Luận văn Thạc sĩ Toán Giải tích: Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> ĐỖ THỊ HẰNG<br /> <br /> VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI<br /> TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH<br /> <br /> HÀ NỘI, 2017<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> ĐỖ THỊ HẰNG<br /> <br /> VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI<br /> TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán Giải tích<br /> Mã số: 60460102<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học:<br /> TS. DƯ ĐỨC THẮNG<br /> <br /> HÀ NỘI, 2017<br /> <br /> 3<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1 Cơ sở toán học<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của một số không<br /> gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1.1.1<br /> <br /> Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 ) . . . .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.1.2<br /> <br /> Chuẩn trong không gian Sobolev . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 7<br /> <br /> 2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp<br /> lặp Richardson<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2.1<br /> <br /> Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> Phương pháp Richardson tiền điều kiện . . . . . . . . . . . 19<br /> 2.3.1<br /> 2.3.2<br /> <br /> 2.4<br /> <br /> Một số kết quả kỹ thuật<br /> <br /> . . . . . . . . . . . . . . . 19<br /> <br /> Liên hệ với phương pháp KMF . . . . . . . . . . . . 22<br /> <br /> Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br /> 2.4.1<br /> <br /> Quy tắc dừng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 26<br /> <br /> Kết luận và phương hướng nghiên cứu<br /> <br /> 31<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 32<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Luận văn này nhằm trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bài<br /> toán Cauchy của phương trình elliptic. Đây là một vấn đề được nhiều nhà<br /> toán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụng<br /> nhiều trong thực tế.<br /> Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiết<br /> cho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnh<br /> của phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân. Chúng tôi nhắc lại<br /> vắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm. Các khái niệm<br /> về bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại. Một số<br /> phương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra.<br /> Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trình<br /> elliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu. Chúng tôi<br /> đưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm và<br /> hậu nghiệm.<br /> Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo.<br /> Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc<br /> tới Thầy hướng dẫn TS. Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận<br /> tình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.<br /> Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học<br /> Khoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể<br /> cán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọi<br /> điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.<br /> Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp,<br /> phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này.<br /> <br /> 2<br /> <br /> Chương 1<br /> Cơ sở toán học<br /> 1.1<br /> <br /> Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của<br /> một số không gian.<br /> <br /> Phần này, chúng tôi giới thiệu một số không gian tuyến tính định chuẩn<br /> thường dùng trong các phần sau. Nhắc lại rằng không gian Banach là<br /> không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là nó đảm bảo cho mọi dãy<br /> Cauchy đều hội tụ. Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính có<br /> tích vô hướng. Không gian Hilbert là không gian Banach có tích vô hướng.<br /> Đương nhiên mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn<br /> với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.<br /> Ví dụ về một số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp:<br /> <br /> • Không gian các hàm Lp [a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) có<br /> chuẩn được xác định như sau<br /> 1/p<br /> <br /> b<br /> p<br /> <br /> |x(s)| ds<br /> <br /> x =<br /> <br /> .<br /> <br /> a<br /> <br /> • Không gian C[a, b], a, b ∈ R gồm các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và<br /> x = max |x(s)|.<br /> s∈[a,b]<br /> <br />