Luận văn: NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ X , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HÒA NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HOÀ NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mục lục Trang Lời nói đầu Chƣơng 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9 1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16 1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chƣơng 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32 2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể là X khi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , tức là inf X f  f ( x )  inf X f   . Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f ( x)  f ( x ) . Không những thế, còn đánh giá được khoảng cách giữa x và x . Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, . . . Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường hợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ. Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5]. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux). Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2] năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4]. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh này được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện Toán học. Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Đây là kết quả mới nhận được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008. Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trƣơng Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và Công nghệ quốc gia. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp đỡ em hoàn thiện luận văn này. Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009 Học viên Nguyễn Xuân Hoà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chƣơng 1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất của hàm này. Cho X là không gian tôpô và hàm f : X     Kí hiệu:   domf  x  X f  x    . La f   x  X f ( x)  a là tập mức của f .  x, a   X    f  x   a là tập trên đồ thị của f . epif  Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X     được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi liminf f  x   f ( x0 ) . x  x0 Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X . Nhận xét 1.1 Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi   0 tồn tại lân cận U của x0 sao cho x U ta đều có f  x   f  x0    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ví dụ 1.1 Hàm số f :    cho bởi: 3x 2  2 nếu x ≠2 f  x   nếu x  2 0 Ta thấy: domf   . L1 f   x   f ( x)  1   1,1 là tập mức của hàm f .  x, a       f  x   a là phần mặt phẳng nằm trên parabol có epif  phương trình f ( x)  3 x 2  2 hợp với đoạn thẳng AB trong đó A  2, 0  , B  2,10 là tập trên đồ thị của f . Dễ thấy rằng f là hàm liên tục trên  \ 2 , gián đoạn tại x  2 . Nhưng f là hàm nửa liên tục dưới tại x  2 vì lim inf f  x   10  f (2) . Do đó f là hàm nửa x2 liên tục dưới trên  . Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X     , khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) f là hàm nửa liên tục dưới trên X . (b) epif   x, a   X   f  x   a là tập đóng trong X   . (c) La f   x  X f ( x)  a là tập đóng trong X ( a   ). Chứng minh (a)  (b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X . Ta lấy dãy {( xn , an )}  epif Sao cho lim( xn , an )  ( x0 , a0 ) . Ta cần chỉ ra ( x0 , a0 )  epif . Thật vậy, n  lim xn  x0 , lim an  a0 và hàm f là nửa liên tục dướ i tại x0 nên n  n  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
lim inf f  xn   f ( x0 ) , mà dãy {( xn , an )}  epif nên f ( xn )  an ( n   ), nên n  lim inf f  xn   lim an . Do đó f ( x0 )  lim inf f  xn   lim an  a0 . n  n  n  n  Điều này chứng tỏ ( x0 , a0 )  epif . (b)  (c). Giả sử epi f là tập đóng trong X   . Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử La f   x  X f ( x)  a là tập mức bất kỳ của f . Lấy dãy{ xn }  La f sao cho lim xn  x0 do dãy { xn }  La f n  ( xn , a )  epif ( n   ). Hơn nữa, lim xn  x0 nên Nên f ( xn )  a hay n  lim( xn, a)  ( x0 , a) . Mà epif là tập đóng trong X   nên ( x0 , a )   epif , do đó n  x0  La f ta có điều phả i chứng minh. (c)  (a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X . Ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f . Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục dưới tại x0  X . Khi đó có dãy{ xn }  X sao cho lim xn  x0 , n  lim inf f  xn   f ( x0 ) .  0 Chọn đủ nhỏ sao cho có k  n  để f ( xn )  f ( x0 )   ( n  k ). Xét tập mức L  x  X f ( x)  f ( x0)    ta thấy xn  L , n  k . Mặt khác do đóng và lim xn  x0 nên x0  L , do đó L n  f ( x0 )  f ( x0 )   (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X .  Định nghĩa 1.2 Cho tập S trong không gian mêtric ( X , d ) . Hàm chỉ của tập S là hàm: 0 x  S lS  x    xS   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.2. Nếu S là tập đóng thì l S là hàm nửa liên tục dưới. Chứng minh Khi x0  S , từ định nghĩa hàm l S ta có   0 tồn tại lân cận U của x0 mà lS ( x)  lS ( x0 )   , x  U . Khi x0  S , vì S là tập đóng nên d ( x0 , S )  0 . Chọn d ( x0 , S ) , x  B( x0 , r ) thì x  S . Do đó lS ( x)  lS ( x0 )   , x  B( x0 , r ) . Ta có điều r 2 phải chứng minh.  1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều. 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X     đạt cực tiểu trên X , tức là x  X sao cho f ( x)  f ( x), x  X . Trước hết, ta nhìn lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact. Mệnh đề 1.3. Cho hàm f : X     là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X . Chứng minh Đặt a  inf  f ( x) x  X  . Khi đó có một dãy { xn }  X sao cho lim f ( xn )  a . Do n  X compact, để không mất tính tổng quát ta có thể coi { xn } là dãy hội tụ đến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
x  X . Ta sẽ chứng minh f ( x)  a . Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x nên liminf f  xn   f ( x) . Kết hợp với lim f ( xn )  a ta suy ra f ( x)  a ( điều đó n  n  chứng tỏ a   ). Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f ( x)  a . Vậy f ( x)  a và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X .  Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.2 Xét hàm số: f : X     \{(2,1)}   x  ( x1 , x2 )  f ( x)  ( x1  2)4  ( x2  1)2 Ta dễ dàng thấy rằng f liên tục trên X và f ( x)  0 , x  X . Với bất kì   0 ,     tức là ta có inf X f  0 . Tuy vậy ) thoả mãn f ( x )  ta có x  (2,1  2 4 không tồn tại x  X để f ( x)  0 . Thật vậy, giả sử có x0  X sao cho f ( x0 )  0 thì đưa tới x0  (2,1)  X . Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X . Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Khi đó, ta xét khái niệm điểm   xấp xỉ cực tiểu như sau: Với   0 cho trước, một điểm x  X gọi là   xấp xỉ cực tiểu của f ( x) trên X nếu inf X f  f ( x )  inf X f   . Điểm   xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên, khi X là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekela nd phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X . Sau đây ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định lí 1.1. (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2] Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X     là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử   0 và x  X thoả mãn: f ( x )  inf X f   . Khi đó với   0 bất kì, tồn tại x  X sao cho: (i) d ( x, x )   .  (ii) f ( x)    d ( x, x )  f ( x ) .     f ( x)    d ( x, x)  f ( x) , x  X \ {x} . (iii)  Trước hết ta chứng minh bổ đề sau : Bổ đề 1.1. [2] Cho số   0 , ta định nghĩa quan hệ thứ tự”  ”trên X   như sau: ( x1 , a1 )  ( x2 , a2 )  (a1  a2 )   d ( x1 , x2 )  0. Cho S là tập đóng trong X   thoả mãn tồn tại m   sao cho nếu ( x, a)  S thì a  m. Khi đó với mỗi phần tử ( x0 , a0 )  S luôn có phần tử ( x, a)  S Sao cho ( x, a)  ( x0 , a0 ) và ( x, a) là phần tử cực đại trong S theo nghĩa ( x, a)  ( x, a) , ( x, a)  S và ( x, a)  ( x, a) . Chứng minh Dễ dàng chứng minh quan hệ ”  ” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Ta xây dựng dãy ( xn , an ) trong S bằng quy nạp như sau: Bắt đầu từ ( x0 , a0 )  S cho trước, giả sử ( xn , an ) đã biết. Ta ký hiệu: S n  ( x, a)  S ( x, a)  ( xn , an ) . mn  inf a   ( x, a)  Sn  . Ta có S n là các tập đóng và khác rỗng. Khi đó lấy ( xn 1 , an 1 )  Sn sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
an  mn an  an1  (1.1) 2 Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên S n 1  S n do đó mn  mn 1 . Và như vậy ta có { S n } là dãy các tập đóng giảm dần trong S , { mn } là dãy giảm dần trong  và bị chặn dưới và (1.1) có thể viết lại thành: an  mn  an1  mn  an 1  mn 1  0. 2 Tiếp tục quá trình này ta thu được: an  mn a m an1  mn1   ...  1 n . 2 2 Mặt khác ( x, a)  ( xn1 , an1 ) nên ta lại có: an1  a a1  m d ( xn1 , x)   .  2n  Như vậy đường kính của S n tiến về 0. Suy ra dãy { S n } là dãy các tập đóng thắt dần có đường kính giảm dần về 0 trong X   (là không gian metric đầy đủ). Do đó tồn tại ( x, a)  S thoả mãn: ( x, a)   S (1.2) n n Bây giờ ta sẽ chứng minh ( x, a) là phần tử cần tìm. Thật vậy, từ định nghĩa của ( x, a) ta có ( x, a)  ( xn , an ) , n   do đó ( x, a)  ( x0 , a0 ) . Giả sử có ( x, a)  ( x, a) với ( x, a)  S và ( x, a)  ( x, a) . Khi đó ( x, a )  S n ( n   ), vì vậy ( x, a)   Sn điều này mâu thuẫn với (1.2). n Và như vậy ( x, a) là phần tử cực đại trong S thoả mãn yêu cầu của bổ đề.  Chứng minh định lí 1.1 Đặt S  epif  ( x, a)  X   f ( x)  a . Dễ thấy ( x , f ( x ))  S . Do f là nửa liên tục dưới trên X nên S là tập đóng trong X   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
 Ta áp dụng bổ đề 1.1 với   và phần tử ( x , f ( x )) , ta luôn tìm được ( x, a)  sao cho ( x, a)  ( x , f ( x )) và ( x, a) là phần tử lớn nhất trong S . Từ định nghĩa của epif ta luôn có ( x , f ( x ))  S , x  X . Mặt khác f ( x)  a  nên  f ( x)  a  d ( x, x)  0 , mà ( x, a) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có  f ( x)  a , vậy ( x, f ( x)) là phần tử lớn nhất trong S . Bây giờ ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy theo bổ đề ta có:  ( x, f ( x))  ( x , f ( x )) tức là f ( x)  d ( x, x )  f ( x ) .  Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.   Mặt khác, từ f ( x)  f ( x )  d ( x, x )  0 ta có d ( x, x )  f ( x )  f ( x) . Hơn nữa    f ( x )  inf X f   nên f ( x )  f ( x)   do đo đó d ( x, x )   hay d ( x, x )   .  Vậy khẳng định (i) được chứng minh. Do ( x, f ( x)) là phần tử lớn nhất trong S , mà ( x , f ( x ))  S x  X nên  ( x, f ( x))  ( x, f ( x)) , x  x do đó f ( x)  d ( x, x)  f ( x) , x  x .  Vậy (iii) được chứng minh.  Nhận xét 1.2  Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu f ( x)  d ( x, x) . Nếu   nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của x so với điểm x ban đầu, nhưng khi  đó hàm nhiễu f ( x)  d ( x, x) có sai khác tương đối so với f ( x) . Ngược lại,   nếu  lớn ta không biết nhiều về vị trí điểm x , nhưng hàm f ( x)  d ( x, x) có  thể không sai khác nhiều so với hàm f ( x) ban đầu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hằng số  trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn    ta có kết quả sau: Định lí 1.2. [1] Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X     là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử   0 và x  X thoả mãn: f ( x )  inf X f   Khi đó tồn tại x  X sao cho: (i) d ( x, x )   . (ii) f ( x)   d ( x, x )  f ( x ) . f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X \ {x} . (iii) Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất của điểm x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân: Định lí 1.3. [1] Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X     là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi   0 tồn tại x sao cho: f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X \ {x} . 1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục). Định lí 1.4. [19] Cho f :  N    {} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới,   0 và p  1. Giả sử   0 và x   N thoả mãn: f ( x )  inf  N f   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi đó tồn tại x   N sao cho: (i) x  x  .  p (ii) f ( x)  x  x  f ( x ) . p   p (iii) f ( x)  x  x  f ( x)  x  x , x   N . p p p Chứng minh  x  x . Khi đó g ( x) là hàm nửa liên tục dưới, bị Xét hàm g ( x)  f ( x)  p  p chặn dưới. ta thấy g ( x) thoả mãn điều kiện bức tức là lim g ( x)   . x  Lấy a   N bất kì, xét tập Lg ( a ) g  x   N g ( x)  g (a) do g là hàm nửa liên tục dưới nên Lg ( a ) g là tập đóng trong  N . Ta chứng minh Lg ( a ) g là bị chặn  N . Thật vậy, giả sử Lg ( a ) g không bị chặn  N , khi đó tồn tại dãy {xn }  Lg ( a ) g sao cho xn   . Do g thoả mãn điều kiện bức trên  N nên lim g ( xn )   . Mặt khác xn  Lg ( a ) g nên g ( xn )  g (a ) n  (n  N ) , suy ra lim g ( xn )  g (a) (mâu thuẫn). Vậy Lg ( a ) g là đóng và bị chặn n  trong  N , g là hàm nửa liên dưới trên tập compact Lg ( a ) g nên tồn tại điểm cực tiểu x của g trên Lg ( a ) g . Bây giờ ta sẽ chứng minh x chính là điểm cực tiểu của g trên  N . Thật vậy với x  Lg ( a ) g thì g ( x)  g (a)  g ( x) . Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của g trên  N . Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop -Phelps, định lí cánh hoa (Flower- Pental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. 1.3.1. Định lí Bishop-Phelps Định nghĩa 1.3. [1] Cho X là không gian Banach. Với bất kì x  X  \ {0} và bất kì   0 chúng ta   K ( x ,  )  x  X  || x |||| x || x ( x) gọi: là nón Bishop-Phelps liên kết với x và  . Định lí 1.5. (Định lí Bishop-Phelps) [1] Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử x  X  là bị chặn trên S . Khi đó với mọi   0 , S có điểm K ( x ,  ) -support y tức là : { y}  S   K ( x ,  )  y  .   Chứng minh x ( x) Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm f ( x)    lS ( x) . Giả sử z là || x || điểm thoả mãn : f ( z )  inf X f   ta tìm được điểm y sao cho: (i) f ( y )   y  z  f ( z ) . (ii) f ( x)   x  y  f ( y ) , x  y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ta chứng minh y  S   K ( x ,  )  y  . Thật vậy, từ (i) suy ra y  S . Mặt khác   0  K ( x  ,  ) nên y   K ( x ,  )  y  .   Tiếp theo ta chứng minh S   K ( x ,  )  y   { y} bằng phản chứng. Giả sử ta có   y  y mà y  S   K ( x ,  )  y  . Suy ra y  y  K ( x  ,  )   Ta có:  || x |||| y  y || x ( y  y )  x ( y)  x ( y ). Hay x ( y) x ( y )     y  y    || x || || x || điều này mâu thuẫn với (ii). Ta có điều phải chứng minh.  1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental) Định nghĩa 1.4. [1] Cho X là không gian Banach và a, b  X . Ta gọi:   P (a, b)  x  X  a  x  x  b  b  a  là cánh hoa liên kết với   (0, ) và a, b  X . Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi. Định lí 1.6. (Định lí cánh hoa) [1] Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử a  S và và   (0, d (S , b)). Khi đó bất kì   0 , tồn tại b  X \ S . Đặt t  b  a t  y  S  P (a, b) thoả mãn y  a  và P ( y, b)  S  { y} .   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh Xét hàm f ( x)  x  b  lS ( x) . Vì r  (0, d (S , b)) nên r  x  b , x  S . Do đó f (a)  a  b  t   x  b  r  , x  S , điều này chứng tỏ f (a)  inf S f  (t  r )  inf X f  (t  r ) . t r Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f ( x) với   t  r và   ,  t r ta tìm được y sao cho y  a  thoả mãn:  y  b  lS ( y )   a  y  a  b Và x  b  lS ( x)   x  y  y  b  lS ( y ) , x  X \ { y} . Bất đẳng thức đầu tiên chứng tỏ y  S . Do đó y  b   a  y  a  b hay y  P (a, b) . Thay y  S vào bất đẳng thức thứ hai ta có:  x  b   x  y  y  b , x  S \ { y}, điều này chứng tỏ rằng P ( y, b)  S  { y} .   1.3.3. Định lí giọt nƣớc (Định lí Drop) Định nghĩa 1.5. [1] Cho X là không gian Banach, tập C là tập lồi trong X và a  X . Chúng ta gọi:  a, C   conv({a}  C )  {a  t (c  a) | c  C , 0  t  1} là giọt nước liên kết với a và C . Bổ đề tiếp theo cung cấp cho ta mối liên hệ giữa giọt nước và cánh hoa. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bổ đề 1.2. [1] Cho X là không gian Banach, a, b  X và    0,1 . Khi đó (a) B a b 1  1  (b)  P (a, b) (b) a, B ab 1  1  (b)   P (a, b) .   Chứng minh (a) Ta chứng minh B a b 1  1  (b)  P (a, b) . Lấy x  B a b 1  1  (b) , khi đó 1  x b  a b . (1.3) 1  Ta có  x a  x b    x b  ba  x b kết hợp với (1.3) ta được P  b  a . Điều này chứng tỏ x  P (a, b) . (b) Ta chứng minh a, B ab 1  1  (b)   P (a, b) .   Lấy x  a, B a b 1  1  (b)  khi đó tồn tại t  0,1 và y  B a b 1  1  (b) để   x  ta  (1  t ) y . Từ (a)ta có y  P (a, b) . Dễ thấy a  P (a, b) , là tập lồi mà P (a, b)  nên x  P (a, b) .  Định lí 1.7. (Định lí giọt nước) [1] Cho X là không gian Banach và cho S là tập đóng trong X . Giả sử b  X \ S và r   0, d ( S , b)  . Khi đó với bất kì   0 , tồn tại y S thoả mãn: y  b  d ( S , b)   và  y, B(b, r )   S  { y} . Chứng minh Chọn a  S sao cho a  b  d (S , b)   và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
a b r   0,1 .  a b  r Từ định lí 1.6 suy ra tồn tại y  S  P ( y, b) sao cho: P ( y, b)  S  { y} (1.4)  Ta chứng minh y S . Giả sử y  S , khi đó tồn tại r  0 sao cho B( y, r )  S . r Ta xét những điểm có dạng x  ty  (1  t )b với 0  t  1 và 1  t  . y b Ta có x  y  1  t  y  b  r nên x  B( y, r ) . Mặt khác  x  y  x  b   1  t  y  b  t y  b  y  b dẫn đến x  P ( y, b) . Vậy x  S  P ( y, b) mâu thuẫn với (1.4). Do đó y S . Hơn nữa, từ y  P (a, b) suy ra y  b  a  b  d (S , b)   . 1    a  b ta có  y, B(b, r )   S  { y} .  Cuối cùng từ (1.4) và bổ đề 1.2 với r  1    Trong ba định lí này, định lí Bishop-Phelps xuất hiện sớm nhất vào năm 1961. Định lí này là nguồn cảm hứng chính cho nguyên lí biến phân Ekeland. Định lí giọt nước được J.Danes phát biểu vào năm 1972. Còn định lí cánh hoa được phát biểu bởi J.-P.Penot vào năm 1986. Mối liên hệ giữa nguyên lí biến phân Ekeland, định lí giọt nước và định lí cánh hoa được J. -P.Penot và S.Rolewicz xem xét vào năm 1986. 1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lí biến phân Ekeland là tương đương với tính đầy đủ của không gian. Tiếp đó, chúng ta sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Bana ch, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động cho ánh xạ co theo hướng và đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn