Luận văn: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

112
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết định tính các hệ động lực là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân và sai phân. Trong lý thuyết đó, tính ổn định là một trong những tính chất tiêu biểu, có nhiều ứng dụng trong thực tế, được quan tâm nghiên cứu trong những thập kỷ gần đây. Được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUYÊN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUYÊN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Môc lôc 1 Lêi nãi ®Çu 2 Mét sè kÝ hiÖu dïng trong luËn v¨n 5 Ch¬ng 1 C¬ së to¸n häc 6 1.1 Ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ sai ph©n .................. 6 1.2 Lý thuyÕt æn ®Þnh Lyapunov ..................... 8 1.3 C¸c ®Þnh lý vµ bæ ®Ò bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 æ Ch¬ng 2 n ®Þnh vµ æn ®Þnh ho¸ c¸c hÖ rêi r¹c 15 æ 2.1 n ®Þnh cña c¸c hÖ rêi r¹c ..................... 15 æ 2.1.1 n ®Þnh cña c¸c hÖ rêi r¹c tuyÕn tÝnh ......... 15 æ 2.1.2 n ®Þnh cña c¸c hÖ rêi r¹c phi tuyÕn .......... 16 æ 2.1.3 n ®Þnh cña hÖ rêi r¹c tuyÕn tÝnh cã trÔ ........ 18 æ 2.2 n ®Þnh ho¸ c¸c hÖ rêi r¹c ..................... 25 2.2.1 Bµi to¸n æn ®Þnh ho¸ ..................... 25 æ 2.2.2 n ®Þnh ho¸ cña hÖ tuyÕn tÝnh .............. 27 æ Ch¬ng 3 n ®Þnh vµ æn ®Þnh ho¸ bÒn v÷ng c¸c hÖ cã trÔ 32 3.1 Sù æn ®Þnh ho¸ bÒn v÷ng cña hÖ cã trÔ ............. 32 3.2 Sù æn ®Þnh bÒn v÷ng vµ æn ®Þnh ho¸ bÒn v÷ng cña hÖ cã trÔ víi nhiÔu phi tuyÕn .......................... 37 KÕt luËn 49 Tµi liÖu tham kh¶o 50 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt ®Þnh tÝnh c¸c hÖ ®éng lùc lµ mét trong nh÷ng híng nghiªn cøu quan träng trong lý thuyÕt ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ sai ph©n. Trong lý thuyÕt ®ã, tÝnh æn ®Þnh lµ mét trong nh÷ng tÝnh chÊt tiªu biÓu, cã nhiÒu øng dông trong thùc tÕ, ®îc quan t©m nghiªn cøu trong nh÷ng thËp kû gÇn ®©y. §îc b¾t ®Çu nghiªn cøu tõ cuèi thÕ kû XIX bëi nhµ to¸n häc V.Lyapunov vµ ®Õn nay ®· trë thµnh mét híng nghiªn cøu kh«ng thÓ thiÕu trong lý thuyÕt hÖ thèng vµ øng dông. C¸c c«ng tr×nh cña Luapunov cã nhiÒu kÕt qu¶ vµ ý tëng xuÊt s¾c cã gi¸ trÞ nÒn t¶ng cho nh÷ng nghiªn cøu sau nµy vµ h¬n thÕ nã cßn cã ý nghÜa ®Æt nÒn mãng cho toµn bé lý thuyÕt ®Þnh tÝnh cña ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng. Hai ph¬ng ph¸p do «ng ®Ò xuÊt lµ ph¬ng ph¸p mò Lyapunov (ph¬ng ph¸p thø nhÊt) vµ ph¬ng ph¸p hµm Lyapunov (ph¬ng ph¸p thø hai hay ph¬ng ph¸p trùc tiÕp) vÉn lµ hai c¸ch tiÕp cËn chÝnh khi nghiªn cøu vÒ æn ®Þnh. §Õn nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû XX, cïng víi sù ph¸t triÓn cña lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, ngêi ta còng b¾t ®Çu nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña c¸c hÖ ®iÒu khiÓn. Bµi to¸n nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh c¸c hÖ ®iÒu khiÓn ®îc gäi lµ bµi to¸n æn ®Þnh ho¸. Bµi to¸n æn ®Þnh cho c¸c hÖ rêi r¹c lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n quan träng trong lý thuyÕt ®Þnh tÝnh c¸c hÖ ®éng lùc. Bµi to¸n nµy tõ tríc cho ®Õn nay nhËn ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trong vµ ngoµi níc, cã thÓ kÓ ra ®©y mét sè t¸c gi¶ nh Ladas, Agarwal, Gabasov and Kirillova, Myskis, Hoµng H÷u §êng, NguyÔn Khoa S¬n, Vò Ngäc Ph¸t, NguyÔn V¨n Minh, .... Bè côc luËn v¨n gåm phÇn më ®Çu, ba ch¬ng vµ phÇn tµi liÖu tham kh¶o. Ch¬ng 1: C¬ së to¸n häc. æ Ch¬ng 2: n ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa c¸c hÖ rêi r¹c. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
æ Ch¬ng 3: n ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa bÒn v÷ng c¸c hÖ cã trÔ. Ch¬ng 1 tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña ®¹i sè tuyÕn tÝnh, ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ sai ph©n, mét sè bæ ®Ò vµ ®Þnh lý quan träng. Ch¬ng 2 tr×nh bµy ph¬ng ph¸p nghiªn cøu æn ®Þnh cña Lyapunov vµ mét sè kÕt qu¶ kinh ®iÓn cho hÖ tuyÕn tÝnh. §ång thêi chóng t«i còng tr×nh bµy mét sè tiªu chuÈn æn ®Þnh hãa ®· cã ®èi víi hÖ ®iÒu khiÓn rêi r¹c tuyÕn tÝnh d¹ng x(k + 1) = Ax(k ) + Bu(k ), k ∈ Z+ , (1) theo hai híng kh¸c nhau. Mét kÕt qu¶ nghiªn cøu theo híng bÊt ®¼ng thøc ma trËn vµ kÕt qu¶ cßn l¹i nghiªn cøu dùa trªn tÝnh ®iÒu khiÓn ®îc cña cÆp [A, B ]. ma trËn hÖ sè ë Ch¬ng 3 tr×nh bµy mét sè nghiªn cøu míi. ®©y chóng t«i xÐt c¸c hÖ rêi r¹c tuyÕn tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n (uncertain) cã trÔ x(k + 1) = (A + Da Fa (k )Ea )x(k )+(B + Db Fb (k )Eb )x(k − h) (2) +(C + Dc Fc (k )Fc )u(k ) k ∈ Z+ , vµ c¸c hÖ rêi r¹c kh«ng ch¾c ch¾n cã trÔ víi nhiÔu phi tuyÕn x(k + 1) =(A + Da Fa (k )Ea )x(k ) + (B + Db Fb (k )Eb )x(k − h) (3) + f (k, x(k ), x(k − h)), k ∈ Z+ , x(k + 1) =(A + Da Fa (k )Ea )x(k ) + (B + Db Fb (k )Eb )x(k − h) + (C + Dc Fc (k )Ec )u(k ) + f (k, x(k ), x(k − h), u(k )), k ∈ Z+ , (4) x(k ) ∈ Rn u(k ) ∈ Rm trong ®ã lµ biÕn tr¹ng th¸i, lµ biÕn ®iÒu khiÓn, A, B, C, Da , Ea , Db , Eb , Dc , Ec lµ c¸c ma trËn h»ng cho tríc víi sè chiÒu Fa (k ), Fb (k ), Fc (k ) thÝch hîp, lµ c¸c ma trËn kh«ng ch¾c ch¾n cha biÕt víi Fa (k ) ≤ 1, Fb (k ) ≤ 1, Fc (k ) ≤ 1, sè chiÒu thÝch hîp tho¶ m·n f (.) lµ hµm phi tuyÕn. ViÖc nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh hãa bÒn v÷ng cña hÖ (4) lµ viÖc më réng nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh bÒn v÷ng cña hÖ (2) vµ tÝnh æn ®Þnh ho¸ bÒn v÷ng cña u(k ) = h(x(k )) hÖ (3). Khã kh¨n ë ®©y lµ ph¶i t×m ®îc ®iÒu khiÓn ngîc 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
®Ó hÖ (2) vµ (4) lµ æn ®Þnh ho¸ ®îc, mµ nh chóng ta ®· biÕt ®iÒu nµy kh«ng ph¶i khi nµo còng thùc hiÖn ®îc víi mét hÖ rêi r¹c cã trÔ bÊt kú. MÆt kh¸c f (.) ®iÒu kiÖn ®Æt ra cho hµm còng lµ mét trë ng¹i trong qu¸ tr×nh nghiªn f (.), cøu, ë ®©y chóng t«i ®· gi¶ thiÕt ®iÒu kiÖn t¨ng trëng cho tøc lµ trong f (.) hÖ (3) lµ hµm cã tÝnh chÊt y , ∀(k, x, y ) ∈ Z+ × Rn × Rn , f (k, x, y ) ≤ a x +b a, b f (.) lµ nh÷ng sè d¬ng cho tríc, vµ trong hÖ (4) lµ hµm cã tÝnh chÊt z , ∀(k, x, y, z ) ∈ Z+ ×Rn ×Rn ×Rm , f (k, x, y, z ) ≤ a x +b y +c a, b, c lµ nh÷ng sè d¬ng cho tríc. LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña GS.TSKH Vò Ngäc Ph¸t, nh©n dÞp nµy, em xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®èi víi ThÇy. Em xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« cña §H Th¸i Nguyªn vµ ViÖn To¸n häc ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y em trong suèt qu¸ tr×nh häc cao häc. & T«i xin c¶m ¬n Trêng §H Kinh tÕ QTKD Th¸i Nguyªn, khoa Khoa & häc c¬ b¶n trêng §H Kinh tÕ QTKD Th¸i Nguyªn, khoa To¸n trêng §HSP Th¸i Nguyªn, khoa Sau §¹i häc trêng §HSP Th¸i Nguyªn ®· quan t©m gióp ®ì, t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i thùc hiÖn kÕ ho¹ch häc tËp cña m×nh. Xin c¶m ¬n ngêi th©n, ®ång nghiÖp, b¹n bÌ ®· cæ vò ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mét sè kÝ hiÖu dïng trong luËn v¨n • Z+ R+ lµ tËp tÊt c¶ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m; tËp tÊt c¶ c¸c sè thùc Rn n− ., . kh«ng ©m; kh«ng gian vÐc t¬ chiÒu víi kÝ hiÖu tÝch v« híng lµ . ; R n ×r (n × r) vµ chuÈn vÐc t¬ lµ kh«ng gian c¸c ma trËn chiÒu. • AT A; A ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn Ma trËn ®îc gäi lµ ®èi xøng A = AT ; I nÕu lµ ma trËn ®¬n vÞ. • Sp(A) A. tËp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng cña • λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ Sp(A)}; λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ Sp(A)}. n n 1 |aij |2 ) 2 . •A A, A =( lµ chuÈn cña ma trËn ®îc ®Þnh nghÜa bëi i=1 j =1 • A ≥ 0, A Ma trËn ®îc gäi lµ x¸c ®Þnh kh«ng ©m, kÝ hiÖu lµ nÕu Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ; A Ma trËn ®îc gäi lµ x¸c ®Þnh d¬ng nÕu Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn Ax, x > 0 x = 0. vµ víi 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 C¬ së to¸n häc 1.1 Ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ sai ph©n XÐt ph¬ng tr×nh vi ph©n x = f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b], ˙ (1.1) x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, f (t, x) : I × D −→ Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a}. trong ®ã x(t) NghiÖm cña (1.1) lµ hµm kh¶ vi liªn tôc tho¶ m·n (t, x(t)) ∈ I × D, (i) x(t) (ii) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n (1.1). I × D, f (t, x) x(t) Gi¶ sö hµm liªn tôc trªn khi ®ã nghiÖm cho bëi d¹ng tÝch ph©n sau t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. t0 Trong trêng hîp hÖ (1.1) cã d¹ng x = Ax + g (t), t ≥ 0, ˙ (1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, g (t) : [0, ∞) −→ Rn A víi lµ ma trËn h»ng, lµ hµm kh¶ tÝch, ngêi ta chøng minh ®îc (1.2) lu«n tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cho bëi c«ng thøc Cauchy sau t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) g (s)ds. (1.3) t0 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
§èi víi hÖ kh«ng dõng x = A(t)x + g (t), t ≥ 0, ˙ (1.4) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, A(t) ≤ m(t), A(t) t m(t), g (t) trong ®ã lµ hµm liªn tôc theo vµ víi lµ c¸c hµm kh¶ tÝch th× hÖ (1.4) còng cã nghiÖm duy nhÊt. NghiÖm nµy biÓu diÔn qua ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ thuÇn nhÊt x = A(t)x, ˙ (1.5) lµ t x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g (s)ds, t0 Φ(t, s) trong ®ã lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ (1.5) tháa m·n d (i) Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, dt (ii)Φ(t, t) = I. Bªn c¹nh c¸c hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ta còng xÐt c¸c hÖ sai ph©n t¬ng øng, xÐt hÖ x(k + 1) = f (k, x(k )), k = 0, 1, 2, .... (1.6) f (.) : Z+ × Rn −→ Rn trong ®ã cho tríc. Khi ®ã víi tr¹ng th¸i ban ®Çu x(0) = x0 hÖ lu«n cã nghiÖm x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc truy håi x(1) = f (0, x0 ), x(2) = f (1, f (0, x(0))), .... Kh¸c víi hÖ vi ph©n, sù tån t¹i nghiÖm cña hÖ (1.6) lµ ®¬n gi¶n, kh«ng f (.). cÇn ®iÒu kiÖn liªn tôc còng nh tÝnh Lipschitz cña hµm Trêng hîp hÖ (1.6) lµ tuyÕn tÝnh d¹ng x(k + 1) = A(k )x(k ) + g (k ), k ∈ Z+ , (1.7) x(0) = x0 th× víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu tuú ý vµ d·y g = {g (0), g (1), ..., g (k − 1), ...}, 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
x(k ) k>0 nghiÖm t¹i bíc cho bëi c«ng thøc Cauchy k −1 x(k ) = F (k, 0)x0 + F (k, s + 1)g (s), s=0 F (k, s) trong ®ã lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt x(k + 1) = A(k )x(k ), k ∈ Z+ . F (k, s) Ta cã thÓ biÓu diÔn c«ng thøc cña nh sau F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2)...A(s), k ≥ s ≥ 0, F (k, k ) = I. F (k, s) = Ak−s , k ≥ s ≥ 0 A(.) NÕu lµ ma trËn h»ng th× vµ khi ®ã nghiÖm cña hÖ tuyÕn tÝnh dõng víi thêi gian rêi r¹c lµ k −1 Ak−s−1 g (s). k x(k ) = A x0 + s=0 §Ó ®¸nh gi¸ nghiÖm ph¬ng tr×nh sai ph©n ngêi ta thêng dïng bÊt ®¼ng thøc quan träng sau. z (k ), a(k ) : Z+ −→ Cho §Þnh lý 1.1.1 (BÊt ®¼ng thøc Gronwall rêi r¹c [3]). Z+ C ≥ 0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ c¸c d·y sè kh«ng ©m, k −1 z (k ) ≤ C + a(s)z (s), k = 1, 2, ..., z (0) ≤ C. s=0 Khi ®ã k −1 z (k ) ≤ C (1 + a(s)), k = 1, 2, .... s=0 1.2 Lý thuyÕt æn ®Þnh Lyapunov XÐt mét hÖ thèng m« t¶ bëi ph¬ng tr×nh vi ph©n (1.1) ë trªn, gi¶ sö hµm f (.) sè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Cauchy lu«n cã nghiÖm, khi ®ã d¹ng tÝch ph©n cña nghiÖm ®îc cho bëi t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. t0 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
x(t) æn §Þnh nghÜa 1.2.1. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (1.1) ®îc gäi lµ > 0, t0 ≥ 0 δ>0 , t0 ®Þnh nÕu víi mçi cho tríc, tån t¹i sè (phô thuéc ) y0 − x0 < δ y (t) : y (t0 ) = y (0) sao cho bÊt kú nghiÖm cña hÖ tho¶ m·n y (t) − x(t) < , ∀t ≥ t0 . th× ta ®Òu cã • x(t) æn ®Þnh tiÖm cËn NghiÖm gäi lµ nÕu nã lµ æn ®Þnh vµ cã mét sè y0 − x0 < δ y (t) − x(t) → 0 t → ∞. δ>0 sao cho víi th× khi • x(t) æn ®Þnh mò NghiÖm gäi lµ nÕu nã lµ æn ®Þnh tiÖm cËn vµ thªm y0 − x0 α, M 0, t0 ∈ R+ • HÖ (1.1) lµ æn ®Þnh nÕu víi mçi cho tríc, tån t¹i sè δ>0 , t0 x(t) : x(t0 ) = x(0) (phô thuéc ) sao cho bÊt kú nghiÖm cña hÖ t ≥ t0 . x0 < δ x(t) < tho¶ m·n th× víi mäi • HÖ (1.1) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu nã æn ®Þnh vµ thªm vµo ®ã tån t¹i δ>0 x0 < δ lim x(t) = 0. sao cho nÕu th× t→∞ • HÖ (1.1) lµ æn ®Þnh mò nÕu nã lµ æn ®Þnh tiÖm cËn vµ tån t¹i c¸c h»ng α, M x(t) : x(t0 ) = x0 (1.1) : x0 < δ sè d¬ng sao cho mäi nghiÖm cña x(t) < M e−αt t ≥ t0 . th× víi mäi δ t0 Trong c¸c ®Þnh nghÜa trªn nÕu kh«ng phô thuéc th× sù æn ®Þnh (æn æn ®Þnh ®Òu (æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu). ®Þnh tiÖm cËn) ®îc gäi lµ Sù æn ®Þnh cña c¸c hÖ rêi r¹c ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng tù. XÐt hÖ (1.6) ë trªn. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
> 0, k0 ∈ Z+ æn ®Þnh §Þnh nghÜa 1.2.2. HÖ (1.6) gäi lµ nÕu víi mçi δ>0 δ , k0 x(k ) tån t¹i ( phô thuéc ) sao cho víi mäi nghiÖm cña hÖ mµ k ≥ k0 . x(0) < δ x(k ) < æn ®Þnh tiÖm cËn th× víi mäi HÖ lµ nÕu nã δ>0 lim x(k ) = 0 x(k ) æn ®Þnh vµ cã mét sè sao cho víi mäi nghiÖm t→∞ x(0) < δ. mµ Lý thuyÕt ®Þnh tÝnh ph¬ng tr×nh vi ph©n cã hai ph¬ng ph¸p chñ yÕu nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña c¸c nghiÖm ®ã lµ ph¬ng ph¸p sè mò Lyapunov vµ ph¬ng ph¸p dïng hµm Lyapunov (ph¬ng ph¸p trùc tiÕp). Trong ph¹m vi cña luËn v¨n chóng t«i chØ nªu mét sè kÕt qu¶ chñ yÕu vÒ ph¬ng ph¸p thø hai Lyapunov. Ph¬ng ph¸p thø hai nghiªn cøu sù æn ®Þnh lµ ph¬ng ph¸p dïng hµm Lyapunov, ®èi víi ph¬ng ph¸p nµy cha cã mét thuËt to¸n tæng qu¸t nµo ®Ó t×m ®îc hµm Lyapunov cho tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh phi tuyÕn t ∈ R+ . x(t) = f (x(t)), f (0) = 0, ˙ (1.9) V (x) : Rn −→ R hµm x¸c ®Þnh d¬ng Nh¾c l¹i, mét hµm sè lµ nÕu x ∈ Rn V (x) ≥ 0 V (x) = 0 x = 0. víi mäi vµ khi vµ chØ khi V (x) : D ⊆ Rn −→ R, D 0, §Þnh nghÜa 1.2.3. Hµm lµ l©n cËn tuú ý cña hµm Lyapunov cña hÖ (1.9) gäi lµ nÕu V (x) D. (i) lµ hµm kh¶ vi liªn tôc trªn V (x) (ii) lµ hµm x¸c ®Þnh d¬ng. ∂V f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D. Df V (x) := (iii) ∂x V (x) hµm Lyapunov chÆt Hµm gäi lµ nÕu nã lµ hµm Lyapunov vµ thªm x vµo ®ã bÊt ®¼ng thøc trong ®iÒu kiÖn (iii) lµ thùc sù ©m víi mäi n»m ngoµi 0 mét l©n cËn nµo ®ã, tøc lµ: ∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c x , x ∈ D\{0}. (iv) §Þnh lý díi ®©y cho ta mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hÖ (1.9) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
NÕu hÖ (1.9) cã hµm Lyapunov th× æn ®Þnh. H¬n n÷a, §Þnh lý 1.2.4 ([3]). nÕu hµm Lyapunov ®ã lµ chÆt th× hÖ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu. VÝ dô 1.2.5. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n x1 = −2x3 + 2x2 , t ≥ 0, ˙ 1 x2 = −x1 − x3 . ˙ 2 V (x) = x2 + 2x2 , LÊy hµm ta cã 1 2 Df V (x) = 2x1 x1 + 4x2 x2 ˙ ˙ = 2x1 (−2x3 + 2x2 ) + 4x2 (−x1 − x3 ) 1 2 = −4(x4 + x4 ). 1 2 4 Df V (x) ≤ −4 x
I + CB −1 A lµ kh«ng suy biÕn. B + AC (i) kh«ng suy biÕn khi vµ chØ khi B + AC (ii) NÕu kh«ng suy biÕn th× (B + AC )−1 = B −1 − B −1 A(I + CB −1 A)−1 CB −1 . Chøng minh. B + AC = (I + ACB −1 )B I + ACB −1 (i) V× nªn kh«ng suy biÕn, theo I + CB −1 A Bæ ®Ò 1.3.1 ta cã kh«ng suy biÕn. D = I + CB −1 A CB −1 A = D − I, (ii) §Æt th× ta cã (B + AC )(B −1 − B −1 AD−1 CB −1 ) = (I + ACB −1 )(I − AD−1 CB −1 ) = (I + ACB −1 )(I − AD−1 CB −1 ) = I + ACB −1 − AD−1 CB −1 − A(CB −1 A)D−1 CB −1 = I + A(I − D−1 )CB −1 − A(D − I )D−1 CB −1 = I. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng §Þnh lý 1.3.3. A lµ ma trËn x¸c ®Þnh d¬ng. (i) 2 , ∀x ∈ Rn . ∃c > 0, Ax, x ≥ c x (ii) A − (n × n) chiÒu lµ x¸c Ma trËn §Þnh lý 1.3.4 (Sylvester conditions ([6])). det(Di ) > 0, i = 1, 2, ..., n ®Þnh d¬ng nÕu vµ x¸c ®Þnh ©m nÕu (−1)i det(Di ) > 0, i = 1, 2, ..., n trong ®ã   a11 a12 a13 a11 a12 D1 = a11 , D2 = , D3 =  a21 a22 a23  , ..., Dn = A. a21 a22 a31 a32 a33 [6] Mét ma trËn ®èi xøng lµ x¸c ®Þnh d¬ng (©m) khi vµ chØ §Þnh lý 1.3.5. khi nã cã tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng d¬ng (©m). A lµ ma trËn khèi ®èi xøng, khi ®ã tÝnh x¸c ®Þnh ©m (d¬ng) Cho Bæ ®Ò 1.3.6. A i cña ma trËn sÏ kh«ng thay ®æi khi ta ho¸n vÞ lÇn lît khèi cét víi khèi j i víi khèi hµng j. cét vµ khèi hµng 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh i < j. A Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta coi Gi¶ sö ma trËn khèi ®èi xøng cã d¹ng d¹ng   · · · A1i · · · A1j · · · A1n A11 A12 · · · A2i · · · A2j · · · A2n  A A22  21  · · · ··· ··· ··· ···    · · · Aii · · · Aij · · · Ain  A Ai2   A =  i1 . · · · ··· ··· ··· ···  · · · Aji · · · Ajj · · · Ajn   Aj 1 Aj 2   · · · ··· ··· ··· ···    · · · Ani · · · Anj · · · Ann An1 A n2 i j i Sau khi ho¸n vÞ lÇn lù¬t khèi cét víi khèi cét vµ khèi hµng víi khèi j, A A hµng ma trËn trë thµnh ma trËn cã d¹ng   · · · A1j · · · A1i · · · A1n A11 A12 · · · A2j · · · A2i · · · A2n  A A22  21  · · · ··· ··· ··· ···    · · · Ajj · · · Aji · · · Ajn  A Aj 2   A =  j1 . · · · ··· ··· ··· ···  · · · Aij · · · Aii · · · Ain   Ai1 Ai2   · · · ··· ··· ··· ···    · · · Anj · · · Ani · · · Ann An1 A n2 §Ó chøng minh bæ ®Ò ta chØ cÇn chøng minh tÝnh x¸c ®Þnh ©m cña ma A A trËn khèi vµ lµ t¬ng ®¬ng. A λ ThËt vËy, gi¶ sö lµ ma trËn x¸c ®Þnh ©m, lµ gi¸ trÞ riªng nµo ®ã cña det(A − λI ) = 0, I A. λ A V× lµ gi¸ trÞ riªng cña nªn lµ ma trËn ®¬n vÞ A. cïng sè chiÒu víi Theo tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc ta cã det(A − λI ) = 0 ⇔ det(A − λI ) = 0. λ A §iÒu ®ã cã nghÜa lµ nÕu lµ gi¸ trÞ riªng cña th× nã còng lµ gi¸ trÞ A. A riªng cña V× lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh ©m nªn theo Bæ ®Ò 1.3.5 ta λ < 0, A A cã tøc lµ mäi gi¸ trÞ riªng cña lµ ©m, hay ma trËn x¸c ®Þnh ©m. ChiÒu ngîc l¹i ®îc chøng minh hoµn toµn t¬ng tù. 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
P − (n × n) Víi mäi ma trËn Bæ ®Ò 1.3.7 (Schur complement lemma [15]). M − (n × m) chiÒu vµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng Q − (m × m) chiÒu, chiÒu, ta cã P MT < 0 ⇔ P + M T Q −1 M < 0. M −Q P ∈ R n ×n Cho lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng, Bæ ®Ò 1.3.8 [6]). ( AT P A khi dã còng lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng víi mäi ma trËn A ∈ Rn×n . E, H F Cho vµ lµ c¸c ma trËn thùc cã sè chiÒu thÝch Bæ ®Ò 1.3.9 ([16]). F T F ≤ I. Khi ®ã kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng: hîp vµ −1 EF H T + HF T E T ≤ EE T + HH T , > 0. 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 2 æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa c¸c hÖ rêi r¹c æ 2.1 n ®Þnh cña c¸c hÖ rêi r¹c æ 2.1.1 n ®Þnh cña c¸c hÖ rêi r¹c tuyÕn tÝnh XÐt hÖ rêi r¹c tuyÕn tÝnh x(k + 1) = Ax(k ), k ∈ Z+ . (2.1) x(0) = x0 Víi th× nghiÖm cña (2.1) cho bëi x(k ) = Ak x0 . x(k ) → 0 k→∞ §Ó khi theo ®Þnh nghÜa æn ®Þnh tiÖm cËn th× hoÆc Ak → 0 k → ∞, A =q
C (k ) ≤ a, A(k ) = A + C (k ) trong ®ã A lµ ma trËn æn ®Þnh vµ (ii) NÕu a ®ñ nhá. khi ®ã hÖ sÏ æn ®Þnh víi VÝ dô 2.1.3. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh 1 1  x(k + 1) = x(k ) + yk , 2(k + 1) 4(k + 1)  1 yk , k ∈ Z+ , y (k + 1) = −  2(k + 1) trong ®ã 1 1   A(k ) =  2(k + 1) 4(k + 1)  .   1 − 0 2(k + 1) 3 3 ≤ =q 0, λ2 > 0 : λ1 ≤ V (x) ≤ λ2 x(k ) x(k ) . (i) 2 ∃λ3 > 0 : ∆V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k )) ≤ −λ3 x((k )) , (ii) k = 0, 1, 2, ..., mäi nghiÖm x(k ) cña hÖ (2.3). Khi ®ã hÖ 2.3 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh HÖ qu¶ 2.1.5. x(k + 1) = Ax(k ), k ∈ Z+ . (2.4) P, Q sao cho NÕu tån t¹i hai ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng AT P A − P + Q = 0, th× hÖ ph¬ng tr×nh 2.4 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh. V (x) = x(k )T P x(k ). P XÐt hµm sè Do lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh (i) d¬ng nªn ®iÒu kiÖn cña §Þnh lý 2.1.4 ®¬ng nhiªn tho¶ m·n. MÆt kh¸c ta cã V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k )) = x(k + 1)T P x(k + 1) − x(k )T P x(k ) = x(k )T AT P Ax(k ) − x(k )T P x(k ) = x(k )T (AT P A − P )x(k ) = −x(k )T Qx(k ) ≤ −λmax (Q) 2 x(k ) . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 2.1.6. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh  x(k + 1) = − 1 x(k ) + 1 y (k ), k ∈ Z+ ,  2 8 y (k + 1) = 1 x(k ) − 1 y (k ),  2 4 trong ®ã   11 − A =  12 81  .  − 2 4 LÊy ma trËn 40 P= . 06 P >0 Râ rµng vµ 5 5 3 −4 1 T , Q = P − AT P A = 4 A PA = > 0, 5 9 5 119 − 4 16 4 16 do ®ã hÖ trªn lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. §èi víi hÖ kh«ng dõng cã nhiÔu phi tuyÕn ta cã ®Þnh lý sau. [3] XÐt hÖ ph¬ng tr×nh §Þnh lý 2.1.7. x(k + 1) = A(k )x + g (k, x), k ∈ Z+ . (2.5) Gi¶ sö A(k ) ≤ q, ∀k ∈ Z+ . q ∈ (0, 1) sao cho (i) Tån t¹i x , ∀k ∈ Z+ g (k, x) ≤ L(k ) lim supL(k ) = 0. (ii) víi k →∞ Khi ®ã hÖ (2.5) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh. NghiÖm cña hÖ (2.5) lµ k −1 x(k ) = F (k, 0)x0 + F (k, s + 1)g (s, x(s)), s=0 F (k, s) x(k + 1) = A(k )x(k ). trong ®ã lµ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ tuyÕn tÝnh Tõ ®ã ta cã ®¸nh gi¸ k −1 ≤ F (x, 0)x0 x(k ) + F (k, s + 1)g (s, x(s)) s=0 k −1 q k−s−1 L(s) ≤ qk x0 + x(s) . s=0 Sö dông bÊt ®¼ng thøc Gronwall rêi r¹c ta ®îc k −1 x(k ) ≤ x0 (q + L(s)). s=0 lim supL(k ) = 0 q < 1, >0 MÆt kh¸c v× vµ nªn cã mét sè ®ñ nhá vµ k →∞ N >0 mét sè ®ñ lín sao cho q + L(k ) < q + , ∀k > N. Do ®ã, (q + L(0))(q + L(N − 1))(q + )k−N , ∀k > N. x(k ) ≤ x0 x(k ) → 0 k → ∞. Tõ ®ã suy ra khi §Þnh lý ®îc chøng minh. æ 2.1.3 n ®Þnh cña hÖ rêi r¹c tuyÕn tÝnh cã trÔ XÐt hÖ rêi r¹c cã trÔ x(k + 1) = Ax(k ) + Bx(k − h), k ∈ Z+ , (2.6) x(.) ∈ Rn , A, B h≥0 trong ®ã lµ ma trËn h»ng, cho tríc, ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña hÖ lµ x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x0 . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn