Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mô hình hóa trong dạy học Hàm số ở lớp 12

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

243
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mô hình hóa trong dạy học Hàm số ở lớp 12 nêu lên vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam; mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mô hình hóa trong dạy học Hàm số ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Kim Huệ MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Kim Huệ MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12 Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 6014 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu- người đã cho tôi nhiều sự động viên về tinh thần cũng như những giúp đỡ về mặt kiến thức. Cô đã dành những thời gian quý báu của mình để hướng dẫn và giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Cô! Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư Hương. Các Thầy Cô đã giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức nền tảng và quan trọng của bộ môn didactic Toán. Bên cạnh đó, tôi cũng cảm ơn những góp ý của PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đối với hướng đi trong luận văn của tôi. Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này. Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 12T1 trường Trung học phổ thông Nguyễn Thông (Tỉnh Long An). Cám ơn các em đã không ngại bỏ thời gian của mình để cùng xây dựng tiết học thực nghiệm của luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình. Ba mẹ và các em là nguồn động lực to lớn giúp tôi hoàn thành công việc của mình. Huỳnh Thị Kim Huệ
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu, các cụm từ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .......................................................................................7 1.1. Mô hình hóa trong dạy học toán ..........................................................................8 1.1.1. Khái niệm mô hình hóa ...............................................................................8 1.1.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ................................10 1.2. Thuyết nhân học trong Didactic Toán ................................................................11 1.3. Lý thuyết tình huống ..........................................................................................11 1.4. Vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong Vật Lý....................................14 1.5. Kết luận chương 1 ..............................................................................................15 Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ............................................................16 2.1. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam .........18 2.1.1. Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10 ......18 2.1.2. Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa .....19 2.1.3. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách M N và E N .................19 2.1.4. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách M C và E C .................31 2.1.5. Kết luận......................................................................................................32 2.2. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ ....................33 2.2.1. Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ ..........................33 2.1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học hàm số ........................................................................................................42 2.1.3. Kết luận......................................................................................................46 2.3. So sánh và kết luận .............................................................................................47
2.3.1 So sánh vấn đề dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Mỹ .........................47 2.3.2. Kết luận chương 2 .....................................................................................48 Chương 3. THỰC NGHIỆM - XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ ................................................................49 3.1. Thực nghiệm dạy học mô hình hóa hàm số .......................................................50 3.1.1. Mục đích xây dựng tình huống dạy học mô hình hóa ..............................50 3.1.2. Đối tượng, hoàn cảnh và nội dung của thực nghiệm ................................51 3.1.3. Dự kiến kịch bản dạy học .........................................................................54 3.1.4. Phân tích tiên nghiệm ...............................................................................58 3.1.5. Phân tích kịch bản dạy học .......................................................................72 3.1.6. Phân tích hậu nghiệm ...............................................................................73 3.2. Kết luận chương 3 ..............................................................................................86 KẾT LUẬN ..................................................................................................................87 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................89 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT Cụm từ Cụm từ viết đầy đủ của cụm từ viết tắt viết tắt MHH Mô hình hóa KNV Kiểu nhiệm vụ GV Giáo viên HS Học sinh Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), MC Nxb Giáo dục Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng MN chủ biên), Nxb Giáo dục KNV Kiểu nhiệm vụ SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên EC Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan (Chủ EN biên), Nxb Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), GC Nxb Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng GN chủ biên), Nxb Giáo dục
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách M N và sách E N .................................................................................................... 26 Bảng 2.2. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương II sách M N và sách E N ............................................................................................. 30 Bảng 2.3. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I, II sách M C và sách E C .............................................................................................. 31 Bảng 2.4. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số trong sách M ..................... 46 Bảng 4.1. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 1....................................... 74 Bảng 4.2. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 2....................................... 75 Bảng 4.3. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 3....................................... 76 Bảng 4.4. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 4....................................... 77 Bảng 4.5. Bảng thống kê các bước của quá trình MHH trong các bài toán thực nghiệm................................................................................................... 79
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hàm số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán phổ thông ở Việt Nam. Nội dung này được đề cập xuyên suốt trong chương trình môn Toán Trung học cơ sở (bắt đầu ở năm lớp 7) và Trung học phổ thông. Người ta có thể sử dụng nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau để biểu thị hàm số, như hệ thống biểu đạt đại số (biểu thị hàm số bằng biểu thức giải tích), hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ). Mỗi hệ thống biểu đạt có những lợi thế riêng. Chúng không tồn tại riêng lẻ, tách rời nhau mà có thể chuyển đổi qua lại hoặc cùng tồn tại song song với nhau. Việc chuyển đổi giữa các hệ thống này có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số đang xét và là một kỹ năng không thể thiếu trong việc sử dụng kiến thức về hàm số để giải quyết các vấn đề trong thực tế hay các khoa học khác. Thế nhưng, theo kết quả nghiên cứu tác giả Nguyễn Thị Nga (2003) thì: “Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích. Vì vậy, họ gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị” (Nguyễn Thị Nga (2003), tr.2) Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này, theo nghiên cứu của tác giả, chính là sự lựa chọn của sách giáo khoa (SGK) toán từ THCS đến THPT và thực tiễn dạy học (DH) toán, ưu tiên cho hệ thống biểu đạt đại số. Lý do của sự lựa chọn chính là ưu thế của hệ thống biểu đạt đại số: việc nghiên cứu hàm số sẽ trở nên tổng quát hơn mà lại thuận lợi hơn, vì các tính chất của hàm số trên toàn tập xác định sẽ được chỉ ra một cách dễ dàng, đặc biệt là với công cụ đạo hàm. Thế nhưng, việc sử dụng kiến thức đã được học về hàm số vào các phạm vi ngoài toán học trở thành vấn đề nan giải đối với các em (vì trong thực tiễn tương quan hàm số không phải lúc nào cũng được cho bằng biểu thức giải tích). Chính vì lý do trên, một số công trình nghiên cứu về vấn đề chuyển đổi từ bảng số hay đồ thị sang biểu thức hàm số kết hợp với dạy học MHH (MHH) đã được tiến hành. Chẳng hạn, trong số các luận văn Thạc sỹ ở Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, chúng tôi tìm thấy
2  Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm mô hình hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học. Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.  Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. Tuy nhiên các luận văn trên đây đều nghiên cứu việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt hàm số khi tương quan hàm có sẵn. Chẳng hạn, tác giả Phan Tấn Phú xem xét việc tìm biểu thức hàm số khi đã biết sẵn bảng giá trị của hàm số. Để sử dụng toán học vào nghiên cứu một vấn đề của thực tiễn, việc làm đầu tiên là phải tìm được mô hình toán học phù hợp. Trong nhiều trường hợp, hàm số là những yếu tố cần thiết cho mô hình đó. Nhưng công thức biểu thị hàm số không có sẵn, và không phải bao giờ người ta cũng có thể tìm được công thức biểu thị chính xác hiện tượng. Lúc này, tìm được một công thức mô tả hiện tượng “đúng” nhất trong chừng mực có thể là điều cần thiết. Chúng tôi gọi đó là “hàm số xấp xỉ” (với hiện tượng cần nghiên cứu). Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt cho mình câu hỏi ban đầu như sau: Học sinh có được cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tìm mô hình toán học cũng như xác định một hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu rồi từ đó nghiên cứu vấn đề trong phạm vi ngoài Toán học bằng công cụ của hàm số hay không? Việc trả lời câu hỏi trên theo chúng tôi là rất cần thiết. Bên cạnh đó, chúng tôi chọn khách thể nghiên cứu là học sinh lớp 12 vì đối tượng này đã được giảng dạy đầy đủ các nội dung của hàm số ở chương trình phổ thông. Vì vậy, đề tài nghiên cứu được xác định lại là: “Mô hình hóa trong dạy học hàm số ở lớp 12” 2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu có liên quan  Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông”
3 Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số đồng thời ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của việc chuyển đổi nói trên. Chỉ ra được các ràng buộc của sách giáo khoa ở trường phổ thông với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai. Trong sách giáo khoa toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số và vấn đề MHH trong toán có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất. Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết nghiên cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được hình thành ở HS”. Tác giả đã làm rõ quan hệ cá nhân của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề MHH nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên. Một tiểu đồ án didactic đã được thiết kế nhằm dạy học việc chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số. Tuy nhiên, nghiên cứu này còn hạn chế trong việc chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số đối với hàm số bậc nhất và bậc hai.  Luận văn thạc sĩ của Phan Tấn Phú về “Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm một mô hình hàm tử bảng giá trị” Với nghiên cứu này, tác giả Phan Tấn Phú đã tìm hiểu về kỹ năng chuyển từ bảng số sang biểu thức hàm số. Trong luận văn, chúng tôi tìm thấy phân tích thể chế về việc xử lý bảng số liệu trong SGK Vật Lý 10 và hàm số biểu đạt bằng bảng. Tác giả đã xây dựng thực nghiệm với một số bài toán xuất phát từ các vấn đề của thực tiễn. Cụ thể: “Các bài toán thực nghiệm có liên quan đến các vấn đề thực tế hoặc ở môn học khác mà ở đây là môn Vật lí. Trong bài toán có ngầm ẩn việc đi tìm công thức (có thể ở dạng xấp xỉ) một hàm số cho bằng bảng” (Phan Tấn Phú (2012), tr.39). Tuy nhiên, các bài toán thực nghiệm của luận văn này còn thu hẹp trong việc đi tìm một hàm số từ bảng giá trị mà hàm số tìm được chỉ dừng lại ở hàm bậc nhất y = ax
4 + b. Từ đó, tác giả đã đề ra những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này là xây dựng các bài toán thực nghiệm đi tìm hàm số từ bảng giá trị mà hàm tìm được không là loại hàm số trên. 3. Hướng nghiên cứu đặt ra Vấn đề chúng tôi quan tâm ở đây là nghiên cứu việc giảng dạy hàm số tích hợp với việc tìm hiểu khả năng vận dụng kiến thức cũng như kỹ năng của học sinh vào các vấn đề của thực tế. Như vậy, với hướng nghiên cứu đặt ra ở trên thì luận văn có nhiệm vụ cụ thể như sau: - Tìm cách trả lời hai câu hỏi sau: • Trong Toán học và một số lĩnh vực ngoài Toán học việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại hay không? Nếu có thì mục đích là gì? • Trong chương trình Toán hiện hành (chương trình phổ thông) việc tìm xấp xỉ một hàm số với tương quan hàm cho trước được đặt ra với những hàm số nào? Vấn đề này được đặt ra một cách tường minh hay ngầm ẩn đối với học sinh? - Tìm cách xây dựng một thực nghiệm nhằm: • Hình thành cho học sinh kỹ thuật tìm mô hình toán học cho một vấn đề của thực tiễn cũng như tìm một hàm số xấp xỉ cho tương quan hàm ấy. • Thực hiện việc dạy học MHH. 4. Câu hỏi nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu ban đầu của chúng tôi được trình bày như sau: Q 1 : Trong toán học, kỹ thuật nào cho phép thực hiện kiểu nhiệm vụ (KNV) tìm biểu thức xác định hàm số (hay xấp xỉ với hàm số) trong một khoảng nào đó khi biết hữu hạn điểm của hàm số? Nếu có, nó xuất phát từ nhu cầu nào của toán học và lĩnh vực ngoài toán học? Q 2 : Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học
5 nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học MHH có được thể chế quan tâm đến khi xây dựng kiểu nhiệm vụ trên? Có sự khác biệt nào so với sách giáo khoa của Mỹ? Q 3 : Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng thế nào đến học sinh khi được đặt trước những kiểu nhiệm vụ liên quan đến tìm biểu thức xác định hàm số đặc biệt khi những kiểu nhiệm vụ đòi hỏi phải có mặt sự MHH. Để trả lời được những câu hỏi trên chúng tôi xin dựa vào khung lý thuyết tham chiếu là: Thuyết Nhân học, Lý thuyết tình huống. Các khái niệm này đã được trình bày trong cuốn giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán của Bessot A. và các tác giả, chúng tôi sẽ nhắc lại trong chương 1 của luận văn. 5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Để trả lời câu hỏi Q 1 chúng tôi sẽ tóm tắt các kết quả nghiên cứu đã có về vấn đề hàm số xấp xỉ trong toán học cũng như một số ngành khoa học khác (cụ thể là Vật lý) Trong chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK Giải tích lớp 12 cả hai ban cơ bản (CB) và nâng cao (NC). Nghiên cứu thể chế này sẽ giúp chúng tôi trả lời câu hỏi Q2. Bên cạnh đó, việc so sánh sự khác nhau giữa sách giáo khoa Việt Nam và của Mỹ cũng được tiến hành để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế (có thể nhìn lại những hạn chế của sách giáo khoa Việt Nam). Cuối cùng, chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm nhằm dạy học MHH hàm số. Như vậy, luận văn gồm có: phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Chương 1. Cơ sở lý luận. Chương 1 này sẽ giúp chúng tôi nhìn lại các công trình nghiên cứu đã có về dạy học MHH hàm số (phân tích những kết quả khả quan cũng như những hạn chế). Từ đó, chúng tôi sẽ có cái nhìn khách quan hơn trong phân tích thể chế của mình cũng như có thêm cơ sở để đưa ra những giả thuyết nghiên cứu gần với thực tế hơn. Giải quyết được vấn đề này chúng tôi sẽ trả lời được câu hỏi Q 1 .
6 Chương 2. Một nghiên cứu thể chế Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến đối tượng tri thức cần nghiên cứu trong sách giáo khoa Toán Việt Nam. Một so sánh với việc dạy-học MHH trong quyển sách của Mỹ sẽ được tiến hành. Chương 3. Thực nghiệm Thực nghiệm nhằm triển khai tình huống MHH trong dạy hàm số ở lớp 12. Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn.
7 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN Mục tiêu của chương này là:  Tìm hiểu về dạy học MHH và sự cần thiết của việc dạy học MHH.  Tìm hiểu những kết quả đạt được của một số nghiên cứu về MHH trong dạy học hàm số.  Tổng kết lại vấn đề tìm một hàm số xấp xỉ trong toán học, các kiểu nhiệm vụ cũng như kỹ thuật trong các công trình liên quan. Để thực hiện được mục tiêu đề ra, chúng tôi buộc phải tham khảo thật kỹ các tài liệu sau đây: - Nguyễn Thị Tân An (2013), Xây dựng các tình huống hổ trợ quá trình toán học hóa – Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 48(62)/KHGD - Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 28(62)/KHGD - Lê Thị Hoài Châu (2013), Tích hợp trong dạy học toán, tài liệu bồi dưỡng giáo viên. - Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TPHCM. - Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học. Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. - Nguyễn Thị Nga (2013), Nghiên cứu một đồ án dạy học hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa toán trong môi trường hình học động, Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 45/KHGD. - Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm mô hình hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học. Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. - Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nhà Xuất bản ĐH quốc gia TPHCM.
8 Kết quả của chương này sẽ đóng vai trò là cơ sở phương pháp luận và là nền tảng tri thức để chúng tôi trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu cũng như hướng đi cho những phân tích ở chương sau: 1.1. Mô hình hóa trong dạy học toán 1.1.1. Khái niệm mô hình hóa 1.1.1.1. Khái niệm mô hình hóa Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. 1.1.1.2. Quá trình mô hình hóa toán học Quá trình MHH một hệ thống ngoài toán học đã được Coulange tóm tắt bằng một sơ đồ, trong đó bước 1 được tác giả đặt tương ứng với bước chuyển từ lĩnh vực ngoài toán học vào lĩnh vực phỏng thực tế. Mô hình này được tác giả Lê Văn Tiến mô phỏng lại trong Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông. Chúng tôi xin mô phỏng lại như sau: Phạm vi ngoài toán Hệ thống hay tình huống ngoài toán Câu hỏi trên hệ thống này (Bài toán thực tiễn) Câu trả lời cho BT thực tiễn Bài toán phỏng thực Câu trả lời cho bài toán phỏng thực tiễn Phạm vi Mô hình phỏng thực tiễn phỏng thực tiễn Bài toán toán học Giải Câu trả lời cho bài toán toán học Mô hình toán học Phạm vi toán học
9 Trước hết, chúng tôi xin nói về vai trò của việc dạy-học MHH “Dạy-học mô hình hóa là một yêu cầu tự nhiên của việc hoàn thiện, nâng cao năng lực học sinh, cũng là cách để giúp họ biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả” (Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr.9) Như vậy, vai trò quan trọng trên của việc dạy học MHH có thể được vận dụng để thực hiện mục tiêu của dạy học toán-cung cấp cho học sinh một số vai trò công cụ của tri thức toán học. Đồng thời, học sinh có thể vận dụng chúng vào việc giải quyết các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. “Một cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học toán còn nhắm đến một mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn và mấu chốt hơn của dạy học toán, đó là dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa” (Lê Văn Tiến (2005), tr.171). Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến vấn đề dạy học MHH. Và quá trình MHH toán cho một vấn đề thực tiễn thường trải qua các bước: “Bước 1: Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo. Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Khi có một hệ thống ta chọn các biến cố đặc trưng cho các trạng thái của hệ thống. Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến cố và hệ số điều khiển hiện tượng. Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp cho phù hợp. Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trong phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả của tính toán với vấn đề thực tế” (Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr. 8-9). Ở bước 4 trên có thể xảy ra một hai khả năng:  Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được.  Khả năng 2: mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế. Trường hợp này ta phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau: - Các kết quả ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không?
10 Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng. Như vậy, trong trường hợp này, người ta tạm chấp nhận mô hình toán học (hay mô hình trung gian) được xây dựng là thỏa đáng. - Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa? Nếu chưa thì phải xây dựng lại. Với câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem lại mô hình toán học đã lựa chọn. - Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không? Nếu không thì phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không. 1.1.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa Việc dạy học MHH đang là vấn đề đang được đặt ra cho việc dạy học Toán. Mục đích là nâng cao năng lực toán cho học sinh và việc dạy học mà chủ yếu là“Cách thức xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra” (Lê Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), tr.3, 4). Dạy học MHH thường được tổ chức theohai tiến trình: Tiến trình thức nhất: Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức → Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học. Tiến trình thức hai: Xuất phát từ vấn đề thực tiễn → xây dựng mô hình toán học → câu trả lời cho bài toán thực tiễn → thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức → vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp. Tiến trình dạy học thứ nhất, được gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời gian nhưng làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất đi nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức được đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không? Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho phép khắc phục khuyết điểm này.Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ được hình thành từ quá
11 trình nghiên cứu thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề.Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH. Như vậy, dạy học mô hình hoá và dạy học bằng MHH là con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh.Như vậy, để đạt được mục đích dạy toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học. 1.2. Thuyết nhân học trong Didactic Toán Đầu tiên chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm sau: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học. Các đối tượng mà chúng tôi xem xét trong luận văn này là “Tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu” và “vấn đề MHH” trong dạy học hàm số ở bậc Trung học phổ thông mà chủ yếu là lớp 12. Chúng tôi xin gọi đó là Vấn đề MHH trong việc “Tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu”. Các tài liệu được xem xét ở đây là sách giáo khoa hàm số ở Giải tích lớp 12 theo chương trình, SGK hiện hành và quyển sách- James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole. Quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức O là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong didactic toán. Nó phản ánh quá trình nảy sinh, tồn tại và phát triển của O trong I. Trong Thuyết nhân học còn có khái niệm trường sinh thái của đối tượng O, cho biết vai trò, chức năng, nơi lưu trú, điều kiện để O tồn tại và phát triển. Tổ chức toán học là một khái niệm khác của Thuyết nhân học, được dùng để nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng O. Để tạo cơ sở tham chiếu cho việc phân tích quan hệ thể chế R(I 1 , O1), trước hết chúng tôi sẽ nghiên cứu xem O1 tồn tại ra sao trong toán học cũng như trong các khoa học khác. Chúng tôi sẽ xem xét các công trình có liên quan để tìm hiểu vấn đề “Tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu”. Việc phân tích thể chế sẽ được tiến hành ở bậc Trung học phổ thông chủ yếu là chương trình và SGK Giải tích lớp 12. Đồng thời, sẽ có so sánh với sách giáo khoa của Mỹ đã được đề cập. 1.3. Lý thuyết tình huống Dựa trên kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi dự đoán những khó khăn của học sinh khi đối diện với một tình huống thực tế buộc phải tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước. Từ đó, dựa vào khái niệm đồ án
12 dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết MHH chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống dạy học nhằm hình thành cho học sinh kỹ thuật giải quyết vấn đề cũng như khắc phục được những khó khăn gặp phải. Trong các tình huống thực nghiệm của mình, chúng tôi đều lựa chọn xây dựng theo các ràng buộc thể chế. 1.4. Vấn đề tìm hàm số xấp xỉ trong Toán học Trong toán học, đa số các tương quan hàm số thường được cho dưới dạng bảng.Vấn đề chỉ là loại hàm số nào sẽ là xấp xỉ tốt nhất cho tương quan hàm ấy? Về mặt giải tích toán học, theo công thức khai triển Taylor thì mọi hàm số khả vi cấp n+1 có thể xấp xỉ bằng một đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n. Vì vậy, người ta hay xấp xỉ những hàm số cho bằng bảng bởi hàm đa thức. Tham khảo từ luận văn của tác giả Đinh Quốc Khánh (2012) thì đa thức nội suy Lagrange là một trong những đa thức được chọn để xấp xỉ cho hàm số ban đầu. “Đa thức này được xây dựng như sau. Cho bảng số liệu x0 x1 … xn y0 y1 … yn Tìm đa thức nội suy bậc n có dạng Pn ( x ) = a0 + a1 x +  + an x n thỏa mãn Pn ( xi ) = yi với mọi i từ 0 đến n. Người ta chứng minh được đa thức này là duy nhất và được tính bởi công thức: n () Pn x = ∑ yi Li x i =0 () với () Li x = ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xi−1 )( x − xi+1 ) ( x − xn ) ” ( xi − x0 ) ( xi − x1 ) ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 ) ( xi − xn ) (Đinh Quốc Khánh (2012), tr.13) Và cũng theo nghiên cứu này, chúng tôi tổng kết lại được hai tổ chức toán học sau liên quan đến việc tìm hàm số xấp xỉ trong toán cao cấp:  KNV1: Tìm biểu thức xác định của hàm số (Tìm một hàm số sao cho nó nhận giá trị yi tại x = x i 1, với i = 0, 1, 2, …, n”) 1 Trong đó xi được gọi là các nút nội suy, yi là các giá trị (hàm) nội suy với i = 0 ,n
13  KNV2: Tính giá trị của hàm số tại bất kì giá trị nào của biến (Hàm số f được cho bởi (n + 1) nút nội suy. Tìm giá trị của f tại điểm x tùy ý thuộc tập xác định và không trùng với nút nội suy nào) Cụ thể:  KNV1: Tìm một hàm số sao cho nó nhận giá trị yi tại x = x i , với i = 0, 1, 2,…, n. Kỹ thuật gồm hai bước : - Lập (n + 1) đa thức Lagrange cơ sở l i (x) : li ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) ...( x − x i−1 )( x − x i+1 ) ...( x − x n ) ,i 0,n ( xi − x0 )( xi − x1 ) ...( x i − x i−1 )( x i − x i+1 ) ...( x i − x n ) n - Lập đa thức nội suy Lagrange : L n ( x ) := ∑ y i l i ( x ) i=0 Công nghệ: phương pháp nội suy Lagrange. (Đinh Quốc Khánh (2012), tr.15)  KNV2: Hàm số f được cho bởi (n + 1) nút nội suy. Tìm giá trị của f tại điểm x tùy ý thuộc tập xác định và không trùng với nút nội suy nào. Kỹ thuật - Gọi Pn ( x ) := a0 + a1x + ... + an x n ,an ≠ 0 , là đa thức nội suy của f. - Thay giá trị của (n + 1) nút (x i , yi ), i = 0, 1, …, n vào P n (x) để tìm các hệ số a i . - Sau đó thay giá trị đã cho của x vào P n (x) để có giá trị của f tại x. Ở đây, có một lưu ý rất quan trọng rằng “Giá trị tìm được thường là giá trị xấp xỉ với f(x), bởi đa thức nội suy là một hàm số xấp xỉ với f” (Đinh Quốc Khánh (2012), tr.16) Như vậy, phương pháp nội suy Lagrange cho phép tìm lại hàm số xấp xỉ với hàm số ban đầu trong khoảng lân cận của n+1 các điểm được cho trước với điều kiện hàm số ban đầu phải là hàm liên tục và khả vi đến cấp n+1.Và khi tìm được biểu thức hàm số chúng ta có thể sử dụng những kiến thức toán học về hàm số để nghiên cứu chính nó hoặc trả lời cho các hiện tượng của thực tiễn.