Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm lũy thừa trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:95

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm lũy thừa trong dạy học Toán ở trường phổ thông nhằm mục đích tìm hiểu về khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm lũy thừa trong dạy học Toán ở trường phổ thông

THƯ BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO VIỆN TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tố Như KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, cùng các thầy cô khác đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tôi dịch các tài liệu tiếng pháp trong quá trình làm luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Xuyên Mộc nơi tôi công tác, đã giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Các anh, các chị và các bạn cùng lớp, những người đã đồng hành cùng tôi chia sẽ những vui buồn trong học tập cũng như trong cuộc sống suốt ba năm học. - Những người thân trong gia đình đã luôn sát cánh cùng tôi trong quá trình học. NGUYỄN THỊ TỐ NHƯ
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập CLHN Chỉnh lý hợp nhất TCTH Tổ chức toán học QTHĐ Quy tắc hợp đồng BKHTN Ban khoa học tự nhiên KNV Kiểu nhiệm vụ TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy ĐKXĐ Điều kiện xác định [A] Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort [B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet [C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD [M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD
MỞ ĐẦU I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát. Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3, mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trò rất lớn trong chương trình toán. Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây: - Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu chương: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau khi học giới hạn. Điều đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Có hay không sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò gì trong việc nghiên cứu hàm mũ và hàm lôgarit? - Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nó được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm”. Sự thay đổi này có ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại có sự thay đổi đó? Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK có gì thay đổi hay không? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh gặp phải những khó khăn gì? - Sau khi tham khảo luận văn của tác giả Hữu Lợi và Hoàng Hùng, tôi thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ và hàm lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Đồng thời, mở rộng khái niệm lũy thừa có thể đưa vào sau khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit. Từ đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi: tại sao SGK hiện hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa của tiến trình đó là gì? - Có những tương đồng và khác biệt gì về sự xuất hiện cũng như vai trò của lũy thừa trong chương trình đại học và trong chương trình phổ thông ? 2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu. Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đặt ra ở trên. Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán. Cụ thể: - Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức toán học, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic. - Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại. - Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…  Lý thuyết nhân chủng học
Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra.  Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì … trong I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).  Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý thuyết giải thích cho công nghệ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH. Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.
Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn.  Chuyển đổi didactic Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:  Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức) Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã đòi hỏi một sự soạn thảo. Ta có thể xem nó như kết quả của một hoạt động khoa học. Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng khoa học. Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động toán học. «Một nhà nghiên cứu, để thông báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ông ta nghĩ rằng đã tìm thấy, phải biến đổi nó : - trước hết nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu : những suy nghĩ vô ích, những sai lầm, những con đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận thức của mình. Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này. - nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm, những con đường sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng. Chúng tôi gọi việc làm này là phi hoàn cảnh hóa.» (Arsac 1989)  Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi) Để cho một tri thức có thể đưa ra dạy ở trường được, tức là có thể trở thành một đối tượng cần giảng dạy, thì điều cần thiết là tri thức đó phải chịu một số ràng buộc nào đó. Sau đây là danh sách mà Chevallard đã đưa ra (1985, theo Verret 1975) : - Tính đơn nhất của tri thức [nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức bộ phận có thể được trình bày trong một bài diễn văn tự do] - tính phi cá nhân hóa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân] - sự chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri trức]
- tính công khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên].  Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy học) Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống dạy học.  Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại Theo Brousseau, nếu có những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm không phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải. Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa. Những sai lầm dạng này không phải thất thường hay không dự đoán được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất quán- nếu không nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó. Đặc trưng của chướng ngại là gì?  Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức  Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp  Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai. Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm.  Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới.  Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó cũng tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.  Lý thuyết tình huống Trong phần này, chúng tôi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic.
Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:  Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách: + Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức; + Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó; + Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không giải quyết được; + Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh.  Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: + Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học; + Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức; + Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa. Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic. Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên
chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội. Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu. Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau: 1. Trong thể chế dạy học toán ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến trình nào? Nó có vai trò gì đối với các kiến thức toán học khác? Ý nghĩa của tiến trình đó? 2. Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào? Nó có vai trò gì trong việc xây dựng khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit? Các TCTH nào được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có những thay đổi nào về TCTH được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua các thời kỳ? Có sự khác biệt và tương đồng nào giữa mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và ở bậc trung học phổ thông? Tìm hiểu sự thay đổi vị trí của lũy thừa trong hai bộ SGK, lí do và ý nghĩa của sự thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học và làm việc với lũy thừa? 3. Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về khái niệm lũy thừa? 4. Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng như thế nào lên mối quan hệ cá nhân giáo viên và học sinh với lũy thừa? 4. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi dùng phương pháp nghiên cứu như sau: - Phân tích một số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, con đường mở rộng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa của tiến trình đó, cũng như vai trò của nó. - Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa ở bậc trung học phổ thông, so sánh sự khác biệt giữa thể chế đại học và thể chế trung học phổ thông về con đường mở rộng lũy thừa, qua đó tìm hiểu về sự thay đổi vai trò của lũy thừa trong hai lần cải cách SGK gần đây. - Từ những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi đề xuất những câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm.
5. Tổ chức luận văn Luận văn gồm các phần sau:  Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu cũng như phương pháp nghiên cứu, và khung lý thuyết tham chiếu.  Chương I: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là phân tích khái niệm lũy thừa trong một số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất hiện nó, đặc trưng của các tiến trình này? Vai trò của lũy thừa đối với khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit.  Chương II: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Cụ thể, phân tích chương trình, SGK lớp 6, 7 và hai bộ SGK là Đại số và giải tích 11 (CLHN năm 2000) và SGK Giải tích 12 nâng cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa. So sánh vai trò của lũy thừa trong hai bộ sách. So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy. Thông qua việc phân tích chương trình và các TCTH, chúng tôi sẽ rút ra các QTHĐ liên quan đến việc dạy và học khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi học lũy thừa.  Chương III: Thực nghiệm Chúng tôi thực nghiệm trên học sinh và giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh, cũng như tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của họ về đối tượng tri thức lũy thừa. - Phần kết luận: Trình bày tóm tắt những kết quả đạt đươc ở ba chương trên và mở ra hướng nghiên cứu mới từ luận văn có thể có. - Tài liệu tham khảo.
Chương 1 KHÁI NIỆM LUỸ THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Trong chương này chúng tôi sẽ tìm hiểu tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học thông qua việc phân tích giáo trình: 1. Toán cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – các hàm thông dụng, Guy Lefort, Viện đại học Sài Gòn, 1975.[A] 2. Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France, 1960.[B] Việc phân tích này sẽ giúp cho chúng tôi có cơ sở để so sánh với tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở SGK phổ thông, thấy được ý nghĩa của mỗi tiến trình, cũng như vai trò của lũy thừa đối với việc xây dựng các khái niệm khác có sự thay đổi như thế nào. 1.1. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [A]. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đề cập trong chương 8 với nhan đề “CÁC HÀM LÔGARIT, HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”, thứ tự các mục trong chương như sau: I. Hàm lôgarit II. Hàm mũ III. Hàm lũy thừa Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực không được đưa vào một cách tường minh mà nó xuất hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của hàm mũ. Khái niệm lũy thừa đã được đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau: Hàm Hàm Lũy thừa Hàm mũ Lũy thừa Hàm Căn lôgarit mũ e cơ số e cơ số a cơ số a lũy thừa bậc n 1.1.1. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e qua định nghĩa và tính chất của hàm mũ e. Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đưa vào ngầm ẩn trong định nghĩa hàm mũ e nên để hiểu rõ hơn vấn đề này ta hãy xem xét định nghĩa hàm mũ e: “Ta biết rằng (mệnh đề 2) nếu t là một số thực cho trước, thì phương trình: logx=t
có một và chỉ một nghiệm, nó là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pônen t). Liên hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R+* gọi là hàm mũ e; hàm này là ngược của hàm lôgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở 9-1). Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm : exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s”([5,tr.79) Theo định nghĩa này thì số e được giới thiệu là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1, nhưng chưa cho biết giá trị thực của nó. Mặt khác, để định nghĩa hàm mũ e, trước đó giáo trình đã đưa vào khái niệm hàm lôgarit nêpe trong mục I, với kí hiệụ Log (mà SGK Việt Nam thường kí hiệu là ln). Vì vậy, ta hãy quay lại định nghĩa hàm logarit nêpe đã được trình bày trước đó để xem số e được giới thiệu như thế nào và giá trị của nó bằng bao nhiêu? Hàm logairt được định nghĩa tổng quát như sau: “Một hàm logarit là một ánh xạ từ R*+ vào R nghiệm phương trình: (E) f(xt)=f(x)+f(t) với x và t bất kì trong R*+” [1,trang 71] Sau đó, giáo trình [A] đi tìm nghiệm của phương trình (E) với giả thiết hàm f là khả vi. Kết quả chứng minh được rằng: “Các nghiệm của phương trình (E) là: 1 Nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm x  ; hàm này được gọi là logarit nêpe và được kí hiệu x Log. Các hàm nhận được bằng cách nhân hàm trên đây với một hằng số tùy ý C (mỗi hàm này là nguyên hàm bằng không tại 1 của hàm xC/x )».[tr 72] Mặc dù hàm logarit nêpe đã được định nghĩa nhưng khái niệm cơ số vẫn chưa được đề cập. Khái niệm cơ số chỉ xuất hiện khi định nghĩa hàm logairt cơ số a: “Hàm logarit cơ số a, ký hiệu loga được xác định trong R*+ bởi: log x log a x  log a (a là một số dương thực sự khác 1)”.[3,tr76] Tiếp theo giáo trình giới thiệu cơ số e như sau: “Mọi hàm f xác định bởi: f(x)=C.Logx là một hàm logarit mà cơ số a là nghiệm duy nhất của phương trình (mệnh đề 2): C=1/Loga  Loga=1/C Đặc biệt hàm Log nhận được với C=1 là một hàm logarit đặc biệt mà cơ số là số vô tỉ: e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10” [3,tr.76]
Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đó hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10. Mặt khác, hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nepe nên Loge=1  e=exp1 (Đúng theo định nghĩa hàm mũ). Do đó, số e được định nghĩa trong hai trường hợp này là như nhau. Hàm logarit và hàm mũ e đã được định nghĩa. Tuy nhiên, khái niệm lũy thừa chưa xuất hiện. Sau khi đưa ra định nghĩa hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nêpe, các tính chất của hàm mũ e cũng được trình bày tường minh: “Nếu u, v, u1, …,un là các số thực tuỳ ý và n là một số nguyên dương thì: (1) exp(u+v)=expu.expv n n   (2) exp   u i    exp ui  i 1  i 1 (3) exp(nu)=(expu)n (4) exp(u-v)=expu/expv” [5,tr 80] Mặc dù kí hiệu e chưa được dùng để thay thế cho kí hiệu exp lúc này, nhưng các tính chất trên cũng cho thấy sự xuất hiện ngầm ẩn các tính chất của lũy thừa với số mũ thực của cơ số e. Thông qua tính chất (3) exp(nu)=(expu)n ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương của một số thực dương đã được đưa vào trước đó: a.a…a=an (tích n số a với aR) Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lôgarit nêpe nên các tính chất trên hoàn toàn được suy ra từ tính chất đại số của lôgarit nêpe. Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm: « Nếu u=1 hệ thức (3) có dạng : expn=(exp1)n=en Phương trình này thiết lập với n nguyên dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực : Ký hiệu ex (đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=ex” [5, tr 80]. Theo trích đoạn trên thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Ngoài ra, ex còn được hiểu như là lũy thừa của e với số mũ thực x. Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới dạng « expx=ex » chứ không trình bày định nghĩa một cách tường minh. Như phần trình bày trên ta thấy nghĩa của lũy thừa với số mũ thực x, cơ số e chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình cũng cho thấy sự khác biệt rõ nét giữa lũy thừa với số mũ thực và số mũ nguyên dương thông qua chú ý : « Nhưng ký hiệu này không cho phép coi ex như một tích các thừa số bằng e trừ trường hợp x là số nguyên dương ». [5, tr 81]
Qua cách trình bày của giáo trình này ta thấy rằng trước khi có một định nghĩa dưới dạng quy ước về lũy thừa với số mũ thực cơ số e thì các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số e đã được đưa vào ngầm ẩn thông qua tính chất đại số của hàm mũ e. Khái niệm hàm mũ e, tính chất hàm mũ e đã được trình bày một cách tường minh, thông qua đó khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e và các tính chất của nó đã ngầm ẩn xuất hiện. Tuy nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số e với số mũ thực. Hay ta nói rằng, khái niệm và tính chất của hàm mũ e là cơ sở để đưa vào khái niệm và các tính chất của lũy thừa cơ số e với số mũ thực. 1.1.2. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a qua định nghĩa hàm mũ cơ số a. Theo giáo trình này thì «hàm mũ cơ số a là hàm ngược của hàm lôgarit cơ số a » và biểu thức biểu diễn hàm mũ cơ số a được xác định như sau : « Với mọi số thực t, phương trình : log x logax=t   t  log x  t.loga loga có một nghiệm duy nhất. x=exp(tLoga) Đặc biệt nếu t là một số nguyên dương n x=exp(nLoga)=(exp(Loga))n=an» [6,tr82]. Do hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a nên ta luôn có 0
mũ a tại điểm t. Ngoài ra, trong trường hợp t là số n nguyên dương thì lũy thừa cơ số a với số mũ n là tích của n số a. Quá trình phân tích ở trên cho thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a được hiểu ngầm ẩn qua việc biểu diễn hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at. Vì vậy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a cũng được đưa vào ngầm ẩn trong các tính chất của hàm mũ cơ số a. Ta xét các tính chất của hàm mũ cơ số a: « Định lý 2.(các tính chất đại số của các hàm mũ ). Nếu u,v, u1,...,un là các số thực tùy ý, a và b là các số thực dương thực sự, thì : n u v uv n ui  ui au (1) a .a  a ; (2) a  a i1 ; (3)  a u v i 1 av u (4) a u .b u   a.b  ; (5) (a u ) v  a uv "[6, tr 83] . Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0
f(x)=x Ta đã định nghĩa ký hiệu x bằng cách đặt x=eLogx và định nghĩa này chỉ có nghĩa khi x>0 »[9, tr 89] Hàm lũy thừa được định nghĩa thông qua phép đặt « x=eLogx », mà bản chất nó là một định nghĩa của kí hiệu at, với t là số thực. Cũng do cách định nghĩa x=eLogx nên điều kiện đặt ra là x>0. Ở đây, người ta không xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ  thay đổi. Ta thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa. Tuy nhiên, lũy thừa và các tính chất của nó không được nêu ra một cách tường minh nên việc khảo sát hàm lũy thừa cũng không dựa vào tính chất của lũy thừa mà dựa vào hàm mũ và hàm lôgarit, « vì nó là hợp của hàm lôgarit và hàm mũ. xu= .Logxf(x)=expu » [9, tr89] Và để phục vụ cho viêc khảo sát nó thì trước đó giáo trình này đã đưa vào khái niệm đạo hàm và tích phân. 1.1.4. Hàm ngược của hàm lũy thừa, căn bậc n. Bây giờ ta hãy đi nghiên cứu hàm ngược của hàm lũy thừa. Theo giáo trình thì : « Phương trình : (1) x  t Trong đó t là một số dương cho trước, có một và chỉ một nghiệm 1 1 x  ( x )   t  Hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ  liên hệ mọi số dương t với nghiệm của phương trình (1). Đó chính là hàm lũy thừa với số mũ 1/. » [10,tr 91]. Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với số mũ . Do đó, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục. 1 « Đặc biệt nếu  là số nguyên dương n thì số t n là nghiệm của phương trình (1) theo định n nghĩa là căn bậc n của t, kí hiệu t » [10,tr 91]. Như vậy, hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương n là căn bậc n. Nói cách khác, hàm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa căn bậc n thông qua hàm số ngược. Ở đây chỉ định nghĩa căn bậc n của một số thực dương. Căn bậc n của t được nêu ra như là nghiệm của phương trình xn=t, với t>0, x>0. Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao không có khái niệm cho căn bậc n của t
1 n Theo cách định nghĩa trên thì : t  t n (t>0). Do đó, dựa vào các tính chất đại số của hàm mũ cơ số a, ta suy ra được các tính chất của căn bậc n, chẳng hạn : 1 1 1 " a n .b n  (a.b) n  n a . n b  n a.b 1 1 1 (a n ) m  a mn  m n a  mn a " [tr 92] Hàm căn bậc n là hàm ngược của hàm lũy thừa y=xn, n nguyên dương nên việc khảo sát hàm căn bậc n cũng được xem như việc khảo sát một hàm lũy thừa đặc biệt.  Kết luận giáo trình [A] Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a không được trình bày một cách tường minh. Nó được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : ex  ax. Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đó lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng dưới dạng « ex=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thông qua khái niệm hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, exp(tLoga)=at, t thực. Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thông qua tính chất của hai hàm mũ cơ số e và cơ số a. Trước khi có khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào. Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa không có vai trò gì trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ sở để xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Căn bậc n là hàm ngược của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nó được đưa vào sau khi đã biết khái niệm hàm lũy thừa. Do đó, căn bậc n không có vai trò gì trong việc định nghĩa lũy thừa. Theo giáo trình này thì để định nghĩa cũng như khảo sát hàm mũ và hàm logarit hay hàm lũy thừa người ta dùng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm...Nên các kiến thức toán học này đã được trình bày trước đó. 1.2. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B]. Trong giáo trình này, mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa được đưa vào phần II- Hàm mũ và nằm trong chương 1-Hàm lôgarit và hàm mũ. Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] như sau: Hàm Hàm Lũy thừa Lũy thừa Hàm Hàm lôgarit mũ e cơ số e với cơ số a mũ a logarit nêpe số mũ với số cơ số thực mũ thực a 1.2.1. Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số a.
Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét tính chất của lôgarit, nên để tìm hiểu nó, ta đi xét các tính chất của lôgarit. Không giống như giáo trình [A], ở giáo trình này không đề cập đến hàm số lôgarit tổng quát mà nghiên cứu cụ thể là hàm lôgarit nêpe. Hàm lôgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, có đạo hàm bằng 1/x. Các tính chất của nó cũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm. Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lôgairt nêpe : Log(a1a2...an)=Loga1+Loga2+...+Logan với a1, a2,....an >0. Ta có Logan=n.Loga với a>0. Từ đây ta có thể hiểu rằng : với n nguyên dương thì an=a.a...a ( n số a, a>0). Theo giáo trình này thì : p « Hệ thức trên còn đúng với n là số hữu tỷ dương. Thật vậy, xét số hữu tỷ r  (p, q nguyên q dương), ta có theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ : q  qp  p  a   a   p p/q q p Từ đó qLoga =pLoga tức Loga  Loga ». [tr3] q Theo trích đoạn trên, thì định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương của cơ số a dương đã được đưa vào trước đó. p Lũy thừa cơ số a>0 với số mũ hữu tỷ r  (p, q nguyên dương) được định nghĩa là một số q q  p thỏa :  a q   a p     1 « Đặc biệt, nếu r là số hữu tỷ âm, đặt r=-r’. Với mọi a>0, ta có a r  r' , Logar=Log1/ar’=- a logar’=-r’Loga=rLoga. Tóm lại, hệ thức Logar=rLoga đúng với mọi số hữu tỷ dương hoặc âm và với mọi a>0 ».[tr3] Tóm lại, lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ 1 dương : a r  với r
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng có những ràng buộc nhất định dành cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ có dạng phân số tối giản thì mẫu số phải là số lẻ, tử số là số chẵn. Như vậy, khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa trước khi có các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nó là công cụ được dùng để tìm ra một vài tính chất của logarit nêpe. Hay nói cách khác nó là công nghệ để giải thích cho một số tính chất của logarit nêpe. 1.2.2. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e. Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện và được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe : « Khi biến y tăng từ 0 đến +, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ - đến +. Nó có hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0 đến + khi x tăng từ - đến +”. Vì vậy, chúng ta có sự đồng nhất giữa hai kí hiệu « x=Logy và y=e(x) ». Cách định nghĩa này hoàn toàn giống với giáo trình [A]. Trong định nghĩa hàm mũ, kí hiệu e(x) được sử dụng nhưng khái niệm cơ số chưa xuất hiện. Đến khi trình bày các tính chất của hàm mũ, kí hiệu ex mới được định nghĩa như sau : «Đặc biệt, nếu kí hiệu e(1)=e (số thực dương duy nhất xác định bởi Loge=1) thì với mọi số hữu tỉ r=r.1 e(r)=e(r.1)=[e(1)]r=er Do đó, ta sẽ dùng kí hiệu ex để chỉ e(x) ngay cả khi x là vô tỉ, ta gọi hàm này là hàm mũ Với số e, định nghĩa này là mở rộng cho lũy thừa với số mũ vô tỉ. Thật vậy, các quy tắc cổ điển của lũy thừa được áp dụng cho ex với x hữu tỷ hoặc vô tỷ như lũy thừa bình thường» [tr 6]. Giống như giáo trình [A], số e ở đây được hiểu là giá trị mà tại đó logarit nepe bằng 1 hoặc e là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1. Tuy nhiên giá trị thực của e chưa được xác định. Sau đó, bằng giới hạn và khai triển Mac-Laurin cho hàm mũ e thì e được xác định là số vô tỉ và có giá trị gần đúng là e 2,71828. Đến đây hàm mũ cơ số e chính thức được viết dưới dạng : y=ex. Lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e được định nghĩa là : ex = e(x). Với cách định nghĩa này thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình [B] mở rộng lũy thừa từ er  ex, điều này khác với giáo trình [A].
Đoạn trích trên phần nào nói rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thông qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất eu .ev  eu  v , u , v R của hàm mũ e như : ( ea ) r  ear , a  R , r  Q Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e ở giáo trình [B] hoàn toàn giống với giáo trình [A], tuy nhiên nó được trình bày tường minh. 1.2.3. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a. Trong mục 7 trang 8, lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa như sau : « a x  e xL og a với a>0 và x bất kì ». Vì sao nó được định nghĩa như vậy, ta hãy xem lí giải của giáo trình này : « Chúng ta sẽ định nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì cho một số thực dương sao cho các quy tắc tính toán cũ vẫn còn áp dụng được. Chúng ta đã chứng minh rằng Logar=rLoga, với r hữu tỉ. Nói cách khác, ar=erLoga Nếu thay r bằng một số thực bất kì x, vì a là số thực dương, vế phải của đẳng thức trên còn có nghĩa trong khi vế trái thì chưa. Do đó, ta sẽ định nghĩa rằng a x  e xL og a với a>0 và x bất kì » [7,tr 8] Lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ thực cơ số e, mà kiến thức liên quan là logarit nêpe. Do lũy thừa ax được biểu diễn là a x  e xL og a nên cơ số a luôn dương. Dựa vào các tính chất của lũy thừa cơ số e và tính chất của logarit nêpe, người ta chứng minh được các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a >0. Cụ thể : x( LogaLogb) xLoga xLogb 1, Với mọi a, b dương, với mọi số thực x : e .e e  exLogab ax.bx  (ab)x 2, Với mọi a>0, với mọi x, y : a x .a y  a x  y , (a x ) y  a xy Thật vậy, ax.ay exloga.eyloga e(xy)Loga axy Ngoài hai tính chất này thì giáo trình không trình bày thêm tính chất nào nữa. Như vậy, các tính chất của lũy thừa cơ số a với số mũ thực được trình bày nhưng không đầy đủ. Quá trình phân tích trên cho thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, còn các tính chất của lũy thừa cơ số e và logarit nêpe là công nghệ để giải thích cho các tính chất của lũy thừa ax. Một điểm khác biệt của giáo trình này so với giáo trình [A] là định nghĩa ax xuất hiện trước khi hàm mũ cơ số a được định nghĩa. Sau khi mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa, giáo trình đưa ra khái niệm hàm mũ a như sau : « Để nghiên cứu hàm số y=ax với a>0, ta nhắc lại định nghĩa