Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> -----------------------<br /> <br /> THÂN NGỌC THÀNH<br /> <br /> HỆ PHƯƠNG TRÌNH<br /> ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI<br /> <br /> Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH<br /> Mã số:<br /> <br /> 60.46.01.02<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN<br /> <br /> Hà Nội – Năm 2016<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 5<br /> 6<br /> 7<br /> 7<br /> 7<br /> 8<br /> 8<br /> 8<br /> <br /> .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 2<br /> <br /> Các kiến thức chuẩn bị<br /> 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.1.1 Không gian hàm Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . . .<br /> 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . .<br /> l,p<br /> 1.1.3 Không gian W0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . .<br /> 1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.1 Không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.2 Không gian C 0,γ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.3 Không gian C l,γ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3 Định lý Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3.3 Định lý Leray-Schauder về điểm bất động của một họ các<br /> ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> . 9<br /> . 10<br /> <br /> Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính<br /> cấp hai<br /> 2.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Bài toán Dirichlet<br /> 2.1.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . .<br /> 2.1.2 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2 Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp l của nghiệm qua các<br /> độ lớn và đạo hàm cấp một của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.3 Đánh giá chuẩn Holder của ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên . . . . .<br /> 2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên toàn miền . .<br /> 2.6 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> 12<br /> 12<br /> 12<br /> 13<br /> 14<br /> 17<br /> 19<br /> 22<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> 26<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 27<br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được<br /> của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sang<br /> trường hợp hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn<br /> của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài<br /> "Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai".<br /> Luận văn được chia làm hai chương:<br /> • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.<br /> • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp<br /> <br /> hai.<br /> Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,<br /> Holder, Định lí Leray-Schauder để làm cơ sở chứng minh định lí tồn tại nghiệm<br /> cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Chương 2 - nội dung chính<br /> của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến<br /> tính cấp hai. Xây dựng và chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho hệ. Cuối<br /> cùng chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ bằng cách áp dụng Định lí Leray-Schauder.<br /> Tài liệu tham khảo chính cho luận văn là tài liệu [2].<br /> Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận<br /> văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp<br /> ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.<br /> Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến<br /> Ngoạn. Thầy luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt quá trình tìm hiểu đề<br /> tài. Sự nhiệt tình đó đã động viên em rất nhiều để có thể hoàn thành luận văn<br /> này.<br /> Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,<br /> Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành<br /> bản luận văn này.<br /> Em xin chân thành cảm ơn!<br /> 2<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> <br /> Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2016<br /> Tác giả<br /> <br /> Thân Ngọc Thành<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương 1<br /> <br /> Các kiến thức chuẩn bị<br /> 1.1<br /> <br /> Không gian Sobolev<br /> <br /> 1.1.1<br /> <br /> Không gian hàm Lp (Ω),<br /> <br /> 1≤p