Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân có xung và ứng dụng trong mạng Nơron thần kinh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bản luận văn này tác giả trình bày tính chất ổn định của các hệ tuyến tính, tựa tuyến tính và các hệ tuyến tính hóa được nhờ phương pháp biến phân. Ngoài các tiêu chuẩn ổn định theo Lyapunov, trong luận văn đã đề cập đến khái niệm ổn định ngặt và định lý tương ứng về điều kiện đủ để hệ tuyến tính không ôtônôm có nhiễu là ổn định tiệm cận đó là nội dung chương 1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân có xung và ứng dụng trong mạng Nơron thần kinh

Môc lôc 1. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh vµ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n 6 1.1. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . 6 1.1.1. §Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. C«ng thøc biÓu diÔn nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. TÝnh æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . 9 1.2.1. C¸c kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Sù æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt 10 1.2.3. Sù æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh víi ma trËn h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Bµi to¸n tuyÕn tÝnh hãa æn ®Þnh cña hÖ «t«n«m vµ vÝ dô vÒ sù æn ®Þnh cña vÞ trÝ c©n b»ng cña con l¾c ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Ph-¬ng ph¸p biÕn ph©n ®èi víi hÖ phi tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. TÝnh æn ®Þnh ngÆt cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . 21 1.6. Ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov ®Ó nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1. C¸c kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm . . . 29 1.6.2. Ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Sù æn ®Þnh cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung vµ øng dông trong 1
2 m¹ng N¬ron thÇn kinh 35 2.1. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung vµ tÝnh tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung d¹ng tæng qu¸t . . . . . . . . . 36 2.1.2. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung 36 2.2. Tiªu chuÈn so s¸nh nghiÖm ®èi víi ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung . . . 39 2.3. TÝnh æn ®Þnh cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm cã xung . . . . . . . . . . 41 2.4. ¸p dông cho m¹ng n¬ron thÇn kinh víi xung h÷u h¹n cã chËm thay ®æi 44 2.4.1. Sù æn ®Þnh cña mét n¬ron thÇn kinh . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2. Sù æn ®Þnh cña m¹ng c¸c n¬ron thÇn kinh . . . . . . . . . . . 46
3 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®-îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh d-íi sù h-íng dÉn tËn t×nh cña PGS. TS. §Æng §×nh Ch©u.T«i muèn bµy tá sù c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn ban chñ nhiÖm Khoa vµ c¸c ThÇy gi¸o, C« gi¸o trong Khoa To¸n-C¬-Tin häc, tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §H Quèc gia Hµ Néi ®· ®éng viªn, khuyÕn khÝch, chia sÎ kinh nghiÖm vµ h-íng dÉn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc võa qua. Trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®-îc sù chØ b¶o tËn t×nh cña c¸c thÇy c« vµ b¹n bÌ ®ång nghiÖp.
4 Lêi më ®Çu C¸c ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®-îc x©y dùng vµ hoµn thiÖn bëi nhµ to¸n häc Nga A.Lyapunov tõ ®Çu thÕ kû XIX. Trong b¶n luËn v¨n tiÕn sÜ ®-îc c«ng bè n¨m 1882, Lyapunov ®· tr×nh bµy c¸c ph-¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn. C¸c ph-¬ng ph¸p ®ã ®· ®-îc øng dông réng r·i trong khoa häc kü thuËt ®Æc biÖt lµ ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov vµ ph-¬ng ph¸p xÊp xØ thø nhÊt. Nhê qu¸ tr×nh tuyÕn tÝnh hãa ( ph-¬ng ph¸p biÕn ph©n ), trong nhiÒu tr-êng hîp chóng ta cã thÓ ®-a viÖc xÐt tÝnh æn ®Þnh cña hÖ phi tuyÕn vÒ viÖc nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ tùa tuyÕn tÝnh. Trong b¶n luËn v¨n nµy chóng t«i tr×nh bµy tÝnh chÊt æn ®Þnh cña c¸c hÖ tuyÕn tÝnh, tùa tuyÕn tÝnh vµ c¸c hÖ tuyÕn tÝnh hãa ®-îc nhê ph-¬ng ph¸p biÕn ph©n. Ngoµi c¸c tiªu chuÈn æn ®Þnh theo Lyapunov, trong luËn v¨n ®· ®Ò cËp ®Õn kh¸i niÖm æn ®Þnh ngÆt vµ ®Þnh lý t-¬ng øng vÒ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã nhiÔu lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®ã lµ néi dung ch-¬ng 1. Trong ch-¬ng 2 chóng t«i tiÕp tôc tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov vµ ph-¬ng ph¸p xÊp xØ thø nhÊt cña Lyapunov cho ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm cã xung. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm cã xung cã nhiÒu øng dông trong thùc tÕ. H-íng nghiªn cøu nµy b¾t ®Çu ®-îc quan t©m tõ n¨m 2002 vµ hiÖn nay ®ang ®-îc nhiÒu nhµ khoa häc trªn thÕ giíi quan t©m. Xin phÐp ®-îc liÖt kª mét sè t¸c gi¶ tiªu biÓu nh- M.Benchora[12][13], J.Henderson[12], G.T. Stamov vµ I.M. Stamov[11], X. Liu[10], V. Lakshmikantham[3],... PhÇn cuèi cña luËn v¨n chóng t«i ®· tr×nh bµy mét øng dông cña ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov cho c¸c ph-¬ng tr×nh m« t¶ qu¸ tr×nh ho¹t ®éng cña m¹ng n¬ron thÇn kinh cã nhiÔu. Ngoµi viÖc x©y dùng c¸c vÝ dô minh häa chóng t«i ®· tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã xung trong ch-¬ng 2.
5 Danh môc c¸c ký hiÖu N TËp hîp c¸c sè nguyªn kh«ng ©m R TËp hîp c¸c sè thùc R+ TËp hîp c¸c sè thùc d-¬ng Rn Kh«ng gian n− chiÒu Rn+ Kh«ng gian mµ mçi phÇn tö cã n thµnh phÇn to¹ ®é thùc d-¬ng sup E(sup x) CËn trªn ®óng cña E x∈E inf E( inf x) CËn d-íi ®óng cña E x∈E lim sup Giíi h¹n trªn n→∞ lim inf Giíi h¹n d-íi n→∞ K TËp c¸c hµm f : R+ → R+ liªn tôc, t¨ng ngÆt vµ f (0) = 0 Ω1 TËp c¸c hµm f : R+ → R+ liªn tôc vµ f (s) ≥ s Ω2 TËp c¸c hµm f : R+ → R+ liªn tôc vµ f (s) > s Ω3 TËp c¸c hµm f : R+ → R+ liªn tôc, f (0) = 0 vµ f (s) > 0 víi s > 0
Ch-¬ng 1. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh vµ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n Trong ch-¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kiÕn thøc c¬ së vÒ hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n. Néi dung ch-¬ng nµy bao gåm c¸c ®Þnh nghÜa, kh¸i niÖm vµ c¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh , giíi thiÖu lý thuyÕt vÒ æn ®Þnh vµ tÝnh æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh vµ bµi to¸n tuyÕn tÝnh hãa æn ®Þnh. 1.1. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1.1.1. §Þnh lý tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t cã d¹ng:  x(t) ˙ = f (x(t)) t ∈ I = (b, ∞), (1.1.1) x(t ) = x , t > b 0 0 0 trong ®ã f : I × D → Rn , D lµ mét tËp më trong Rn . HÖ trªn ®-îc gäi lµ «t«n«m nÕu trong biÓu thøc vÕ ph¶i cña hÖ kh«ng phô thuéc vµo 6
7 t hay lµ:  x(t) ˙ = f (t, x(t)) t ∈ I = (b, ∞), x(t ) = x0 , t0 > b 0 §Þnh nghÜa 1.1.1. Hµm x(t) = x(t, t0, x0) ®-îc gäi lµ nghiÖm cña (1.1.1.) nÕu x(t) kh¶ vi liªn tôc tho¶ m·n: (i) (t, x(t)) ∈ I × D, (ii) x(t) tháa m·n (1.1.1.). NghiÖm cña (1.1.1.) ph¶i tháa m·n ph-¬ng tr×nh tÝch ph©n: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (1.1.2) t0 C¸c ®Þnh lý sau ®©y cho ta c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó sù tån t¹i duy nhÊt vµ kÐo dµi nghiÖm ra v« h¹n. §Þnh lý 1.1.1. (§Þnh lý Picard - Lindeloff). XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.1.1.) trong ®ã gi¶ sö D = {x ∈ Rn : ||x − x0|| < a, a > 0}, f : I × D → Rn liªn tôc theo t vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn Lipschitzian ®Þa ph-¬ng theo biÕn x tøc lµ : ∃K > 0 : ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ K||x − y||, t≥0 Khi ®ã víi mçi (t0, x0) ∈ I × D ta lu«n t×m ®-îc mét sè d > 0 sao cho hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.1.1.) cã nghiÖm duy nhÊt trªn kho¶ng [t0 − d, t0 + d]. (Chøng minh xem [1]) §Þnh lý 1.1.1 cã thÓ tiÕp tôc vµ th¸c triÓn nghiÖm trªn kho¶ng tiÕp theo. §Þnh lý sau sÏ ®¶m b¶o tÝnh kÐo dµi cña nghiÖm trong kho¶ng thêi gian v« h¹n. §Þnh lý 1.1.2. NÕu trong miÒn ||x − x0|| ≤ a < ∞, t ≥ t0 tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) f : I × D → Rn liªn tôc vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn Lipschitzian ®Þa ph-¬ng theo biÕn x tøc lµ: ∃K > 0 : ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ K||x − y||, t≥0 (ii) ||f (t, x0)|| ≤ N < ∞ khi ®ã mäi quü ®¹o kh«ng v-ît ra ngoµi miÒn con nµo ®ã ||x − x0|| ≤ a1 < a sÏ kÐo dµi ®-îc trªn kho¶ng thêi gian v« h¹n. (Chøng minh xem [1])
8 §Þnh lý 1.1.3. Gi¶ sö ||x|| < ∞, t ≥ t0 vµ tháa m·n ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||) trong Rr dr ®ã L(t) lµ mét hµm liªn tôc cã tÝnh chÊt lµ L(r) → ∞ khi r → ∞ r0 Khi ®ã mäi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1.1.1.) kÐo dµi ®-îc trªn kho¶ng thêi gian v« h¹n. (Chøng minh xem [1]) 1.1.2. C«ng thøc biÓu diÔn nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh d¹ng:  x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0 x(t ) = x , t ≥ 0, 0 0 0 trong ®ã A = (aij )n×n lµ ma trËn h»ng vµ hµm g : [0, +∞) → Rn lµ hµm kh¶ tÝch. Ký hiÖu T (t) = eAt lµ ma trËn mò khi ®ã nghiÖm cña hÖ trªn x¸c ®Þnh duy nhÊt trªn [0, +∞) ®-îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: (Xem [1]) Zt A(t−t0 ) x(t) = e x0 + eA(t−s) g(s)ds t0 §èi víi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m d¹ng:  x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0 x(t ) = x , t ≥ 0, 0 0 0 trong ®ã A(t) = (aij (t))n×n lµ hµm liªn tôc trªn R+ vµ g : [0, +∞) → Rn lµ hµm liªn tôc. NÕu A(t) lµ hµm liªn tôc vµ ||A(t)|| ≤ m(t), trong ®ã m(t) lµ hµm kh¶ tÝch th× khi ®ã hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh trªn sÏ cã nghiÖm duy nhÊt trªn [0, +∞). NghiÖm nµy ®-îc biÓu diÔn d-íi d¹ng: Zt x(t) = φ(t, t0)x0 + φ(t, s)g(s)ds t0 trong ®ã φ(t, s) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ: x(t) ˙ = A(t)x(t)
9 Ma trËn φ(t, s) tháa m·n ph-¬ng tr×nh ma trËn   d φ(t, s) = A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ 0, dt φ(t, t ) = I 0 Chó ý r»ng ma trËn φ(t, s) cã thÓ t×m ®-îc b»ng ph-¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp vµ hä c¸c ma trËn φ(t, s) tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y: φ(t, t) = E, φ(t, τ ) = φ(t, s).φ(s, τ ), t≥s≥τ φ(t, s) = [φ(t, s)]−1 1.2. TÝnh æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh 1.2.1. C¸c kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh §Þnh nghÜa 1.2.2. NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.1.1.) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh theo Lyapunov khi t → +∞ nÕu: ∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ = δ(t0, ε) > 0, sao cho : kx0k < δ ⇒ kx(t)k < ε, t > t0. §Þnh nghÜa 1.2.3. NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh (1.1.1.) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh ®Òu khi t → +∞ nÕu sè δ trong ®Þnh nghÜa (1.2.2) kh«ng phô thuéc vµo t0. §Þnh nghÜa 1.2.4. NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.1.1.) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn theo Lyapunov khi t → +∞ nÕu: 1. NghiÖm tÇm th-êng x = 0 lµ æn ®Þnh. 2. ∃∆ = ∆(t0) > 0, ∀kx0k < ∆ ⇒ lim kx(t)k = 0 t→+∞ §Þnh nghÜa 1.2.5. NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.1.1.) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu theo Lyapunov khi t → +∞ nÕu: 1. NghiÖm tÇm th-êng x = 0 lµ æn ®Þnh. 2. ∃∆ > 0(∆ kh«ng phô thuéc vµo t0 ), ∀kx0k < ∆ ⇒ lim kx(t)k = 0 t→+∞
10 1.2.2. Sù æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt XÐt hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: dx = A(t)x (1.2.3) dt §Þnh lý 1.2.4. Gi¶ sö φ = φ(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña (1.2.3). Khi ®ã: (1) x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh ⇔ ∃K > 0 : kφ(t)k < K, ∀t ∈ [t0, +∞). (2) x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ⇔ lim kφ(t)k = 0. t→+∞ (3) x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh ®Òu ⇔ −1 kφ(t)φ (s)k ≤ M, ∀t0 ≤ s ≤ t < +∞. (4) x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu ⇔ ∃K > 0, α > 0 sao cho kφ(t)φ−1(s)k < Ke−α(t−s), ∀t, s : t0 ≤ s ≤ t < ∞. Chøng minh. (1) Gi¶ sö φ(t0) = I (⇒) Gi¶ sö tån t¹i K > 0 : kφ(t)k ≤ K, ∀t ≥ t0. Víi mäi ε > 0 cho tr-íc chän δ = ε 2K th× víi mäi kx0k < δ ta lu«n cã: ε kx(t)k = kφ(t)x0k ≤ kφ(t)kkx0k ≤ Kkx0 k ≤ Kδ = . 2 ⇒ x(t) ≡ 0 æn ®Þnh. (⇐) Gi¶ sö x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh. Chän ε = K1 > 0 víi kx0 k < δ ∗ . Khi ®ã kx(t)k ≤ K1 , ∀t ≥ t0. ⇒ kφ(t)x0k ≤ K1 NÕu kx0k ≤ δ ∗ < 1 ⇒ sup kφ(t)x0k ≤ K1 . kx0 k
11 XÐt x(t) lµ mét nghiÖm tïy ý tháa m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(t0) = x0 6= 0 x(t) ∆ §Æt y(t) = kx(t0 )k 2 ⇒ ky(t0)k = ∆ 2 < ∆. ⇒ lim y(t) = 0 ⇔ lim x(t) = 0 t→+∞ t→+∞ ⇔ Mäi nghiÖm cña hÖ ®Òu tiÕn tíi 0 khi t → +∞⇒ lim kφ(t)k = 0. t→+∞ (⇐) Gi¶ sö lim kφ(t)k = 0. Khi ®ã mäi nghiÖm x(t) bÊt kú cña hÖ tiÕn vÒ 0 khi t→+∞ t → +∞. Ta cã x(t) liªn tôc trªn [t0, +∞) suy ra x(t) bÞ chÆn. Nh- vËy mäi nghiÖm cña hÖ ®Òu bÞ chÆn, suy ra nghiÖm æn ®Þnh khi t → +∞. H¬n thÕ n÷a theo gi¶ thiÕt mäi nghiÖm. ⇒ NghiÖm tÇm th-êng x(t) ≡ 0 cña hÖ lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. (4) x ≡ 0 æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu ⇔ ∃K > 0, α ≥ 0 sao cho kφ(t)φ−1 (s)k ≤ Ke−α(t−s) , ∀t, s ∈ [t0, +∞), s ≤ t (1.2.4) (⇒) Tõ (1.2.4) suy ra kφ(t)φ−1(s)k ≤ K, ∀t ≥ s ≥ t0 ⇒ x ≡ 0 lµ æn ®Þnh ®Òu. Ngoµi ra: kx(t)k = kφ(t)φ−1(s)x(s)k ≤ Kkx(s)ke−α(t−s), víi t → +∞, kx(s)k ≤ ∆0 ⇒ x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu. (⇐) Gi¶ sö x(t) ≡ 0 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu. x(t) ≡ 0 æn ®Þnh ®Òu ⇒ kφ(t)φ−1(s)k ≤ K ∀t > s ≥ t0. lim kx(t)k = 0 ( æn ®Þnh ®Òu ) ⇒ t1 > t0 víi ε > 0, ε < K, ∃T > t1 sao cho: t→+∞ kx(t)k < ε, ∀t > T . Ta cã: kφ(t)φ−1(s)k ≤ ε δ = θ, t ≥ T. Khi ®ã: kφ(t)φ−1 (t1)k = kφ(t)φ−1 (t1 + T )φ(t1 + T )φ−1(t1)k = kφ(t)φ−1 (t1 + 2T )φ(t1 + 2T )φ−1 (t + T )φ(t1 + T )φ−1(t1 )k = ... = kφ(t)φ−1 (t1 + nT )φ(t1 + nT )...φ(t1 + T )φ−1(t1 )k ≤ kφ(t)φ−1 (t1 + nT )k...kφ(t1 + T )φ−1(t1 )k ≤ Kθn lnθ = K.en T T lnθ ε = K.e−α.n.T víi α=− v× θ=
12 NhËn xÐt 1. Tõ ®Þnh lý 1.2.4 ta cã thÓ chØ ra r»ng mäi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt lµ æn ®Þnh khi vµ chØ khi mäi nghiÖm cña hÖ giíi néi. Nh-ng ®iÒu nµy l¹i kh«ng ®óng ®èi víi hÖ phi tuyÕn. §Ó chØ ra ®iÒu ®ã ta xÐt vÝ dô sau ®©y. VÝ dô 1.2.1. Ph-¬ng tr×nh v« h-íng: dy = 1+t−y dt cã nghiÖm kh«ng bÞ chÆn y0 = t. Bëi v×: y(t) = t + y(0)e−t , cho nªn nghiÖm y0 râ rµng lµ æn ®Þnh, h¬n n÷a lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. VÝ dô 1.2.2. XÐt ph-¬ng tr×nh v« h-íng: dx = sin2 x. dt tÝch ph©n ph-¬ng tr×nh trªn ta ®-îc: x = arctan(c tan x0 − t) víi x0 6= kπ vµ x = kπ víi x0 = kπ (k = 0, ±1, ±2, ... tÊt c¶ c¸c nghiÖm trªn ®Òu bÞ chÆn trªn (−∞, +∞) nh-ng nghiÖm x ≡ 0 kh«ng æn ®Þnh khi t → ∞ bëi v× x0 ∈ (0, π) bÊt kú ta sÏ cã: lim x(t) = π. t→+∞ NhËn xÐt 2. Tõ ®Þnh lý 1.2.4 ta dÔ dµng nhËn ®-îc hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1.2.3) æn ®Þnh tiÖm cËn khi vµ chØ khi mäi nghiÖm x(t), (t0 ≤ t < +∞) cña hÖ dÇn ®Õn kh«ng khi t → +∞, tøc lµ lim x(t) = 0. t→+∞
13 vÝ dô sau ®©y chØ ra r»ng ®èi víi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh mµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm dÇn tíi kh«ng kh«ng suy ra ®-îc nghiÖm tÇm th-êng æn ®Þnh. VÝ dô 1.2.3. HÖ  x˙ = x − t2xy 2 t y˙ = − y t Cã nghiÖm tÇm th-êng x = 0, y = 0. TÝch ph©n hÖ trªn ta ®-îc nghiÖm  x = C1te−C22 t y = C2 t NÕu chän t0 = 1 ta sÏ cã  x(t) = x(t0)te−y2 (t0 )(t−1) y = y(t0 ) t Râ rµng x(t) → 0, y(t) → 0 khi t → +∞ nh-ng víi δ > 0 bÊt kú khi x(t0) = δ 2 , y(t0) = δ ta sÏ cã 1 x 1 + 2 > e−1 δ Do ®ã nghiÖm x = 0, y = 0 kh«ng æn ®Þnh, h¬n n÷a kh«ng æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞. 1.2.3. Sù æn ®Þnh cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh víi ma trËn h»ng XÐt hÖ: dx = Ax (1.2.5) dt trong ®ã A = [ajk ]n×n lµ ma trËn h»ng. T-¬ng tù nh- ®èi víi ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m thuÇn nhÊt, ta kÝ hiÖu T (t) = eAt lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña (1.2.3) khi ®ã ta sÏ cã hÖ qu¶ sau
14 HÖ qu¶ 1.2.1. NghiÖm x(t) ≡ 0 cña (1.2.5) lµ (i) æn ®Þnh ®Òu ⇔ ∃K > 0 : kT (t)k < K, ∀t ∈ [t0, +∞). (i) æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu ⇔ lim kT (t)k = 0. t→+∞ Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ sö dông mét sè c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ x¸c lËp lªn phæ σ(A) cña A ®Ó xÐt tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña (1.2.5) c¸c ®Þnh lý sau ®©y ®· ®-îc chøng minh trong [4]. §Þnh lý 1.2.5. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1.2.5) víi ma trËn h»ng lµ æn ®Þnh khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng λj = λj (A) cña ma trËn A cã phÇn thùc kh«ng d-¬ng trong ®ã c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng cã phÇn thùc b»ng kh«ng lµ c¸c -íc s¬ cÊp ®¬n. NhËn xÐt 3. HÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi ma trËn h»ng A æn ®Þnh th× suy ra æn ®Þnh ®Òu. §Þnh lý 1.2.6. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1.2.5) víi ma trËn h»ng lµ æn ®Þnh tiÖm cËn khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng λj = λj (A) cña ma trËn A cã phÇn thùc ©m tøc lµ Reλj (A) < 0 NhËn xÐt 4. NÕu ta muèn chøng minh æn ®Þnh tiÖm cËn cña hÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi hÖ sè h»ng chóng ta kh¼ng ®Þnh r»ng tÊt c¶ c¸c nghiÖm λ1 , ..., λn cña ph-¬ng tr×nh det(A − λE) = 0 cã phÇn thùc ©m. Chóng ta cã thÓ ¸p dông tiªu chuÈn HócvÝt lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh trªn cã phÇn thùc ©m. VÝ dô 1.2.4. XÐt hÖ:    x˙ = −x + αy   y˙ = βx − y + αz    z˙ = βy − z
15 Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã d¹ng
λ + 1 α 0