Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin và co rút F – Giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu định lý Haydon và chứng minh định lý Haydon; giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của không gian compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin; giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối; nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối của một số hàm tử chức năng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin và co rút F – Giá trị tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Dũng KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Dũng KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Chuyên ngành : Hình học và tôpô. Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Nguyễn Hoàng Dũng
LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 đã cho tôi những kiến thức toán học về Đại số, Giải tích và Hình học tôpô. Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình học và tôpô khoa Toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học. Nguyễn Hoàng Dũng
MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 5 1.1. Không gian tôpô ................................................................................................... 5 1.2. Không gian compact ............................................................................................ 6 1.3. Không gian mêtric ................................................................................................ 7 1.4. Đồng cấu nhóm .................................................................................................... 8 1.5. Không gian lồi địa phương................................................................................... 9 1.6. Dàn Banach .......................................................................................................... 9 1.7. Toán tử ............................................................................................................... 10 1.8. Độ đo .................................................................................................................. 13 1.9. Hàm tử ................................................................................................................ 14 1.10. Khối lập phương Cantor ................................................................................... 15 1.11. Khối lập phương Tychonoff ............................................................................. 16 Chương 2. KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN ..... 18 2.1. Không gian Dugundji và không gian Milutin .................................................. 18 2.2. Một số định lý của không gian F – Dugundji và F – Milutin .......................... 20 Chương 3. CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI .................................................................. 27 3.1. Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối ...................... 27 3.2. Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho một vài hàm tử chức năng............. 37 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 50
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Những ghi nhận ban đầu Với mỗi hàm tử chức năng F : Comp  Comp trong phạm trù Comp của các không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa các khái niệm của các không gian F – Dugundji và F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển trên các không gian Dugundji và Milutin. Qua đó, ta chứng minh được rằng lớp các không gian F – Dugundji trùng với lớp các co rút F – giá trị tuyệt đối. Kế tiếp, cho X là không gian compact Dugundji với các tích tensơ tương ứng và một hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp  Comp , X là một co rút F – giá trị tuyệt đối khi và chỉ khi tập hai phần tử 0,1 là một co rút F – giá trị tuyệt đối. Ta cũng chứng minh được rằng với một hàm tử Lip k của các phiếm hàm k – Lipschitz ( k  2 ), mỗi co rút Lip k – giá trị tuyệt đối được sinh mở. Mặt khác, sự compact hóa một điểm của bất kỳ trong không gian rời rạc không đếm được nào thì không thể sinh mở nhưng lại là co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối. Tổng quát hơn, mỗi không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa của cái nâng rời rạc hữu hạn n  ht  X  là một co rút Lip k – giá trị tuyệt đối với k  2n  2  1 . 1.2. Thực tiễn của đề bài Một trong các định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với mỗi hàm số liên tục f : X  được xác định trên các tập con đóng X của không gian tôpô thông thường Y xác định một thác triển liên tục f : Y  . Trước đây, đã từng có nhiều nỗ lực nhằm hợp nhất định lý Tietze-Urysohn và toán tử chính quy được Dugundji đề cập [9] như một mong muốn hoàn toàn tự nhiên và hợp lý, tuy nhiên những nỗ lực này đã thất bại vì sự tồn tại của các
2 cặp  X , A của các không gian Hausdorff compact A  X không nhận bất kỳ toán tử mở rộng tuyến tính chính quy u : C  A  C  X  . Điều này khiến A.Pelczynski [15] nãy ra ý tưởng giới thiệu một lớp các không gian compact Dugundji. Tồn tại các không gian compact X nhận với mỗi phép nhúng X  Y vào một không gian Hausdorff compact Y một toán tử mở rộng tuyến tính chính quy u : C  X   C Y  . Việc nghiên cứu có hệ thống của lớp các không gian compact Dugundji được bắt đầu bởi A.Pelczynski không lâu sau đó các không gian compact Dugundji đã được chứng minh rằng có thể được mô tả như là co rút P – giá trị tuyệt đối với các hàm tử P : Comp  Comp của các độ đo xác suất trong phạm trù Comp của các không gian Hausdorff compact và các ánh xạ liên tục. Cần nhắc lại rằng với một không gian Hausdorff compact X thì không gian độ đo xác suất P  X  là một không gian con của Tychonoff cấp C X  bao gồm tất cả các phiếm tuyến tính chính quy  :C  X   (  chính quy có nghĩa là   f   conv  f  X   ). Ta có thể đồng nhất mỗi điểm x  X với độ đo Dirac  x : C  X   , gán mỗi hàm số f  C  X  với giá trị của f  x  tại x . Phép gán x  x xác định một phép nhúng chính tắc  : X  PX của X vào chính nó với độ đo xác suất. Đồng thời R. Haydon đã làm sáng tỏ các hiểu biết về cấu trúc của các không gian Dugundji compact khi đã chứng minh được lớp các không gian Dugundji compact trùng với lớp AE  0  của các mở rộng compact tuyệt đối số chiều không. Như đã thấy trước và sau Haydon đã có nhiều nghiên cứu và vấn đề được đặt ra xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin cũng như là
3 co rút F – giá trị tuyệt đối và cũng đã đạt được nhiều kết quả. Từ đó cho chúng ta thấy sự cấp thiết của đề tài cần được quan tâm và nghiên cứu. Với các kiến thức tôpô đại cương và nghiên cứu trên không gian Dugundji của các nhà toán học trên thế giới và Việt Nam cũng như từ bài báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts của hai tác giả Taras Banakh và Taras Radul xuất bản trong tạp chí Topology and its Applications năm 2015. 2. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 2.1. Mục tiêu nghiên cứu Từ chứng minh của R. Haydon rằng lớp các không gian Dugundji compact trùng với lớp AE  0  của các giãn tử compact tuyệt đối trong số chiều không. Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu:  Định lý Haydon và chứng minh định lý Haydon.  Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của không gian compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin.  Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối..  Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối của một số hàm tử chức năng. 2.2. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số kết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và trình bày lại một số khái niệm và kết quả đã có chứng minh một số định lý và tính chất trong bài. 3. Cấu trúc của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, 3 và phần kết thúc.
4 Mở đầu: Nội dung của phần mở đầu nhằm đề cập đến những ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung của chương 1 nhằm đưa ra một số kiến thức cơ bản cần thiết cho chương 2 và chương 3. Chương 2: Không gian F – Dugundji và F – Milutin: Chương 2 của luận văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji và F – Milutin cùng các tính chất liên quan. Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối: Chương 3 của luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối và các tính chất liên quan. Cuối chương tôi xin trình bày một số kết quả có được khi xét F là một hàm tử cụ thể. Kết luận: Chúng tôi đã hệ thống lại các kết quả đã được trình bày trong chương 2 và chương 3 cùng một số vấn đề nhằm định hướng phương hướng nghiên cứu trong tương lai.
5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung của chương này giới thiệu và nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau. Các định nghĩa được trình bày trong chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [4], [12]. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho: 1. , X  ; 2. U ,V   U V  ; 3. U i  , i  I  U i  . iI Khi đó, ta gọi  là một tôpô trên X và  X ;  là một không gian tôpô. 1.1.2. Lân cận của một điểm Cho không gian tôpô  X ;  và điểm x  X , U  X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại V  sao cho x V và V  U . 1.1.3. Tập đóng Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở. 1.1.4. Tôpô cảm sinh Cho không gian tôpô  X ;  và A  X . Ta có họ  A   A  U :U mở trong X  là họ các tập mở trong A và  A là một tôpô trên A được cảm sinh từ tôpô  . Khi đó  X ; A  được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô  X ;  .
6 1.1.5. Tôpô tích Không gian X thỏa mãn X :  X i là tích Descartes của các không gian iI tôpô X i , i  I , tôpô tích trên X được định nghĩa là tôpô yếu nhất đối với mọi phép chiếu liên tục pi : X  X i . Tôpô tích còn được gọi là tôpô Tychonoff. 1.1.6. Cơ sở của không gian tôpô Cho không gian tôpô  X ;  , x  X , họ x nào đó là những lân cận của điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô  tại x (hay là cơ sở lân cận tại x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại V  x sao cho x V  U . Họ con B các phần tử của tôpô  được gọi là cơ sở của  trên X nếu mọi phần tử thuộc  đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc B . Họ con   được gọi là tiền cơ sở của tôpô  nếu họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc lớp tập thành một cơ sở của tôpô  . Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay không quá đếm được) những tập hợp mở. 1.1.7. Không gian Hausdorff Không gian tôpô  X ; được gọi là không gian Hausdorff (hay T2  không gian) nếu với mọi cặp điểm bất kì x, y  X có các lân cận U1 , U 2 sao cho x U1 , y U 2 và U1  U 2   . 1.2. Không gian compact 1.2.1. Phủ và phủ mở Cho X là không gian tôpô, một họ C  Ui  X , i  I  là một phủ của X nếu X  Ui . iI Một phủ con của C là một tập con của C mà vẫn phủ X . Ta gọi C là một phủ mở nếu mỗi thành phần của nó là một tập mở (nghĩa là U i chứa trong  , với  là một tôpô trên X ).
7 1.2.2. Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mỗi phủ mở bất kỳ của X luôn có phủ con hữu hạn. 1.2.3. Compact hóa Cho không gian tôpô X , không gian tôpô Y được gọi là compact hóa của không gian tôpô X nếu X đồng phôi với một không gian con trù mật của Y . 1.2.4. Compact hóa một điểm Compact hóa của không gian compact X bằng việc thêm vào không gian X một điểm được gọi là không gian compact hóa một điểm của X . 1.2.5. Không gian paracompact Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở của X luôn có phủ mở, mịn địa phương hữu hạn. Có nghĩa là: cho một phủ mở của X là U i  , tồn tại một phủ mở Vi | Vi  Ui  thỏa x  X , Vx là một lân cận của x và tập i : Vi  Vx   là hữu hạn. 1.2.6. Paracompact kế thừa Một không gian tôpô X được gọi là paracompact kế thừa nếu mỗi không gian con của X là paracompact. 1.3. Không gian mêtric 1.3.1. Định nghĩa Cho tập X   . Một ánh xạ d : X  X  được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn x, y, z  X : 1) d  x, y   0 , d  x, y   0  x  y. 2) d  x, y   d  y, x . 3) d  x, y   d  x, z   d  z, y . Nếu d là mêtric trên X thì cặp  X , d  gọi là một không gian mêtric.
8 1.3.2. Mêtric đầy đủ Dãy  xn n1 trong không gian mêtric  X , d  được gọi là dãy Cauchy (hoặc dãy  cơ bản) nếu:   0, n0  : i, j  n0  d  xi , x j    . Không gian mêtric  X , d  được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.3.3. Tôpô sinh bởi mêtric Cho  X , d  là một không gian mêtric, tôpô sinh bởi cơ sở gồm các quả cầu mở B = Bd  a, r  : a  X , r  0 được gọi là tôpô sinh bởi mêtric (hay tôpô mêtric). 1.3.4. Không gian mêtric hóa Không gian tôpô X được gọi là không gian mêtric hóa nếu trên X có một mêtric d : X  X  sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X . 1.4. Đồng cấu nhóm 1.4.1. Định nghĩa Cho hai nhóm  G,  và  H ,  , ánh xạ f :  G,    H ,  được gọi là đồng cấu nhóm nếu ánh xạ f bảo toàn cấu trúc nhóm, nghĩa là: f  x y   f  x   f  y  với mọi x, y  G . 1.4.2. Đơn cấu Một đồng cấu f :  G,    H ,  được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh. 1.4.3. Toàn cấu Một đồng cấu f :  G,    H ,  được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh. 1.4.4. Đẳng cấu Một đồng cấu f :  G,    H ,  được gọi là đẳng cấu nếu f là đơn cấu và toàn cấu hay f là song ánh.
9 1.5. Không gian lồi địa phương 1.5.1. Nửa chuẩn của không gian Cho X là một không gian vectơ trên trường số (  hoặc  ). Một ánh xạ p : X  được gọi là nửa chuẩn trên X nếu x, y  X ,   thỏa mãn: i. p  x  0 , ii. p  x   p  x , iii. p  x  y   p  x   p  y  1.5.2. Không gian lồi địa phương Một không gian vectơ được trang bị dãy các nửa chuẩn được gọi là không gian lồi địa phương. 1.6. Dàn Banach 1.6.1. Không gian Riez Không gian Rietz E là một không gian vectơ sắp thứ tự riêng phần  , với bất kỳ x, y, z  E thỏa: i. x y x z  y z. ii. a  , x  y  ax  ay . iii. Với bất kỳ cặp vectơ x, y  E , tồn tại một supremum (kí hiệu x  y ) trong E tương ứng với    . 1.6.2. Chuẩn của không gian Cho X là một không gian vectơ trên trường số (  hoặc  ). Một ánh xạ p : X  được gọi là một chuẩn trên X nếu x, y  X ,   thỏa mãn: i. p  x  0 , p  x   0  x   (  chỉ phần tử không trong X );
10 ii. p  x   p  x ; iii. p x  y  p  x  p  y . Số p  x  gọi là chuẩn của phần tử x . Ta kí hiệu x thay cho p  x  . 1.6.3. Không gian định chuẩn Không gian vectơ X cùng với chuẩn  trong nó được gọi là một không gian định chuẩn, ký hiệu:  X ,   . Nếu p là một chuẩn trên không gian vectơ X thì ta có: d  x, y  : p  x  y  là một mêtric trên X , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn p ). 1.6.4. Không gian Banach Không gian định chuẩn  X ,   được gọi là không gian Banach nếu X và mêtric sinh bởi  là không gian đầy đủ. 1.6.5. Dàn Banach Một dàn Banach  X ,  là một không gian Riesz với một chuẩn sao cho X,  là một không gian Banach và mọi x, y  X sao cho x  y  x  y với x : x   x . 1.7. Toán tử 1.7.1. Định nghĩa Một toán tử A : f  n I   f I  gán mỗi hàm f  f  n I  cho một hàm A f   f  I  . Vì vậy nó là một ánh xạ giữa hai không gian hàm. 1.7.2. Phiếm hàm Với X là một không gian tôpô, một toán tử F : X  , với  , được xây dựng với mục đích thiết lập một cấu trúc tính toán trên X được gọi là phiếm hàm. Phụ thuộc vào mục đích mà phiếm hàm này có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính hoặc được định nghĩa trên cả không gian X .
11
12 1.7.3. Toán tử tuyến tính Một ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ V lên chính nó được gọi là một toán tử tuyến tính trên V . Một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào trường số được gọi là một phiếm hàm tuyến tính. 1.7.4. Toán tử mở rộng Cho hai đa tạp tuyến tính D  A và D  B  là tập xác định của hai toán tử tuyến tính A : D  A  và B : D  B   với là không gian Hilbert. B được nói là toán tử mở rộng của A nếu D  A  D  B  và B  v   A v  với mỗi v  D  A . 1.7.5. Toán tử chính quy Cho hai không gian tôpô X và Z . Ta kí hiệu không gian tuyến tính của tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào Z là C  X , Z  . Nếu Z  , không gian tuyến tính C  X ,  được ký hiệu là C  X  . Nếu không gian X là compact thì các không gian tuyến tính C  X  chứa một cấu trúc của một dàn Banach với chuẩn sup f  sup xX f  x  . Theo Dugundji [9], với X là tập con đóng của không gian tôpô mêtric hóa Y và Z là một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, toán tử tuyến tính u : C  X , Z   C Y , Z  được gọi là toán tử chính quy nếu toán tử u thác triển mỗi hàm số liên tục f  C  X , Z  thành hàm số f  C Y , Z  với các giá trị nằm bao lồi đóng conv  f  X   của f  X  con Z . 1.7.6. Toán tử trung bình Toán tử trung bình là một hàm số hai biến M : 0,1  0,1  0,1 thỏa mãn các tính chất sau. x, y 0,1 : i. min  x, y   M  x, y   max  x, y  , M min,max .
13 ii. M  x, y   M  y, x  . iii. M là hàm số liên tục và đơn điệu tăng. 1.8. Độ đo 1.8.1. Định nghĩa Cho một không gian đo được  X , F  , một ánh xạ  : F  0,  được gọi là một độ đo nếu: i.    0 . ii.  có tính chất  - cộng tính, nghĩa là nếu các tập E1, E2 ,... trong X đếm  được, không gian nhau từng đôi một và E Ek thì k 1      Ek      Ek  .  k 1  k 1 Nếu  là một độ đo xác định trên  - đại số F thì bộ ba  X , F ,   được gọi là một không gian độ đo. 1.8.2. Độ đo xác suất Cho một không gian độ đo  X , F ,   , nếu P  X   1 thì P được gọi là độ đo xác suất hay xác suất. 1.8.3. Độ đo Dirac Độ đo Dirac là độ đo  x trên tập X xác định với x  X và bất kỳ tập đo được A  X sao cho: 0, x  A  x  A  1A  x    . 1, x  A Độ đo Dirac là một độ đo xác suất.
14 1.9. Hàm tử 1.9.1. Định nghĩa Cho các phạm trù và , một hàm tử F :  là một quy luật tương ứng mỗi vật A với một vật F  A  và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong phạm trù với một cấu xạ F   : F  A  F  B  trong phạm trù . Hơn nữa, thỏa mãn hai tiên đề sau: Với mỗi vật A  : F 1A   1F  A . F     F    F   với mỗi cặp cấu xạ  ,   trong mà xác định được tích  . Các hàm tử đôi khi còn được gọi là hàm tử hiệp biến để phân biệt với các phản hàm tử hay hàm tử phản biến được định nghĩa như sau. 1.9.2. Hàm tử phản biến Hàm tử phản biến G :  là quy luật tương ứng mỗi vật A với một vật G  A  và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong với một cấu xạ G   : G  B   G  A trong phạm trù . Hơn nữa, hai tiên đề sau phải thỏa mãn: i. Với mỗi vật A  : G 1A   1G A . ii. G     G   G    với mỗi cặp cấu xạ  ,   trong mà xác định được tích  . 1.9.3. Hàm tử tuyến tính Cho hai phạm trù tuyến tính và (với các vật là các không gian vectơ và mũi tên là các ánh xạ tuyến tính). Lấy hai vật X ,Y  , một hàm tử F:  được gọi là tuyến tính nếu ánh xạ F : Hom  X , Y   Hom  F  X  , F Y   là tuyến tính.
15 1.9.4. Hàm tử monad Cho phạm trù , một monad trên bao gồm một hàm tử T :  và hai phép biến đổi tự nhiên  :1  T (với 1 là hàm tử đơn vị trên ) và  :T 2  T (với T 2 là hàm tử T T :  . Đồng thời thỏa hai điều kiện sau:  T    T (là phép biến đổi tự nhiên T  T ). 3 i. ii.  T   T  1T (là phép biến đổi tự nhiên T  T , 1T là phép biến đổi đơn vị từ T vào T ). 1.9.5. Hàm tử Dirac Hàm tử  : Comp  Comp gán mỗi không gian compact X với không gian con đóng   X    X  x  : x  X   C X  với độ đo Dirac trên X được gọi là hàm tử Dirac. Hiển nhiên rằng hàm tử Dirac  thì đẳng cấu với hàm tử đơn vị (trong phạm trù , hàm tử biến một vật trong thành một vật trong và mũi tên trong thành một mũi tên trong , kí hiệu: 1 hoặc id ). 1.10. Khối lập phương Cantor 1.10.1. Nhóm tôpô Nhóm tôpô G là một không gian tôpô (cũng là một nhóm) sao cho phép toán trên không gian tôpô tích G  G thỏa: GG  G G G và nghịch đảo liên tục.  x, y  xy x x 1 1.10.2. Khối lập phương Cantor Khối lập phương Cantor là một nhóm tôpô có dạng 0,1 với tập chỉ số A A . Cấu trúc đại số và tôpô của nó là tích trực tiếp và tôpô tích trên nhóm Cyclic bậc hai (2 thành phần) (trên nó có trang bị cấu trúc tôpô rời rạc). Nếu A là tập đếm được hữu hạn thì khối lập phương Cantor tương ứng là không gian Cantor. Khối lập phương Cantor thì đặc biệt giữa những nhóm