi α cña tËp {1, . . . , d} ta cã mäi ho¸n vÞ n n n n n i−1) ((xαα(1) , . . . , xααi(−1) )M : xααi()) ) i (xαα(1) , . . . , xααi()) )M i (1) ( ( (1) ( n n i−1) = (xαα(1) , . . . , xααi(−1) )M, ∀i = 1, . . . , d; (1) ( n1 , . . . , nd ≥ n0 n0 (iii) Tån t¹i mét sè tù nhiªn sao cho víi mäi vµ víi mäi α cña tËp {1, . . . , d} ta cã ho¸n vÞ n n n n n ((xαα(1) , . . . , xααdd−1) )M : xααdd) ) ( 1) ( (xαα(1) , . . . , xααdd) )M ( (− (1) () (1) () n n = (xαα(1) , . . . , xααdd−1) )M ; ( 1) (− (1) n1 , . . . , nd ≥ n0 n0 (iv) Tån t¹i mét sè tù nhiªn sao cho víi mäi vµ víi mäi α cña tËp {1, . . . , d} ta cã ho¸n vÞ n n n n n (xαα(1) , . . . , xααdd−1) )M : xααdd) = (xαα(1) , . . . , xααdd−1) )M : xn0d) . ( 1) ( ( 1) (− (− (1) () (1) α( =⇒ x1 , . . . , xd Chøng minh. : (i) (ii). B»ng c¸ch ®¸nh sè l¹i d·y ta chØ cÇn chøng minh r»ng n n ((xn1 , . . . , xi−−1 )M : xni ) (x1 )n1 , . . . , xni )M = (xn1 , . . . , xi−−1 )M. i i 1 1 1 i i 1 n a ∈ ((xn1 , . . . , xi−−1 )M : xni ) (xn1 , . . . , xni )M . i Gi¶ sö Ta cã thÓ viÕt 1 1 1 i i n i ni ∈ (xn1 , . . . , xi−i1 1) )M : xni nj (− víi yj ∈ M . V× axi a= j =1 yj xj nªn 1 i n( − yi x2ni ∈ (xn1 , . . . , xi−i1)1) )M . VËy víi mäi ni ≥ n0 ta ®îc i 1 n n yi ∈ (xn1 , . . . , xi−−1 )M : x2ni = (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xni . i i i 1 1 1 1 i n n yi xni ∈ (xn1 , . . . , xi−−1 )M, tøc a ∈ (xn1 , . . . , xi−−1 )M . i i Tõ ®ã ta suy ra i 1 1 1 1 =⇒ (iii) lµ hiÓn nhiªn. (ii) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 =⇒ (iv). Víi n1 , . . . , nd ≥ n0 (iii) ta cã n n n ((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xn0 ) (xn1 , . . . , xd−−1 , xn0 )M = (xn1 , . . . , xd−−1 )M. d d d 1 1 1 1 d 1 d 1 x n0 Chia c¶ hai vÕ ®¼ng thøc trªn cho ta thu ®îc d n n (xn1 , . . . , xd−−1 )M : x2n0 = (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xn0 . d d 1 1 1 d 1 d Tõ ®©y ta suy ra n n (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xkn0 = (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xn0 d d 1 1 1 d 1 d n1 , . . . , nd ≥ n0 vµ k ≥ 1. V× chøng minh trªn kh«ng phô thuéc vµo víi mäi x1 , . . . , xd thø thù cña d·y nªn ta suy ra (iv). =⇒ (i). Theo ®Þnh lý giao Krull, tõ (iv) ta suy ra (iv) ∞ ni n (xn1 , . . . , xi−−1 )M xni ((xn1 , . . . , xi−−1 , xk+1 , . . . , xk )M : xni ) ⊆ i : i d 1 1 1 i 1 i k =n 0 ∞ n ((xn1 , . . . , xi−−1 , xk+1 , . . . , xk )M : xn0 ) i = i 1 1 i d k =n 0 ni (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xn0 = 1 1 i ni−1 n1 : x ni , ⊆ (x1 , . . . , xi−1 )M i n1 , . . . , nd ≥ n0 . i = 1, . . . , d víi mäi vµ Còng nh trªn, phÐp chøng x1 , . . . , xd . VËy x1 , . . . , xd minh kh«ng phô thuéc vµo thø tù cña d·y lµ mét u.p - d·y vµ mÖnh ®Ò 1.3.2 ®îc chøng minh. l(M/(xn1 , . . . , xnd )M ) lµ ®a thøc theo n khi n 0. Khi Gi¶ sö Bæ ®Ò 1.3.3. 1 d n1 , . . . , nd . ®ã ®a thøc trªn lµ tuyÕn tÝnh theo tõng biÕn Chøng minh. Ta sÏ chøng minh bæ ®Ò b»ng quy n¹p theo dimM = d. V× IM (n; x) = l(M/(xn1 , . . . , xnd )M ) − n1 . . . nd e(x; M ) ta cã nªn ta chØ cÇn 1 d IM (n; x) n1 , . . . , nd . chøng minh ®a thøc lµ tuyÕn tÝnh theo tõng biÕn ThËt d = 1 khi ®ã ta cã IM (n; x) = l(M/xn1 M ) − n1 e(x1 ; M ) lµ ®a thøc vËy, víi 1 n1 n1 0. Theo c«ng thøc Lech ta cã theo víi lM/(xn1 M ) 1 lim = e(x1 ; M ) n1 n1 →∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 IM (n; x) lµ b»ng 0. Do ®ã ®a thøc IM (n; x) lµ ®a nªn suy ra bËc cña ®a thøc n1 . thøc tuyÕn tÝnh theo E = M/xn1 M = d − 1. d > 1. n1 th× dimE Gi¶ sö Cè ®Þnh ®Æt Khi ®ã 1 ta cã l(M/(xn1 , . . . , xd )M ) = l(E/(xn2 , . . . , xnd )E ). 1 2 d IM (n; x) = l(E/(xn2 , . . . , xnd )E ) − n1 .n2 . . . nd e(x; M ). Khi ®ã Theo gi¶ 2 d IM (n; x) lµ ®a thøc tuyÕn tÝnh theo n2 , . . . , nd . Cè ®Þnh thiÕt quy n¹p suy ra F = M/(xn2 , . . . , xnd )M n2 , . . . , nd th× dimF = 1. Khi ®ã ®Æt 2 d l(M/(xn1 , . . . , xnd )M ) = l(F/xn1 F ). 1 1 d IM (n; x) = l(F/xn1 F ) − n1 . . . nd−1 nd e(x; M ). Suy ra Theo gi¶ thiÕt quy 1 IM (n; x) lµ ®a thøc tuyÕn tÝnh theo n1 . n¹p suy ra TiÕp theo lµ mét kÕt qu¶ chÝnh cña tiÕt nµy còng lµ mét tr¶ lêi trän vÑn cho c©u hái trong môc 1.2. IM (n; x) lµ mét ®a thøc theo n víi n 0 khi vµ chØ Hµm sè §Þnh lý 1.3.4. x lµ u.p-d·y. khi hÖ tham sè Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Theo c«ng thøc [A-B] ta cã n n l(M/(xn1 , . . . , xd−−1 , xknd )M ) − l(M/(xn1 , . . . , xd−−1 , xnd )M ) d d 1 1 1 d 1 d n n = l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xknd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 n n −l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 d−1 n n n n e((xi+1 , ..., xd−−1 , xknd ); (xn1 , ..., xi−−1 )M : xni /(xn1 , ..., xi−−1 )M ) i+1 d i i + 1 1 1 i 1 1 d i=1 d−1 n n n n e((xi+1 , ..., xd−−1 , xnd ); (xn1 , ..., xi−−1 )M : xni /(xn1 , ..., xi−−1 )M ) − i+1 d i i 1 1 1 i 1 1 d i=1 n n = l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xknd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 n n −l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 d−1 (k −1)nd n n n n ); (xn1 , ..., xi−−1 )M : xni /(xn1 , ..., xi−−1 )M ) e((xi+1 , ..., xd−−1 , xd i+1 d i i + 1 1 1 i 1 1 i=1 n n = l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xknd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 n n −l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 (k −1)nd n +l(M/(xn1 , . . . , xd−−1 , xd d )M ) 1 1 (k −1)nd n n −l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 1 k. Khi ®ã víi d − 1 sè nguyªn d¬ng n1 , . . . , nd1 víi mäi sè tù nhiªn ta lu«n k cã thÓ t×m ®îc mét sè sao cho (k −1)nd n n (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xknd = (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xd d d . 1 1 1 d 1 Tõ ®©y suy ra n n l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) = l(M/(xn1 , . . . , xnd )M ) d d 1 1 1 1 d 1 d (k −1)nd n n +l(M/(xn1 , . . . , xd−−1 , xd )M ) − l(M/(xn1 , . . . , xd−−1 , xknd )M ). d d 1 1 1 1 d Theo mÖnh ®Ò 1.3.3 c¸c sè h¹ng bªn ph¶i ®¼ng thøc lµ nh÷ng ®a thøc tuyÕn ni n 0. Do ®ã tÝnh theo tõng biÕn víi n n l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 n1 , . . . , nd−1 n0 còng lµ ®a thøc. Cè ®Þnh th× tån t¹i sè tù nhiªn sao cho n (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd = (xn1 , . . . , xn−1 )M : xn0 d d 1 1 1 d d d nd ≥ n0 . nd . víi Do ®ã ®a thøc trªn kh«ng phô thuéc vµo VËy tån t¹i mét n0 sè tù nhiªn sao cho n n (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd = (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xn0 d d 1 1 1 d 1 d n1 , . . . , nd ≥ n0 . víi mäi V× chøng minh kh«ng phô thuéc vµo thø tù cña x1 , . . . , x d d·y nªn ®iÒu kiÖn cÇn ®îc chøng minh. Chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ. §Æt n n e(∅; (xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M d d 1 1 1 d 1 n n = l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M. d d 1 1 1 d 1 Khi ®ã theo c«ng thøc [A-B] ta chØ cÇn chøng minh n n n n e((xi+1 , . . . , xd−−1 , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xni /(xn1 , . . . , xi−−1 )M ) i+1 d i i 1 1 1 i 1 1 d n1 , . . . , ni 0, i = 0, . . . , d. lµ c¸c ®a thøc theo víi Ta sÏ chøng minh quy d vµ i. n¹p theo d = 1 hoÆc i = 0 vµ d bÊt kú th× mÖnh ®Ò trªn hiÓn nhiªn ®óng. NÕu i ≥ 1. d−1 i − 1, d>1 Cho vµ Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi hoÆc ta cÇn chøng minh n n n e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xni /(xn1 , . . . , xi−−1 )M ) i+1 i i 1 1 1 i 1 d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 n1 , . . . , nd 0. ThËt vËy, xÐt ho¸n vÞ α = (α(1), ..., α(d)) lµ mét ®a thøc víi {1, . . . , d} α(i − 1) = i, α(i) = i − 1 α(j ) = j cña tËp x¸c ®Þnh bëi vµ víi j = {i − 1, i}. Khi ®ã, theo gi¶ thiÕt v× x1 , . . . , xd mäi lµ u.p-d·y vµ dùa vµo n0 c«ng thøc [A-B] ta t×m ®îc sè tù nhiªn sao cho n n 0 = l(M/(xn1 , . . . , xnd )M ) − l(M/(xαα(1) , . . . , xααdd) )M ) ( 1 d (1) () n n = e((xni , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn−1 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i i 0 1 1 i 2 i 2 d n n n + e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−1 )M ) i+1 i i 1 1 1 i 1 d n n n n − e((xααi()) , . . . , xααdd) ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i ( i i 1 1 2 i 2 ( () n n n n n − e((xi+1 , ..., xnd ); (xαα(1) , ..., xααi(−1) )M : xn−1 /(xαα(1) , ..., xααi(−1) )M i−1) i−1) i+1 0 i d (1) ( (1) ( n1 , . . . , nd ≥ n0 . Suy ra víi mäi n n e((xni , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn−1 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i i 0 1 1 i 2 i 2 d n n n n n − e((xi+1 , ..., xnd ); (xαα(1) , ..., xααi(−1) )M : xn−1 /(xαα(1) , ..., xααi(−1) )M i−1) i−1) i+1 0 i d (1) ( (1) ( n n n n = e((xααi()) , . . . , xααdd) ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i ( i i 1 1 2 i 2 ( () n n n − e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−1 )M ). i+1 i i 1 1 1 i 1 d F Ký hiÖu lµ hµm bªn ph¶i cña ®¼ng thøc. Râ rµng vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc ni−1 F ni−1 . Do ®ã víi kh«ng phô thuéc vµo nªn còng kh«ng phô thuéc vµo n1 , . . . , nd ≥ n0 suy ra n n n F = e((xn−1 , xi+1 . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i+1 i i 0 1 1 i 2 i 2 d n − e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xn−1 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xn−1 )M ). i+1 0 0 1 1 i i i d M = M/xn−1 M. = d − 1, Suy ra dimM d 0 §Æt tõ gi¶ thiÕt quy n¹p theo ta i cã n e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xn−1 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xn−1 )M ) i+1 0 0 1 1 i i i d n n n = e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i+1 i i 1 1 2 i 2 d n1 , . . . , nd ≥ n0 . MÆt kh¸c tõ gi¶ thiÕt quy n¹p theo i th× lµ mét ®a thøc khi n n n e((xn−1 , xi+1 . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−2 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−2 )M ) i+1 i i 0 1 1 i 2 i 2 d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 n1 , . . . , nd ≥ n0 . F F còng lµ ®a thøc khi V× lµ tæng cña hai ®a thøc nªn n1 , . . . , nd ≥ n0 . Cuèi cïng, tõ quy n¹p theo i ta suy ra còng lµ ®a thøc khi n n n e((xi+1 , . . . , xnd ); (xn1 , . . . , xi−−1 )M : xn0 /(xn1 , . . . , xi−−1 )M ) i+1 i i 1 1 1 i 1 d n n n n n = e((xi+1 , ..., xnd ); (xαα(1) , ..., xααi(−1) )M : xn−1 /(xαα(1) , ..., xααi(−1) )M + F i−1) i−1) i+1 0 i d (1) ( (1) ( n1 , . . . , nd ≥ n0 . lµ ®a thøc khi Kh¸i niÖm u.p-d·y lóc ®Çu ®îc ®a ra lµ ®Ó gi¶i quyÕt c©u hái khi nµo IM (n; x) lµ ®a thøc. Sau nµy kh¸i niÖm nµy cßn ®îc dïng vµo nhiÒu hµm sè lÜnh vùc kh¸c nhau cña §¹i sè giao ho¸n. Trong môc tiÕp theo chóng ta chØ ra r»ng u.p-d·y cã thÓ dïng ®Ó ®Æc trng cho m«®un Cohen-Macaulay. 1.4 Mét sè ¸p dông x = (x1 , . . . , xd ) M Nh¾c l¹i r»ng, mét hÖ tham sè cña ®îc gäi lµ xi ∈ p p∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M )\m}, / f - d·y chÝnh quy nÕu víi mäi i = 1, . . . , d. Nã ®îc gäi lµ f -d·y chÝnh quy ho¸n vÞ ®îc nÕu mäi ho¸n vÞ cña nã ®Òu lµ f-d·y chÝnh quy. M M M«®un ®îc gäi lµ f-m«®un nÕu mäi hÖ tham sè cña ®Òu lµ f-d·y chÝnh quy. Nh chóng ta ®· biÕt, f-m«®un cã nh÷ng tÝnh chÊt rÊt ®Ñp nh Mp p = m. lµ Cohen-Macaulay víi mäi i®ªan nguyªn tè MÆc dÇu víi tÝnh chÊt tèt nh vËy nhng tån t¹i f-m«®un kh«ng lµ Cohen-Macaulay suy réng. Trong môc nµy ta sÏ ®Æc trng tÝnh chÊt ®ã th«ng qua u.p-d·y. Tríc khi ph¸t biÓu kÕt qu¶ chÝnh cña môc nµy ta sÏ sö dông mét sè bæ ®Ò sau. x = (x1 , . . . , xd ) (xem trong 4.7 cña [1]). Cho lµ hÖ tham sè Bæ ®Ò 1.4.1 M. Khi ®ã cña e((xi+1 , . . . , xd ; (x1 , . . . , xi−1 )M : xi /(x1 , . . . , xi−1 )M ) = 0, i = 1, . . . , d − 1 khi vµ chØ khi xi ∈ p p ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M ), / víi mäi dim(A/p) ≥ d − i víi mäi i = 1, . . . , d − 1. tho¶ m·n Tõ bæ ®Ò trªn ta suy ngay ra mét hÖ qu¶ sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 x1 , . . . , xd M. x Cho lµ mét hÖ tham sè cña Khi ®ã nÕu lµ HÖ qu¶ 1.4.2. f-d·y chÝnh quy th× e((xi+1 , . . . , xd ; (x1 , . . . , xi−1 )M : xi /(x1 , . . . , xi−1 )M ) = 0 i = 1, . . . , d. víi mäi A-m«®un M Mét lµ Cohen-Macaulay suy réng khi vµ chØ khi §Þnh lý 1.4.3. tån t¹i mét hÖ tham sè lµ u.p d·y vµ còng lµ f-d·y chÝnh quy ho¸n vÞ ®îc. Chøng minh. Theo [7] th× ®iÒu kiÖn cÇn cña ®Þnh lý lµ hiÓn nhiªn. Ta sÏ x = (x 1 , . . . , x d ) chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ. ThËt vËy, gi¶ sö lµ mét f-d·y chÝnh quy ho¸n vÞ ®îc. Theo hÖ qu¶ trªn ta suy ra e((xi+1 , . . . , xd ; (x1 , . . . , xi−1 )M : xi /(x1 , . . . , xi−1 )M ) = 0 i = 1, . . . , d. Theo c«ng thøc [A-B] ta nhËn ®îc víi mäi n n IM (n; x) = l((xn1 , . . . , xd−−1 )M : xnd /(xn1 , . . . , xd−−1 )M ) d d 1 1 1 d 1 n 0 v× khi ®ã x còng lµ mét u.p-d·y. lµ mét ®a thøc víi VËy ®a thøc nµy nd . Ho¸n vÞ thø tù cña d·y x1 , . . . , xd kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän th× ®a IM (n; x) n1 , . . . , nd n 0. IM (n; x) thøc kh«ng phô thuéc vµo khi VËy lµ n 0, ®iÒu nµy chøng tá M hµm h»ng khi lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng. Tõ ®Þnh lý trªn ta suy ra ngay mét hÖ qu¶ sau. M M Cho lµ mét f-m«®un. Khi ®ã mäi hÖ tham sè cña kh«ng HÖ qu¶ 1.4.4. M lµ u.p-d·y khi vµ chØ khi kh«ng lµ m«®un Cohen-Macaulay. M Chøng minh. Gi¶ sö mäi hÖ tham sè cña ®Òu kh«ng lµ u.p d·y. Khi ®ã IM (n; x) kh«ng lµ ®a thøc h»ng. Do ®ã M kh«ng lµ m«®un Cohen-Macaclay M suy réng. Ngîc l¹i, gi¶ sö kh«ng lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng M ta cÇn chøng minh mäi hÖ tham sè cña ®Òu kh«ng lµ u.p-d·y. ThËt vËy, x M gi¶ sö ngîc l¹i lµ tån t¹i hÖ tham sè cña lµ u.p-d·y. Theo gi¶ thiÕt v× Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 M x lµ f-d·y chÝnh quy ho¸n vÞ ®îc. lµ f-m«®un nªn Theo ®Þnh lý trªn th× M lµ Cohen-Macaulay suy réng. §iÒu nµy lµ m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy x kh«ng lµ u.p-d·y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 2 KiÓu ®a thøc (A, m) lµ vµnh Noether, ®Þa ph¬ng, giao Trong suèt ch¬ng nµy ta ký hiÖu R−m«®un h÷u h¹n sinh kh¸c kh«ng víi dim M = d. M ho¸n lµ 2.1 KiÕn thøc chuÈn bÞ a∈M A. Khi ®ã m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Cho lµ mét i®ªan cña i Ha (M ) i M a thø cña øng víi gi¸ ®îc x¸c ®Þnh bëi hµm tö dÉn xuÊt ph¶i a-xo¾n Γa (•): Ha (M ) = Ri Γa (M ), i i Γa (M ) thø cña hµm tö trong ®ã ®îc ®Þnh nghÜa bëi (0M : an ) Γa (M ) = n ≥0 lµ mét hµm tö hiÖp biÕn khíp tr¸i. TiÕp theo ta sÏ nh¾c l¹i mét sè ®Þnh lý quan träng sau. A a (xem trong [3]). Cho lµ mét i®ªan cña vµnh Noether vµ §Þnh lý 2.1.1 M A-m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã lµ i Ha (M ) = 0 i > dim M. víi mäi M=0 (xem trong [3]). Cho lµ m«®un h÷u h¹n sinh víi §Þnh lý 2.1.2 dim M = d trªn vµnh Noether ®Þa ph¬ng (A, m.) Khi ®ã d Hm (M ) = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn