Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ những năm 1930, các nhà Toán học đã nhận thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị. Lý thuyết về các ánh xạ đa trị được nghiên cứu mạnh mẽ từ những năm 1950, xuất phát từ sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển của Khoa học, Kỹ thuật và Kinh tế. Đề tài sẽ nghiên cứu thêm về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 3 năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang
LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy Nguyễn Bích Huy. Em xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính mến. Em xin chân thành được tỏ lòng biết đến Quý Thầy Cô trong khoa Toán của trường Đại học Sư phạm vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện Luận văn. Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên để em an tâm học tập và nghiên cứu. Mặc dù em đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên Luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót. Mong Quý Thầy Cô sẽ phê bình để Luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 3 năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang
Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các kí hiệu MỞ ĐẦU 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ánh xạ đa trị. Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2 Phương pháp sử dụng bậc tôpô 28 Chương 3 Phương pháp sử dụng dãy lặp 38 Chương 4 Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy 42
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Bao đóng của tập hợp A co A Bao lồi của tập hợp A kxk Chuẩn của phần tử x trong không gian định chuẩn X. B (a; r ) Quả cầu mở tâm a , bán kính r B (a; r ) Quả cầu đóng tâm a , bán kính r L p (1 6 p < ∞) Không gian các hàm khả tích cấp p C (K) Không gian các hàm liên tục trên nón K i K(F, D) Bậc topo của ánh xạ đa trị F trên D ứng với nón K f² Ánh xạ ² - xấp xỉ của ánh xạ đa trị F f : X → 2Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y r (L) Bán kính phổ của ánh xạ L 〈u, v〉 {x ∈ X : u 6 x 6 v} supp φ Giá của hàm φ, supp φ = {x ∈ X : φ(x) 6= 0}
1 MỞ ĐẦU Từ những năm 1930, các nhà Toán học đã nhận thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị. Lý thuyết về các ánh xạ đa trị được nghiên cứu mạnh mẽ từ những năm 1950, xuất phát từ sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển của Khoa học, Kỹ thuật và Kinh tế. Cho đến nay, Lý thuyết về các ánh xạ đa trị đã được phát triển khá hoàn chỉnh và đã tìm được các ứng dụng có giá trị trong Toán học, Khoa học – Kỹ thuật, Xã hội, . . . , ví dụ như trong Lí thuyết phương trình vi phân, Lí thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán về Kinh tế, ... Ở một hướng khác, từ những năm 1940, trong các công trình nghiên cứu của M.Krein, A.Rutman, . . . đã hình thành Lí thuyết về các phương trình trong không gian với thứ tự sinh bởi nón. Lí thuyết này một mặt cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất nghiệm của phương trình (như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, . . . ), mặt khác nó cho phép nghiên cứu các phương trình không có tính liên tục, vốn rất thường gặp ở các bài toán xuất phát trong Tự nhiên và Xã hội. Gần đây, các nhà Toán học đã kết hợp hai lý thuyết trên và nghiên cứu các bao hàm thức dạng 0 ∈ F (x) (1)
2 trong các không gian có thứ tự. Hướng nghiên cứu này hứa hẹn đưa tới những kết quả Lí thuyết và Ứng dụng có giá trị. Để nghiên cứu bài toán (1) thì tùy theo các tính chất của ánh xạ F (tính đơn điệu, liên tục, compact,. . . ) mà ta sẽ chọn phương pháp thích hợp. Một mặt, các nhà Toán học vẫn sử dụng các phương pháp chung trong nghiên cứu bao hàm thức trong không gian không có thứ tự nhưng với các chỉnh sửa cần thiết để có thể sử dụng quan hệ thứ tự. Mặt khác, để nghiên cứu các bao hàm thức mà các phương pháp chung không áp dụng được (như khi F không có tính chất liên tục, compact, . . . ), các nhà Toán học đã dựa vào tính chất của ánh xạ có liên quan đến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi,. . . ) để đưa ra các phương pháp đặc thù. Để tìm ra các kết quả mới cũng như để nghiên cứu các bài toán mới phát sinh thì ta cần tìm hiểu đầy đủ các phương pháp nghiên cứu bao hàm thức dạng (1) trong không gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu, phạm vi ứng dụng của mỗi phương pháp. Luận văn này sẽ trình bày một vài phương pháp cơ bản để nghiên cứu các bao hàm thức trong không gian có thứ tự.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Các kiến thức trong phần này được trích từ bài giảng ([6]) của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 1. Tập K trong không gian Banach thực X được gọi là nón nếu: i) K là tập đóng ii) K + K ⊂ K, λK ⊂ K ∀λ > 0 iii) K ∩ (−K) = {θ} 2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định nghĩa bởi: x 6 y ⇔ y −x ∈K. Mỗi x ∈ K\{θ} được gọi là dương. Khi đó, cặp (X, K) được gọi là không gian Banach có thứ tự. Nhận thấy quan hệ " 6 " là một quan hệ thứ tự. Thật vậy, ta có: 3
4 • Phản xạ ∀x ∈ X, ta có x − x = θ ∈ K ⇒ x 6 x . • Phản xứng Lấy x, y ∈ X thỏa x 6 y và y 6 x . Ta có:    x 6 y y −x ∈K y −x ∈K       ⇒ ⇒ ⇒ y−x ∈ K ∩(−K ) ⇒ y−x = θ ⇒ x = y.    y 6x  x − y ∈ K   y − x ∈ −K  • Bắc cầu ∀x, y, z ∈ X thỏa x 6 y, y 6 z , ta có:   x 6 y y −x ∈K     ¡ ¢ ¡ ¢ ⇒ ⇒ y − x + z − y ∈ K ⇒ z − x ∈ K ⇒ x 6 z.   y 6z  z − y ∈ K  Như vậy, 6 là một quan hệ thứ tự. Mệnh đề 1 Giả sử 6 là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó: 1. x 6 y ⇒ x + z 6 y + z, λx 6 λy với mọi z ∈ X, với mọi λ > 0. 2. Nếu x n 6 y n ∀n ∈ N∗ và lim x n = x, lim y n = y thì x 6 y . 3. (x n )n là dãy tăng, hội tụ về x thì x n 6 x∀n ∈ N∗ . Định nghĩa 1.1.2 Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ∃N > 0 : θ 6 x 6 y ⇒ kxk 6 N . ° y ° . ° ° Mệnh đề 2 Giả sử " 6 " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó, 1. Nếu u 6 v thì đoạn 〈u, v〉 = {x ∈ X : u 6 x 6 v} bị chặn theo chuẩn. 2. Nếu x n 6 y n 6 z n ∀n ∈ N∗ , lim x n = lim z n = a thì lim y n = a .
5 3. Nếu (x n ) đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim x n = a . Chứng minh. 1. Lấy x tùy ý thuộc 〈u, v〉. Khi đó u 6 x 6 v ⇒ θ 6 x − u 6 v − u . Lại có " 6 " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn nên kx − uk 6 N ku − vk ⇒ kxk − kuk 6 N ku − vk ⇒ kxk 6 kuk + N ku − vk. Do đó đoạn 〈u, v〉 = {x ∈ X : u 6 x 6 v} bị chặn theo chuẩn. 2. Với mọi số tự nhiên n , ta có: xn 6 y n 6 zn ⇒ θ 6 y n − xn 6 zn − xn Lại có " 6 " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn nên ky n − x n k 6 N kz n − x n k ∀n ∈ N∗ . Hơn nữa, lim(z n − x n ) = 0 nên lim(y n − x n ) = 0. Từ đó lim y n = lim x n = a. 3. Ta xét trường hợp (x n ) là dãy tăng và có dãy con (x nk ) với lim x nk = a . (Trường hợp (x n ) là dãy giảm được xét tương tự). Với mỗi số tự nhiên n cố định và k đủ lớn, ta có x n 6 x nk , do đó xn 6 a . Do " 6 " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn nên tồn tại N > 0 thỏa θ 6 x n 6 x m ⇒ kx n k 6 N kx m k. Lấy ² > 0. ² Do lim x nk = a nên ∃k0 > 0 : ∀ k > k0 ⇒ kx nk − ak 6 . N Khi đó ∀ n > n k0 ⇒ a − x n 6 a − x nk0 ⇒ ka − x n k 6 N ka − x nk0 k < ².
6 Vậy lim x n = a . Định nghĩa 1.1.3 Nón K được gọi là nón chính quy (nón đều) nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên đều hội tụ. Mệnh đề 3 Nón chính quy là nón chuẩn. Chứng minh: Chứng minh phản chứng. Giả sử nón K là nón chính quy nhưng không là nón chuẩn, nghĩa là ∀n ∈ N∗ , ∃(x n )n , (y n )n sao cho 0 6 x n 6 y n nhưng kx n k > n 2 ° y n °. ° ° xn yn 1 Đặt u n = , vn = thì 0 6 u n 6 v n và ku n k = 1, kv n k < 2 . kx n k kx n k n X∞ 1 ∞ X Ta có 2 < +∞ nên kv n k < +∞. n=1 n n=1 X∞ Khi đó tồn tại v = vn . n=1 Đặt s n = u 1 + u 2 + . . . + u n thì s n tăng, bị chặn trên bởi v nên hội tụ. Do đó lim u n = 0, mâu thuẫn với ku n k = 1 ∀n ∈ N∗ . Vậy nón chính quy là nón chuẩn. Ví dụ 1. Nón các hàm không âm trong L p (1 6 p < ∞) là nón chính quy. Định nghĩa 1.1.4 K được gọi là nón sinh nếu X = K − K. Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃u, v ∈ K : x = u − v . Ví dụ 2. Nón các hàm không âm trong C (K), Lp là nón sinh. Mệnh đề 4 Nếu K là nón sinh thì ∃M > 0 thỏa ∀x ∈ X, ∃u, v ∈ K : x = u − v, kuk 6 M kxk , kvk 6 M kxk.
7 Chứng minh. • Đặt C = K ∩ B (θ; 1) − K ∩ B (θ; 1), ta chứng minh ∃r > 0 : B (θ; r ) ⊂ C . Thật vậy, X = ∪∞ n=1 nC (do K là nón sinh). ⇒ ∃n 0 , ∃G mở : G ⊂ n 0C (do định lý Baire). 1 1 1 1 Vì C là tập lồi, đối xứng nên C − C ⊂ C ⇒ G− G ⊂C 2 2 2n 0 2n 0 r • Ta chứng minh B ⊂ C (B := B (θ; 1)). 2 n r 1 X r Lấy a ∈ B . Ta xây dựng dãy (x n ) thỏa x n ∈ n C , ka − x k k < n+1 . 2 2 k=1 2 r 1 r 1 Thật vậy, vì n B ⊂ n C nên ∀ y ∈ n B, ∀² > 0, ∃x ∈ n C : ky − xk < ². 2 2 2 2 Ta có: r 1 r a ∈ B ⇒ x 1 ∈ C : ka − x 1 k < 2 2 2 2 r 1 r a − x 1 ∈ 2 B ⇒ ∃x 2 ∈ 2 C : ka − x 1 − x 2 k < 3 , . . . 2 2 2 1 1 1 Vì x n ∈ n C nên ∃u n , v n ∈ K : x n = u n − v n , ku n k 6 n , kv n k 6 n . 2∞ ∞ 2 2 X X Đặt u = un , v = v n , ta có a = u − v, kuk 6 1, kvk 6 1. Vậy a ∈ C . n=1 n=1 r Như vậy B ⊂ C . 2 rx • ∀x 6= θ , ta có = u 0 − v 0 với u 0 , v 0 ∈ K, ku 0 k 6 1, kv 0 k 6 1 2kxk 2 ⇒ x = u − v, u, v ∈ K, kuk 6 M kxk, kvk 6 M kxk, trong đó M = . r Từ đó ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.1.5 Cho nón K. Khi đó nón liên hợp (nón đối ngẫu) của K được định nghĩa là: K∗ = { f ∈ X ∗ : f (x) > 0∀x ∈ K}. Trong đó X∗ là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không
8 gian X, là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Nhận thấy K∗ thỏa hai tính chất đầu tiên trong định nghĩa nón. Chứng minh K∗ đóng: Lấy ( f n )n là dãy trong K∗ và f n → f . Ta chứng minh f ∈ K∗ nghĩa là f (x) > 0 ∀x ∈ K. Thật vậy, do ( f n ) ⊂ K∗ nên f n (x) > 0 ∀x ∈ K, ∀n . Với mỗi x ∈ K, f n (x) → f (x) ⇒ f (x) > 0. Mà x lấy tùy ý nên f (x) > 0 ∀x ∈ K. Vậy K∗ đóng. Mặt khác, ta cũng có K∗ + K∗ ⊂ K∗ , λK∗ ⊂ K∗ λ > 0 (hiển nhiên). Như vậy, K∗ thỏa hai tính chất đầu của định nghĩa nón. Ngoài ra, có thể chứng minh K∗ ∩ (−K∗ ) = {θ X ∗ } ⇔ K − K = X. Mệnh đề 5 x 0 ∈ K ⇔ f (x 0 ) > 0 ∀ f ∈ K∗ . Chiều thuận Hiển nhiên đúng. Chiều nghịch (Chứng minh phản chứng) Giả sử ∃x 0 ∈ X thỏa f (x 0 ) > 0 ∀ f ∈ K∗ nhưng x 0 ∉ K. Ta có K là tập đóng, {x 0 } compact, K ∩ {x 0 } = ;, áp dụng định lý tách các tập lồi ta được: ∃g ∈ X∗ : g (x 0 ) < g (y), ∀y ∈ K (1.1) Lấy x ∈ K, khi đó t x ∈ K t > 0, áp dụng (1.1), ta có: 1 g (x 0 ) < g (t x), ∀t > 0 hay g (x 0 ) < g (x), ∀t > 0. t
9 Cho t → +∞, ta được 0 6 g (x) hay g ∈ K∗ . Do đó g (x 0 ) > 0. Mặt khác, do g (x 0 ) < g (x), ∀x ∈ K nên với x = θ , ta được g (x 0 ) < 0 (mâu thuẫn). Tóm lại, ta có điều phải chứng minh. 1.2 Ánh xạ đa trị. Tính liên tục Các kiến thức trong phần này được tham khảo từ ([2]). Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ký hiệu 2Y là tập hợp tất cả tập con của Y. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y là một ánh xạ từ X vào 2Y . Định nghĩa 1.2.2 Cho X, Y là các không gian Banach và F : D ⊂ X → 2Y \{;} là ánh xạ đa trị. 1. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới) trên D nếu {x ∈ D : F (x) ⊂ V } (tương ứng {x ∈ D : F (x) ∩ V 6= ;}), là mở trong D , với mọi tập con mở V ⊂ Y. 2. Ánh xạ F được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn B ⊂ D , [ tập hợp F (B ) = F (x) là compact tương đối. x∈B 3. Đồ thị của ánh xạ F được định nghĩa là tập hợp G F = {(x, y) ∈ D × Y : y ∈ F (x)}.
10 Mệnh đề 6 1. Giả sử rằng F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên D và nhận giá trị đóng và x n → x, y n ∈ F (x n ), y n → y . Khi đó y ∈ F (x). 2. Nếu ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới trên D thì với bất kỳ dãy x n → x và với mọi y ∈ F (x), tồn tại dãy con {x nk }k và dãy {y k } sao cho y k ∈ F (x nk ) và y k → y . 3. Nếu ánh xạ đa trị F là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong D × Y thì F là nửa liên tục trên trên D . Chứng minh. 1. Nếu y ∉ F (x) thì do F (x) đóng nên d (y, F (x)) = r > 0. r Ta có tập hợp V = {y 0 ∈ Y : d (y 0 , F (x)) < } là tập mở chứa F (x). Do F 2 là nửa liên tục trên nên tập W = {x 0 ∈ D : F (x 0 ) ⊂ V } là tập mở trong D , chứa x . Mặt khác, do x n → x nên x n ∈ W khi n đủ lớn và do đó y n ∈ F (x n ) ⊂ V . r Suy ra d (y n , y) > (mâu thuẫn với {y n } hội tụ về y ). 2 Vậy y ∈ F (x). 2. Lấy y ∈ F (x) tùy ý, ta chứng minh tồn tại {x nk } và {y k } thỏa y k ∈ F (x nk ) và y k → y . Lấy ² > 0. Ta có B (y, ²) là tập mở trong Y. Ta có y ∈ F (x) nên F (x) ∩ B (y, ²) 6= ;. Lại do F nửa liên tục dưới nên tập hợp W = {x 0 ∈ D : F (x 0 ) ∩ B (y, ²) 6=
11 ;} là tập mở trong X. Nhận thấy W là tập mở chứa x , ta có x n → x nên ∃n 0 ∈ N∗ : ∀n > n 0 ⇒ x n ∈ W . Như vậy ta có {x nk } := {x n }n >n0 là dãy con của {x n } thỏa F (x nk ) ∩ B (y, ²) 6= ;. Do đó tồn tại dãy {y k } thỏa y k ∈ F (x nk ) và d (y k , y) < ² với mọi ². Vậy {y k } hội tụ về y . 3. Giả sử F không là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên D . Khi đó, tồn tại tập V mở trong Y, trong khi tập W = {x ∈ D : F (x) ⊂ V } không là tập mở trong X, nghĩa là tồn tại x ∈ W mà W không là lân cận của x . Do đó, µ ¶ 1 B x, 6 W, ∀n. ⊂ n 1 Chọn {x n } thỏa d (x n , x) < và x n ∉ W, ∀n. n Ta có x n → x và F (x n ) 6⊂ V, ∀n , chọn dãy {y n } thỏa y n ∈ F (x n ) và y n ∉ V . Dãy {x n } bị chặn (do hội tụ) và F là ánh xạ compact nên không mất tính tổng quát, giả sử y n → y và y ∉ V . Như vậy ta có {(x n , y n )} ⊂ G F , (x n , y n ) → (x, y) và G F là tập đóng nên (x, y) ∈ G F , nghĩa là y ∈ F (x). Trong khi đó, x ∈ W nên F (x) ⊂ V , do đó y ∈ V , mâu thuẫn. Vậy, ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên trên D . Bổ đề 1 Cho F : X → 2Y \{;} là ánh xạ nửa liên tục dưới, f : X → Y là ánh
12 xạ liên tục, thỏa mãn: ∀² > 0 thì F (x) ∩ B ( f (x), ²) 6= ; ∀x . Xét ánh xạ φ : X → 2Y \{;} xác định bởi φ(x) = F (x) ∩ B ( f (x), ²) . Khi đó, φ là ánh xạ nửa liên tục dưới. Chứng minh. Nhắc lại định nghĩa nửa liên tục dưới: Hàm F : X → 2Y \{;} được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu ∀V mở, chứa trong Y, thì tập {x ∈ X : F (x) ∩ V 6= ;} là mở trong X. Lấy tập V mở tùy ý trong X, ta chứng minh W = {x ∈ X : φ(x) ∩ V 6= ;} là mở trong X. Thật vậy, lấy x 0 ∈ W . Ta chứng minh tồn tại lân cận mở của x 0 , chứa trong W . Do x 0 ∈ W nên φ(x 0 ) ∩ V 6= ; ⇔ F (x 0 ) ∩ B ( f (x 0 ), ²) ∩ V 6= ; ⇒ ∃y 0 ∈ F (x 0 ) và λ ∈ (0, ²) sao cho y 0 ∈ B ( f (x 0 ), λ). Đặt: W1 = {x ∈ X : F (x) ∩ (B ( f (x 0 ), λ) ∩ V ) 6= ;} W2 = {x ∈ X : f (x) ∈ B ( f (x 0 ), ² − λ)} = f −1 (B ( f (x 0 ), ² − λ)) Ta có W1 mở do F là ánh xạ nửa liên tục dưới và B ( f (x 0 ), λ) ∩ V là tập mở. W2 là tập mở do B ( f (x 0 ), ² − λ) là tập mở và f là hàm liên tục. Khi đó W1 ∩ W2 là tập mở, chứa x 0 .
13 Ta chứng minh W1 ∩ W2 ⊂ W . Lấy x ∈ W1 ∩ W2 . Ta có: x ∈ W1 ⇒ F (x) ∩ B ( f (x 0 ), λ) ∩ V 6= ; x ∈ W2 ⇒ f (x) ∈ B ( f (x 0 ), ² − λ) Khi đó B ( f (x 0 ), λ) ⊂ B ( f (x), ²). Thật vậy, lấy y ∈ B ( f (x 0 ), λ) thì d (y, f (x 0 )) < λ. Ta có d (y, f (x)) < d (y, f (x 0 )) + d ( f (x 0 ), f (x)) < λ + ² − λ = ² ⇒ y ∈ B ( f (x), ²). Như vậy, B ( f (x 0 ), λ) ⊂ B ( f (x), ²). Khi đó, F (x) ∩ B ( f (x 0 ), λ) ∩ V ⊂ F (x) ∩ B ( f (x), ²) ∩ V . Mà F (x) ∩ B ( f (x 0 ), λ) ∩ V 6= ; ⇒ F (x) ∩ B ( f (x), ²) ∩ V 6= ; ⇒ φ(x) ∩ V 6= ;. Suy ra x ∈ W . Mà x tùy ý nên W1 ∩ W2 ⊂ W . Từ đó φ là ánh xạ nửa liên tục dưới. Các kiến thức trình bày tiếp theo được tham khảo từ trang 91 đến trang 99 của tài liệu ([9]). Định nghĩa 1.2.3 Một họ {Uα }α∈I các tập con của không gian X được gọi là hữu hạn địa phương nếu mỗi điểm trong X đều có một lân cận W sao cho chỉ có hữu hạn α thỏa W ∩Uα 6= ;. Định nghĩa 1.2.4 Cho X là không gian topo, Z ⊂ X. Ta nói họ A các tập con của X là một phủ của Z hay A phủ Z nếu Z ⊂ ∪B ⊂A B .
14 Họ A được gọi là một phủ của Z , phủ đóng, phủ mở, phủ hữu hạn địa phương, phủ rời rạc, phủ σ− rời rạc tương ứng nếu A phủ Z và họ A có những tính chất trên. Cho A, B là các tập con của X (tương ứng phủ tập Z , với Z ⊂ X). Ta nói rằng A làm mịn B nếu mỗi phần tử của A được chứa trong một phần tử nào đó của B . Định nghĩa 1.2.5 Một không gian topo Hausdorff X được gọi là para- compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một phủ mở làm mịn hữu hạn địa phương. Định lý 1.2.6 Mọi không gian metric đều là paracompact. Chứng minh. Đặt U = {Uα : α ∈ A } là một phủ mở của không gian metric X với metric d. Với x ∈ X và r > 0, đặt B (x, r ) = {y ∈ X : d (x, y) < r }. 1 Với α ∈ A và n ∈ N, đặt Vα, n = [ B (x, ) thỏa các điều kiện sau: x∈X 2n 3 1. B (x, ) ⊂ Uα ; 2n 2. x ∉ Uβ nếu β < α; 3. x ∉ Vβ, j nếu j < n. Trước tiên ta định nghĩa các tập Vα,n với n = 1 (trong trường hợp này, chỉ có 2 điều kiện đầu tiên được xem xét), sau đó xây dựng Vα, n với n = 2, 3, . . .