Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường phổ thông phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK Việt Nam. Tài liệu phục vụ cho các bạn chuyên ngành Giáo dục học và những bạn quan tâm tới vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Oanh PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Vũ Như Thu Hương đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu về didactic toán. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong khóa học. - Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Hoàng Thị Oanh
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Pccd : Phép chia có dư Pch : Phép chia hết UCLN : Ước chung lớn nhất TCTH : Tổ chức toán học THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập SGK3 : Sách giáo khoa toán 3 SGK4 : Sách giáo khoa toán 4 SGK5 : Sách giáo khoa toán 5 SGK6 : Sách giáo khoa toán 6 SGK7 : Sách giáo khoa toán 7 MTBT : Máy tính bỏ túi Tr : Trang
MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”. Chúng tôi chú ý những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và nghĩa của phép chia trong những tình huống đó. Phép chia có những nghĩa như sau: - Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết. - Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng. - Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư : - Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết. - Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng không thể phân phối đều được nữa. Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa: - Phép chia hết là phép chia mà không có dư - Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia. Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau. Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt ra : Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì toán học gì ? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học và THCS. Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về pccd và thao tác về pccd. Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế dạy học pccd ở bậc phổ thông. Bên cạnh đó chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên.
Kế tiếp chúng tôi vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh, yếu tố nào cho phép hợp thức hóa các thao tác của học sinh trên đối tượng phép chia có dư. Ở đây, chúng tôi làm rõ những qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm và quyền hạn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng pccd. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu: Q1. Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào ? Q2. Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy – học phép chia có dư ? 3. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là: Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế:  Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải quyết những vấn đề nào.  Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích chương trình và SGK Việt Nam, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết những bài toán nào trong chương trình. Dựa trên việc tổng kết các kết quả phân tích đưa ra những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm.  Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã được đặt ra ở trên. Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:
NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY (Thể chế dạy học Việt Nam) THỰC NGHIỆM 4. Tổ chức luận văn: Luận văn gồm những phần chính sau đây:  Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn.  Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ của khái niệm này.  Chương 2: Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK Việt Nam. Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu.  Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.  Phần kết luận Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra của luận văn.
CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích các giáo trình này chúng tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư được trong các giáo trình đại học và các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong việc nghiên cứu những khái niệm có liên quan. Phân tích một số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư. Ở đây chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam : [a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục [b] Kenneth H. Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động – Người dịch: Bùi Xuân Toại [c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan đến phép chia có dư được trình bày trong các giáo trình này khá phong phú. Việc phân tích so sánh các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong việc trình bày phép chia có dư ở cấp độ giáo trình đại học. Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư được giảng dạy ở phổ thông. 1. Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học 1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên. Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b  0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương trong phép chia a cho b.” Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a  b” [trang 11] với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa này được trình bày trong
bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép trừ và phép chia. Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b  0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn a = bq + r ; 0  r < b” Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên đã được định nghĩa như sau: “Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b  0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn: a = bq + r ; 0  r < b a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.” Định nghĩa này nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b  0 ) thì luôn tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r. Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên. Phép chia có dư được định nghĩa theo quy ước. Như vậy trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản được phát biểu trong tập hợp Z: “Cho hai số nguyên a và b, b  0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho: a = bq + r ; 0  r< |b|” Định lý này là mở rộng của định lý 5 được nêu ở chương 1. Chứng minh của định lý này cơ bản kế thừa chứng minh định lý 5. Ta chú ý phần chứng minh của định lý này trong trường hợp b > 0, a < 0. Khi a < 0 thì – a > 0 khi đó tồn tại q, r để a = bq + r hay a = - bq – r ; 0  r < b o khi r = 0 thì a = - bq tức cặp số cần tìm là ( - q , 0) o khi 0 < r < b thì a = - bq – r = b ( - q - 1) + b – r ; 0 < b – r < b. Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r). Trong trường hợp a < 0 với yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp số (q, r), phần chứng minh này thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho 3. Ta có - 14 = - 3.4 – 2
= 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1. Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp (q, r) cho trường hợp a < 0. Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa vào ngay sau chứng minh ở trang 41 như sau: “Cho hai số nguyên a và b, b  0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số nguyên q, r sao cho a = bq + r ; 0  r < |b|. Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là : a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a  b; hoặc : b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a” Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là “bội” và “ước”. Trong giáo trình này ngôn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ “chia hết”. Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư. Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có dư. Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết. 1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ. a. Ước chung lớn nhất (UCLN) Định nghĩa UCLN ở trang 44 như sau: “Nếu số d là ước số của tất cả các số a1, a2,..,an thì d được gọi là ước chung của các số a1, a2,..,an. Một ước chung của các số a1, a2,..,an được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu nó chia hết cho mọi ước chung của các số đó. ƯCLN của a1, a2,..,an được kí hiệu là ƯCLN(a 1, a2,..,an ). ƯCLN dương của a1, a2,..,an được kí hiệu là (a1, a2,..,an ).” Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn lại. Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn.
Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở trang 45 như sau: “5. Nếu có số aj sao cho aj \ ai với mọi i = 1, 2,..., n thì ƯCLN (a1, a2, ..., an) =  aj 6. Cho a = bq + c; a, b, c, q  Z. Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c và ngược lại.” Tính chất này được nêu ra mà không trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau: a = bq + r thì (a, b) = (b, r) Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm UCLN bằng thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide được đưa vào ở trang 46 như sau: “Cho hai số nguyên a  0 và b  0. Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q0, r0),(q1, r1),...,(qn, rn) sao cho a = bq0 + r0 ; 0 < r0 < |b| b = r0q 1 + r1 ; 0 < r1 < r0 r0 = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1. ………… rn – 3 = rn – 2qn – 1 + rn – 1 ; 0 < rn – 1 < rn – 2 rn – 2 = rn – 1qn + rn ; rn = 0. Vì |b| > r0 > r1 > ….. là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có rn = 0, khi đó thuật toán kết thúc. Dãy các số a, b, r0, r1,….rn – 1 được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.” Dựa vào thuật toán Euclide và các tính chất của UCLN ta có thể tìm được UCLN của hai số a, b: (a, b) = (b, r0) = ... = (rn-2, rn-2 ) = rn-1. Có thể nói nó là số dư cuối cùng khác không trong thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide đã thực hiện một chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà trong các phép chia có dư này chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật toán này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật toán sẽ dừng lại khi r = 0. Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm UCLN của nhiều số nguyên a1, a2, ... , an. (a1, a2) = D1 (D1, a3) = D2 .............. (Dn-2, an) = D vậy ta có (a1, a2, ... , an) = D. Ta có nhận xét: “Vì d / a  d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của chúng.” trang 48. Với nhận xét này bài toán tìm UCLN của số nguyên ta chỉ quan tâm tới việc tìm UCLN của những số nguyên dương. Bài toán tìm UCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN.
b. Quan hệ đồng dư Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57: “Cho m  N*. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m và b cho m có cùng số dư. Kí hiệu : a  b (mod m).” Nếu a và b đồng dư theo môdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư theo môdun m là quan hệ tương đương. Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư: 0 ,1 , 2,....., m  1 . Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang 60 như sau: “Điều kiện cần và đủ để một số A= an an 1...a1a0 viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng a0r0 + g a1r1 +... + anrn chia hết cho d, trong đó ri là các số nguyên sao cho g i  ri mod(d), i = 0, 1, ..., n.” Từ định lý này [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11. Đây là những dấu hiệu chia hết thường gặp. Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ minh họa đều trong hệ thập phân. Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương trình vô định. Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của các số tự nhiên.  Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3. 115 3 1 38 3 2 12 3 0 4 3 1 1 vậy 115  110213 Kỹ thuật  DCS :
+ Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ số g. x = g.x0 + a0, 0  a0  g x0 = g.x1 + a1 , 0  a1  g .... xn = g.0 + an, 1  an  g + Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0 + Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm. Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a0, số dư lần tiếp theo là a1,.. số dư lần cuối cùng là an.. Ta được x  an an 1...a1a0 ” g Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi xn < g. Trong cách giải mong đợi được nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật toán này không được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x0 > x1 > x2....dãy xi giảm dần, do đó tồn tại n để xn = 0. Công nghệ  DCS : Định nghĩa phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ TCH: Chứng minh rằng: P(n)  a, n  Z , a  N * . Ví dụ trang 43: Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải Giả sử tích của ba số đó là A = n(n + 1)(n + 2). Viết n dưới dạng n = 6k + r; với r = 1, 2, 3, 4, 5. Nếu r = 0 thì n  6 thì A  6. Nếu r = 1 thì n + 1  2; n+2  3 thì A  6 ... Vậy với mọi n  Z ta có n(n + 1)(n + 2)  6 Kỹ thuật  CH : + Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0  r  a + Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư. Công nghệ CH : Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư. Lý thuyết CH : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư.
Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử. Trong một bài toán các kỹ thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này. Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi nhận thấy thường theo hai cách:  Không âm, nhỏ nhất: {0,1,2,...m – 1} m 1 m2 m  Có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:{0,  1,  2,...,  } nếu m lẻ và {0,  1,  2,...,  , } nếu 2 2 2 m chẵn. Trong [a] dùng cách ghi thứ nhất. Để giảm bớt độ lớn của các số trong các phép tính, người ta có thể chọn những đại diện phân bố quanh 0 như cách ghi thứ hai. Kiểu nhiệm vụ TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. Kỹ thuật  UCLN.DN : + Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên. + Tìm ước chung của tập hợp số này. + Số lớn nhất của ước chung chính là UCLN. Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này. Ta nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm UCLN. Công nghệ UCLN . DN :Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết. Ví dụ trang 47: Tìm UCLN của 119 và 84 Ta có 119 = 84.1 + 35 84 = 35.3 + 14 35 = 14.2 + 7 14 = 7.2 vậy (119, 84) = 7 Kỹ thuật  UCLN .TTE : Dùng thuật toán chia Euclide để tìm UCLN. Công nghệ UCLN.TTE : + Các tính chất UCLN. + Định lý cơ bản về phép chia có dư. Lý thuyết UCLN .TTE + Sắp thứ tự tốt của tập N. + Nguyên lý chuồng bồ câu. Ví dụ trang 73: Tìm UCLN của 96, 240, 168, 360 Ta có 96 = 25.3 240 = 2 4.3.5
168 = 2 3.3.7 360 = 2 3.32.7 vậy (96, 240, 168, 360) = 23.3 = 24. Kỹ thuật  UCLN . NT : + Phân tích các số nguyên a thành dạng phân tích tiêu chuẩn: a1 = p1 . p2 ... pk  1 2 k a2 = p1 . p2  ... pk  1 2 k ........ an = p1 . p2 ... pk  , 1 2 k UCLN(a1,a2, ... ,an) = p1min(  ,  , ) . p2 min( 1 1 1 2 ,  2 , 2 ) ... pk min(  k ,  k ,  k ) , với  i 0, i  0,  i  0, i  1...k Công nghệ  UCLN.NT : + Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết. + Quy tắc nhân lũy thừa. Lý thuyết UCLN . NT : định lý “Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.” Trong ba kỹ thuật tìm UCLN, ta thấy rằng kỹ thuật  UCLN. NT là có nhiều ưu điểm hơn cả. Nhờ vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm UCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn. Kỹ thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác. Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm UCLN, tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về UCLN. Kiểu nhiệm vụ TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z. Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSD của giáo trình này có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới dạy lũy thừa. Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý đồng dư. Ví dụ trang 60 Tìm số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 Giải 52  1(mod 24)  530  1(mod 24) 50  2(mod 24), do đó 530 + 50  3(mod 24) và (530 + 50)30  330(mod 24) [...] Vì (5 30 + 50)30  9 (mod 24) nên số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 là 9. Kỹ thuật  SD : Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm số dư của phép chia.
Cộng nghệ  SD : Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư. Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ này giáo trình thường huy động các đinh lý sau. 1. Sử dụng định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì: ap – 1  1 (mod p) 2. Theo định lý Euler, (a, m) = 1 thì a ( m)  1 (mod m) *  a k ( m )  1 (mod m)  a r  k ( m)  a r (mod m) (r N ) nói theo cách khác, nếu n, r  N và n  r (mod  (m) ) thì an  ar (mod m) Kiểu nhiệm vụ TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c. Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14 Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5: 53.( - 3) + 32.5 = 1 53.( - 42) + 32. 70 = 14 Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là:  x  42  32t  tZ  y  70  53t Kỹ thuật  NNPT : + Sử dụng thuật toán Euclide tìm UCLN(a, b) = D. + Tìm số u, v thỏa đẳng thức: au + bv = D. cu cv + Một nghiệm của phương trình là: x0 = ; y0 = D D  b  x  x0  D t họ nghiệm của phương trình là:  tZ y  y  a t  0 D Công nghệ  NNPT : + Định lý về phép chia có dư + Các tính chất về UCLN. Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số nguyên u, v sao cho D = au + bv” + Phương trình đồng dư Ngoài ra phương trình vô định còn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng định lý Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó a ( m)  1 (mod m)”. Giáo trình [a] còn đưa vào kỹ thuật dùng phép biến đổi đưa về một ẩn có hệ số bằng 1 để giải phương trình này.
Kết luận Phép chia có dư được định nghĩa đối với tập hợp số tự nhiên sau đó định nghĩa trong tập hợp số nguyên. Tuy nhiên trước khi nêu định nghĩa phép chia có dư thì [a] đưa vào định lý về phép chia có dư để làm cơ sở. Trong chương I, phép chia hết và phép chia có dư được định nghĩa tách rời nhau nhưng định nghĩa phép chia có dư vẫn bao hàm phép chia hết. Đặc trưng của số dư là một số nguyên không âm bé hơn số chia. Nghĩa của phép chia trong phần trình bày của [a] là phép toán ngược của phép nhân. Nghĩa của phép chia có dư là phép trừ liên tiếp chúng tôi nhận thấy nó không được trình bày tường minh trong [a], qua phân tích trên ta thấy tư tưởng này ngầm ẩn trong phần chứng minh định lý cơ bản với trường hợp a là số nguyên âm. Phép chia có dư là phần lý thuyết cơ sở của giáo trình số học này. Nên khái niệm phép chia có dư xuất hiện trong vai trò công cụ nghiên cứu một số khái niệm khác như UCLN, quan hệ đồng dư, giải phương trình vô định ...Một trong những ứng dụng nổi bậc của phép chia có dư là thuật toán Euclide, và chính thuật toán này cho ta công cụ giải quyết nhiều bài toán của số học. Phép chia có dư được sử dụng như một yếu tố công nghệ để giải quyết các nhiệm vụ sau: TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. TCH: Chứng minh rằng: P(n)  a, n  Z , a  N * . TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z. TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c. Ta có thể xem TCH là một trường hợp riêng của TSD. Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong tập hợp số nguyên. 2. Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc 2.1 Phép chia có dư với vai trò là đối tượng Trong giáo trình này, các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên. Phép chia được định nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a]. Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết thì [b] cũng đưa vào ngôn ngữ “bội” và “ước”. Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố. Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, trước hết định lý về phép chia có dư ở trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số q và r duy nhất, với 0  r < d, sao cho a = dq + r”. Qua định lý này chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương. Trong biểu thức 0  r < d không còn giá trị tuyệt đối. Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d < 0, nhưng điều này không làm mất
tính tổng quát của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể chuyển dấu âm từ số chia d lên số bị chia a. Dựa vào định lý này bằng cách qui ước gọi tên các kí hiệu mà [b] có thuật toán chia như sau: “Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q được gọi là thương số và r được gọi là số dư”[ trang 156] Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156: 1. Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11. 101 = 11.9 + 2. vậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2. 2. Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3. - 11 = 3(-4) + 1 do đó, thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3 là -4 và số dư là 1. Chú ý rằng số dư không thể âm, do đó số dư trong ví dụ trên không thể là (-2), mặc dù: 11 = 3( - 3) – 2 vì r = - 2 không thỏa mãn 0 < r < 3. Thông qua hai ví trên [b] đã nêu hai trường hợp phép chia có dư, với cách giải thích ví dụ thứ hai ta có thể thấy đây cũng ngầm ẩn xem phép chia có dư là phép trừ liên tiếp. Phép chia có dư cũng thực hiện trong tập hợp số nguyên và đặc trưng của số dư vẫn là một số nguyên không âm và bé hơn số chia. 2.2 Phép chia có dư với vai trò là công cụ. Có thể thấy trong [b] phép chia có dư cũng được đề cập trong bài tìm ước chung lớn nhất, số học đồng dư, số nguyên và thuật toán. Trong [b] vai trò của số dư được quan tâm nhiều hơn vì những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như: dùng các đồng dư để gán các vị trí của bộ nhớ cho các hồ sơ, hệ thông mật mã dựa trên số học đồng dư. Trong bài “Ước số chung lớn nhất” các kỹ thuật tìm UCLN không có gì thay đổi so với [a]. Với bài số học đồng dư thì [b] có đưa vào định nghĩa ở trang 159: “Cho a là một số nguyên và m là một số nguyên dương. Khi đó kí hiệu a mod m là số dư khi chia a cho m”. Đây có thể coi là một cách gọi tên khác của số dư trong phép chia có dư. Và sau đó [b] cũng định nghĩa quan hệ đồng dư và nêu các tính chất của nó. Thuật toán Euclide được giới thiệu trong bài “Số nguyên và thuật toán” trước khi giới thiệu toán [b] đưa ra bổ đề “Cho a = bq + r, trong đó a, b, q và r là các số nguyên khi đó : ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)”. Ta có chứng minh: Giả sử d là ước số chung của a và b. Từ đó suy ra a – bq = r chia hết cho d. Do đó mọi ước chung của a và b cũng là ước chung của b và r. Tương tự, giả sử b là ước số chung của b và r. khi đó bq + r = a cũng chia hết cho d. Do đó mọi ước chung của b và r cũng là ước chung của a và b. Do đó ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).
Từ chứng minh trên chúng tôi nhận thấy pccd được ghi dưới dạng “a – bq = r” nêu nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp cho tới khi còn một số nhỏ hơn số chia. Chứng minh bổ đề trên dựa vào tính chất chia hết của một tổng và tính chất của ước số chung. Thuật toán Euclide được nêu ra và [b] cũng chỉ rõ điều kiện dừng của thuật toán khi r = 0. Trong [b] nêu một chương trình sử dụng máy tính điển tử tìm UCLN bằng thuật toán Euclide ở trang 172 như sau: Procedure ƯCLN(a,b: positive integers) x := a y := b while y  0 begin r := x mod y x := y y := r end {ƯCLN(a,b) là x} Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của của một số nguyên dương n. Một chương trình máy tính điển tử giải bài toán này là: Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers) q := n k := 0 while q  0 begin ak := q mod b q q :=   b  k := k+1 end {khai triễn cơ số b của n là (ak-1.....a1a0)b} [trang 175] Trong giáo trình [b] đã bổ sung vào các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ bằng MTĐT. Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. TSD : Tìm số dư trong phép chia có dư trong vành Z. Trong kiểu nhiệm vụ TSD các số nguyên được đưa ra khá đơn giản không có dạng lũy thừa như trong [a] vì vậy kỹ thuật của TSD chỉ sử dụng công thức r = a – bq. Các kiểu nhiệm vụ TDCS,
TUCLN các kỹ thuật như trong [a], ngoài ra còn có kỹ thuật sử dụng ngôn ngữ lập trình của MTĐT để giải quyết bài toán. Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z. Mối liên hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a]. 3. Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương Đối với giáo trình [c], chúng tôi không phân tích phép chia có dư trong vành Z. Vì điểm khác biệt lớn so với hai giáo Số học và Toán rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong một vành Euclide bất kì. Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở toán học cho phép chúng tôi giới thiệu phép chia có dư trong vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong chương trình và SGK phổ thông. 3.1. Phép chia có dư trong vành Euclide Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b]. “Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)  : A*  N từ A* đến tập hợp số tự nhiên N thoả mãn các tính chất: i. Nếu b\ a và a  0 thì  (b )   (a); ii. Với hai phần tử a và b tuỳ ý của A, b  0, có q và r thuộc A sao cho a = bq + r và  (r) <  (b) nếu r  0; gọi là một vành Ơclit” Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ:  : Z*  N n  |n| là một vành euclide. 2) Vành đa thức K[X], với K là một trường là một vành euclide với :  : K[X] *  N f(x)   (f) = degf. Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có UCLN, phép chia euclide cho phép tìm ra UCLN đó. Điều này dựa trên bổ đề: “Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ a = bq + r Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r” Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán euclide có cơ sở là bổ đề này.
3.2. Vành Dn Vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, là một vành Euclide. Như vậy ta có tính chất sau : Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) sao cho a = bq + r. Vành Z chính là một trường hợp của vành Dn, vành D0. Từ đó, chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn như sau : Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b. Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TSD, TCH trong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con của TDn. Về mặt toán học, nếu a, b  N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q  Dn sao cho a = bq (phép chia hết hay là dư 0). Vành Z chính là D0. Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z nhưng là phép chia hết trong Dn nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z với số dư là 2; tuy nhiên trong vành D1 thì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4. 4. Kết luận của chương I Trong chương I, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về pccd và các khái niệm có liên quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong chương I.  Pccd với vai trò là một đối tượng: Pccd được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo trình đều nêu định lý về pccd. Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số nguyên và b  0. Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0  r < |b|) và [b] không có giá trị tuyệt đối (0  r < b). Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện hơn và không mất tính tổng quát cho việc phát biểu pccd trong tập hợp số nguyên. Cả hai giáo trình đều không nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp. Nhưng nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và trong ví dụ trong [b]. Yếu tố đặc trưng của pccd là số dư không được nhấn mạnh. Giáo trình [c] khái quát về pccd trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có dư trong vành Z. Giáo trình [a] và [b] đã trình bày pccd trong Z. Hình thức biểu diễn của pccd trong các giáo trình đại học là: a = bq + r với 0  r  b , trong đó a, b, q, r thuộc vành A (Z hoặc vành euclide bất kì ) và b  0. Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức. Đặt trưng của số dư trong pccd đã được nêu rõ: r = 0 thì đây là phép chia hết, khi 0< r < b thì là phép chia có dư. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.