Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong luận văn như: một số không gian hàm, bài toán thuận, định nghĩa nghiệm yếu và phương pháp sai phân rời rạc bài toán thông qua lược đồ Crank-Nicolson. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU THÁI NGUYÊN - 6/2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 6/2020
1 Mục lục Trang Danh sách hình vẽ 3 Danh sách bảng 4 Lời nói đầu 5 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 8 1.1. Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Rời rạc hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Rời rạc hóa bài toán thuận theo biến không gian . 14 1.2.2. Rời rạc bài toán thuận theo biến thời gian . . . . . 16 Chương 2 Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều 19 2.1. Bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Rời rạc bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Phương pháp gradient liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 34
2 Tài liệu tham khảo 35
3 Danh sách hình vẽ 2.1 Ví dụ 1: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải). Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.28). . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Ví dụ 2: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải). Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.28). . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Ví dụ 3: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải). Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.28). . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Ví dụ 1: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải). Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.29). . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Ví dụ 2: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải). Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.29). . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6 Ví dụ 3: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải). Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.29). . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Danh sách bảng 2.1 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số kf −fn∗ kL2 (0,T ) và giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω được cho theo công thức (2.28). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số kf −fn∗ kL2 (0,T ) và giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω được cho theo công thức (2.29)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Lời nói đầu Trong nhiều nghiên cứu thực tế, hàm nguồn trong quá trình truyền nhiệt là không biết và yêu cầu cần phải xác định từ một vài thông số ta quan sát được hay đo được [1, 2, 4, 5]. Đây là các bài toán ngược xác định hàm vế phải hay một phần hàm vế phải (hàm nguồn) của phương trình truyền nhiệt. Vì những ứng dụng quan trọng trong thực tế nên có rất nhiều nghiên cứu cả về lý thuyết và giải số đã được phát triển. [1, 3, 5, 6]. Bài toán ngược này là bài toán đặt không chỉnh. Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện: i) Tồn tại nghiệm; ii) Nghiệm là duy nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện bài toán. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán được gọi là đặt không chỉnh. Bài toán đặt không chỉnh thường gây ra nhiều vấn đề nghiêm trọng vì làm cho các nghiệm số cổ điển không ổn định, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào có thể dẫn tới sai số lớn bất kì với nghiệm. Ta có thể xét ví dụ sau đây: Xét chuỗi Fourier X∞ an cos nt = f (t) ∼ (a0 , a1 , . . . , ). (0.1) n=0 Chọn an = an + n , n ≥ 1 và a0 = a0 . Trong chuẩn của l2 , ta có ∞ ∞ X 2 1/2 X 1 1/2 k(a1 , a2 , ...) − (a1 , a2 , . . . )kl2 = 2 = n n2 n=1 n=1 (0.2) π = √ −→ 0, → 0. 6
6 Mặt khác ∞ X kf (t) − f (t)kC[0,π] = = ∞. (0.3) n=0 n Từ phương trình (0.2) và (0.3) ta có mặc dù hệ số sai khác nhỏ nhưng có thể dẫn tới sai khác bất kì đối với hàm vế phải f (t). Nội dung luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1 giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, phương trình truyền nhiệt một chiều dạng tổng quát, bài toán thuận, phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc bài toán thuận. Chương 2 nghiên cứu bài toán xác định hàm vế phải bằng cách sử dụng phương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov, công thức gradient của phiếm hàm mục tiêu được tính thông qua nghiệm của bài toán liên hợp cả trong trường hợp liên tục (Định lý 2.1) và trong trường hợp rời rạc (Định lý 2.2). Trong chương này, chúng tôi cũng trình bày lại phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu. Luận văn cũng trình bày một vài ví dụ số minh họa cho các phương pháp số đề xuất với các tính chất khác nhau của hàm vế phải cần tìm. Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, cô tận tình chỉ bảo và hỗ trợ tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tiếp cận thực tế, tìm kiếm tài liệu, xử lý và phân tích số liệu, giải quyết vấn đề để tôi có thể hoàn thành luận văn khoa học này. Ngoài ra, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài tôi còn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, giúp đỡ của quý thầy cô, đồng nghiệp, bạn bè và người thân. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến: • Những người thân trong gia đình đã hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. • Quý thầy cô Khoa Toán- Tin và quý thầy cô phòng Đào tạo - KHCN và HTQT, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã truyền
7 đạt cho tôi những kiến thức bổ ích trong suốt hai năm học vừa qua. • Bạn bè, đồng nghiệp luôn động viên, hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu! Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 6 năm 2020 Học viên Đỗ Thị Tuyết Nga
8 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong luận văn như: một số không gian hàm, bài toán thuận, định nghĩa nghiệm yếu và phương pháp sai phân rời rạc bài toán thông qua lược đồ Crank-Nicolson. 1.1. Giới thiệu bài toán Cho Ω = (0, L) ⊂ R and Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, 1} × (0, T ). Xét phương trình  u − (a(x, t)ux )x + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q,   t    u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S,    u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.  (1.1) Trong đó a, b và ϕ trong không gian L∞ (Q), g ∈ L2 (Q), f ∈ L2 (0, T ) và u0 ∈ L2 (Ω). Giả sử rằng a ≥ a > 0 với a là hằng số và b ≥ 0. Hơn nữa, ϕ ≥ ϕ > 0, (1.2) với ϕ là hằng số. Định nghĩa 1.1 (Bài toán thuận) [5] Khi các hệ số a(x, t), b(x, t), điều kiện ban đầu u0 , các hàm vế phải đã biết (gồm f (t), ϕ(x, t), g(x, t)),
9 bài toán tìm nghiệm của hệ (1.1) được gọi là bài toán thuận (hay bài toán trực tiếp). Định nghĩa 1.2 (Bài toán ngược) [5] Khi các hệ số a(x, t), b(x, t), điều kiện ban đầu u0 , các hàm vế phải ϕ(x, t), g(x, t) đã biết, bài toán tìm hàm f (t) từ một số quan sát (hay thông tin) về nghiệm nghiệm của hệ (1.1) được gọi là bài toán ngược. Trước khi đi vào định nghĩa nghiệm yếu của hệ phương trình (1.1), chúng tôi sử dụng một số định nghĩa về không gian Sobolev H 1 (Ω), H01 (Ω), H 1,0 (Q), H 1,1 (Q) được giới thiệu trong tài liệu [7] như sau Định nghĩa 1.3 Không gian H 1 (Ω) là tập hợp của tất cả các hàm u(x) ∈ L2 (Ω) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2 (Ω), với tích vô hướng Z (u, v)H 1 (Ω) := (uv + ux vx ) dx. Ω Định nghĩa 1.4 Không gian H01 (Ω) là tập hợp các hàm thuộc H 1 (Ω) triệt tiêu trên biên, tức là H01 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω) : u(0) = u(L) = 0}. Định nghĩa 1.5 Không gian H 1,0 (Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈ L2 (Q)có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2 (Q) với tích vô hướng ZZ (u, v)H 1,0 (Q) := (uv + ux vx ) dxdt. Q Định nghĩa 1.6 Không gian H 1,1 (Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2 (Q) và ut ∈ L2 (Q) với tích vô hướng ZZ (u, v)H 1,1 (Q) := (uv + ux vx + ut vt ) dxdt. Q Định nghĩa 1.7 Không gian H01,0 (Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈ H 1,0 (Q) triệt tiêu trên biên S, tức là H01,0 (Q) = {u ∈ H 1,0 (Q) : u
S = 0}.
10 Định nghĩa 1.8 Không gian H01,1 (Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈ H 1,1 (Q) triệt tiêu trên biên S, tức là H01,1 (Q) = {u ∈ H 1,1 (Q) : u
S = 0}.
Ngoài ra chúng tôi sử dụng một số khái niệm sau đây: Định nghĩa 1.9 (Khả vi Fréchet) Cho X, Y là các không gian Ba- nach, U là lân cận của điểm x. Ánh xạ F : U → Y được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏa mãn kF (x + h) − F (x) − AhkY lim = 0. h→0 khkX Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là đạo hàm Fréchet của F. Cho B là một không gian Banach, ta định nghĩa L2 (0, T ; B) = {u : u(t) ∈ B a. e. t ∈ (0, T ) and kukL2 (0,T ;B) < ∞}, trong đó Z T kuk2L2 (0,T ;B) = ku(t)k2B dt. 0 Ta cũng định nghĩa W (0, T ) = {u : u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)), ut ∈ L2 (0, T ; (H01 (Ω))0 )}, với chuẩn kuk2W (0,T ) = kuk2L2 (0,T ;H 1 (Ω)) + kut k2L2 (0,T ;(H 1 (Ω))0 ) . 0 0 Nghiệm của bài toán (1.1) được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu như sau: Định nghĩa 1.10 Nghiệm yếu trong không gian W (0, T ) của bài toán (1.1) là hàm u(x, t) ∈ W (0, T ) thỏa mãn đẳng thức Z T ZZ ∂u ∂η hut , ηi(H01 (Ω))0 ,H01 (Ω) dt + a(x, t) + b(x, t)uη dxdt 0 ∂x ∂x Q (1.3) Z T Z = f (t)ϕ(x, t)η + g(x, t)η dxdt, ∀η ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) 0 Ω
11 và u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω. (1.4) Theo [5, Định lý 1.1.1, trang 11] đã chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm trong không gian W (0, T ) của bài toán (1.1). Hơn nữa, tồn tại hằng số cd độc lập với a, b, f, ϕ, g và u0 sao cho kukW (0,T ) ≤ cd kf ϕkL2 (Q) + kgkL2 (Q) + ku0 kL2 (Ω) . (1.5) Để sử dụng phương pháp biến phân cho bài toán xác định hàm vế phải cho phương trình truyền nhiệt, ta cần tới một số kết quả của bài toán liên hợp, cách xác định bài toán liên hợp được trình bày thông qua công thức Green [7, §3.6.1., p. 156–158]. Cụ thể, xét bài toán thuận dạng  u − (a(x, t)ux )x + b(x, t)u = fˆ, (x, t) ∈ Q,   t    u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S, (1.6)    u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.  Bài toán liên hợp của (1.6) dạng  −p − (a(x, t)px )x + b(x, t)p = aQ , (x, t) ∈ Q,   t    p(x, t) = 0, (x, t) ∈ S, (1.7)    p(x, T ) = aΩ , x ∈ Ω.  với aQ ∈ L2 (Q) và aΩ ∈ L2 (Ω). Ta định nghĩa nghiệm của bài toán này là hàm p ∈ W (0, T ) thỏa mãn Z T ZZ ZZ −(pt , v)H −1 (Ω),H01 (Ω) dt + apx vx + bpv dxdt = aQ vdxdt, 0 Q Q ∀v ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)), p(T ) = aΩ . Ta có định lý Green sau đây về mối liên hệ giữa bài toán thuận và bài toán liên hợp
12 Định lý 1.1 Cho u ∈ W (0, T ) là nghiệm của bài toán thuận  u − (a(x, t)ux )x + b(x, t)u = bQ , (x, t) ∈ Q,   t    u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S, (1.8)    u(x, 0) = bΩ , x ∈ Ω.  với bQ ∈ L2 (Q), và bΩ ∈ L2 (Ω). Giả sử aQ ∈ L2 (Q), aΩ ∈ L2 (Ω) và p ∈ W (0, T ) là nghiệm yếu của bài toán liên hợp (1.7). Khi đó ta có công thức Green sau đây Z ZZ Z ZZ aΩ u(·, T )dx + aQ udxdt = bΩ p(·, 0)dx + bQ pdxdt. (1.9) Ω Q Ω Q Chứng minh. Nhân hai vế phương trình đầu tiên của bài toán thuận (1.8) với hàm thử p, lấy tích phân trên Q, ta có ZZ ZZ ZZ ZZ ut pdxdt − a(x, t)ux pdxdt + bupdxdt = bQ pdxdt. Q Q x Q Q Sử dụng công thức tích phân từng phần cho vế trái đẳng thức trên, ta nhận được Z T ZZ ZZ ZZ hut , piH 1 (Ω)0 ,H 1 (Ω) dt + a(x, t)ux px dxdt + bupdxdt = bQ pdxdt. 0 Q Q Q (1.10) Tương tự, nhân vô hướng hai vế phương trình đầu tiên của (1.7) với hàm thử u, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta nhận được Z T ZZ ZZ ZZ − hpt , uiH 1 (Ω)0 ,H 1 (Ω) dt+ a(x, t)ux px dxdt+ bupdxdt = aQ udxdt. 0 Q Q Q (1.11) Từ công thức (1.10), sử dụng công thức tích phân từng phần cho số hạng đầu tiên của vế trái, ta có Z T ZZ ZZ t=T − hu, pt iH 1 (Ω)0 ,H 1 (Ω) dt + hu, pi|t=0 + a(x, t)ux px dxdt + bupdxdt 0 Q Q ZZ = bQ pdxdt, Q
13 hay Z T ZZ ZZ − hu, pt iH 1 (Ω)0 ,H 1 (Ω) dt+ a(x, t)ux px dxdt + bupdxdt 0 Q Q ZZ Z Z = bQ pdxdt − (up)|t=T dx + (up)|t=0 dx. Q Ω Ω Chú ý rằng u(x, 0) = bΩ , và p(x, T ) = aΩ nên đẳng thức trên trở thành Z T ZZ ZZ − hu, pt iH 1 (Ω)0 ,H 1 (Ω) dt+ a(x, t)ux px dxdt + bupdxdt 0 Q Q ZZ Z Z = bQ pdxdt − aΩ u(T )dx + bΩ p(0)dx. Q Ω Ω (1.12) Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có ZZ ZZ Z Z aQ udxdt = bQ pdxdt− aΩ u(T )dx+ bΩ p(0)dx. Q Q Ω Ω Điều này tương đương với ZZ Z ZZ Z aQ udxdt+ aΩ u(T )dx = bQ pdxdt+ bΩ p(0)dx. Q Ω Q Ω Ta có điều phải chứng minh. Mục tiêu: Nghiên cứu bài toán ngược xác định lại thành phần chỉ phụ thuộc thời gian trong vế phải từ quan sát tích phân. Tức là ta xây dựng lại hàm f (t) trong hàm vế phải từ quan sát tích phân Z lu(x, t) = ω(x)u(x, t)dx = h(t), t ∈ (0, T ), (1.13) Ω trong đó ω(x) ∈ L∞ (Ω) là hàm trọng và R Ω ω(x)dx > 0, dữ kiện quan sát h được giả thiết trong không gian L2 (0, T ). Ta kí hiệu nghiệm u(x, t) của (1.1) là u(x, t, f ) (hoặc kí hiệu là u(f ) nếu không có gì nhầm lẫn) để nhẫn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm và hàm chưa biết f (t). Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu [5], ta xây dựng lại hàm chưa biết f (t) bằng cách chuyển bài toán thành bài toán biến phân cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu 1 J0 (f ) = k lu(f ) − h k2L2 (0,T ) . (1.14) 2
14 trên L2 (0, T ). Để ổn định hóa bài toán biến phân, ta kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cực tiểu hóa phiếm hàm hiệu chỉnh 1 γ Jγ (f ) = klu(f ) − hk2L2 (0,T ) + kf − f ∗ k2L2 (0,T ) (1.15) 2 2 với γ là tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm và f ∗ là ước lượng của f ∈ L2 (0, T ). Nếu γ > 0, bài toán tìm cực tiểu của phiếm hàm mục tiêu (1.15) có nghiệm duy nhất trên L2 (0, T ). 1.2. Rời rạc hóa bài toán 1.2.1. Rời rạc hóa bài toán thuận theo biến không gian Chia khoảng (0, L) thành Nx khoảng con trên lưới đều 0 = x0 < x1 < · · · < xNx = L với xk+1 − xk = h = L/Nx . Ký hiệu uk (t) (hoặc uk nếu không có gì nhầm lẫn) là giá trị của hàm u tại x = xk . Ta cũng sử dụng ký hiệu tương tự cho η. Ta xấp xỉ các tích phân trong phương trình (1.3) như sau T Nx duk (t) ZZ Z X ut ηdxdt ≈ h η k (t)dt, (1.16) Q 0 dt k=0 N x −1 ZZ Z T X i ui+1 − ui η i+1−η i a(x, t)ux ηx dxdt ≈ h a (t) dt, (1.17) Q 0 h h k=0 ZZ Z T X Nx b(x, t)uηdxdt ≈ h bi (t)ui (t)ηi (t)dt, (1.18) Q 0 k=0 ZZ Z T Nx X f ϕηdxdt ≈ h f ϕi (t)η i (t)dt, (1.19) Q 0 k=0 ZZ Z T Nx X gηdxdt ≈ h g i (t)η i (t)dt (1.20) Q 0 k=0