Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: Chương một trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach, chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert và một số ví dụ áp dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2014
Mục lục 1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach 5 1.1 Toán tử tích phân Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach . . . . . . . . 11 1.2.2 Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa . . . . . . . . 15 1.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được . . . . . . . . . . 20 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không gian Hilbert 23 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam giác trên trong tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Khái niệm tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên . . . . . . . 32 2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam giác trên trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . 37 2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert . . . . 37 1
2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một lớp các PTVP trong không gian Hilbert . 40 2.4 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2
Mở Đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm của các phương trình vi phân (PTVP) trong không gian Hilbert có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân và trong các bài toán ứng dụng (xem [3]). Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP trong không gian Banach nói chung và PTVP trong không gian Hilbert được phát triển khá mạnh mẽ vì nó đáp ứng được nhiều đòi hỏi đặt ra trong các mô hình ứng dụng . Đặc biệt là các bài toán mô tả bằng toán học các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình sinh trưởng và phát triển của các loài sinh vật (xem[6]). Trong bản luận văn này, tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả liên quan tới sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và tính chất nghiệm của chúng . Phương pháp nghiên cứu cơ bản của tôi là sử dụng tính chất của toán tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki trong không gian Hilbert để nghiên cứu sự tồn tai duy nhất nghiệm của các PTVP ở dạng phương trình toán tử trong không gian hàm . Để nghiên cứu tính chất nghiệm của PTVP trong không gian Hilbert, tôi đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov cho các PTVP dạng tam giác trên trong không gian Hilbert . Trong phần cuối của luận văn, tôi đã trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các PTVP phi tuyến và một số ví dụ ứng dụng . Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: chương một trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach, chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert và một số ví dụ áp dụng. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng Đình Châu. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về 3
các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Đồng thời, tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Tôi muốn gửi lời cám ơn tới các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa vững chắc về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập để tôi có thể hoàn thành xong bản luận văn này . Mặc dù, tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đỗ Thị Hường 4
Chương 1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach 1.1 Toán tử tích phân Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính trong không gian Banach Giả sử (X, ||.||) là một không gian Banach. Xét PTVP   dx = f (t, x) dt (1.1)  x(t ) = x 0 0 trong đó t ∈ [a; b], x : [a, b] → X là hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b] × X → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức là tồn tại L : [a, b] → R+ khả tích địa phương sao cho với mọi x, y ∈ X ta có ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y|| (1.2) Để chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của (1.1) sau đây chúng ta sẽ trình bày khái niệm toán tử tích phân Volterra và chuẩn Bielecki Định nghĩa 1.1. Toán tử Volterra Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) xác định bởi Zt V (x)(t) = f (t, s, x(s))ds a Trong đó x ∈ C([a, b], X) là hàm trừu tượng cần tìm, V(x) là toán tử tích phân Volterra 5
Kí hiệu C([a, b], X) là tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [a; b] vào X. Kí hiệu chuẩn Bielecki Rt ||x(t)||B,p = sup e−p a L(s)ds ||x(t)||, p > 0 a≤t≤b Ta dễ dàng thấy rằng nếu x = x(t), t ∈ [a; b] là nghiệm của (1.1) thì Zt x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ (1.3) t0 Rt Kí hiệu V [x(t)] = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Khi đó , ta có toán tử tích phân Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X) Bổ đề 1.1. Trong không gian C([a, b], X) toán tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X) thỏa mãn điều kiện sau 1 ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)|| p trong đó t ∈ [a; b], p > 1 Chứng minh. Ta có Zt Zt ||V [x(t)] − V [y(t)]|| = ||x0 + f (τ, x(τ ))dτ − (x0 + f (τ, y(τ ))dτ )|| t0 t0 Zt = || [f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ ))]dτ || t0 Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có Zt ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ L(τ )||x(τ ) − y(τ )||dτ t0 6
Do đó Rt ||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p a L(s)ds ||V (x)(t) − V (y)(t)|| a≤t≤b Rt Zt = sup e−p a L(s)ds || [f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds|| a≤t≤b a Z t Rt ≤ sup e−p a L(s)ds ||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds a≤t≤b a Rt Zt ≤ sup e−p a L(s)ds L(s)||x(s) − y(s)||ds a≤t≤b a Zt Rs Rs Rt p L(u)du −p L(u)du −p L(s)ds = sup e a L(s)e a [e a ||x(s) − y(s)||]ds a≤t≤b a Zt Rs Rt p L(u)du −p L(s)ds ≤ ||x − y||B,p sup e a L(s)e a ds a≤t≤b a 1 ≤ ||x − y||B,p p Giả sử G là một miền mở trong X và f : [a, b] × G → X, (t0 , x0 ) ∈ G0 là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2). Xét hình hộp Q = {(t, x)/t0 − α ≤ t ≤ t0 + α, ||x − x0 || ≤ β}, trong đó α, β đủ nhỏ để [t0 − α; t0 + α] ⊂ [a; b], G0 ⊂ G. Xét tương ứng V : C([t0 − α; t0 + α], G0 ) → C([t0 − α; t0 + α], G0 ). Rt Đặt V [x(t)] = f (τ, x(τ ))dτ . t0 Bổ đề 1.2. a) Tương ứng V là một ánh xạ từ ([t0 − α; t0 + α], G0) vào ([t0 − α; t0 + α], G0 ). 1 b) ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)|| p 7
Chứng minh. Zt ||V [x(t)] − V [x0 ]|| = ||x0 + f (τ, x(τ ))dτ − x0 || t0 Zt = || f (τ, x(τ ))dτ || t0 Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có Zt ||V [x(t)] − V [x0 ]|| ≤ L(τ )||x(τ )||dτ t0 1 Chọn α = với sup |L(t)| ≤ L0 < +∞ L0 a≤t≤b Do đó Rt ||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p a L(s)ds ||V (x)(t) − V (y)(t)|| a≤t≤b Rt Zt = sup e−p a L(s)ds || [f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds|| a≤t≤b a Rt Zt ≤ sup e−p a L(s)ds ||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds a≤t≤b a Rt Zt ≤ sup e−p a L(s)ds L(s)||x(s) − y(s)||ds a≤t≤b a Zt Rs Rs Rt p L(u)du −p L(u)du −p L(s)ds = sup e a L(s)e a [e a ||x(s) − y(s)||]ds a≤t≤b a Zt Rs Rt p L(u)du −p L(s)ds ≤ ||x − y||B,p sup e a L(s)e a ds a≤t≤b a 1 ≤ ||x − y||B,p p Nguyên lí ánh xạ co: Giả sử A : X → X hoặc A : S → S trong đó S = {x/||x − x0 || ≤ β} thỏa mãn ||Ax − Ay|| ≤ L||x − y|| 8
với 0 < L < 1. Khi đó, phương trình x˙ = Ax có nghiệm duy nhất Zt x(t) = x0 + Ax(τ )dτ t0 Định lý 1.1. (Định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm) Giả sử f : [a, b] × X → X là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2). Khi đó, phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Xét phương trình Zt x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Đặt x(t) = V [x(t)]. Khi đó V : C([a, b], X) → C([a, b], X). Áp dụng bổ đề 1.2 ta được 1 ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)|| p Zt Rs Zt Rs p L(u)du 1 p L(u)du L(s)e a ds = d(e a ) p a a Rs
s=t
1 p L(u)du
= e a
p
s=a Rt Rt 1 p L(u)du 1 1 p L(u)du = e a − < e a p p p 1 Do đó, khi lấy p > 1 thì V là ánh xạ co theo chuẩn Bielecki với hệ số co . Vậy p theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất. Xét phương trình vi phân ( x(t) ˙ = f (t, x) (1.4) x(t0 ) = x0 Định lý 1.2. Xét f : [a, b] × G → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y|| trong đó L(t) : [a, b] → R+ khả tích địa phương mà sup |L(t)| ≤ L0 < +∞, G là a≤t≤b một miền mở trong X. Khi đó , phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất. 9
Chứng minh. Xét V : C([t0 − h, t0 + h], G0 ) → C([t0 − h, t0 + h], G0 ) Rt với h > 0 đủ nhỏ, (t0 , x0 ) ∈ G0 , G0 ⊂ G. Đặt V [x(t)] = x0 + f (τ, x(τ ))dτ . Khi đó, t0 ta có: Zt ||V [x(t)] − x0 || = || f (τ, x(τ ))dτ || t0 Z t ≤ ||f (τ, x(τ ))||dτ ≤ |L(t)|||x(t)||.(t − t0 ) t0 ≤ sup |L(t)|||x(t)||.(t − t0 ) ≤ L0 ||x(t)||.(t − t0 ) a≤t≤b ≤ L0 (||x0 || + β).(t − t0 ) β Chọn h = min α, ⇒ V [x(t)] ∈ G0 . Khi đó, áp dụng bổ đề 1.2 ta L0 (||x0 || + β) được V [x(t)] là một ánh xạ co, theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất. 1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất Trong X xét phương trình x˙ = A(t)x (1.5) với t ∈ R+ , x : R+ → X là hàm cần tìm, A(t) : R+ → L(X) là toán tử bị chặn. Ta xét bài toán Cauchy ( x(t) ˙ = A(t)x(t) x(t0 ) = x0 hay Zt x(t) = x0 + A(τ )x(τ )dτ t0 Hệ quả 1.1. Giả sử A(t)x : [0; T ] −→ X là đo được mạnh và khả tích Bochner. Khi đó, nghiệm của (1.5) là tồn tại duy nhất. Chứng minh. Do giả thiết A(t)x : [0; T ] −→ X là đo được mạnh nên tồn tại K0 > 0 sao cho ZT ||A(τ )||dτ ≤ K0 < +∞ 0 10
Khi đó, áp dụng định lí (1.1) ta có điều cần chứng minh. 1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất Trong X xét phương trình ( x(t) ˙ = A(t)x + f (t) (1.6) x(t0 ) = x0 với t ∈ R+ , x : R+ → X là hàm cần tìm, A(t) : R+ → L(X) là toán tử bị chặn và f (t) : R+ → X là hàm đo được mạnh và khả tích Bochner. Lấy T > 0, trên đoạn [0; T ] xét trên C([0, T ], X) phương trình Zt Zt x(t) = x0 + A(τ )x(τ )dτ + f (τ )dτ (1.7) t0 t0 Rt Kí hiệu g(t) = x0 + f (τ )dτ . t0 Xét phương trình Zt x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ (1.8) t0 Hệ quả 1.2. Nghiệm của (1.8) tồn tại duy nhất trên đoạn [a, b] Chứng minh. Đặt Zt V [x(t)] = g(t) + A(τ )x(τ )dτ t0 Khi đó, V [x(t)] là ánh xạ co, do đó theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình x(t) = V [x(t)] có nghiệm duy nhất 1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach Xét phương trình x(t) ˙ = A(t)x + f (t, x) (1.9) với A(t) là toán tử tuyến tính liên tục và liên tục theo t và f (t, x) : [a, b] × X → X là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) 11
Hệ quả 1.3. Phương trình vi phân (1.9) luôn có nghiệm duy nhất Chứng minh. Đặt F (t, x) = A(t)x + f (t, x). Ta có: ||F (t, x) − F (t, y)|| = ||A(t)x + f (t, x) − A(t)y − f (t, y)|| = ||[A(t)(x − y)] + [f (t, x) − f (t, y)]|| ≤ ||A(t) + L(t)||.||x − y|| ≤ (||A(t)|| + ||L(t)||).||x − y|| Do A(t) là hàm đo được mạnh và khả tích địa phương, L(t) là hàm khả tích địa phương nên theo định lí tồn tại duy nhất nghiệm thì phương trình (1.9) có nghiệm duy nhất. Sau đây, chúng ta sẽ chỉ rõ công thức nghiệm và một vài đánh giá nghiệm trên khoảng vô hạn của phương trình vi phân sau trong không gian Banach X : dx = A(t)x + f (t), t ∈ R+ (1.10) dt Giả sử hàm x(t), A(t) ∈ L(X) nhận giá trị trong X với X là đo được mạnh và khả tích Bochner trên tập con hữu hạn của R+ . Nghiệm của phương trình tích phân Zt Zt x(t) = x0 + A(τ )x(τ )dτ + f (τ )dτ (1.11) t0 t0 với x0 = x(t0 ) là nghiệm của (1.10). Nếu f (t) liên tục và A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả vi liên tục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I . Xét phương trình vi phân tổng quát Zt x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ (1.12) t0 Rt với g(t) = x0 + f (τ )dτ , ta sẽ chỉ ra rằng (1.12) có một nghiệm liên tục trên t0 đoạn hữu hạn [a; b] bất kì nằm trong I. Đặt C(X; [a; b]) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b] nhận giá trị trong X và chuẩn |||x||| = max ||x(t)|| t∈[a;b] 12
∞ Bổ đề 1.3. Kí hiệu V (t, s) = P Vn (t, s) n=0 1. x(t) = V (t, s) là nghiệm của phương trình Zt x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ s 2. Nếu sup ||A(t)|| ≤ M0 thì ta có: t0 ≤t1 ≤τ1 M0n (t − t0 )n ||Vn|| ≤ n! Rt1 3. Nếu ||A(t)||dt ≤ M1 thì ta có: t0 M1n ||Vn || ≤ n! Chứng minh. 1. Giả sử τ1 > t0 và s ∈ [t0 , τ1 ], ta xét toán tử V : [s, τ1 ] → X xác định bởi: Zt V [x(t)] = g(t) + A(τ )x(τ )dτ s với s ∈ [t0 , τ1 ], τ1 ∈ [t0 , +∞). Ta lập dãy xấp xỉ {Vn (t)}∞ 0 như sau: V0 (t) = g(t) Zt V1 (t)x = A(τ )V0 (τ )xdτ s .......... Zt Vn (t)x = A(τ )Vn−1 (τ )xdτ s ∞ P Xét chuỗi Vn (t). Kí hiệu M0 = sup ||A(t)|| < +∞. n=0 s