Luận văn:Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

149
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức luôn có ít nhât một nghiệm,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn:Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng

TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN Dương Th Thu Thuý M T S TÍNH CH T C A ĐA TH C TH C VÀ ÁP D NG Lu n văn th c s toán h c Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60 46 40 Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. Nguy n Văn M u Quy Nhơn, năm 2008
0 M cl c L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t liên quan 4 1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các đ nh lý d ng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8 2 Tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm 15 2.1 Nh n xét v nguyên hàm c a m t s đa th c d ng đ c bi t . . . . . . . 15 2.2 M t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . 19 2.3 M t s b t đ ng th c liên quan đ n nguyên hàm c p hai . . . . . . . . 20 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1 L i nói đ u Đa th c và các tính ch t liên quan đ n nó luôn đóng vai trò quan tr ng trong đ i s và gi i tích. Đ c bi t, sau khi đ nh lý cơ b n c a đ i s (do Gauss ch ng minh) kh ng đ nh r ng m i đa th c trên trư ng s ph c (khác h ng s ) luôn có ít nh t m t nghi m th c ho c ph c, thì bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c v i h s th c là v n đ đư c quan tâm hàng đ u c a nhi u th h các nhà toán h c. Nh ng k t qu đ u tiên theo hư ng này là c a Descartes v quy t c d u (thư ng đư c g i là quy t c d u Descartes) đ xác đ nh s nghi m dương c a m t đa th c th c d a vào s phân b d u c a dãy các h s c a đa th c đã cho. Ti p theo là các kh o sát khác nhau v s nghi m c a đa th c trong m t kho ng cho trư c và các công th c bi u di n đa th c theo các tính ch t c a chúng. Nh công c gi i tích, đ c bi t là đ nh lý Lagrange và b đ Rolle, vi c kh o sát s nghi m th c c a các đa th c đ o hàm (đ o hàm c a m t đa th c th c) đư c ti n hành d dàng hơn. Đó là, khi đa th c P (x) ∈ R[x] có k nghi m th c thì đa th c P (x) s có ít nh t k − 1 nghi m th c. M t câu h i t nhiên n y sinh là: Khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k nghi m th c cho trư c s cho ta m t nguyên hàm (g i là đa th c nguyên hàm) x F 1 ( x) = P (t)dt (1) x1 có đ k + 1 nghi m th c? Tương t , khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k nghi m th c cho trư c s cho m t nguyên hàm c p s (s > 1) (g i là đa th c nguyên hàm c p s) d ng x F s ( x) = Fs−1 (x)dt (2) xs có đ k + s nghi m th c?
2 Lu n văn nh m t p trung gi i quy t các câu h i trên. Đó chính là các đ nh lý đ o c a đ nh lý Lagrange đ i v i l p các đa th c th c. Đ c bi t, đ i v i nh ng l p đa th c không th a mãn các đi u ki n (1) và (2), ta s xét bài toán "n n l i" đ th c a đa th c đó b ng cách thêm m t s nút n i suy đ các đi u ki n (1) và (2) đư c tho mãn. Ngoài ph n m đ u và k t lu n, lu n văn đư c chia thành 2 chương Chương 1 bao g m ba ph n, trong ph n đ u tác gi khái quát l i m t s ki n th c b tr v đa th c, đ o hàm c a đa th c và quy t c d u Descartes. Ph n th hai là các đ nh lý d ng Viète, nêu cách bi u di n đa th c qua h nghi m c a nguyên hàm k t h p v i phương pháp n i suy đa th c theo các y u t hình h c. Ph n ti p theo, tác gi nêu lên đ nh lý v s nghi m c a đa th c nguyên hàm. Đ nh lý 1.11; 1.13 ch ra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c v i các nghi m đ u th c s cho m t nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c. Trên cơ s đó trình bày đi u ki n đ t n t i đa th c nguyên hàm t i c p tuỳ ý cho trư c sao cho s nghi m th c c a các nguyên hàm đó tăng lên theo t ng c p c a nguyên hàm (Đ nh lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18 1.19 ). Chương 2 bao g m ba ph n, ph n đ u cũng chính là ph n tr ng tâm c a chương này. Tác gi đưa ra nh n xét v tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm có d ng đ c bi t và đưa ra cách "n n l i" đ th c a các đa th c đó đ các đa th c nh n đư c tho mãn đi u ki n (1) và (2) (Đ nh lý 2.1, 2.2). Ph n ti p theo, lu n văn trình bày m t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm. Ph n cu i cùng, tác gi d a vào các tính ch t c a hàm l i, lõm đ bư c đ u xây d ng m t s d ng b t đ ng th c đ i v i đa th c nguyên hàm. Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n khoa h c đ y nhi t tâm và nghiêm kh c c a GS.TSKH. Nguy n Văn M u. Nhân d p này, tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Giáo sư - ngư i th y đã truy n đ t nhi u ki n th c quý báu cũng như nh ng kinh nghi m nghiên c u khoa h c trong su t th i gian tác gi theo h c và nghiên c u đ tài. Đ ng th i, tác gi cũng xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n Ban Giám Hi u trư ng Đ i h c Quy Nhơn, Phòng Đào t o Đ i h c và Sau Đ i h c, các anh ch , b n bè l p cao h c Toán K8-Đ i h c Quy Nhơn và gia đình đã t o m i đi u ki n thu n l i và đ ng viên tác gi trong su t quá trình h c t p, công tác và th c hi n đ tài lu n văn này.
3 H th ng các ký hi u s d ng trong lu n văn - deg f (x) là b c c a đa th c f (x). - F0(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0, t c là F0(x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0. - Fc(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c, t c là Fc (x) = F0 (x) + c v i c ∈ R. - F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0, t c là F0,k (x) tho mãn đi u ki n F0,k (0) = 0. - Fc,k (x) là nguyên hàm c p k c a đa th c f (x) ng v i h ng s c, t c là Fc,k (x) = F0,k (x) + c v i c ∈ R. - Hn là t p h p đa th c v i h s th c Pn (x) b c n (n > 0) v i h s t do b ng 1 (Pn (0) = 1) và có các nghi m đ u th c. - Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x). - R[x] là t p h p đa th c v i h s th c. - sign a là d u c a s th c a, t c là  +  khi a > 0   sign a := 0 khi a = 0    − khi a < 0.
4 Chương 1 Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t liên quan 1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c Đ nh nghĩa 1.1. M t đa th c b c n c a n x là bi u th c có d ng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , trong đó các h s an , an−1 , . . . , a0 là nh ng s th c (ho c ph c) và an = 0, n ∈ N. Ta kí hi u i.B c c a đa th c Pn (x) là deg Pn (x). Do v y deg Pn (x) = n. ii. an - h s b c cao nh t (chính) c a đa th c. Chú ý 1.1. Trong lu n văn này ta ch xét các đa th c Pn (x) v i các h s c a nó đ u là th c và g i t t là đa th c th c. Ký hi u t p h p các đa th c v i h s th c là R[x]. Đ nh nghĩa 1.2. Cho đa th c Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0), s α ∈ C đư c g i là nghi m c a đa th c Pn (x) n u Pn (α) = 0. N u t n t i k ∈ . N, k > 1, sao cho Pn (x).(x − α)k nhưng Pn (x) không chia h t cho (x − α)k+1 thì α . đư c g i là nghi m b i b c k c a đa th c f (x).
5 Đ c bi t, khi k = 1 thì α đư c g i là nghi m đơn, k = 2 thì α đư c g i là nghi m kép. Chú ý 1.2. Nghi m c a đa th c th c còn đư c g i là không đi m c a đa th c đó. Đ nh lý 1.1 (Gauss). M i đa th c b c n 1 trên trư ng C đ u có đúng n nghi m n u m i nghi m đư c tính m t s l n b ng b i c a nó. Đ nh lý 1.2. M i đa th c f (x) ∈ R[x] b c n, v i h s chính an = 0, đ u có th phân tích thành nhân t d ng m s (x2 + bk x + ck ) f (x) = an (x − di ) j =1 k =1 v i di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2 − 4ck < 0, m, n ∈ N∗. k H qu 1.1. (1) S nghi m ph c c a m t đa th c v i h s th c (n u có) luôn luôn là s ch n. (2) N u đa th c f (x) v i h s th c ch có nghi m ph c thì f (x) là m t đa th c b c ch n. (3) N u đa th c b c n có k nghi m th c k n thì n và k cùng tính ch n l . (4) Đa th c b c l v i h s th c luôn có ít nh t m t nghi m th c. Đ nh lý 1.3. M i đa th c th c b c n đ u có không quá n nghi m th c. Đ nh lý 1.4 (Tính ch t hàm c a đa th c). M i đa th c P (x) ∈ R[x] đ u xác đ nh và liên t c trên R. Ngoài ra, khi Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0, an = 0, và x → +∞ thì P (x) → sign (an )∞. Khi x → −∞ thì P (x) → (−1)n sign (an )∞. Ti p theo, ta xét m t s tính ch t c a đa th c đ o hàm. Đ nh lý 1.8. N u x0 là nghi m b i b c s (s ∈ N, s > 1) c a đa th c f (x) ∈ R[x] và x0 cũng là nghi m c a nguyên hàm F (x) c a f (x) thì x0 là nghi m b i b c s + 1 c a đa th c nguyên hàm F (x).
6 Ta chuy n sang xét quy t c d u Descartes . Xét dãy s th c a0, a1, a2 , . . .. Đ nh nghĩa 1.3. Ch s m (m ∈ N, m 1) đư c g i là v trí (ch ) đ i d u c a dãy n u có am−1 am < 0 ho c là am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−k am < 0 (m k 2). Trong trư ng h p th nh t thì am−1 và am, còn trong trư ng h p th 2 thì am−k và am l p thành v trí đ i d u. S l n đ i d u (b ng s v trí đ i d u) c a m t dãy nào đó v n không thay đ i n u các s h ng b ng 0 đư c b đi còn nh ng s h ng còn l i v n b o toàn v trí tương đ i c a chúng. Đ nh nghĩa 1.4. Ta coi s đ i d u và v trí đ i d u c a đa th c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0 chính là s đ i d u và v trí đ i d u c a dãy h s tuỳ ý an , an−1 , . . . , a1, a0. Tính ch t 1.7 (Quy t c d u Descartes). Gi s N là s không đi m dương c a đa th c f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn và W là s l n đ i d u trong dãy các h s c a nó. Ta có W N và W − N là m t s ch n. Tính ch t 1.8. Cho đa th c f (x) = a0 + a1x + a2 x2 + · · · + an xn (an = 0) có các nghi m đ u th c, g i W là s v trí đ i d u c a dãy h s a0 , a1, . . . , an và N là s không đi m dương c a đa th c f (x) thì W = N. 1.2 Các đ nh lý d ng Viète Đ nh lý Rolle đã cho ta m t thu t toán d ng các đa th c có các nghi m đ u th c t các đa th c có các nghi m đ u th c cho trư c b ng phép l y đ o hàm. Ta đã bi t r ng, m i đa th c có các nghi m đ u th c đ u đư c bi u di n m t cách duy
7 nh t qua h nghi m c a nó. Đó chính là n i dung c a đ nh lý Viète quen thu c trong chương trình toán c a b c ph thông. Nh n xét r ng, đ nh lý Viète đã ch ra m i quan h gi a b các nghi m c a đa th c v i t t c các h s trong đa th c đó. Tuy nhiên, ta cũng có th phát bi u k t qu tương t trong trư ng h p khi ta còn chưa tư ng minh các nghi m c a m t đa th c. Đi u này r t có ý nghĩa khi xét các đi u ki n đ m t đa th c có t t c các nghi m đ u th c. Trư c h t, ta xét m t s d ng đa th c có b c th p. B đ 1.2 (Đ nh lý d ng Viète đ i v i tam th c b c hai). Tam th c b c hai v i h s th c f (x) = 3x2 − 2bx + c có nghi m th c khi và ch khi các h s b, c có d ng  b = α + β + γ (1.1) c = αβ + βγ + γα. trong đó α, β, γ ∈ R. B đ 1.3 (Đ nh lý d ng Viète đ i v i đa th c b c 3). Đa th c b c 3 v i h s th c f (x) = −4x3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghi m đ u th c khi và ch khi các h s a, b, c có d ng   a=α+β+γ+δ    (1.2) b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ     c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ trong đó α, β, γ, δ ∈ R. Ví d 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công th c (1.2) ta thu đư c a = −5, b = 5, c = −5. Khi đó đa th c f (x) = −4x3 + 15x2 − 10x − 5 có 3 nghi m th c là x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61. Nh n xét r ng, n u ta ch n m = −6(= αβγδ ) thì đa th c nguyên hàm F (x) = −x4 + 5x3 − 5x2 − 5x + 6 có b n nghi m th c (x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3). Đ i v i các nh th c b c nh t ta luôn ch n đư c nguyên hàm là các tam th c b c hai có nghi m th c, k t h p v i b đ 1.2 và b đ 1.3, ta có h qu sau đây.
8 H qu 1.3. M i đa th c b c nh hơn 4 có các nghi m đ u th c luôn t n t i nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c. Đ i v i các đa th c có b c n (n 4) thì đi u ki n c n đ ng v i m t đa th c có các nghi m đ u th c cho ta ít nh t m t nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c s đư c trình bày m c sau. Tuy nhiên, t h qu (1.2), ta có ngay đi u ki n đ cho các đa th c có b c tuỳ ý. Đ nh lý 1.10 (Đ nh lý d ng Viète t ng quát). Đa th c f (x) = (n + 1)xn + (−1)na1 xn−1 + (−1)2 (n − 1)a2xn−2 + · · · + (−1)n an v i các h s a1 , a2, . . . , an có d ng ak = Ek (¯), k = 1, 2, . . . , n x (1.3) luôn luôn có các nghi m đ u th c, trong đó Ek (¯) là các hàm đ i x ng Viète b c k x theo các bi n th c x1, x2, . . . , xn+1 , 1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm Nh n xét r ng, ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] cho trư c luôn t n t i vô s nguyên hàm, chúng sai khác nhau m t h ng s th c. Vì v y, tuy đa th c đã cho có các nghi m đ u th c nhưng nhìn chung các nguyên hàm c a nó không có tính ch t đó. V sau, đ ng n g n trong cách trình bày, ta g i m i nguyên hàm c a m t đa th c là đa th c nguyên hàm. M t câu h i t nhiên n y sinh là: V i nh ng đi u ki n nào thì đa th c m (x − xk )rk , x1 f ( x) = x2 ··· xm , r1 + · · · + rm = n k =1 s có ít nh t m t nguyên hàm (đa th c nguyên hàm) c a nó có các nghi m đ u th c? Đ i v i đa th c có b c tuỳ ý, đ nh lý 1.10 đã cho ta câu tr l i c a đi u ki n đ . Ta d dàng ch ra đi u ki n c n (b đ 1.2 và b đ 1.3) cho các đa th c có b c không
9 vư t quá 3. Tuy nhiên đ i v i các đa th c có b c l n hơn 3 thì bài toán tr nên ph c t p hơn nhi u. Ch ng h n, ta xét đa th c b c 4 f (x) = x4 − 2x3 + x2 có b n nghi m th c (x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1) nhưng nguyên hàm 1 1 1 F c ( x) = x5 − x4 + x3 − c 5 2 3 có s nghi m th c không vư t quá 3 v i m i c ∈ R. Th t v y, do hàm s f (x) = x2(x − 1)2 0, ∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đ ng bi n, vì th v i m i c ∈ R thì đư ng th ng y = c c t đ th c a hàm s 1 1 1 F 0 ( x) = x5 − x4 + x3 5 2 3 t i duy nh t m t đi m. Đ c bi t, n u ch n c = 0 thì giao đi m trên là đi m b i 3. Ti p theo ta xét đa th c f (x) = 5x4 + 5x3 − 65x2 − 5x + 60 có b n nghi m phân bi t x1 = −4, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 3. Suy ra nguyên hàm 5 65 5 F0 (x) = x5 + x4 − x3 − x2 + 60x 4 3 2 đ t c c đ i t i các nút x1 = −4, x3 = 1 và đ t c c ti u t i các nút x2 = −1, x4 = 3. Sau đây là đ th c a nguyên hàm F0 (x).
10 Quan sát đ th ta th y s nghi m c a nguyên hàm Fc (x) = F0(x) − c ph thu c vào giá tr c a h ng s c như sau: - N u c < F0 (x2) ho c c > F0(x3) thì đư ng th ng y = c c t đ th hàm s F0(x) t i không quá ba đi m. Khi đó, nguyên hàm Fc (x) có không quá ba nghi m th c. - N u F 0 ( x2 ) c F0 (x3) thì đư ng th ng y = c c t đ th hàm s F0(x) t i 5 đi m (k c đi m b i). Suy ra nguyên hàm Fc (x) có t t c các nghi m đ u th c. V y v i đi u ki n nào thì m t đa th c b c 4 có các nghi m đ u th c s cho m t nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c? Ta có câu tr l i dư i d ng b đ sau đây. B đ 1.4. Gi s đa th c f (x) = 5(x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4), x1 x2 x3 x4 có nguyên hàm F0(x) là đa th c b c 5 v i h s th c F0(x) = x5 − a1x4 + a2x3 − a3x2 + a4 x. Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i h ng s th c c sao cho nguyên hàm F c ( x) = F 0 ( x) − c có các nghi m đ u th c là F 0 ( x1 ) F 0 ( x4 ) . (1.4) Sau đây là đi u ki n đ m t đa th c b c cao có các nghi m đ u th c cho m t nguyên hàm cũng có các nghi m đ u th c. Đ nh lý 1.11. Gi s f (x) là đa th c b c n (n 4) có các nghi m đ u th c f (x) = (−1)n (n + 1)(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ), x1 x2 x3 ··· xn ; F0(x) là m t nguyên hàm c a f (x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0. Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i s th c c sao cho nguyên hàm F c ( x) = F 0 ( x) − c có các nghi m đ u th c là max F0(x2i) min F0(x2j +1 ). 1≤ i ≤[ n ] 0≤j ≤[ n−1 ] 2 2
11 Nh n xét r ng, đ nh lý 1.11 đã ch ra đi u ki n c n và đ đ các đa th c có các nghi m đ u th c t n t i nguyên hàm b c 1 cũng có các nghi m đ u th c. V n đ ti p theo đư c đ t ra: V i đi u ki n nào thì đa th c có các nghi m đ u th c có s nghi m th c tăng lên theo m i c p c a nguyên hàm? D dàng nh n th y, đ i v i các nh th c b c nh t và tam th c b c hai, tính ch t trên hi n nhiên đúng. Sau đây ta kh o sát các đa th c b c cao hơn. Đ nh lý 1.12. Gi s f (x) ∈ R[x] là đa th c b c n (n 4) có n nghi m th c f (x) = (−1)n (x − x0,1)(x − x0,2) . . . (x − x0,n ), x0,1 x 0, 2 ··· x0,n . G i Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x). Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i đa th c Fc,k (x) ∈ Mk (f ) có n + k nghi m th c là (−1)k+1 F0,k (xk−1,2i) (−1)k+1 F0,k (xk−1,2j +1) max min (1.6) n+k −1 n+k −2 1≤ i ≤[ 2 ] 0≤ j ≤ [ 2 ] trong đó xk−1,i là nghi m th i c a nguyên hàm c p k − 1, F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a f (x) tho mãn đi u ki n F0,k (0) = 0 và F0,0(x) = f ( x) . Sau đây ta m r ng đ nh lý 1.11 cho các đa th c có s nghi m th c nh thua ho c b ng b c c a đa th c đó. Trư c h t ta xét m t s trư ng h p đ c bi t ng v i các đa th c có s nghi m th c khá nh . B đ 1.5. ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] có m t nghi m th c cho trư c đ u t n t i nguyên hàm có ít nh t hai nghi m th c. B đ 1.6. ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] có hai nghi m th c cho trư c đ u t n t i nguyên hàm có ít nh t ba nghi m th c. B đ 1.7. ng v i m i đa th c f (x) ∈ R[x] có ba nghi m th c cho trư c đ u t n t i nguyên hàm có ít nh t b n nghi m th c. Các b đ nêu trên kh ng đ nh r ng m i đa th c có không quá ba nghi m th c cho trư c luôn t n t i nguyên hàm có nhi u hơn đa th c đó ít nh t m t nghi m th c. Tuy nhiên, đ i v i các đa th c có s nghi m th c l n hơn ba tính ch t đó không còn đúng n a.
12 Ch ng h n, xét đa th c f (x) = x6 − x4 − x2 + 1 có b n nghi m th c x1 = x2 = −1, x3 = x4 = 1 1 1 1 nhưng nguyên hàm Fc (x) = x7 − x5 − x3 + x − c có không quá 3 nghi m th c v i 7 5 3 m i c ∈ R. Sau đây, ta kh o sát ti p các đi u ki n đ m i đa th c có b n nghi m th c tho mãn các đi u ki n đó đ u t n t i nguyên hàm có ít nh t năm nghi m th c. B đ 1.8. Gi s đa th c f (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 )g (x), x1 x2 x3 x4 , trong đó g (x) > 0 ∀x ∈ R. Gi s F0 (x) là m t nguyên hàm c a đa th c f (x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0. Khi đó, đi u ki n c n và đ đ t n t i s th c c sao cho nguyên hàm F c ( x) = F 0 ( x) − c có ít nh t 5 nghi m th c là F 0 ( x1 ) F 0 ( x4 ) . (1.5) Ta phát bi u k t qu m r ng đ nh lí 1.11 và b đ 1.8 dư i d ng đ nh lý sau đây. Đ nh lý 1.13. Gi s đa th c f (x) b c n (n 5) có s (5 s n) nghi m th c có d ng f (x) = (−1)n (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xs )g (x), x1 x2 x3 ··· xs , trong đó g (x) = 0, ∀x ∈ R. Gi s F0(x) là m t nguyên hàm c a f (x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0. Khi đó đi u ki n c n và đ đ t n t i c ∈ R sao cho nguyên hàm F c ( x) = F 0 ( x) − c có ít nh t s + 1 nghi m th c là max F0(x2i ) c min F0(x2j +1 ). (1.12) 1≤ i ≤[ s ] 0≤j ≤[ s−1 ] 2 2
13 Đ nh lý 1.13 đã ch ra tiêu chu n đ nh n bi t s t n t i nguyên hàm c p 1 c a đa th c f (x) sao cho nguyên hàm đó nhi u hơn đa th c f (x) m t nghi m th c. Nhưng khi c p c a nguyên hàm tăng lên thì có t n t i hay không dãy nguyên hàm có s nghi m th c cũng tăng lên theo c p c a nó? Trư c h t ta xét các đa th c có s nghi m th c nh hơn 4. Đ nh lý 1.14. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có 1 nghi m th c. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có ít nh t s + 1 nghi m th c. Sau đây ta xét các đa th c có hai nghi m th c theo phương pháp tương t như trên. Đ nh lý 1.15. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có hai nghi m th c. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có (s + 2) nghi m th c. Đ nh lý 1.16. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có ba nghi m th c. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + 3 nghi m th c. Các đ nh lý 1.14, 1.15, 1.16 đã kh ng đ nh r ng các đa th c có s nghi m th c ít hơn 4 luôn t n t i dãy các nguyên hàm có s nghi m th c tăng lên theo m i b c c a nguyên hàm. Tuy nhiên, vi c m r ng các đ nh lý trên cho các đa th c b c n có k nghi m th c tuỳ ý (k < n) ch đúng trong các trư ng h p đ c bi t. C th , ta có: Đ nh lý 1.17. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m th c b i m. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + m nghi m th c. Đ nh lý 1.18. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m th c phân bi t. G i Ms (f ) là t p h p các nguyên hàm c p s c a đa th c f (x). Khi đó, đ ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + m nghi m th c thì F0,i (xj )F0,i(xj +1 ) < 0.(j ∈ {1, 2 . . . s + k − 1}; i ∈ {1, 2, . . . , s}) Trong đó xj , xj +1 là hai nghi m liên ti p nhau c a đa th c nguyên hàm c p i F0,i(x)
14 B đ 1.9. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m th c x1 < x2 < · · · < xα−1 < xα = xα+1 = · · · = xβ < xβ +1 < < · · · < xγ −1 < xγ = xγ +1 = · · · = xδ < xδ+1 < · · · < xm G i M2 (f ) là t p h p các nguyên hàm c p 2 c a đa th c f (x). Khi đó, t n t i đa th c F2(x) ∈ M2(f ) có 2 + m nghi m th c thì c2 ∈ max F0,2(x1 ), min F0,2(x1 ) , trong CT CD đó c2 = F0,2(x1 ) = · · · = F0,2(x1 ) = · · · = F0,2(x1 ) = · · · = F0,2(x1) (1.13) α β γ δ v i x1 là nghi m th i c a nguyên hàm c p 1, x1 (x1 ) là nghi m c a đa th c i CT CD F0,1(x) = 0 sao cho F0,1(x) chuy n d u t (-) sang (+) tương t F0,1(x) chuy n d u t (+) sang (-) F0,2(x) là nguyên hàm c p 2 c a f (x) th a mãn F0,2(0) = 0, F0,0(x) = f (x) và 2 ≤ γ − β. (1.14) Nh n xét 1.1. Tương t cách ch ng minh b đ (1.9) chúng ta khái quát đư c k t qu t ng quát sau đây : Đ nh lý 1.19. Gi s đa th c f (x) ∈ R[x] có b c b ng n và có m(m < n) nghi m th c x1 < x2 < · · · < xα−1 < xα = xα+1 = · · · = xβ < xβ +1 < < · · · < xγ −1 < xγ = xγ +1 = · · · = xδ < xδ+1 < · · · < xm G i Mk (f ) là t p h p các nguyên hàm c p k c a đa th c f (x). Khi đó, đ ng v i m i s nguyên dương s đ u t n t i đa th c Fs (x) ∈ Mk (f ) có k + m nghi m th c thì ck = F0,k (xk−1 ) = · · · = F0,k (xk−1 ) α β = · · · = F0,k (xk−1 ) = · · · = F0,k (xk−1 ) γ δ max F0,k (xk−1 ), min F0,k (xk−1 ) , ∈ CT CD trong đó xk−1 là nghi m th i c a nguyên hàm c p k − 1, xk−1 (xk−1 ) là nghi m c a i CT CD đa th c F0,k−1(x) = 0 sao cho F0,k−1(x) chuy n d u t (-) sang (+) tương t F0,k−1(x) chuy n d u t (+) sang (-) F0,k (x) là nguyên hàm c p k c a f (x) th a mãn F0,k (0) = 0, F0,0(x) = f (x) và k ≤ γ − β. (1.17)
15 Chương 2 Tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm 2.1 Nh n xét v nguyên hàm c a m t s đa th c d ng đ c bi t Nh n xét 2.1. Cho đa th c f (x) v i h s th c (đa th c th c) b c n có n nghi m th c. Khi đó luôn tìm đư c đi u ki n c n và đ đ t n t i đa th c nguyên hàm F (x) c a nó có các nghi m đi u th c V y v n đ đ t ra là: Không ph i lúc nào nguyên hàm F (x) cũng có đ n + 1 nghi m th c, đi u đó còn ph thu c vào s phân b nghi m c a đa th c đã cho f (x). Ta xét đa th c g (x) b ng cách thêm vào đa th c f (x) các 0-đi m (nghi m) đ khi đó x g (t)dt x1 có nhi u hơn đa th c g (x) m t nghi m. Trư c tiên ta s xem xét các đa th c có d ng f ( x ) = x k0 ( x + λ 1 ) k1 ( x + λ 2 ) k2 · · · ( x + λ n ) kn , trong đó λ1 < λ2 < · · · < λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki > 1 k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N.
16 Đ nh lý 2.1. Cho đa th c f ( x ) = x k0 ( x + λ 1 ) k1 ( x + λ 2 ) k2 · · · ( x + λ n ) kn , trong đó λ1 = λ2 = · · · = λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N. Đ t g (x) = f (x)(xn + Bn−1 x2 + Bn−2 x + · · · + B1 x + B0), ta có deg g (x) = N + n. Khi đó đi u ki n c n và đ đ t n t i m t đa th c nguyên hàm G(x) c a g (x) có N + n + 1 nghi m là  n   λi N + n − ki   B i=1  n −1 =    N + n +n 1   n  N +n−1 2 1 1 B  n −2 = λ2 + λi λj −    N + n + 1 i=0 ki + 1 ki + 1 kj + 1   i=1 i=j   n n n   1 2 1 1 λ2 +  −Bn−1 λi −  ki ki ki kj i=0 i=0 j =0i=j   ···     n  k0 + 2   λj (ki + 1) − B0 ki    n N + n + 1 j =1  B = 1    λi  i=0   n  k0 + 1 B = 0 λi  N + n + 1 i=1 Ví d 2.1. Cho đa th c f (x) = x2 (x + 1)3 (x − 1)3 . Đa th c này có m t nguyên hàm tương ng F0(x) có t i đa b n nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0(1) ho c đi qua F0(1). Theo b đ (2.2), ta có k = 2, l = 3; λ1 = −1, h = 3; λ2 = 1. 3 3 Do đó đa th c c n thêm (x2 − ), t c là c n thêm vào hai 0−đi m x1 = ; x2 = 11 11 3 − , khi đó ta s xét đa th c 11 3 36 42 20 3 3 g (x) = f (x)(x2 − ) = x10 − x8 + x6 − x4 − x2)(x2 − 11 11 11 11 11 11 có m t nguyên hàm tương ng là x3 8 x3 x − 4x6 + 6x4 − 4x2 + 1 = (x − 1)4 (x + 1)4 G0 (x) = 11 11 có 11 nghi m th c.
17 Ví d 2.2. Cho đa th c f (x) = x2 (x +1)3(x − 1)3(x +2)2. Đa th c này có m t nguyên hàm tương ng F0(x) có t i đa b n nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0 (1) ho c đi qua F0 (1). Khi đó ta xét đa th c 22 2 6 6 g (x) =f (x)(x3 + x − x− ) 14 14 14 có m t nguyên hàm tương ng là x3 (x + 1)4 (x − 1)4 (x + 2)3 G0 (x) = 14 có 14 nghi m th c. Ta ti p t c xét các đa th c có d ng f (x) = xk0 (x + λ1 )k1 (x + λ2 )k2 · · · (x + λn )kn (x + β1)(x + β2) · · · (x + βm ), trong đó λ1 = λ2 = · · · = λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N. Đ nh lý 2.2. Cho đa th c f (x) = xk0 (x + λ1 )k1 (x + λ2 )k2 · · · (x + λn )kn (x + β1)(x + β2) · · · (x + βm ), trong đó λ1 = λ2 = · · · = λn , k0 , k1 , . . . , kn ∈ N∗ ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · · + kn = N. Đt g (x) = f (x)(xn + Bn0 −1 x2 + Bn0 −2 x + · · · + B1x + B0 ), n0 = n + m − 1. 0 Ta đư c deg g (x) = N + 2m + n − 1, đ t deg g (x) = h − 1. Khi đó đi u ki n c n và đ đ t n t i m t đa th c nguyên hàm G0 (x) c a g (x) có
18 N + n + 2m = h nghi m là  n n   (h − 2)E1 (β ) + h λi − (ki + 1)λi    Bn0 −1 = i=1 i=1    h   n  h−2 2 B  n 0 −2 = E1 (β ) + 2E1 (β ) (ki + 1)λi + 2E2 (β )    h   i=1   n n n  2 1 1  λ2 + + λi λj − Bn0 −1 ki λi + E1 (β )   i ki +1 ki +1 kj +1   i=1 i=1i=j i=1  n n n 2 1 1 λ2 − − λi λj − E1 (β ) ki λi − E2 (β ) i ki ki kj   i=1 i=1 i=1     ···     n   λj n   n  k0 + 2 Em−1 (β ) ki B = j =1 1 λi + Em (β ) + Em−1 (β )   h Em (β ) i=1 h λ   i=1 i   n  B0 = k0 + 1 λi Em (β ).    h i=1 2.3. Cho đa th c f (x) = x2(x + 1)2 (x − 2). Đa th c này có m t nguyên hàm Ví d tương ng F0(x) có t i đa 3 nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0(0) ho c đi qua F0(−1). Ta xét đa th c 7 6 g (x) = f (x)(x2 − x − ) 8 8 có m t nguyên hàm tương ng là x3 5 x − x4 + 5x3 + x2 + x + 4 G0 (x) = 8 x3 = (x + 1)3 (x − 2)2 . 8 Đa th c G0 (x) = 0 có 8 nghi m th c. Ví d 2.4. Cho đa th c f (x) = x2(x + 1)2 (x − 2)(x − 1). Đa th c này có m t nguyên hàm tương ng F0(x) có t i đa 3 nghi m th c khi đư ng th ng y = 0 đi qua F0 (0) ho c đi qua F0 (−1). Ta xét đa th c 17 2 3 6 g (x) =f (x)(x3 − x − x+ ) 10 10 10 có m t nguyên hàm tương ng là x3 7 x − 3x6 − 2x5 + x4 − 11x2 + 4 G0 (x) = 10 x3 = (x + 1)3 (x − 2)2 (x − 1)2 . 10