Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là thông qua tổng hợp các dạng toán về bất đẳng thức trong tam giác giải được bằng phương pháp áp dụng tính chất của hàm lồi, trình bày cách thức vận dụng vào những bài toán cụ thể hình thành và phát triển kỹ năng giải toán, kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu HÀ NỘI – 2020
LỜI CẢM ƠN Từ thực tiễn có thể thấy, để có được sự thành công trong bất kỳ lĩnh vực nào, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân còn cần sự giúp đỡ, hỗ trợ của những người xung quanh. Trước hết, tác giả xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Ban Giám hiệu nhà trường cùng các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dành nhiều thời gian, tâm huyết của mình để giúp tác giả mở rộng được kiến thức trong suốt quá trình được đào tạo tại nhà trường. Thời gian qua, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu đã luôn nhiệt tình, tận tâm hướng dẫn và chỉ bảo để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Qua các cuộc trao đổi hay làm việc, thầy đã luôn rất chi tiết và cụ thể các nội dung liên quan đến đề tài để giúp tác giả hoàn thiện được luận văn này. Tác giả xin được trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy và mong muốn tiếp tục được thầy giúp đỡ trong những thời gian tiếp theo. Trong quá trình học tập và đặc biệt là trong thời gian làm luận văn này, bản thân tác giả cũng đã luôn luôn nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của đồng nghiệp, bạn bè. Đặc biệt phải kể đến sự chia sẻ của các bạn học viên của lớp Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán QH-2017-S hay sự ủng hộ, khích lệ của các thầy cô cùng công tác với tác giả tại trường THPT Giao Thủy đã tạo nguồn cổ vũ, động viên to lớn giúp tác giả hoàn thành luận văn này. Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020 Tác giả Đặng Thị Phương Thảo
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3 4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4 6. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 4 7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4 8. Đóng góp của đề tài................................................................................... 5 9. Cấu trúc của luận văn ................................................................................ 5 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............... 6 1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu............................................................... 6 1.2. Cơ sở thực tiễn ....................................................................................... 7 1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông . 8 1.3.1. Khái niệm năng lực ......................................................................... 8 1.3.2. Phân loại năng lực .......................................................................... 8 1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ thông .......................................................................................................... 9 1.3.4. Năng lực toán học ......................................................................... 10 1.4. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 11 1.4.1. Khái niệm kỹ năng......................................................................... 11 1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng ................................... 12 1.4.3. Kỹ năng giải toán .......................................................................... 12 1.4.4. Căn cứ để hình thành các biện pháp phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông ........................................................... 13
1.4.5. Các biện pháp chính nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông......................................................................... 14 1.4.6. Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh ............................................................................. 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .............................................................................. 20 CHƢƠNG 2. DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH ......................................................................................................................... 21 2.1. Hàm lồi, lõm......................................................................................... 21 2.1.1. Hàm đơn điệu ................................................................................ 21 2.1.2. Hàm lồi, lõm .................................................................................. 21 2.1.3. Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) ........................................... 23 2.2. Tính lồi, lõm của các hàm số lượng giác ............................................. 25 2.2.1. Tính đơn điệu của các hàm số lượng giác .................................... 25 2.2.2. Tính lồi, lõm của hàm số lượng giác ............................................ 26 2.3. Bất đẳng thức lượng giác liên quan đến các góc của tam giác ............ 26 2.3.1. Một số đẳng thức và bất đẳng thức liên quan đến các góc của tam giác .......................................................................................................... 26 2.3.2. Độ gần đều và sắp thứ tự của một dãy các tam giác .................... 29 2.4. Vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh.......... 31 2.4.1. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng trong tam giác .......................................................................... 31 2.4.2. Áp dụng bất đẳng thức Jensen ...................................................... 41 2.4.3. Áp dụng bất đẳng thức Karamata ................................................. 49 2.4.4. Áp dụng tính đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) ..................................... 53
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .............................................................................. 60 CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 61 3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................ 61 3.2. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 61 3.3. Nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 61 3.4. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm ..................................................... 62 3.4.1. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ....................... 62 3.4.2. Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm ................................. 63 3.4.3. Đề kiểm tra, đánh giá học sinh ..................................................... 63 3.5. Triển khai thực nghiệm ........................................................................ 64 3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................. 64 3.6.1. Kết quả bài kiểm tra, đánh giá...................................................... 64 3.6.2. Kết quả sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá........................... 68 3.6.3. Kết quả phiếu điều tra ý kiến học sinh .......................................... 70 3.6.4. Tổng hợp, phân tích số liệu và kết luận ........................................ 71 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .............................................................................. 74 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 75 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 BĐT Bất đẳng thức 2 CM Chứng minh 3 ĐC Đối chứng 4 GV Giáo viên 5 HS Học sinh 6 KN Kỹ năng 7 KNGT Kỹ năng giải toán 8 KT Kiểm tra 9 LG Lượng giác 10 NL Năng lực 11 PPDH Phương pháp dạy học 12 PPDHTC Phương pháp dạy học tích cực 13 SGK Sách giáo khoa 14 TN Thực nghiệm 15 TNSP Thực nghiệm sư phạm 16 THPT Trung học phổ thông
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Mô tả nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ............... 62 Bảng 3.2. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 1................ 64 Bảng 3.3. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 1 ...................... 64 Bảng 3.4. Tỷ lệ phân loại học sinh lần 1 ......................................................... 65 Bảng 3.5. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 2................ 66 Bảng 3.6. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 2 ...................... 66 Bảng 3.7. Thống kê tỷ lệ phân loại học sinh đạt lần 2 .................................... 68 Bảng 3.8. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua giáo viên lần 1 ................................................................................................. 70 Bảng 3.9. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua giáo viên lần 2 ................................................................................................. 70 Bảng 3.10. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua giáo viên lần 3 .......................................................................................... 70 Bảng 3.11. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh qua ... 70 điều tra ............................................................................................................. 70 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 1................................... 65 Biểu đồ 3.2. Thống kê phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra số 1 ....................................................................................................................... 65 Biểu đồ 3.3. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 2................................... 66 Biểu đồ 3.4. Kết quả phân loại, đánh giá kết quả học tập của học sinh qua bài kiểm tra số 2 .................................................................................................... 68
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong giáo dục, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đang trở thành xu hướng chung và phổ biến. Để đạt mục tiêu phát triển năng lực người học thì việc chú ý dạy học vận dụng trong tình huống học tập sẽ góp phần tạo ra những tiền đề cho mục tiêu đó. Do đó, ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông, học sinh (HS) cần được hình thành và phát triển kỹ năng vận dụng và giải quyết vấn đề. Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên gắn liền với thực tiễn đời sống, vì vậy, cần tạo cho học sinh sự hứng thú, hăng say trong học tập, thấy được sự thiết thực của học tập, đồng thời còn giúp kích thích tính sáng tạo, phát triển tư duy logic cho học sinh. Qua đó, bên cạnh sự hình thành và phát triển năng lực, cần chú trọng tới quá trình vận dụng để rèn kỹ năng cho học sinh. Bản thân công tác tại trường phổ thông, tác giả nhận thấy bản thân việc phân loại các dạng bài tập Toán đôi khi còn có ranh giới không rõ ràng. Có khi phân chia theo đơn vị kiến thức thì bị trùng lặp về phương pháp, có khi phân chia theo thuật giải cũng rất khó khăn bởi có những bài toán đa dạng về cách giải. Đối với những bài toán có nhiều phương pháp giải, việc chọn lựa phương án tối ưu để trình bày là rất cần thiết. Song bên cạnh đó, có nhiều những bài toán mà thuật giải chưa rõ ràng hoặc khó định hướng trong quá trình lựa chọn thuật giải. Riêng với bài toán chứng minh (CM) bất đẳng thức (BĐT) nói chung hay chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nói riêng thường xuất hiện trong kì thi học sinh giỏi cấp trung học phổ thông (THPT) và thi Olympic sinh viên, việc chắt lọc, lựa chọn phương pháp giải phù hợp để áp dụng là rất cần thiết. 1
Như đã biết, các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác thường được biểu diễn dưới dạng một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức nào đó thể hiện mối liên hệ giữa các yếu tố trong một tam giác. Đặc biệt là các bài toán về bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng (các hệ số m, n, p trong biểu thức mf ( A)  nf (B)  pf (C) không bằng nhau) trong tam giác là những bài toán thú vị và khó trong giải toán lượng giác ở THPT. Trong các phương pháp đề xuất, việc áp dụng tính chất hàm lồi, lõm của hàm số lượng giác nói riêng và hàm số nói chung để khảo sát tính chất và tạo ra các mối quan hệ giữa các yếu tố của tam giác mang hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả nhất để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Đặc biệt phương pháp này thể hiện quan hệ logic tốt trong tư duy, phù hợp với học sinh khá, giỏi; do đó, sử dụng nó để phục vụ cho giáo viên (GV) bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT hay phục vụ cho các kỳ thi Olympic sinh viên. Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung bao gồm cả bất đẳng thức lượng giác trong tam giác hay cũng có những đề tài nghiên cứu về vấn đề sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh các bất đẳng thức nhưng chủ yếu tập trung vào các bất đẳng thức đại số. Tuy nhiên, về vấn đề riêng: sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thì chưa được trình bày chuyên biệt ở một đề tài nghiên cứu cụ thể nào. Đồng thời, các đề tài này chỉ thuần túy về kiến thức toán nói chung mà không thể hiện rõ mục tiêu hướng đến là rèn luyện kỹ năng (KN) hay năng lực (NL) cụ thể nào cho học sinh. Từ các lý do trên tôi đã chọn đề tài “Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh” để nghiên cứu thông qua dạy học một lượng kiến thức, các dạng toán cụ thể có thể hình thành và phát triển kỹ năng giải toán hay kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh. Đồng thời, đề tài này 2
cũng không nằm ngoài mong muốn góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường THPT trong giai đoạn hiện nay cả về năng lực Toán học cũng như hình thành năng lực xã hội tương ứng. 2. Mục đích nghiên cứu Thông qua tổng hợp các dạng toán về bất đẳng thức trong tam giác giải được bằng phương pháp áp dụng tính chất của hàm lồi, trình bày cách thức vận dụng vào những bài toán cụ thể hình thành và phát triển kỹ năng giải toán, kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh. 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu Là quá trình dạy học môn Toán chuyên đề bất đẳng thức ở trường THPT đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn liên quan đến đơn vị kiến thức này. 3.2. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là kỹ năng vận dụng tính chất, kỹ năng giải toán thông qua phân tích tính chất của hàm lồi, lõm, tính đơn điệu bậc (1,2) của các hàm số trong đó có hàm số lượng giác và áp dụng của chúng vào giải các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. 4. Phạm vi nghiên cứu - Các bài toán bất đẳng thức lượng giác trong tam giác được chứng minh bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi. - Cách sử dụng hệ thống bài toán đó để vận dụng kiến thức phát triển được kỹ năng giải toán (KNGT) cho học sinh. - Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với GV tham gia bồi dưỡng và HS giỏi môn Toán khối 11 trong năm học 2018 – 2019 tại trường THPT Giao Thủy và trường THPT Giao Thủy B, tỉnh Nam Định. 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu các căn cứ lý luận làm cơ sở cho đề tài. - Điều tra thực trạng dạy học phát triển KNGT từ vận dụng tính chất thông qua sử dụng tình huống cụ thể là: vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác ở trường THPT hiện nay. - Tìm hiểu nội dung bất đẳng thức trong tam giác, nội dung liên quan tới tính chất hàm lồi, từ đó thiết kế hệ thống bài tập thực tiễn, cách sử dụng các bài trên trong dạy học môn Toán để phát triển KNGT cho HS THPT. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm bước đầu tính khả thi cũng như tính hiệu quả và những biện pháp đề xuất của đề tài. 6. Giả thuyết khoa học Nếu GV tuyển chọn, xây dựng được hệ thống bài tập chất lượng đi kèm với hiệu quả sử dụng phương pháp nói trên vào trong quá trình dạy học sẽ làm HS phát triển được tư duy logic, tăng khả năng nhạy bén, say mê, tích cực, chủ động và sáng tạo trong học tập. Qua đó phát triển KNGT hữu hiệu cho HS, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức cũng như chất lượng dạy học Toán ở trường THPT. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu 7.1. Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu những cơ sở lý luận về bài tập thực tiễn, các năng lực chung và năng lực chuyên biệt, các phương pháp dạy học Toán để phát triển kỹ năng vận dụng cho học sinh THPT. - Hệ thống trên cơ sở phân tích các tài liệu có liên quan từ các tạp chí, sách chuyên đề và các nguồn tài liệu từ internet, hội thảo. 7.2. Nghiên cứu thực tiễn - Dự giờ và điều tra bằng bảng hỏi để biết được thực trạng dạy và học Toán cũng như thực trạng sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác khi dạy học ở THPT. 4
- Điều tra về khả năng dạy học phát triển kỹ năng, đặc biệt là KNGT cho học sinh của giáo viên trường THPT. - Điều tra về hứng thú của HS với bài toán bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. - Lập hệ thống bảng kiểm tra, bảng quan sát KNGT của HS THPT từ đó đánh giá sự tiến bộ của HS qua quá trình dạy nhằm bồi dưỡng và phát triển KNGT. - Xin ý kiến của các chuyên gia, GV Toán về áp dụng phương pháp phát triển và đánh giá KNGT. - Để kiểm tra mức độ đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả trong áp dụng vào thực tiễn của đề tài cần tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu tại một vài trường THPT với đối tượng HS phù hợp. 7.3. Phương pháp xử lý thông tin Để xử lý thông tin từ kết quả thực nghiệm cần sử dụng phương pháp thống kê trong toán học. 8. Đóng góp của đề tài - Về mặt lý luận: Góp phần hệ thống hóa về vấn đề phát triển KNGT cho HS THPT trong dạy học môn Toán từ vấn đề cụ thể. - Về mặt thực tiễn: Thiết kế hệ thống bài tập bất đẳng thức lượng giác trong tam giác và đề xuất phương pháp sử dụng tính chất của hàm lồi để giải quyết các bài tập trên nhằm phát triển KNGT cho HS ở trường THPT. 9. Cấu trúc của luận văn Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, trong ba chương sau luận văn trình bày các nội dung chính và cụ thể của đề tài: Chương 1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu. Chương 2. Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu Kỹ năng giải toán hay kỹ năng vận dụng kiến thức trong toán học rất được chú trọng quá trình dạy học toán. Bởi toán học là môn khoa học cơ sở, gắn liền với nhiều môn khoa học khác kể cả khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội. Nếu HS có được KNGT tốt thì sẽ say mê hơn với toán học, đặc biệt khi có được KNGT xuất phát từ việc giải được các bài toán bất đẳng thức bằng vận dụng tính chất hàm lồi thì càng kích thích được khả năng học toán, với đối tượng học sinh khá giỏi cũng vậy và học sinh có khả năng nhận thức toán nhất định cũng thế. Sách giáo khoa hiện hành không còn đề cập nhiều đến bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, song đây vẫn là dạng toán quan trọng xuất hiện trong các kỳ thi mang tính quốc gia hay các kỳ thi chọn học sinh giỏi. Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân nên việc gắn liền giữa giải bài toán nói trên qua vận dụng tính chất hàm lồi để phát triển KNGT cho học sinh còn gặp nhiều khó khăn, hạn chế. Nhiều khi bài toán đưa ra lời giải chỉ là để đấy còn rất xa vời với việc hình thành KNGT nói chung cho học sinh, quá chú trọng đến các tính toán phức tạp mà quên hình thành và phát triển dần KNGT đó. Để phần nào đáp ứng được nhu cầu đổi mới nội dung, phương pháp giảng dạy và học tập môn toán tại trường phổ thông theo hướng phát triển KNGT cho HS đã có một số sách tham khảo được xuất bản. Bên cạnh đó, một số học viên cao học cũng đã nghiên cứu và bảo vệ luận văn theo hướng đề tài này, song đi theo hướng nghiên cứu về Toán học, chủ yếu tập trung vào tính chuyên ngành, như: Lê Thị Bình, 2018, Áp dụng tính chất của hàm lồi giải các bài toán cực trị trong tam giác, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Hồng Đức. Nguyễn Đình Thọ, 2014, Về cực trị hàm lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. 6
Ngoài ra, cũng có một số bài báo liên quan đến vấn đề này được đăng trên tạp chí Toán học và ứng dụng cũng như các tạp chí khoa học quốc tế. Cũng có những đề tài luận văn nghiên cứu của các học viên cao học về năng lực vận dụng kiến thức, về kỹ năng giải toán nói chung, như: Nguyễn Trung Hiếu, 2010, Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán học, Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội. Vũ Thị Ninh, 2008, Kỹ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới trong giảng dạy môn Toán ở trường Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội. Tuy nhiên, chưa có đề tài nghiên cứu về năng lực vận dụng và KNGT nói trên đối với việc dạy học vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Với mong muốn đóng góp thêm những kiến thức và bài tập toán học nhằm phát triển kỹ năng cho học sinh nên trong luận văn này tác giả tuyển chọn và xây dựng thêm một số kiến thức cũng như dạng toán căn cứ trên loại bài tập vận dụng tính chất hàm lồi chứng minh bất đẳng thức lượng giác tương đối phức tạp này, đồng thời đưa chúng vào trong dạy học với phương pháp phù hợp nhằm góp phần nâng cao hứng thú học tập, phát triển KNGT cho HS THPT. 1.2. Cơ sở thực tiễn Giáo dục hiện nay đang ngày càng tiệm cận với định hướng phát triển NL nhằm mục tiêu phát triển NL người học, theo xu thế tất cả vì người học và cần đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thông qua phát triển toàn diện các NL, phẩm chất, chú trọng NL vận dụng kiến thức trong những tình huống thực tiễn nhằm tạo tiền đề cho các cá nhân hình thành và phát triển các năng lực chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Như vậy, ngay trong quá 7
trình học tập ở nhà trường phổ thông, HS cần được hình thành và phát triển năng lực vận dụng kiến thức. 1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông 1.3.1. Khái niệm năng lực Theo [5] thì NL “là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc tính tâm lí của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt đẹp” hoặc theo cách quan niệm khác NL lại là khả năng đảm nhận công việc và thực hiện tốt công việc đó nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn. (Xem [9]) Khi các GV trường THPT hoàn thiện những chủ đề dạy học thì các nhà trường đã đến gần hơn với mục tiêu giáo dục đề ra đã giúp cho việc giải quyết những vấn đề cơ bản của dạy học theo cách tiếp cận năng lực được sáng tỏ hơn, như: hiểu như thế nào về dạy học theo cách tiếp cận năng lực? Những yêu cầu, nguyên tắc giáo dục theo tiếp cận năng lực? Hay điểm khác biệt giữa khái niệm năng lực, kỹ năng… Từ những vấn đề lý luận này, ông đã nhận định “NL của học sinh là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ... ” đồng thời ông cũng chỉ ra rằng NL của HS cần “phù hợp với lứa tuổi” hay NL cũng cần được “ vận hành chúng một cách hợp lý vào thực hiện thành công nhiệm vụ học tập” để góp phần “giải quyết hiệu quả những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống”. Từ đó, có thể khái quát được là NL phải gắn liền với khả năng thực hiện được, tức là “học” và “hành” phải song hành cùng nhau. Do đó cần phải thể hiện được bằng hành động là đạt được những yêu cầu nhất định về kiến thức, kỹ năng cũng như thái độ thì mới khẳng định được là quá trình dạy đó đã hình thành và phát triển được năng lực cho đối tượng tương ứng. 1.3.2. Phân loại năng lực Có nhiều cách phân chia năng lực, nhưng phổ biến nhất là cách phân chia thành hai loại: năng lực chung và năng lực cốt lõi. 8
- Năng lực chung. Tất cả những NL tổng hợp đi từ căn bản, cốt lõi, nền tảng đến những NL phù hợp với đặc điểm của lao động, học tập và cuộc sống đều thuộc phạm vi của NL chung. Có nhiều yếu tố có thể tác động đến NL này, chẳng hạn như: di truyền, tính bản năng, quá trình giáo dục, thông qua các hoạt động thực tiễn hay giáo dục, trải nghiệm. Có nhiều cách tiếp cận để phân loại nhưng nhìn chung, có hai hướng tiếp cận phù hợp với THPT là: + Dựa vào nội dung: Cách tiếp cận này chủ yếu căn cứ vào cấu trúc, kiến thức, thời lượng của môn học và tập trung vào khả năng ghi nhớ kiến thức cũng như tái tạo lại trên cơ sở đã biết của HS. + Dựa vào kết quả đạt được: Cách tiếp cận này lại chủ yếu quan tâm đến những NL mà HS có thể đạt được tùy thuộc từng bộ môn và đánh giá khi kết thúc quá trình học; cũng có thể quan niệm cách tiếp cận này chú ý đến đầu ra và tính thực tiễn, ứng dụng hiệu quả trong học tập cũng như trong thực tiễn - Năng lực chuyên biệt. Đây là NL thường phù hợp với từng lĩnh vực, ngành nghề trong cuộc sống nhất định; áp dụng trong giảng dạy là NL phù hợp với từng môn học: môn mang khuynh hướng trí tuệ, thể thao, thẩm mĩ hay cảm xúc, nghệ thuật,... 1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ thông Để góp phần phát triển toàn diện học sinh, rất nhiều năng lực cần chú trọng để hướng đến; ở đây, cần tập trung tới những năng lực cốt lõi nhất cần phát triển cho HS phổ thông là: + NL tự học; + NL giải quyết vấn đề; + NL sáng tạo; 9
+ NL tự quản lý; + NL giao tiếp; + NL hợp tác; + NL vận hành công nghệ; + NL tìm kiếm và khai thác thông tin; + NL sử dụng ngôn ngữ; + NL tính toán. 1.3.4. Năng lực toán học Năng lực toán học có thể hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (xuất phát từ hoạt động của trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu đặc thù của hoạt động toán học. Đối với môn Toán, các NL chuyên biệt có thể kể đến là: + NL sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học; + NL giải toán; + NL phát hiện vấn đề nảy sinh; + NL giải quyết vấn đề trong giải toán; + NL tính toán; + NL vận dụng kiến thức và tư duy toán học vào cuộc sống... Có thể thấy NL toán học biểu hiện thông qua các NL cụ thể: + NL tư duy: từ tư duy cụ thể, đơn giản đến tư duy trừu tượng, khái quát; + NL đơn giản hóa: từ quá trình lập luận toán học và sử dụng hệ thống các phép biến đổi hay tính toán cồng kềnh đến rút gọn vấn đề, chuyển từ phức tạp về đơn giản; + NL sáng tạo, nhạy bén, linh hoạt trong tư duy; + NL sử dụng ngôn ngữ thể hiện tính rõ ràng trong quá trình trình bày lời giải toán; 10
+ NL chuyển đổi từ thuận sang nghịch trong tư duy và ngược lại; + NL lưu trữ và ghi nhớ thông tin: có trí nhớ về kiến thức, về khái quát và hệ thống trong toán học, hình thành sơ đồ tư duy với từng nhóm vấn đề; Với mỗi cá nhân khác nhau thì năng lực học tập toán học cũng khác nhau. Ngay trong quá trình học, mỗi HS khác nhau đều hình thành NL; song sự phát triển của NL thì không giống nhau. Do đó, vấn đề quan trọng trong dạy học toán là cần lựa chọn nội dung và sử dụng PPDH thích hợp nhằm phát triển NL cho mỗi cá nhân HS. 1.4. Kỹ năng giải toán 1.4.1. Khái niệm kỹ năng KN dưới cách định nghĩa của Tâm lý học sư phạm “là khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết một nhiệm vụ mới”. Tâm lý học đại cương lại coi KN “là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có” hay quan niệm khi có KN thì cần phải có khả năng giải quyết được tình huống từ lý thuyết đến thực tiễn thông qua NL vận dụng để phát hiện được những tính căn bản, cốt lõi của sự vật. Còn GS.G.Polya đã chỉ ra rằng kỹ năng đối với lĩnh vực Toán học là “giải các bài toán” đối với quá trình tiến hành, “thực hiện các chứng minh” theo các bước đã định hướng, cũng như “phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” sau khi kết thúc quá trình. Có thể khái quát lại, áp vào một tình huống mới thì KN là khả năng vận dụng được những kiến thức đã biết vào để khai thác một cách có hiệu quả. Tùy từng đối tượng HS, tùy từng cách tiếp cận vấn đề nhưng nhìn chung, trong quá trình dạy học, việc vận dụng kiến thức bao gồm: khái niệm, tính chất, định lý, ... vào giải quyết từng bài toán cụ thể với học sinh là khá khó khăn. Hiện tượng này đặc biệt còn phổ biến ở những học sinh có kiến thức không chắc chắn, ghi nhớ khái niệm không linh hoạt nên không gắn liền với 11
cơ sở của kỹ năng. Với những học sinh có nhận thức khá, giỏi, hiện tượng này không phổ biến, song vẫn cần quan tâm đến quá trình vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán cụ thể từ đó hình thành kỹ năng cho học sinh. 1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng - Việc định hướng tư duy từ phân tích, tổng hợp dữ kiện ban đầu không tốt, ảnh hưởng tới nhận diện bản chất vấn đề. - Khả năng khái quát vấn đề chưa tốt. - Tâm lý không vững vàng hay hình thành các thói quen tâm lý không tốt. 1.4.3. Kỹ năng giải toán Đối với việc dạy học môn Toán đặc biệt là dạy Toán ở trường phổ thông thì việc rèn luyện kỹ năng là căn cốt và là cơ sở cho các mục đích khác liên quan từ các môn khoa học đến thực tiễn. Vấn đề rèn kỹ năng nói chung, kỹ năng giải toán nói riêng là một yêu cầu cơ bản, nền tảng, để gắn liền được lý thuyết với thực tiễn. Nhiều tác giả đã thể hiện quan điểm về vấn đề này như: Với J.Piaget là “Suy nghĩ tức là hành động”, với Hồ Chí Minh lại là “Học để hành, học và hành phải đi đôi”. GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã quan niệm về dạy toán là dạy về mặt kiến thức, về kỹ năng tư duy và hình thành tính cách cho cá nhân học sinh. Mục tiêu của dạy toán cũng bao gồm cả mục tiêu chính yếu là phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh. Do đó cần giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc và toàn diện về kiến thức toán cũng như các hoạt động thực hành liên quan đến thực tiễn của Toán học. Do đó, phát triển KNGT là sử dụng các kiến thức cơ bản giải các bài toán đặt ra để áp dụng có hiệu quả vào tình huống học tập cụ thể của môn học. Trong môn Toán, kỹ năng thực hành gồm hai nhóm kỹ năng cơ bản là vận dụng tri thức vào giải các bài toán và toán học hóa tình huống thực tiễn. 12