Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học Toán ở trường phổ thông bao gồm những nội dung về một số đặc trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm; khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học; nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Nguyễn Thiện Chí KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔTHÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Tiến, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Toán. Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS.Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi. Tôi cũng xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường. - Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân và các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM. Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 18 đã cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học. Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN THIỆN CHÍ
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách bài tập SGV: Sách giáo viên PT: Phương trình QT: Quy tắc BP: Bình phương XD: Xét dấu TL: Trả lời d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 M6: Sách giáo khoa toán 6 tập 1 E6: Sách bài tập toán 6 tập 1 G6: Sách giáo viên toán 6 tập 1 M7: Sách giáo khoa toán 7 tập 1 E7: Sách bài tập toán 7 tập 1 G7: Sách giáo viên toán 7 tập 1 M8: Sách giáo khoa toán 8 tập 2 E8: Sách bài tập toán 8 tập 2 G8: Sách giáo viên toán 8 tập 2 M9: Sách giáo khoa toán 9 tập 1 E9: Sách bài tập toán 9 tập 1 G9: Sách giáo viên toán 9 tập 1 M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản ) E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản ) G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản)
1 MỞ ĐẦU  Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu  Khung lý thuyết tham chiếu  Mục đích nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu. 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổ thông xuyên suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí khá quan trọng. Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, chúng tôi thường nhận thấy hiện tượng sau: Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài toán tính giá trị tuyệt đối của một số cụ thể (chẳng hạn  7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả  a = a, hoặc chẳng hạn ( x  5)  x  5 . Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm này không ? Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau, nhưng có hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên: - Có một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức. - Dấu “ - ” dường như cũng đóng một vai trò quan trọng tạo nên khó khăn và sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống có giá trị tuyệt đối. Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình. Cụ thể hơn, mục tiêu của luận văn này là trả lời cho các câu hỏi khởi đầu đặt ra sau đây: - Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng toán nào liên quan
2 đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? - Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu? - Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trò gì đối với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải là yếu tố gắn liền với những khó khăn và sai lầm trên của học sinh ? - Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt đối và việc giải quyết các dạng toán liên quan đến khái niệm này? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây: 2.1. Lý thuyết nhân chủng học Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần , , ,  , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ . 2.2. Chướng ngại 2.2.1. Chướng ngại và sai lầm (Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4]) Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và Brousseau. Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với
3 tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó. Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác. Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: “Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại. Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983). Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung. Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập. 2.2.2. Đặc trưng của chướng ngại (Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4-5]) Trước tiên, cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng ngại. Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà theo đó thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm. Sự phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại cũng đã được nói rõ bởi El Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm nhận thức.
4 “Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết toán học nào đó đã được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang nói đến, thì người ta nói rằng một khó khăn đã được vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một khó khăn là toán học ở thời kỳ đó đã bị bế tắc, cho dù những phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn […]. Người ta cũng có thể nói như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học […] Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra. Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học” (El Bouazzauori, 1988) Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn gốc của chúng: - Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh. - Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống giáo dục. - Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó. - Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại. Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có
5 thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái niệm đang được nói đến. Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó. 2.3. Quan niệm và quy tắc hành động (Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4]) 2.3.1. Quan niệm Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học. Mô hình này cho phép: - Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đó các bài toán; - Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế được học sinh xây dựng. G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”. Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau): - Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh; - Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau. 2.3.2. Quy tắc hành động Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh.
6 Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó. 3. Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1: Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao? Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiến triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc phổ thông? Q4: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học sinh vận dụng góp phần tạo ra sai lầm a  a (với mọi số nguyên a) hoặc ( x  5)  x  5 (với mọi số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối không?
7 4. Phương pháp nghiên cứu Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4. Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tham khảo một số luận văn trong didactic đã được công bố về vai trò của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Mặt khác, chúng tôi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ có tác dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể chế. Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Các kết quả thu được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”. Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tôi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm này trong lịch sử. Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình toán ở bậc đại học. Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q2 và được trình bày trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”. Để trả lời các câu hỏi Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học.
8 Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời các câu hỏi Q3 và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”. Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”.
9 Chương 1. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM  Khái niệm chữ  Khái niệm số âm. Mục tiêu của chương Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng. Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm? 2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? 1.1. Về khái niệm chữ Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trò của chữ và bước chuyển từ việc thao tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tôi tìm được các tài liệu sau: 1. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số học ở lớp 6 chương trình cải cách giáo dục trường hợp phép chia Euclide, Luận văn Thạc sĩ. [19] 2. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. [21] 3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1. [22] 4. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2. [23]
10 Vì thế trong phần này chúng tôi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tóm tắt những kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình. 1.1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn: Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả. Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên hơn. Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5]. Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,    v chỉ bình phương của ẩn số, x v chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay  lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x được viết là  x v  (trong đó 5  =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch ngang trên đầu, chẳng hạn  =1,  =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x.
11 Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương). Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pacioli dùng kí hiệu p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ. Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F. Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng không đổi tùy ý: đó là các phụ âm thông thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e… Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2, a3 …Các kí hiệu của Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi. Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tôi xin trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép toán trên các chữ thay thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là có ý nghĩa cực kỳ quan trọng, không có công cụ đó – ngôn ngữ của các công thức – không thể có được sự phát triển của toán học. Đặc biệt ký hiệu chữ và các phép toán trên những ký hiệu đó, ngay từ thế kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra đời của quan điểm coi những đại lượng toán học là đại lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng của giải tích toán học, trong đó sự biến thiên liên tục của một đại lượng thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó” Tóm lại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau: - Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn (viết tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu. Điều này đã thể hiện bước
12 chuyển quan trọng từ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang tập hợp các số biểu thị bằng chữ. - Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập hợp giá trị. - Các kí hiệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ hằng số, ẩn số, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương của ẩn số.v.v . Điều này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ . 1.1.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số. Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó ông phân biệt: - Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số - Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán - Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn - Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm - Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị - Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6] Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng: Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán (…)
13 Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu. Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11] Phan Thị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trò, ý nghĩa của các ký hiệu chữ” trong dạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục) đã chỉ ra rằng: “Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61]. Đặc biệt, tác giả đã đưa ra kết luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới phép chia Euclide mà ở đó có sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải những khó khăn, lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ. Đặc biệt, học sinh có xu hướng áp dụng các thao tác quen thuộc trên các số cụ thể đã được học ở bậc tiểu học với các chữ.” [19, tr.64] Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ như sau: - Chữ giữ nhiều vai trò khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ biến số. Điều này cho thấy tính đa nghĩa của kí hiệu chữ. Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong lịch sử. Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong các tình huống có sự hiện diện của a (với a là số nguyên) thì a giữ vai trò gì? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau.
14 - Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh khác nhau. Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa của “ký hiệu chữ”. - Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số biểu thị bằng chữ. Một điểm quan trọng ở đây là trong chương trình Toán 6 hiện hành phép chia Euclide được đề cập ở chương 1: “Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên”, còn khái niệm giá trị tuyệt đối mà chúng tôi đang nghiên cứu thuộc chương 2: “Số nguyên”. Do đó, từ kết quả này chúng tôi đặt ra câu hỏi: Phải chăng việc tính giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể, tạo nên chướng ngại cho việc tính giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau. 1.2. Về khái niệm số âm Trong phần này chúng tôi tham khảo các nguồn tài liệu sau: 1. Nguyễn Cang (2001), giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp của các nhà Toán học [1] 2. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử toán học. 3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1. 4. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2. 5. Boyé A (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs. 6. Cauchy (1821). Cours d’analyse de l’école royale polytechnique. 7. Schubring G, Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs. 1.2.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số âm Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời đại chúng ta. Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những số âm chỉ
15 xuất hiện như là hỗ trợ cho tính toán, nghĩa là công cụ trung gian, không có số âm trong những phát biểu của bài toán, cũng không có trong các câu trả lời.Trong thời kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”. Diophante (Khoảng thế kỉ thứ 3, sau công nguyên). Ông không chấp nhận những phương trình dạng như 4 = 4x + 201, bởi nghiệm của chúng là “vô lý”. Diophante xem số âm là số “vô lý” . Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua tác phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và những số âm. Và ông đã dùng những số này trong tính toán những “khoản tiền” ”. Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ”. Quy tắc cộng các số được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không”. Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”. Nó không được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác Brahmagupta đã sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”. Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445-  3m 1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5 (m là từ chữ la tinh minus nghĩa là trừ) là kí hiệu của 5-3 , nói chung a k m là ký hiệu của a  k . Như vậy, trong thời kỳ này ông dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả số âm. Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa được chấp nhận. Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương trình. Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra   Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’  (trong đó  = 4). 1 Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở trên    được viết là s’  l , với  =20.
16 nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ông phân biệt các số dương, số âm. Chính ông đã đề nghị một phương trình bậc hai: x2 + 4x = 21 và nhận thấy các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ông dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ mà Chuquet đã sử dụng. Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đôi khi một vài nghiệm thì được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x + 5  2 0, lấy x + 5 nhân với x3 – 9xx + 26x – 24  0 thì được x4 – 4x3 – 19xx + 106x – 120  0. Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm thật là 2, 3, 4 và một nghiệm hư là 5”. Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số “thiếu”. Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489). Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm âm của phương trình gọi là số “vô lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật là số dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình. Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn). Ông biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -1,-2, -3,…Từ đó kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự xuất hiện của dấu “-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489. 2 Kí hiệu  được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu dấu “=”
17 Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì: n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1) n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2) Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0 Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm (-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0 (-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a) Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0 Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm) Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương” Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng ở đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm. Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) luôn được xem là số âm (vì luôn giả thiết a > 0). Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ông đã xem 2 dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,… …,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành một khái niệm số nguyên. Euler định nghĩa bốn phép toán trên những số này. Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+” hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số dương, những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường hợp mà ở