ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
THÂN NGỌC THÀNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội – Năm 2016
Mục lục
Mở đầu 2
1 Các kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian hàm Lp(Ω),1≤p < ∞. . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian Wl,p(Ω) (1≤p < +∞;l∈N) . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Không gian Wl,p
0(Ω) (1≤p < +∞;l∈N) . . . . . . . . . . . 6
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Không gian C(Ω), Cl(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Không gian C0,γ(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Không gian Cl,γ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Định lý Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của phương trình ellip-
tic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Định lý Leray-Schauder về điểm bất động của một họ các
ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai 12
2.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Bài toán Dirichlet 12
2.1.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . 12
2.1.2 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp lcủa nghiệm qua các
độ lớn và đạo hàm cấp một của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Đánh giá chuẩn Holder của ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên . . . . . 17
2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên toàn miền . . 19
2.6 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận 26
Tài liệu tham khảo 27
1
MỞ ĐẦU
Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được
của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sang
trường hợp hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài
"Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai".
Luận văn được chia làm hai chương:
•Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
•Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp
hai.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,
Holder, Định lí Leray-Schauder để làm cơ sở chứng minh định lí tồn tại nghiệm
cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Chương 2 - nội dung chính
của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến
tính cấp hai. Xây dựng và chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho hệ. Cuối
cùng chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ bằng cách áp dụng Định lí Leray-Schauder.
Tài liệu tham khảo chính cho luận văn là tài liệu [2].
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Thầy luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt quá trình tìm hiểu đề
tài. Sự nhiệt tình đó đã động viên em rất nhiều để có thể hoàn thành luận văn
này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
2
MỞ ĐẦU
Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2016
Tác giả
Thân Ngọc Thành
3
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1 Không gian hàm Lp(Ω),1≤p < ∞
Định nghĩa 1.1. Lp(Ω) là không gian Banach các hàm đo được uxác định trên
Ω, nhận giá trị thực và p - khả tích sao cho
Z
Ω
|u(x)|pdx < +∞.
Chuẩn được định nghĩa trong không gian Lp(Ω) là
||u(x)||Lp(Ω) =
Z
Ω
|u(x)|pdx
1
p
,
trong đó |u(x)| là giá trị tuyệt đối của u(x).
Khi p= +∞, L∞(Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ωvới chuẩn
||u||∞= ess sup
Ω
|u(x)| ≡ inf{M;|u(x)| ≤ Mhầu khắp nơi trong Ω}.
Khi p= 2, L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)L2(Ω) =Z
Ω
u(x).v(x)dx,
(u, u) = ||u||2=Z
Ω
|u(x)|2dx.
Nhận xét 1.1. Nếu f∈L2(Ω); g∈L2(Ω) thì
Z
Ω
fgdx
≤Z
Ω
|fg|dx ≤
Z
Ω
|f|2dx
1
2
Z
Ω
|g|2dx
1
2
4