Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Thay đổi biến ở bậc phổ thông trung học - Mối liên hệ giữa giải tích và hình học

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Thay đổi biến ở bậc phổ thông trung học - Mối liên hệ giữa giải tích và hình học giới thiệu tới các bạn những nội dung về đổi biến - một nghiên cứu tri thức luận; đổi biến - một nghiên cứu thể chế về quan hệ giữa giải tích và hình học và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Thay đổi biến ở bậc phổ thông trung học - Mối liên hệ giữa giải tích và hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRẦN VĂN MINH THAY ĐỔI BIẾN Ở BẬC PHỔ THÔNG TRUNG HỌC - MỐI LIÊN HỆ GIỮA GIẢI TÍCH VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2007
LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS lê Thị Hoài Châu, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn, người mà tôi xem là tấm gương phải noi theo trong nghiên cứu khoa học. Tôi xin trân trọng cám ơn quí thầy cô đã tận tâm truyền thụ cho chúng tôi kiến thức về didactic toán, trang bị cho chúng tôi một công cụ khoa học và hiệu quả để nghiên cứu chuyên môn, qua đó giúp chúng tôi tự tin, say mê và hạnh phúc trong từng giờ trên bục giảng. Lời cảm ơn trân trọng xin được gởi đến:  TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh.  PGS TS Lê Văn Tiến, giảng viên Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.  GS TS Claude Comiti, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp.  GS TS Annie Bessot, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp.  GS TS Alain Birebent , trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp. Tôi xin cám ơn TS Nguyễn Xuân Tú huyên đã dành thời gian quí báu giúp tôi chuyển dịch luận văn này sang tiến pháp. Lời cám ơn chân thành xin gởi đến các bạn thân yêu học cùng khóa, những người đã chia sẽ khó khăn vui buồn với tôi trong những năm tháng học cao họcCuối cùng luận văn sẽ không sớm được hoàn thành nếu không có sự hy sinh, động viên của Trúc Huyền vợ tôi. Luận văn này xin được đề tặng cho vợ tôi và Minh Quốc con trai của tôi. TRẦN VĂN MINH
MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Phương pháp đổi biến xuất hiện trong lời giải nhiều dạng toán thuộc chương trình bậc trung học phổ thông Việt Nam : khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai tổng quát, đại số hóa các phương trình và bất phương trình qui về bậc hai, đại số hóa các phương trình lượng giác, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, … Có lẽ vì thế mà ta thường xuyên thấy sự tác động của “phương pháp đổi biến” trong các đề thi tú tài và đại học. Điều đó khiến chúng tôi mong muốn tiến hành một nghiên cứu về sự hiện diện của nó trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt Nam. Chúng tôi bắt đầu quan sát sự hiện diện của đổi biến qua lời giải hai bài toán được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12, chương trình chỉnh lý hợp nhất 2000. Hai lời giải này được giới thiệu như những ví dụ minh họa, một cho dạng toán khảo sát hàm số, một cho dạng toán tính tích phân. Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt hai lời giải đó. • Bài toán 1 (trang 80 sách giáo khoa giải tích 12) : Khảo sát hàm số y = x3+3x2– 4 Tập xác định: R y’ = 3x2+6x = 3x(x+2) y’’ = 6x+6 = 6(x+1) Bảng biến thiên x – –2 –1 0  y’ 0 0 y 0 –2  - (I) -4 Sau đó, bằng việc xét dấu y”, người ta nói rằng đồ thị hàm số là một đường cong lồi trong khoảng (-∞; -1), lõm trong khoảng (-1; +∞), và nhận I(-1; -2) làm tâm đối xứng. Từ những kết quả trên, người ta vẽ đồ thị của hàm số.
Cuối cùng, nhận xét sau đây được nêu ra :  “Chú ý : Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI , thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và tọa độ mới (X;Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức sau (gọi là công thức đổi trục): x  1  X  y  2  Y Thay vào hàm số đã cho ta được Y = X3–3X. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I là tâm đối xứng.” Phân tích phần chú ý ở cuối lời giải trên, chúng tôi thấy phép đổi hệ trục tọa độ được sử dụng để chứng minh điểm I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho ban đầu. Việc chuyển sang hệ tọa độ mới cho phép tránh những phép biến đổi đại số phức tạp nhằm chứng minh I thỏa mãn điều kiện của một tâm đối xứng của đồ thị hàm số f – vốn không được đề cập trong các sách giáo khoa 1 . Ở đây, đường cong ban đầu hoàn toàn được giữ nguyên, nhưng hệ tọa độ thay đổi. Trong hệ tọa độ mới, đường cong này trở thành đồ thị của một hàm số khác, thu được từ hàm số ban đầu bằng phép đổi biến. Sau đó, sử dụng tính chất đã được giới thiệu trong phần lý thuyết (“đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng”) người ta suy ra I(-1; -2) là tâm đối xứng của đường cong. Như thế, trong trường hợp này, phép tịnh tiến hệ trục tọa độ được đặt tương ứng với một phép đổi biến số. 1 Trong các sách giáo khoa phổ thông Việt nam, người ta không giới thiệu định nghĩa tổng quát cho phép xác định điều kiện để điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f, chỉ nói rằng đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và đồ thị một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Khái niệm tâm đối xứng, trục đối xứng của một hình được đề cập trong HH lớp 10, (chương trình 2000).
Ta thấy ở đây một sự phối hợp uyển chuyển trong việc sử dụng các hệ thống biểu đạt (registre) của hai phạm vi (cadre) khác nhau – giải tích (GT) và hình học 2 (HH). Cụ thể : đồ thị là một sự biểu đạt bằng ngôn ngữ HH (registre géométique) của hàm số. Nhưng tất cả các tính chất của đồ thị đều có thể được thể hiện qua những biểu thức GT (registre analytique), hay nói cách khác là có thể được chứng minh trong phạm vi GT (cadre analytique). Song, trong lời giải trên, nhằm tránh những phép biến đổi GT phức tạp, người ta ở lại trong phạm vi HH (cadre géométrique) để chứng minh tính đối xứng của đồ thị. Liên tưởng với ý kiến của Douady (1986) về tầm quan trọng của sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong hoạt động toán học nói chung, trong dạy học toán nói riêng, chúng tôi nẩy sinh mong muốn nghiên cứu quan hệ giữa giải tích (GT) và hình học (HH) trong dạy học toán ở trường phổ thông Việt-Nam. Quan hệ này có thể được thể hiện qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến là một trong những nội dung đó. Như thế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là : Đổi biến : quan hệ giữa giải tích và hình học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông. 1 3 • Bài toán 2 (trang 135 sách giáo khoa giải tích 12) : Tính   2x  1 dx . 0 Đặt t = 2x+1. Khi x = 0 thì t = 1. Khi x = 1 thì t = 3. 1 3 3 dt 3 1 t4 Ta có dt = 2dx  dx = . Do đó :   2x  1 dx =  t 3dt   10 2 0 21 8 1 Như vậy, để tính tích phân từ 0 đến 1 của hàm số f xác định bởi biểu thức (2x+1)3 người ta đã đổi sang biến t = 2x+1. Khi đó miền giá trị của t biến thiên từ 1 đến 3. Hàm số f theo biến x trở thành hàm f theo biến t, với t là hàm theo biến x. Về bản chất, phép đổi biến từ x sang t ở đây chính là một sự thiết lập hàm hợp. Trong cả hai lời giải bài toán trên đều có sự tác động của phương pháp đổi biến 3 . Tuy nhiên, việc đổi biến trong mỗi lời giải được đặt trong một cách tiếp cận khác nhau : đối với bài toán thứ nhất, đổi biến tương ứng với phép đổi hệ tọa độ ; đối với bài toán thứ hai, đổi biến tương ứng với phép lập hàm hợp. Chúng tôi nói rằng đổi biến đã được tiếp cận từ hai quan điểm : 2 Về các thuật ngữ regisstre và cadre bạn đọc có thể tham khảo Douady 1986. 3 Trong luận văn này, để đơn giản, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “đổi biến” thay cho “phương pháp đổi biến”. Vả lại, thuật ngữ thứ hai có thể làm người ta nghĩ đến phương pháp giải quyết một vấn đề (hay một loại vấn đề) cụ thể, trong khi chúng tôi lại muốn dùng nó theo nghĩa có sự xuất hiện của phương pháp đổi biến khi người ta giải một bài toán (hay một dạng toán) nào đó.
 Quan điểm 1: xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ. Trong trường hợp này, hệ tọa độ thay đổi, còn đường cong (đồ thị của hàm số ban đầu) được giữ nguyên, nhưng trong hệ tọa độ mới thì nó trở thành đồ thị của một hàm số mới (thu được từ hàm số ban đầu bằng đổi biến). Chúng tôi nói đây là đổi biến theo quan điểm HH.  Quan điểm 2: xem việc đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp. Chúng tôi nói đổi biến ở đây được nhìn từ quan điểm GT. Những ghi nhận về việc đổi biến trong lời giải của hai bài toán trên cũng như sự tác động thường xuyên của nó trong các kỳ thi tú tài và tuyển sinh đại học khiến chúng tôi quan tâm. Chúng tôi tự hỏi :  Q’1 : Đổi biến được đưa vào ở đâu trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt nam ? bằng cách nào ? chúng đóng vai trò gì ?  Q’2 : Quan điểm nào - HH hay GT - được ưu tiên hơn trong thể chế dạy học bậc trung học phổ thông Việt nam ?  Q’3 : Sự lựa chọn của thể chế tác động ra sao lên việc học của học sinh ? II. Khung lý thuyết tham chiếu II.1. Lí thuyết nhân chủng học Để tìm một số yếu tố cho phép trả lời cho những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trước hết trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học. Tại sao lại là lý thuyết nhân chủng học ? Bởi vì cả 3 câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến những khái niệm cơ bản của lý thuyết này : quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, và tổ chức toán học. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. Để trình bày các khái niệm này, chúng tôi dựa vào những bài giảng didactic sẽ được công bố trong cuốn sách song ngữ Didactic toán.  Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào O, X có thể thao tác O ra sao. Theo quan điểm này việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xẩy ra nếu quan hệ R(X, O) bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại).
 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức. Phân tích sinh thái Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, …. Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). Với những định nghĩa trên thì trả lời cho các câu hỏi Q’1, Q’2 chính là làm rõ quan hệ của thể chế I mà chúng tôi quan tâm đối với đối tượng O. Đối tượng O ở đây là “đổi biến”, còn thể chế dạy học I thì với khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ giới hạn trong phạm vi lớp 12. Những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q’3 sẽ được tìm thấy không chỉ qua việc làm rõ R(I, O) mà còn qua cả nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với O, vì, như đã nói trên, tác động của thể chế I lên chủ thể X (tồn tại trong I) thể hiện qua quan hệ R(X, O). Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O) ?  Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,  ,  ,  ], trong đó : T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  . Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique).
Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O : “ Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch. M và Chevallard Y., 1999). Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O, bởi vì : “Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. Như thế, việc chúng tôi lấy lý thuyết nhân chủng học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình dường như là hoàn toàn thỏa đáng. II.2. Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy - học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là “[…] một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy” (Bessot và các tác giả). Những điều khoản của hợp đồng tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và Trò duy trì đối với một tri thức : “Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua” (Tài liệu đã dẫn). Như vậy, khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta "giải mã" các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo định nghĩa trên, rõ ràng là những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu Q’1, Q’2 và Q’3 của chúng tôi đều có thể được tìm thấy qua việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến đối tượng đổi biến. III. Trình bày lại câu hỏi của luận văn Giới hạn trong phạm vi lý thuyết didactic đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi ban đầu mà việc tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này. Hệ thống câu hỏi của chúng tôi xoay quanh những yếu tố cho phép xác định quan hệ giữa thể chế I - thể chế dạy học toán ở lớp 12, với đối tượng O - “đổi biến”, và quan hệ cá nhân của học sinh lớp 12 với O.  Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào? nó lưu trú ở đâu (habitat), trong những tổ chức toán học nào? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì (niche), cho phép giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì? v.v…  Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến HH và GT ? Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?  Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc nào của hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến việc hình thành quan hệ cá nhân của họ với O? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể vận hành O để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào? Tuy nhiên, trước khi đi tìm những yếu tố trả lời cho ba câu hỏi trên, việc tiến hành một nghiên cứu tri thức luận về đối tượng O là cần thiết. Nghiên cứu đó sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về O trước khi nghiên cứu cuộc sống của nó trong I. Vì thế, chúng tôi đặt thêm một câu hỏi cần phải được xem xét trước và gọi đó là câu hỏi Q 0 .  Q 0 : về mặt toán học thì O có thể xuất hiện ở đâu, qua những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào ? có những quan điểm nào được gắn với O ? IV. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm những yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi nêu trên.  Đối với câu hỏi Q 0 , do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian, chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ giới hạn trong việc phân tích vài giáo trình toán dùng ở bậc đại học, xem nó như một cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu sự tồn tại của đổi biến trong thể chế dạy học bậc phổ thông. Đây là nhiệm
vụ đầu tiên của chúng tôi. Kết quả của nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 1. Trong chương này chúng tôi sẽ phải chỉ rõ : về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu ? với vai trò gì ? theo những quan điểm nào? Tham chiếu vào những kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa toán lớp 12, nhằm vạch rõ cuộc sống của đổi biến trong thể chế mà chúng tôi quan tâm. Trước khi phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ lướt qua chương trình toán bậc trung học phổ thông để thấy được sự tiến triển của đối tượng “đổi biến” trong toàn bộ chương trình, và cũng phần nào làm rõ những mong đợi thể chế được phát biểu tường minh. Việc xem xét một số đề thi tú tài và tuyển sinh đại học, thực hiện sau khi phân tích sách giáo khoa, sẽ giúp thấy rõ hơn, hay ít ra cũng là khẳng định cho những yêu cầu của thể chế đã được chúng tôi rút ra từ phân tích chương trình. Ba phân tích này được trình bày trong chương 2, chương “Một nghiên cứu thể chế về đổi biến”. Nghiên cứu thực hiện ở chương 2 nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 nêu trên. Hơn thế, nó sẽ cho phép chúng tôi đưa ra được những giả thuyết liên quan đến hợp đồng didactic chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh. Nó còn có thể mang lại cho chúng tôi những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 : sự ưu tiên của thể chế đối với quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến việc học của học sinh ? Chương 3 được dành cho việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết này qua một nghiên cứu thực nghiệm mà chúng tôi tiến hành với hai thành viên chính của thể chế là : người dạy và người học.  Về phía người học : Chúng tôi tìm kiếm hoặc xây dựng một số bài toán thực nghiệm có thể giải bằng cả hai cách đổi biến như đã nêu ở trên. Sau đó, quan sát, thu thập và phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ vai trò của từng quan điểm về sự thay đổi biến trong hệ thống dạy- học toán bậc phổ thông trung học.  Về phía người dạy : Chúng tôi dự định thăm dò ý kiến của một số giáo viên dạy toán lớp 12 qua một bộ câu hỏi điều tra, nhằm tìm hiểu quan điểm của họ về vai trò của đổi biến trong dạy-học toán bậc trung học phổ thông , đồng thời kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đưa ra.
Chương 1 ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN Mục đích của chương này là tìm kiếm những yếu tố của câu trả lời cho câu hỏi Q 0 : về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu, gắn với những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào? Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu trên các tài liệu gốc về lịch sử toán học, mà tìm kiếm câu trả lời trong vài giáo trình được sử dụng cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm. Lưu ý rằng chúng tôi quan tâm đến hai quan điểm có thể gắn với đổi biến : - Quan điểm HH : xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ, và như thế thì đổi biến có thể gắn với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong phạm vi HH. - Quan điểm GT : xem đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp, là một tri thức thuộc phạm vi GT. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn một giáo trình GT và một giáo trình HH được sử dụng trong các trường đại học sư phạm để nghiên cứu. Cụ thể, đó là : - Nguyễn Mộng Hy (2000), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục. - Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (1981), Giải tích toán học, NXB Giáo dục. I. Quan điểm HH và quan điểm GT trong giáo trình «Hình học cao cấp» Nội dung của cuốn sách bao gồm ba chương : Chương 1 : Không gian afin và hình học afin. Chương 2 : Không gian ơclit và hình học ơclit. Chương 3 : Không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh. Liên quan đến hai quan điểm trên, ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là trong tài liệu này người ta chỉ nói đến vấn đề đổi mục tiêu, còn các vấn đề về hàm hợp không được xem xét. Điều này có thể được giải thích bởi việc đây là một giáo trình HH.
«Đổi mục tiêu» xuất hiện tường minh ở cả ba chương của cuốn sách, nhưng chúng tôi sẽ chỉ trình bày ở đây những điểm chủ yếu được rút ra từ việc phân tích hai chương đầu, vì chương thứ ba đề cập đến các tri thức toán học không được xem xét ở bậc trung học. Chương 1 của giáo trình dành cho việc nghiên cứu các khái niệm không gian afin, mục tiêu afin, tọa độ afin (của một điểm đối với một mục tiêu), phép biến đổi afin, m-phẳng và các siêu mặt bậc hai trong không gian afin. Chương 2 nghiên cứu không gian ơclit, mục tiêu trực chuẩn, tọa độ trực chuẩn (của một điểm đối với một mục tiêu trực chuẩn), phép biến đổi đẳng cự, m-phẳng, siêu mặt bậc hai và siêu cầu trong không gian ơ clit. Chúng tôi sẽ xem xét dưới đây những vấn đề liên quan đến đổi mục tiêu trong không gian afin và không gian ơclit. I.1. Đổi mục tiêu trong không gian afin và ứng dụng của nó  Liên quan đến mục tiêu afin, tọa độ afin, chúng tôi thấy có công thức đổi mục tiêu. Chúng tôi tóm lược lại dưới đây những nội dung được đề cập đến. Trong không gian afin n chiều An cho hai mục tiêu afin E 0 , E i và E’ 0 , E’ i lần lượt ứng với hai     cơ sở nền là ei và ei' với i = 1,2, . .n. Giả sử các điểm E’ i có tọa độ đối với mục tiêu thứ nhấtE 0 , E i  là E’ i = (a i1 ,a i2 ,. . . , a in ) với i = 0,1,. . n. Khi đó, ma trận sau đây được gọi là ma trận chuyển từ  mục tiêu thứ nhất E 0 , Ei  sang mục tiêu thứ hai E '0 , Ei' :   a 1 1 -a 0 1 a 1 2 -a 0 2 . . . . a 1 n -a 0 n    a -a a -a . . . . a 2 n - a 0 n  C   21 01 22 02  ..............................................   a -a   n 1 0 1 a n 2 -a 0 2 . . . . a n n -a 0 n  Giả sử X là một điểm của không gian afin An. Ký hiệu (x i ) và (x’ i ) lần lượt là ma trận dòng các tọa độ của X đối với hai mục tiêu trên. Người ta chứng minh rằng quan hệ giữa (x i ) và (x’ i ) được biểu diễn bởi công thức : [x] = [a 0 ] + C*[x’] (1) Trong công thức trên, [x], [x’], C* lần lượt là các ma trận chuyển vị của (x i ), (x’ i ), C. Công thức này được gọi là công thức đổi mục tiêu.  Sử dụng công thức đổi mục tiêu (1), người ta chứng minh được rằng nếu f : An  An là một phép biến đổi afin thì phương trình của nó đối với mục tiêu cho trước {E 0 ; E i } ( i  1,n ) là : [x’] = C*[x] + [b] (2)
Trong công thức trên, [x] và [x’] lần lượt là ma trận chuyển của (x i ) và (x’ i ) - các ma trận dòng tọa độ của điểm X  An và X’ = f(X)  An đối với mục tiêu đã chọn ; C* là ma trận chuyển vị của C - ma trận đổi từ mục tiêu {E 0 ;E i } sang mục tiêu ảnh {E’ 0 ;E’ i } ; [b] là chuyển vị của (b i ) - ma trận dòng tọa độ của điểm E’ 0 = f(E 0 ).  Công thức đổi mục tiêu (1) còn được sử dụng để tìm các kết quả về đơn hình m chiều, một số tính chất của không gian afin, và các kết quả về siêu mặt bậc hai. Đặc biệt, nó đã được dùng để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc. Cụ thể, định lý sau được chứng minh nhờ công thức này :   Định lí. Trong không gian afin An với mục tiêu afin e 0 , ei   một siêu mặt bậc hai (S) có phương trình tổng quát là n n :  a x x + 2  a x + a = 0 . Bằng cách chọn mục tiêu tọa độ thích hợp, mọi siêu mặt bậc hai (S) trong ij i j i i 0 i, j = 1 i =1 không gian A n đều có một trong ba dạng chuẩn tắc sau : r I  :  ei xi2 = 1 , ei = ±1, 1  r  n i=1 r  II  :  ei xi2 = 0 , ei = ±1, 1  r  n i=1 r  III  :  ei xi2 = 2xr+1 , ei = ±1, 1 r  n -1 i=1 (Nguyễn Mộng Hy, 2000, trang 61, 62). Ta thấy ở đây người ta đã phát biểu tường minh là “chọn một mục tiêu thích hợp”. Điều này có nghĩa là thực hiện một phép đổi mục tiêu. Việc đổi mục tiêu cho phép đưa phương trình của mọi siêu mặt bậc hai về một trong ba dạng đơn giản nhất, thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng. Phân tích kỹ phần chứng minh định lý, chúng tôi thấy đổi biến được sử dụng ngầm ẩn ở đây : phép đổi mục tiêu tương ứng với một phép đổi biến số - chính nhờ đổi biến số mà phương trình ban đầu được chuyển về một phương trình mới đơn giản hơn. Nói cách khác, ở đây có sự tác động của đổi biến dưới hình thức đổi mục tiêu. I.2. Đổi mục tiêu trong không gian ơclit và ứng dụng của nó Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với hai vectơ bất kỳ của nó sẽ trở thành một không gian vectơ ơclit (Nguyễn Mộng Hy, 2000, tr. 84). “Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều. Không gian ơclit được gọi là n chiều, kí hiệu là En nếu không gian vectơ ơclit liên kết với nó có số chiều bằng n” (Nguyễn Mộng Hy, 2000, tr. 87).
Từ hai định nghĩa trên, ta có thể suy ra ngay được rằng công thức đổi mục tiêu trong không gian ơclit cũng là công thức (1) đã được xây dựng trong không gian afin. Cùng cấu trúc như chương 1, trong chương 2 của giáo trình, công thức đổi mục tiêu được sử dụng để thiết lập phương trình của các phép dời hình và để nghiên cứu các siêu phẳng trong En.  Phương trình của phép dời hình được thiết lập tương tự như đối với các phép biến đổi afin và kết quả thu được là phương trình sau, trong đó A là một ma trận trực giao cấp n (vì cơ sở {E 0 ; E i } được chọn ở đây là cơ sở trực chuẩn) : [x’] = A[x] + [b] (3)  Cuối cùng, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn cũng được áp dụng để đưa các phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit về dạng chuẩn tắc. Định lý: Đối với mọi siêu mặt bậc hai (S) trong E n ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc sau : n ''2  i x i  1 , 1  r  n  I i1 n ''2  i x i  0 , 1  r  n  II  i1 n 2  bi X i  2mX r 1  0 , 1  r  n  III  i1 I.3. Nhận xét Trong cuốn sách này, liên quan đến đổi biến, chỉ có sự hiện diện của quan điểm HH. Thuật ngữ “đổi biến” không được nói đến, nhưng nó nằm ngầm ẩn trong phép đổi mục tiêu mà mục đích đầu tiên là để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai bất kỳ về dạng chuẩn tắc (đơn giản hơn, thuận tiện hơn cho việc nghiên cứu nó). Ngoài ra, việc đổi mục tiêu còn cho phép thiết lập phương trình của các phép biến đổi afin và phép dời hình. Để sử dụng những kiến thức rút ra từ cuốn sách trên vào việc phân tích sách giáo khoa phổ thông, chúng ta hãy xét trường hợp n = 2.          Trong E2 cho hai mục tiêu trực chuẩn O;e1;e2 và O' ;e1' ;e'2 . Khi đó, ma trận chuyển từ cơ sở       1 0    e1;e2 sang cơ sở e1' ;e'2 là C    . Thay vào (1), ta tìm được công thức đổi mục tiêu trong trường  0 1 hợp này :
' '  x1   1 0   x1   a1  x1  x1  a1 [x] = [a 0 ] + C*[x’]   x    0 1   '    a    '  2     x2   2  x 2  x2  a2 Đây chính là công thức đổi tọa độ từ hệ trục Oxy sang hệ trục IXY với I(a 1 ;a 2 ) mà chúng tôi tìm thấy trong sách giáo khoa đại số 10 (tr.40)  Bây giờ, chúng ta xét phương trình của phép dời hình khi n = 2. Theo kết quả được chứng minh trong giáo trình mà chúng tôi tham khảo, với mọi phép dời hình f luôn luôn tìm được một cơ sở trực chuẩn của không gian euclide En sao cho ma trân A của f có dạng :  A1     A2  . 0  .  A Ak   1   0 .   .   1   cos i Ai   - sini  Trong đó  vói i = 1,2,....k (tham khao sách đã dẫn, tr.108,109)  sini cos  i  Từ đó suy ra , ứng với mọi phép dời hình trong E2 luôn chọn được một mục tiêu trực chuẩn sao cho ma trận A của phép dời hình có một trong ba dạng sau đây : 1 0   cos - sin  1 0  1)   2)   3)    0 1  sin cos   0 -1 Lần lượt thay ba dạng có thể của A vào công thức (3), ngườii ta rút ra kết luận là trong E2 có ba loại phép dời hình : tịnh tiến, quay, đối xứng. (sách đã dẫn, tr. 110,111,112)  Về các siêu mặt bậc hai, áp dụng định lý nêu trên cho n = 2, ta suy ra đối với mọi đường bậc hai trong E2 ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của nó đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc r ''2  i x i  1 , 1  r  2  I i1 r ''2  i x i  0 , 1  r  2  II  i1 r 2  bi X i  2mX r 1  0 , 1  r  2  III  i1 Lần lượt thay r = 1, 2 vào ba dạng trên ta có phương trình chính tắc của các đường elip, hepebol, đường tròn, parabol trong mặt phẳng.
II. Quan điểm HH và quan điểm GT trong giáo trình “Giải tích toán học” Giáo trình gồm có 8 chương, dành cho việc nghiên cứu hàm một biến thực : giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm một biến và lý thuyết chuỗi. Nếu như trong giáo trình HH chỉ có sự tác động của đổi biến theo quan điểm HH thì ở đây chúng tôi thấy xuất hiện cả hai quan điểm, có thể là ngầm ẩn và với những mức độ khác nhau. II.1. Tác động của quan điểm GT  Trong giáo trình này, khái niệm “hàm hợp” được trình bày ở chương II. “Giả sử X, Y, Z là các tập con không rỗng của tập số thực R, g là ánh xạ từ X vào Y, f là ánh xạ từ Y vào Z. Ta sẽ gọi ánh xạ tích h : x  z = f (g(x)), x  X là hàm số hợp của f và g từ tập X vào tập Z. […] Hàm số y = log (2t+3) là hàm hợp của hàm x = 2t+3 với hàm y = log x. Miền xác định của hàm hợp cũng được xác định rõ : hàm số y = logx xác định với mọi x >0 và hàm số x = 2t+3 xác định trên toàn trục số. Nhưng 3 hàm số hợp y = log (2t+3) chỉ xác định với t > - vì chỉ với điều kiện đó mới có x = 2t + 3 >0” 2 (Vũ Tuấn và các tác giả, 1981, tr. 54) Theo định nghĩa trên, phép đổi biến ở đây tương ứng với phép lập một hàm hợp. Ví dụ kèm theo chứng tỏ rằng bằng cách lập hàm hợp như vậy người ta có thể chuyển hàm số ban đầu về hai (hay nhiều) hàm số đơn giản hơn để nghiên cứu. Lướt qua toàn bộ giáo trình, chúng tôi thấy tư tưởng đó tác động rõ rệt ở chương V- “Phép tính vi phân” và chương VI – “Phép tính tích phân”.  Trong chương V, người ta xây dựng qui tắc đạo hàm của hàm số hợp. Kể từ đó, qui tắc này thường xuyên được sử dụng để tìm đạo hàm (cấp n, với n = 1, 2, …) của hàm số ; tính giá trị đạo hàm của hàm số tại một điểm ; chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm ; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, v.v. ... Vì quy tắc này hầu như tác động đến lời giải của mọi bài toán trong đó phải tính đạo hàm của hàm số, nên có lẽ không cần thiết phải nêu ví dụ minh họa ở đây.  Đổi biến theo quan điểm GT còn tác động đến một kiểu nhiệm vụ khác được đề cập ở chương VI - “Phép tính tích phân”. dx Ví dụ : tìm I=  a2  x 2 (a > 0 ). x Giải : Bằng cách đặt u = ta được : a
adu 1 du 1 1 x I=  a 2 (1+u 2 ) = a  1+u 2 = a arctgu + C = a artg + C (Sách đã dẫn, tr.15) a Trong lời giải trên, phép đổi biến (đặt w(x) = u) đã được thực hiện. Ở đây biến mới u là một hàm số của biến x. Hàm số ban đầu trở thành hợp của hai hàm số. Sau khi thay du = w’(x)dx thì tích phân cần tính (theo biến x) được đưa về một tích phân theo biến u. Hiển nhiên, w phải được chọn sao cho tích phân mới dễ tính hơn tích phân ban đầu. Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên được tìm thấy trong trích dẫn sau : « Nếu biết  g(u)du = G(u)+ C  g  w(x)w (x)dx = G  w(x) + C ' Thì ta có » (Sách đã dẫn, tr.12)  Trong chương này còn có một kiểu đổi biến khác được sử dụng để giải bài toán tính tích phân. a Ví dụ : Tính tích phân  a 2 - x 2 dx 0 π Đặt x = asint. Ở đây α = 0 và β = 2 ta có : π π a 2 a2  sin2t  2 πa 2 (Sách đã dẫn, tr.67)  a 2 - x 2 dx = a 2  cos 2 t dt = 2   t + 2 0  = 4 0 0 Khác với ví dụ trên, ở đây người ta lại thực hiện một phép đổi biến theo kiểu khác : đặt x = (t), với  là hàm số chọn sao cho làm xuất hiện một tích phân đã biết hay dễ dàng tính được. Bằng phép đổi biến này, hàm số đã cho trở thành hợp của hai hàm số. Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên nằm ở tính chất sau : b ‘‘Giả sử phải tính tích phân  f(x)dx trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử rằng x = (t) a là một hàm số thỏa mãn các điều kiện: 1) (t) liên tục trên đoạn [ ; ] nào đó và (t  [a ; b] với t [ ; ] 2) ()= a ; ( = b 3) tồn tại đạo hàm’(t) trên đoạn [ ; ] b  ' Thế thì :  f(x)dx   f((t)) (t)dt ” (Sách đã dẫn, tr. 66) a 
Ta thấy, hai kiểu đổi biến khác nhau, nhưng đều gắn liền với quan điểm giải tích – đổi biến tương ứng với việc thiết lập hàm hợp. II.2. Tác động của quan điểm HH • Trong chương V, phần khảo sát hàm số, chúng tôi quan tâm đến bài toán sau : x3 Ví dụ : khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 1 Việc giải bài toán được thực hiện theo đúng quy trình quen thuộc : - tính y’, xét dấu y’ để lập bảng biến thiên - tính y’’, xét dấu y’’ để xác định cung lồi, lõm, điểm uốn - tìm tiệm cận - vẽ đồ thị Điều khiến chúng tôi quan tâm là nhận xét nêu ở cuối lời giải như sau : x3 Chú ý : y = 2 là hàm số lẻ nên đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ. Vì vậy ta có thể chỉ khảo sát hàm số với x -1 x  0. (Sách đã dẫn, tr.210) Chú ý này cho thấy lợi ích của việc sử dụng tính chất chẵn lẻ của hàm số. Từ đó có thể suy ra : nếu f không phải là hàm số lẻ theo biến x nhưng là hàm số lẻ theo một biến X = (x) nào đó thì với cách nhìn đổi biến theo quan điểm HH ta có thể dùng phép đổi trục để chuyển việc vẽ đồ thị hàm số f (trong hệ tọa độ Oxy ban đầu) về việc vẽ đồ thị trong hệ tọa độ mới IXY với X  0, sau đó lấy đối xứng qua I. Kết luận tương tự đối với trường hợp f làm hàm số chẵn theo X. Tuy nhiên, trong cuốn giáo trình mà chúng tôi nghiên cúu, không có một ví dụ nào được giải theo kiểu này.  Liên quan đến tích phân còn có vấn đề tính diện tích, thể tích, chiều dài của một cung, …. Về vấn đề này, chúng tôi nhận thấy đổi biến xuất hiện ở khắp nơi. Tuy nhiên, ở đây người ta chỉ dùng phép đổi biến theo kiểu thiết lập hàm hợp để tính các tích phân. Hiện tượng đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi : ngoài suy luận mà chúng tôi vừa nói trên về việc vẽ đồ thị hàm số, phải chăng đổi biến theo quan điểm HH không có ảnh hưởng gì khác đến GT ? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi vượt ra ngoài phạm vi các vấn đề về hàm số một biến số, tham khảo thêm những giáo trình có nghiên cứu các hàm số nhiều biến số. Thật thú vị, chính ở bài toán tính tích phân hai lớp  f  x, y dxdy của hàm hai biến f(x, y) xác định trên một miền D, chúng tôi thấy D
đổi biến theo quan điểm HH tác động khá nhiều trong trường hợp D là một phần (hay toàn bộ) hình tròn, thậm chí một phần (hay toàn bộ) ellip. Cũng như thế, đổi biến theo quan điểm HH còn có mặt trong lời giải nhiều bài toán tính tích phân  f(x, y, z)dxdydz của hàm ba biến f(x, y, z) xác định trên V miền V khi V là một phần của hình cầu hay hình trụ. Tất nhiên, phép đổi trục ở đây không phải là từ hệ tọa độ trực chuẩn này sang hệ tọa độ trực chuẩn kia, mà là từ một hệ tọa độ trực chuẩn sang một hệ toạ độ cực trong trường hợp tích phân của hàm hai biến, và sang hệ tọa độ cầu trong trường hợp tích phân của hàm ba biến. Do khuôn khổ của luận văn và do chương trình GT của phổ thông không đề cập đến hàm số nhiều biến số, chúng tôi sẽ không đưa ra ở đây những ví dụ minh họa. Bạn đọc có thể tìm thấy chúng trong mọi giáo trình GT hàm nhiều biến. Trở lại với GT hàm một biến, ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến kết luận : về mặt lý thuyết mà nói, đối với vấn đề tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm một biến, thực ra trong một số trường hợp, bằng cách đổi hệ tọa độ, ta có thể đưa về một tích phân đơn giản hơn. Hơn thế, việc đặt tương ứng đổi biến bởi đổi hệ trục tọa độ còn cho phép dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một số phương trình vốn khá phức tạp nếu biện luận với các đồ thị xét trong hệ tọa độ ban đầu. Kết luận này sẽ được chúng tôi lưu ý khi phân tích sách giáo khoa ở chương 2 và xây dựng tình huống thực nghiệm ở chương 3. III. Kết luận Từ việc phân tích hai giáo trình dành cho sinh viên khoa toán trường đại học sư phạm chúng tôi rút ra ba kết luận sau :  Đổi biến theo quan điểm GT không tác động vào phạm vi HH, chỉ xuất hiện trong phạm vi GT. Ở đây ta có thể gặp nó trong nhiều tổ chức toán học. Đó là những tổ chức gắn liền với các kiểu nhiệm vụ : - Tìm đạo hàm của hàm số ; - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (xét chiều biến thiên của hàm số, cung lồi lỏm, điểm uốn, trong đó tinh đạo hàm được xem là một kiểu nhiệm vụ con) - Tìm nguyên hàm, tính tích phân xác định.  Đổi biến theo quan điểm HH xuất hiện ở cả hai phạm vi HH và GT.
Trong HH, đổi biến theo quan điểm này ẩn chứa trong công thức đổi mục tiêu. Công thức đó được sử dụng để thiết lập phương trình các phép biến đổi afin và dời hình. Hai kiểu nhiệm vụ chủ yếu được giải quyết bằng kỹ thuật gắn liền với đổi biến theo quan điểm HH là : - lập phương trình các phép biến đổi afin trong không gian afin, cac phép dời hình trong không gian oclit, - đưa phương trình các siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc. Trong GT, đổi biến theo quan điểm HH có thể tác động ít nhất ở ba nội dung : khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích phân. - Đối với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một biến số, đổi biến theo quan điểm HH mang lại một kỹ thuật cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ xác định tính đối xứng (qua một điểm hay qua một đường thẳng) của đồ thị hàm số. - Vì đổi biến theo quan điểm HH có thể xuất hiện khi vẽ đồ thị của hàm số nên nó cũng có thể là yếu tố kỹ thuật trong hai tổ chức toán học gắn liền với hai kiểu nhiệm vụ «biện luận số nghiệm của một phương trình» và «tìm nghiệm gần đúng của một phương trình». - Đối với bài toán tính tích phân, đổi biến theo quan điểm HH là một trong những kỹ thuật cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một số đường cong thường gặp. Ba phần này bao hàm cả những tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi vừa nêu trên khi nói về phạm vi tác động của quan điểm GT.  Tuy vậy, trong giáo trình GT mà chúng tôi xem xét, tác động của quan điểm HH khá yếu ớt. Trở về với mục đích nghiên cứu đã được thể hiện rõ qua tên của luận văn (‘‘Đổi biến : quan hệ giữa GT và HH trong dạy học toán ở trường phổ thông’’), chúng tôi thấy rằng cần phải tập trung nghiên cứu việc dạy học ở lớp 12. Trong thực tế, chương trình lớp 12 đề cập đến hầu hết kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi đã nêu trên : tính đạo hàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích phân. Và như chúng tôi tổng kết lại trong bảng dưới đây những kết qủa thu được từ nghiên cứu tri thức luận, trừ kiểu nhiệm vụ tinh đạo hàm, kỷ thuật giải quyết ba kiểu nhiệm vụ còn lại đều có thể được tạo thành từ đổi biến theo quan điểm này hay quan điểm kia.