Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu và phát triển năng lực, kỹ năng giải các toán đưa về giải bằng phương trình Diophant; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán tại các trường THCS, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện, củng cố năng lực và giải quyết các bài toán có nội dung hay và khó trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào các trường THPT chuyên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỲNH ANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Hà Nội, 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỲNH ANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội, 2020
LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc, em đã hoàn thành luận văn này. Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu − trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm sát sao và tận tình hướng dẫn, động viên và góp ý để em hoàn thành tốt luận văn này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trường Đại học Giáo dục − Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý và cho em những lời khuyên bổ ích suốt quá trình phấn đấu, học tập và nghiên cứu tại trường. Em đã rất cố gắng đầu tư nhiều công sức và thời gian nghiên cứu song luận văn khó có thể tránh được những thiếu sót. Em rất mong nhận được nhận xét và góp ý của các thầy, cô giáo để em có những định hướng tốt hơn trong quá trình làm luận văn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Quỳnh Anh i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HOMC Hanoi Open Mathematics Competition HS Học sinh NXB Nhà xuất bản SGK Sách giáo khoa tr Trang THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông ii
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Đặc điểm học sinh các nhóm đối chứng - nhóm thực nghiệm . 59 Bảng 3.2. Kết quả điểm kiểm tra của các nhóm .............................. 73 Bảng 3.3. So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của nhóm 1, nhóm 2 sau quá trình thực nghiệm .............................................................. 74 Bảng 3.4. So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của nhóm 3, nhóm 4 sau quá trình thực nghiệm............................................................... 75 iii
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1. So sánh điểm kiểm tra 45 phút của nhóm 1, nhóm 2 ........ 74 Biểu đồ 3.2. So sánh điểm kiểm tra 45 phút của nhóm 3, nhóm 4 ........ 75 iv
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii DANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4. Đối tượng, khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5. Câu hỏi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6. Giả thuyết nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9. Mẫu khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10. Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN . . . . . . . . . . 5 1.1. Các vấn đề chung về kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Khái niệm kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Đặc điểm kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Sự hình thành của kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Những yếu tố tác động đến sự hình thành kỹ năng . . . . . . . . . 6 1.2. Kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Vai trò của kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Các thành phần liên quan kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Các mức độ trong kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 v
1.3. Những khó khăn, sai lầm của học sinh THCS khi giải phương trình Diophant dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Khó khăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Các sai lầm thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CHƯƠNG 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC” . . 13 2.1. Phương trình Diophant tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1. Phương trình Diophant tuyến tính hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2. Phương trình Diophant tuyến tính nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3. Nghiệm nguyên dương trong các phương trình Dipophant tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Phương trình Diophant dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Các dạng toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3. Biểu diễn đơn vị theo các phân số Ai Cập . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1. Phương pháp đưa về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2. Phương pháp dùng tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.3. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.4. Phương pháp dùng các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.5. Phương pháp tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.6. Phương pháp sử dụng nguyên tắc cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.7. Phương pháp quy nạp toán học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Một số đề thi tuyển chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 vi
3.2. Hoạt động thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.2. Nội dung thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.1. Đánh giá định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.2. Đánh giá định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2. Khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 vii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giáo dục hiện nay luôn nhận được rất nhiều sự quan tâm bởi lẽ ngành giáo dục không trực tiếp tạo ra của cải vật chất nhưng là nhân tố quan trọng trong việc đào tạo ra một thế hệ tương lai mà từ đó ảnh hưởng trực tiếp đến sự phát triển trong hai mươi đến ba mươi năm của cả một quốc gia, một dân tộc. Trong hệ thống giáo dục, Toán học là một môn khoa học cơ bản đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực tư duy và phát huy sáng tạo để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Những kiến thức, kỹ năng toán học giúp giải quyết các vấn đề trong khoa học, sản xuất và thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác. Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn Toán ở trường THCS vì việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Một trong những điều kiện để thực hiện được mục đích dạy học toán ở trường phổ thông là việc tổ chức dạy học giải toán; nó có tác dụng phát triển tư duy, phát huy sự sáng tạo, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống cụ thể, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, độc lập suy nghĩ và lựa chọn phương án tối ưu. Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh là việc làm hết sức cần thiết, từ đó tác động đến tình cảm và đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho học sinh. Việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh trong các trường THCS đã và đang được quan tâm, cụ thể: nhiều buổi tập huấn được tổ chức, đổi mới cách thức sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn, đổi mới phương pháp giảng dạy khi coi người học là trung tâm. . . Tuy nhiên do chương trình toán học trải dài với nhiều mảng kiến thức và nội dung khác nhau đảm bảo cho từng trình độ, độ tuổi nên việc dạy và học nhằm phát triển năng lực cho học sinh còn chưa đáp ứng được yêu cầu học tập và nhu cầu của xã hội. Số nguyên là một mảng kiến thức số học cơ bản và vô cùng quan trọng của Toán học. Thực tế học sinh đã làm việc với số nguyên không âm (số tự nhiên) từ chương trình tiểu học. Từ lớp 6, học sinh đã bước đầu làm 1
quen với bài toán tìm các số nguyên thỏa mãn những điều kiện nhất định. Ở lớp 8, 9 học sinh đã giải quyết các bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên. Phương trình Diophant hay còn được gọi là phương trình nghiệm nguyên là một trong những dạng toán lâu đời nhất của Toán học và trải qua một lịch sử phát triển lâu dài. Từ thế kỉ XVII trước công nguyên, các nhà toán học Babylon cổ đại đã nắm được sự liên hệ trong phương trình x2 + y 2 = z 2 với ba cạnh của tam giác vuông (phương trình Pythagore) và tìm ra các bộ số tự nhiên thỏa mãn phương trình này. Nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Diophant (thế kỉ III sau công nguyên) là người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống phương trình nghiệm nguyên và ông đã giải được một số phương trình có nghiệm nguyên dương. Vì thế người ta đặt tên ông cho phương trình nghiệm nguyên. Trong các kỳ thi vào lớp 10 các trường THPT chuyên, THPT năng khiếu, kì thi học sinh giỏi thành phố, quốc gia và quốc tế, phương trình Diophant nói chung và phương trình Diophant dạng phân thức nói riêng vẫn thường xuyên xuất hiện dưới các hình thức khác nhau và luôn được đánh giá là khó do tính không mẫu mực của nó, các bài tập biến đổi linh hoạt và đa dạng. Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu và phát triển năng lực, kỹ năng giải các toán đưa về giải bằng phương trình Diophant; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán tại các trường THCS, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện, củng cố năng lực và giải quyết các bài toán có nội dung hay và khó trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào các trường THPT chuyên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa cơ sở lý luận về dạy học phương trình Diophant dạng phân thức. - Đóng góp những biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung giải phương trình Diophant ở trường THCS. 2
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng về phương trình Diophant dạng phân thức trong các hoạt động học tập ở trường THCS. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giải thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả trong vận dụng dạy học môn toán theo chuyên đề bồi dưỡng ở trường THCS. 4. Đối tượng, khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy giải phương trình Diophant dạng phân thức. - Khách thể nghiên cứu: Học sinh có trình độ khá, giỏi tại các trường THCS. 5. Câu hỏi nghiên cứu - Phương trình Diophant dạng phân thức thể hiện qua các bài toán cụ thể nào? - Thực trạng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, đặc biệt là chuyên đề giải phương trình Diophant dạng phân thức ở trường phổ thông hiện nay ra sao? - Các biện pháp sư phạm nào có thể sử dụng để rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực giải phương trình Diophant cho học sinh? 6. Giả thuyết nghiên cứu Khi dạy học phương trình Diophant dạng phân thức, nếu có thể xây dựng một hệ thống các nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng đồng thời định hướng các biện pháp giải cho từng dạng bài tập và các biện pháp dạy học phù hợp thì sẽ phát huy được kỹ năng và năng lực giải toán cho học sinh, giúp học sinh ghi nhớ sâu những kiến thức đã học, nhạy bén và linh hoạt hơn, phát huy tính tích cực trong dạy và học toán ở trường THCS. 7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu - Nội dung kiến thức của môn toán ở THCS. - Thời gian nghiên cứu từ 25/2/2019 - 8/11/2019. 8. Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu lý luận - Tìm hiểu, nghiên cứu, phân tích, khái quát hóa và hệ thống hóa các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán. 3
- Nghiên cứu nội dung, xu hướng của các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT. - Nghiên cứu các bài viết khoa học môn toán, sách báo phục vụ cho đề tài, tìm hiểu các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp tới đề tài. - Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu tham khảo ở trong và ngoài nước về các vấn đề của đề tài luận văn. - Nghiên cứu hệ thống chương trình Toán học bậc THCS – Phần Số học và Đại số nhằm phục vụ hoàn thành luận văn. b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Điều tra giáo dục - Quan sát và nhận định ở các hoạt động dạy và học thực tế. - Tham khảo ý kiến trực tiếp của người dạy và người học. - Tổng hợp ý kiến và kinh nghiệm của các chuyên gia. c) Phương pháp thực nghiệm sư phạm: - Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, đặc biệt trong các tiết học tự chọn và tăng cường Toán hoặc tiết bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS. d) Phương pháp thống kê toán học: - Sử dụng các phần mềm thống kê toán học nhằm xử lí các số liệu điều tra khảo sát thực tế. 9. Mẫu khảo sát - Học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán khối 8 trường THCS Lê Quý Đôn, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội. - Học sinh câu lạc bộ Toán 8 trường THCS Cự Khối, quận Long Biên, thành phố Hà Nội. 10. Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong đó nội dung cụ thể sẽ được trình bày trong 3 chương chính: Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Rèn luyện kỹ năng cho học sinh THCS thông qua chuyên đề “Phương trình Diophant dạng phân thức” Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 4
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Các vấn đề chung về kỹ năng 1.1.1. Khái niệm kỹ năng Theo từ điển tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. [11, tr246] Theo giáo trình Tâm lý học giáo dục: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, tri thức, phương pháp. . . ) để giải quyết một nhiệm vụ mới”. [7, tr102] Các định nghĩa trên tuy khác nhau về cách diễn đạt tuy nhiên đều có chung một nhận định kỹ năng là khả năng vận dụng các kiến thức để giải quyết những công việc đề ra. Phân loại kỹ năng: xét theo tổng quan thì kỹ năng chia làm ba loại là kỹ năng chuyên môn, kỹ năng sống và kỹ năng làm việc. 1.1.2. Đặc điểm kỹ năng - Ý chí cá nhân có sự tham gia ở mức độ cao. - Chưa bao quát được một cách có hệ thống các hành động. - Thị giác đóng vai trò kiểm tra các hành động diễn ra. - Chú ý rằng kỹ năng hoàn toàn khác so với phản xạ. Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi trường và mang tính thụ động, trong khi đó kỹ năng là phản ứng có ý thức và mang tính chủ động. 1.1.3. Sự hình thành của kỹ năng - Hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, tìm đường hướng giải quyết để đạt được mục tiêu cụ thể theo yêu cầu đặt ra. - Giáo viên cần chú ý khi tổ chức hoạt động nhằm hình thành kỹ năng cho học sinh ở các điểm sau: + Giúp học sinh biết cách phân tích, tìm hiểu để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm là gì cùng mối quan hệ giữa chúng. + Giúp học sinh hình thành khả năng khái quát hóa để giải quyết các đối tượng cùng loại, các bài tập tương tự. 5
+ Xác lập mối quan hệ giữa các kiến thức tương ứng cần dùng cho các bài tập khái quát đó. 1.1.4. Những yếu tố tác động đến sự hình thành kỹ năng - Nội dung chính của bài tập và nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị các yếu tố phụ che khuất làm lệch hướng tư duy, ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. - Tâm thế, thói quen cũng đóng vai trò ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Cần chú ý rằng kỹ năng hoàn toàn khác so với thói quen, hầu hết thói quen hình thành một cách vô thức, khi diễn ra thường khó kiểm soát trong khi kỹ năng được hình thành một cách có ý thức trong quá trình luyện tập. - Mức độ khái quát, tổng hợp, nhìn đối tượng hay sự việc một các tổng thể, bao quát. 1.2. Kỹ năng giải toán 1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán - Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng kiến thức của bộ môn Toán và kinh nghiệm đã có nhằm thực hiện các hành động học tập toán học để đi đến những lời giải một cách chính xác và hiệu quả. - So với kiến thức thuần túy thì kỹ năng trong toán học được nhận định quan trọng hơn. Có thể nói, kỹ năng là kiến thức trong hành động vì kỹ năng giải toán có bản chất là cách thức, thủ thuật và thể hiện trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã đặt ra. - Để đạt được kỹ năng giải toán không đơn thuần chỉ là việc học sinh cung cấp lời giải cho học sinh bởi biết lời giải không quan trọng bằng làm thế nào để phát hiện được lời giải đó. Để tăng hiệu quả và hứng thú học tập cho học sinh, giáo viên cần định hướng để học sinh hình thành một cách thức chung khi giải quyết một bài toán. - Khi giải toán thường có các bước sau: + Bước 1: Tìm hiểu đề bài của bài toán. Để giải được một bài toán trước hết cần hiểu bài toán có gì và cần gì, đâu là ẩn và các dữ kiện liên quan, có thể kí hiệu, phân biệt các thành phần khác nhau của các đại lượng, có thể diễn đạt các dữ kiện đó dưới công thức toán học nào không. 6
+ Bước 2: Xây dựng phương hướng giải. Cần phải phân tích bài toán thành nhiều phần nhỏ, trong đó học sinh đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa, có định lý nào liên quan hay không. Chú ý cần phân chia các khả năng xảy ra, thậm chí trường hợp đặc biệt và phải sử dụng toàn bộ dữ kiện của đề bài. Ngoài ra cũng cần lưu ý các yếu tố phụ có thể bổ sung từ các yếu tố ban đầu. Nhiều khi chưa phát hiện được cách thức giải, có thể giải các trường hợp cụ thể, đặc biệt hóa trước rồi mới xây dựng trường hợp tổng quát. + Bước 3: Thực hiện thao tác giải toán. Thực hiện lời giải đã đề ra, có thể chứng minh các bước giải đó là đúng, quy trình giải logic không có vấn đề phát sinh. + Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu mở rộng lời giải. Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận giữa các bước giải. Có thể nhìn lại toàn bộ bước giải để đưa ra một phương pháp chung nhất cho các bài toán tương tự. Ngoài ra có thể từ kết quả này suy luận được cách giải khác cho bài toán hoặc tiếp tục khai thác bài toán này trở thành bài toán khác ở mức độ cao hơn hay ở một khía cạnh khác. - Kỹ năng giải toán có mối quan hệ mật thiết với năng lực giải quyết vấn đề toán học. Cụ thể: ở cấp THCS, “năng lực giải quyết vấn đề toán học thể hiện qua việc phát hiện được vấn đề cần giải quyết; xác định được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề; giải thích được giải pháp đã thực hiện”. [1,tr12] 1.2.2. Vai trò của kỹ năng giải toán - Hoạt động giải toán là điều kiện cần thiết và là hình thức chủ yếu để thực hiện tốt các mục đích của việc dạy học môn Toán trong trường phổ thông. Kỹ năng vận dụng tri thức một cách hiệu quả vào hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình học, tìm tòi lời giải của bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra và nghiên cứu mở rộng lời giải vừa tìm được. - Muốn đạt được kỹ năng đầu tiên cần phải có kiến thức. Kiến thức phản ánh đầy đủ các thuộc tính cơ bản của đối tượng và được thử nghiệm trong thực tiễn. Từ thực tiễn này học sinh phát hiện và nắm được kỹ năng 7
giải toán sẽ có thái độ hứng thú, say mê hơn với bộ Toán, từ đó kích thích sự tìm tòi, khám phá của học sinh. Học sinh sẽ tiếp tục tìm đến những kiến thức sâu hơn, tiếp thu được kiến thức mới, chinh phục kỹ năng giải toán của phần kiến thức này và tiếp tục quy trình học tập bộ môn Toán. Như vậy ta cũng có thể thấy được mối quan hệ mật thiết tác động qua lại của kỹ năng với kiến thức và thái độ học tập. 1.2.3. Các thành phần liên quan kỹ năng giải toán - Kỹ năng nhận thức trong môn Toán + Kỹ năng nắm vững khái niệm: Học sinh cần hiểu được các dấu hiệu bản chất, đặc trưng của một khái niệm; nhận dạng và phát hiện một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi khái niệm đó hay không; đồng thời thể hiện khái niệm qua các đối tượng cụ thể. Trên cơ sở đó, học sinh có thể nắm được mối quan hệ và liên kết giữa các khái niệm. + Kỹ năng nắm vững định lý: Để nắm vững một định lý học sinh cần phân biệt được phần giả thiết và phần kết luận của định lý đó hoặc phát biểu định lý dưới dạng khác tương đương, hiểu được mối liên hệ giữa các định lý với nhau. + Kỹ năng vận dụng các quy tắc: Mỗi quy tắc cần được vận dụng thành thạo trong đó yêu cầu khi áp dụng phải linh hoạt, tránh máy móc, rập khuôn. Trong quá trình giảng dạy cần chú ý lựa chọn, khai thác những ví dụ nổi bật, những bài tập điển hình có cách giải quyết linh hoạt, đơn giản hoặc giải quyết bằng nhiều cách hơn là áp dụng các quy tắc tổng quát nhằm rèn luyện tính linh hoạt của tư duy. Mặt khác, cũng cần chú ý luyện tập cho học sinh tư duy sáng tạo và phản biện khi chuyển từ loại đối tượng này sang loại đối tượng khác. + Kỹ năng dự đoán và suy đoán logic: Có thể luyện tập cho học sinh kỹ năng dự đoán và suy đoán thông qua quan sát, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa,...nhằm phản ánh các quy luật, phát hiện vấn đề và tự phát biểu các vấn đề đó. - Kỹ năng thực hành Bao gồm: + Kỹ năng vận dụng: Để giải quyết bài toán, sử dụng kiến thức đã biết để đạt được mục đích yêu cầu của bài toán đó. 8
+ Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Nhiều bài toán nảy sinh từ thực tế đời sống đòi hỏi sử dụng những kiến thức toán học trong nhà trường để giải quyết. Học sinh cần biến những dữ kiện đã có trong đề bài thành các kiến thức toán học cụ thể. Việc này góp phần gây hứng thú học tập, giúp học sinh nắm được bản chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các yếu tố toán học một cách hình thức, đưa kiến thức khoa học của môn toán trở nên gần gũi hơn và và phục vụ cuộc sống. - Kỹ năng tổ chức hoạt động Để có kỹ năng tổ chức hoạt động đòi hỏi học sinh cần tự giác, chủ động trong việc học tập và tiếp thu kiến thức, học sinh thực sự là thành tố trung tâm của hoạt động học. Học sinh phải đặt ra kế hoạch học tập cá nhân và biết cách học phù hợp với điều kiện và năng lực nhằm phấn đấu đạt được mục tiêu của mình trong từng giai đoạn cụ thể. - Kỹ năng hợp tác và hoạt động nhóm Hoạt động nhóm giúp phát huy tối đa ưu điểm của từng cá nhân trong nhóm, kết hợp các ưu điểm để hoàn thành nhiệm vụ một cách hiệu quả và nhanh chóng nhất. Học sinh nào cũng có những thế mạnh riêng đồng thời hiểu biết giới hạn ở mảng nào đó do vậy cần lắng nghe ý kiến của người khác. Khi lắng nghe các bạn mình, học sinh sẽ học hỏi được nhiều kiến thức hơn để bổ sung cho phần kiến thức mà mình bị thiếu. Đó là cách hoàn thiện những thiếu sót của bản thân một cách nhanh chóng. Nhờ làm việc nhóm, các học sinh còn có thể đề ra thêm nhiều ý tưởng để giải bài toán theo nhiều cách khác nhau. Ngoài ra, làm việc nhóm giúp cho mỗi cá nhân đề cao tinh thần tập thể, nâng cao hiệu quả công việc và có sự gắn bó, thông hiểu, tôn trọng lẫn nhau. - Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá Học sinh khi tham gia hoạt động học tập không chỉ đơn thuần tiếp thu kiến thức một chiều mà qua một quá trình còn có thể tự điều chỉnh để có kết quả mong muốn. Muốn vậy, học sinh cần có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho bản thân mà trước hết phải biết xác định rõ từng phần kiến thức trong chương trình hoặc mục tiêu học tập cụ thể của từng giai đoạn. Học sinh có thể căn cứ vào những lần giáo viên kiểm tra và nhất là căn cứ vào việc đánh giá khả năng tự học tập của bản thân thông qua việc nắm lý thuyết, giải bài tập để từ đó thấy được những điểm yếu, 9
điểm thiếu sót của bản thân về một mảng nào đó và đề ra phương hướng giải quyết, khắc phục. Khi nào học sinh có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh thì khi đó kết quả học tập sẽ được nâng cao dần. 1.2.4. Các mức độ trong kỹ năng giải toán - Mức 1 (Nhận biết): phân biệt và nhắc lại được kiến thức cơ bản đã học. - Mức 2 (Thông hiểu): nắm được kiến thức đã học, có thể trình bày, giải thích kiến thức đó theo cách hiểu của bản thân. - Mức 3 (Vận dụng): biết áp dụng kiến thức đã học nhằm giải quyết các vấn đề quen thuộc, tương tự trong học tập, cuộc sống. - Mức 4 (Vận dụng cao): vận dụng kiến thức đã học nhằm giải quyết các vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi linh hoạt, hợp lý trong học tập, cuộc sống. Thậm chí vận dụng kiến thức một cách chắc chắn từ tư duy thuận sang tư duy nghịch. 1.3. Những khó khăn, sai lầm của học sinh THCS khi giải phương trình Diophant dạng phân thức 1.3.1. Khó khăn - Phương trình Diophant dạng phân thức là một dạng toán khó với học sinh THCS vì học sinh mới nắm được những kiến thức cơ bản nhất về số học và đại số, chưa có nhiều công cụ và kiến thức sâu để hỗ trợ. - Các nội dung kiến thức để giải phương trình Diophant dạng phân thức được học dàn trải trong toàn bộ chương trình THCS cũng là một khó khăn cho việc dạy và học, đòi hỏi cả một quá trình dài đầu tư suốt cả cấp học. Ví dụ như số nguyên, phân số, phân số Ai Cập học sinh được học ở lớp 6, lớp 8 học về phân thức, lớp 9 học về biến đổi căn thức bậc hai và tỉ số lượng giác. . . - Hơn nữa phương trình Diophant dạng phân thức thường không có cách thức giải chung mà đòi hỏi người dạy và người học tìm tòi các phương pháp, mày mò thông qua các kinh nghiệm giải các bài tương tự. - Học sinh gặp nhiều khó khăn khi đọc hiểu đề bài và diễn giải các bài toán có nội dung thực tế đưa về giải bằng phương trình Diophant dạng phân thức. Ví dụ: bài toán cổ 10
“Trăm trâu, trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó” Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm và trâu già? 1.3.2. Các sai lầm thường gặp - Học sinh không dễ dàng phát hiện ra được cách thức để giới hạn nghiệm nguyên trong những trường hợp số đó có quá nhiều ước, gây khó khăn khi chia trường hợp và dễ dẫn đến sai lầm trong quá trình tính toán. Ví dụ: Sau khi biến đổi phương trình ban đầu về dạng (2x+1)(y−4) = 2012 với x, y là số nguyên dương thì cần quan sát để phát hiện 2x+1 là số nguyên dương lẻ lớn hơn 1 nên 2x + 1 chỉ có thể bằng 503. - Học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình đánh giá chiều của bất đẳng thức. Ví dụ: Học sinh không đổi chiều của bất đẳng thức khi nhân hai vế với cùng một số âm. - Học sinh gặp nhiều khó khăn khi đưa một bài toán giải phương trình Diophant dạng phân thức từ cụ thể trở thành bài toán tổng quát hơn, hoặc từ bài toán có hai biến thành bài toán có nhiều hơn hai biến. 11