Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý hội tụ mạnh giải bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động trong không gian Banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một định lý hội tụ mạnh giải bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động trong không gian Banach. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý hội tụ mạnh giải bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- VŨ THỊ THANH NGA MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. Trương Minh Tuyên 2. TS. Li ZhenYang THÁI NGUYÊN - 2019
ii Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n TS. Tr÷ìng Minh Tuy¶n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu º ho n th nh luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o trong khoa To¡n Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu t¤i Tr÷íng. Nh¥n dàp n y, tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh, b¤n b± v çng nghi»p ¢ ëng vi¶n, kh½ch l», t¤o i·u ki»n gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu.
iii Möc löc Líi c£m ìn ii Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt iv Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 Khæng gian Banach p-lçi ·u v khæng gian Banach trìn ·u . . . 3 1.1.1 Khæng gian Banach ph£n x¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Banach . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 H m lçi v mët sè t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Khæng gian Banach p-lçi ·u . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Khæng gian Banach trìn ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 nh x¤ èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Kho£ng c¡ch Bregman v ph²p chi¸u Bregman . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Kho£ng c¡ch Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Ph²p chi¸u Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 B i to¡n ch§p nhªn t¡ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i 24 Ch÷ìng 2 Mët ành lþ hëi tö m¤nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach 26 2.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 K¸t luªn 40 T i li»u tham kh£o 41
iv Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt E khæng gian Banach E∗ khæng gian èi ng¨u cõa E R tªp hñp c¡c sè thüc ∩ ph²p giao inf M cªn d÷îi óng cõa tªp hñp sè M sup M cªn tr¶n óng cõa tªp hñp sè M max M sè lîn nh§t trong tªp hñp sè M min M sè nhä nh§t trong tªp hñp sè M argminx∈X F (x) tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m F tr¶n X ∅ tªp réng ∀x vîi måi x dom(A) mi·n húu hi»u cõa to¡n tû A I to¡n tû çng nh§t Lp (Ω) khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n Ω lp khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p lim sup xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } n→∞ lim inf xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } n→∞ xn → x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 Jp ¡nh x¤ èi ng¨u δE (ε) mæ un lçi cõa khæng gian Banach E ρE (τ ) mæ un trìn cõa khæng gian Banach E F ix(T ) ho°c F (T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T
v intM ph¦n trong cõa tªp hñp M err sai sè cho tr÷îc PC ph²p m¶tric l¶n C f projC ph²p chi¸u Bregman l¶n C iC h m ch¿ cõa tªp lçi C
1 Mð ¦u Cho C v Q l c¡c tªp con lçi, âng v kh¡c réng cõa c¡c khæng gian Hilbert H1 v H2 , t÷ìng ùng. Cho T : H1 −→ H2 l mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n. B i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) câ d¤ng nh÷ sau: T¼m mët ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho T x∗ ∈ Q. (0.1) D¤ng têng qu¡t cõa B i to¡n (0.1) l b i to¡n (0.2), b i to¡n n y ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho Ci , i = 1, 2, ..., N v Qj , j = 1, 2, ..., M l c¡c tªp con lçi v âng cõa H1 v H2 t÷ìng ùng. T¼m mët ph¦n tû x∗ ∈ S = ∩N i=1 Ci ∩ T −1 (∩M j=1 Qj ) 6= ∅. (0.2) Mæ h¼nh b i to¡n (SFP) l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u v nghi¶n cùu bði Y. Censor v T. Elfving [6] cho mæ h¼nh c¡c b i to¡n ng÷ñc. B i to¡n n y âng vai trá quan trång trong khæi phöc h¼nh £nh trong Y håc, i·u khiºn c÷íng ë x¤ trà trong i·u trà b»nh ung th÷, khæi phöc t½n hi»u (xem [3], [4]) hay câ thº ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c b i to¡n c¥n b¬ng trong kinh t¸, lþ thuy¸t trá chìi. Ta bi¸t r¬ng C = F (PC )tªp iºm b§t ëng cõa ph²p chi¸u m¶tric tø H1 l¶n C . Do â, b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (0.1) l mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n iºm b§t ëng t¡ch. D¤ng têng qu¡t cõa b i to¡n iºm b§t ëng chung t¡ch ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, ..., N v Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, ..., M l c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H1 v H2 , t÷ìng ùng. x∗ ∈ S = ∩N −1 ∩M T¼m ph¦n tû i=1 F ix(Ti ) ∩ T j=1 F ix(Sj ) =6 ∅. (0.3) Cho ¸n nay B i to¡n (0.3) trong khæng gian Banach ¢ v ang l chõ · thu hót nhi·u ng÷íi l m to¡n trong v ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu. G¦n ¥y, ¢ câ mët sè t¡c gi£ · cªp ¸n vi»c nghi¶n cùu t¼m c¡c ph÷ìng ph¡p l°p mîi t¼m mët nghi»m chung cõa B i to¡n (0.1) hay (0.3) v c¡c lîp b i to¡n kh¡c (b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n iºm b§t ëng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ...). Möc ½ch cõa luªn v«n n y l tr¼nh b y l¤i c¡c k¸t qu£ cõa Tuyen T.M. v Ha
2 N.S. trong t i li»u [17] ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p t¼m mët nghi»m chung cõa B i to¡n (0.2) v b i to¡n iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n to¡n tû Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i trong khæng gian Banach. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng ch½nh: Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, luªn v«n · cªp ¸n mët sè v§n · v· khæng gian Banach ph£n x¤, khæng gian p-lçi ·u, trìn ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u; kho£ng c¡ch Bregman, ph²p chi¸u Bregman; b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa to¡n tû Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i. Ch÷ìng 2. Mët ành lþ hëi tö m¤nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach Trong ch÷ìng n y luªn v«n tªp trung tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Tuyen T.M. v Ha N.S. trong t i li»u [17] v· ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p t¼m mët nghi»m chung cõa b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v b i to¡n iºm b§t ëng cõa to¡n tû Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i trong khæng gian Banach p-lçi ·u v trìn ·u.
3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y bao gçm 4 möc. Möc 1.1 tr¼nh b y v· mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian ph£n x¤, khæng gian Banach lçi ·u, trìn ·u. Möc 1.2 giîi thi»u v· ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc. Möc 1.3 · cªp ¸n c¡c kh¡i ni»m ph²p chi¸u m¶tric v ph²p chi¸u têng qu¡t còng vîi mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa chóng. Möc 1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v to¡n tû gi£i m¶tric. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [2, 11, 12]. 1.1 Khæng gian Banach p-lçi ·u v khæng gian Banach trìn ·u 1.1.1 Khæng gian Banach ph£n x¤ Cho X l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n v X∗ l khæng gian èi ng¨u cõa nâ. º cho ìn gi£n v thuªn ti»n hìn, chóng tæi thèng nh§t sû döng k½ hi»u k.k º ch¿ chu©n tr¶n X v X ∗ ; gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ X ∗ t¤i iºm x∈X ÷ñc kþ hi»u l hx, x∗ i. ành ngh¾a 1.1.1. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l ph£n x¤ n¸u vîi måi x∗∗ ∈ E ∗∗ , tçn t¤i x∈E sao cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i, vîi måi x∗ ∈ E ∗ . V½ dö 1.1.2. Måi khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n húu h¤n chi·u, c¡c khæng gian lp hay Lp (Ω), vîi 1 < p < ∞, l c¡c khæng gian ph£n x¤ (xem [2]).
4 Chó þ 1.1.3. C¡c t½nh ch§t d÷îi ¥y v· khæng gian Banach ph£n x¤ câ thº t¼m th§y trong t i li»u tham kh£o [2]. i) N¸u khæng gian Banach X çng phæi tuy¸n t½nh vîi khæng gian ph£n x¤ Y, th¼ X công l khæng gian ph£n x¤. ii) Måi khæng gian con âng cõa khæng gian ph£n x¤ l khæng gian ph£n x¤; iii) Khæng gian Banach E l ph£n x¤ khi v ch¿ khæng gian li¶n hñp E∗ cõa nâ l khæng gian ph£n x¤. 1.1.2 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Banach ành ngh¾a 1.1.4. {xn} D¢y trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E ÷ñc gåi l hëi tö y¸u v· mët ph¦n tû x∈E v ÷ñc kþ hi»u l xn * x, n¸u lim hxn , x∗ i = hx, x∗ i, n→∞ vîi måi x∗ ∈ X ∗ . Nhªn x²t 1.1.5. N¸u d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x, tùc l kxn − xk → 0, th¼ d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x. Tuy nhi¶n, i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. Ch¯ng h¤n, x²t khæng gian Hilbert l2 , d¢y {en } x¡c ành bði en = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . .), và tr½ thù n vîi måi n ≥ 1, hëi tö y¸u v· khæng (xem [2]), nh÷ng khæng hëi tö m¤nh v· khæng (v¼ ken k = 1 vîi måi n ≥ 1). M»nh · 1.1.6. Cho E l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, d¢y {xn} ⊂ E hëi tö y¸u v· x ∈ E . Khi â, d¢y {xn } bà ch°n. Chùng minh. Vîi méi n ≥ 1, x²t d¢y phi¸m h m {Hxn } ⊂ E ∗∗ x¡c ành bði hx∗ , Hxn i = hxn , x∗ i vîi måi x∗ ∈ E ∗ . Khi â, vîi méi x∗ ∈ E ∗ , ta câ hx∗ , Hxn i = hxn , x∗ i → hx, x∗ i. 1 Do â, theo h» qu£ cõa nguy¶n lþ giîi nëi ·u Banach-Stenhaux , ta câ sup kxn k = sup kHxn k < ∞. n n 1 Cho X l khæng gian Banach, Y l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n v {An } ⊂ L(X, Y ). N¸u vîi méi x ∈ X , d¢y {An x} hëi tö trong Y , th¼ supn kAn k < ∞.
5 M»nh · ÷ñc chùng minh. M»nh · 1.1.7. Cho E l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, A ⊂ E l mët tªp compact t÷ìng èi v {xn } ⊂ A thäa m¢n xn * x. Khi â, xn → x. Chùng minh. Gi£ sû xn 9 x, khi â tçn t¤i ε>0 v mët d¢y con {xnk } ⊂ {xn } sao cho kxnk − xk ≥ ε, (1.1) vîi måi k ≥ 1. V¼ {xnk } ⊂ A v A l tªp compact t÷ìng èi, n¶n tçn t¤i d¢y con {xnkl } ⊂ {xnk } sao cho xnkl → y . V¼ sü hëi tö m¤nh k²o theo hëi tö y¸u n¶n xnkl * y v do â y = x. Trong b§t ¯ng thùc (1.1), thay xnk bði xnkl ta ÷ñc kxnkl − yk ≥ ε, m¥u thu¨n vîi xnkl * y . Vªy xn → x. Trong luªn v«n n y, chóng tæi th÷íng xuy¶n sû döng t½nh ch§t d÷îi ¥y cõa khæng gian Banach ph£n x¤. M»nh · 1.1.8. (xem [2] trang 41) Cho E l mët khæng gian Banach. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: i) E l khæng gian ph£n x¤. ii) Måi d¢y bà ch°n trong E , ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u. M»nh · d÷îi ¥y cho ta mèi li¶n h» giúa tªp âng v tªp âng y¸u trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. M»nh · 1.1.9. N¸u C l tªp con lçi, âng v kh¡c réng cõa khæng gian khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X , th¼ C l tªp âng y¸u. Chùng minh. Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng. Gi£ sû tçn t¤i d¢y {xn } ⊂ C sao cho xn * x, nh÷ng x∈ / C. Theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, tçn t¤i x∗ ∈ X ∗ t¡ch ng°t x v C, tùc l tçn t¤i ε>0 sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε,
6 vîi måi y ∈ C. °c bi»t, ta câ hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vîi måi n ≥ 1. Ngo i ra, v¼ xn * x , n¶n hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do â, trong b§t ¯ng thùc tr¶n, cho n → ∞, ta nhªn ÷ñc hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, i·u n y l væ lþ. Do â, i·u gi£ sû l sai, hay C l tªp âng y¸u. M»nh · ÷ñc chùng minh. Chó þ 1.1.10. N¸u C l tªp âng y¸u, th¼ hiºn nhi¶n C l tªp âng. 1.1.3 H m lçi v mët sè t½nh ch§t Trong möc con n y, luªn v«n giîi thi»u kh¡i ni»m h m lçi thæng qua kh¡i ni»m tr¶n ç thà, còng vîi mët sè t½nh ch§t ìn gi£n phöc vö cho vi»c tr¼nh b y c¡c nëi dung ti¸p theo cõa luªn v«n. ành ngh¾a 1.1.11. Cho D⊂E l mët tªp lçi, f : D → R ∪ {±∞}. i) H m f ÷ñc gåi l ch½nh th÷íng n¸u dom f 6= ∅ v f (x) > −∞(∀x ∈ D), trong â dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}. ii) H m f ÷ñc gåi l h m lçi tr¶n D n¸u epi f l tªp lçi trong E × R, trong â epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}. iii) H m f :D⊂E→R ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi t¤i iºm x∈D n¸u vîi méi ε > 0 câ mët δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) vîi måi x ∈ D, kx − xk < δ. H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n D n¸u f nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi iºm x ∈ D. D÷îi ¥y l v½ dö v· h m nûa li¶n töc d÷îi.
7 V½ dö 1.1.12. Cho f : R −→ R l h m sè ÷ñc x¡c ành bði  x4 khi x 6= 0 f (x) = −1 khi x = 0. Khi â, h m f l h m nûa li¶n töc d÷îi t¤i iºm x = 0, nh÷ng khæng li¶n töc t¤i x = 0. Thªt vªy, d¹ th§y f khæng li¶n töc t¤i x = 0. Vîi måi ε>0 v vîi måi δ>0 (trong tr÷íng hñp n y câ thº chån δ l sè d÷ìng b§t ký) ta câ f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x), vîi måi x. Do â, f l nûa li¶n töc d÷îi t¤i 0. Chó þ 1.1.13. i) H m f l nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i iºm x∈D n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D thäa m¢n xn * x, ta ·u câ f (x) ≤ lim inf f (xn ). n→∞ ii) H m f l lçi tr¶n D khi v ch¿ khi f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), vîi måi x, y ∈ D v måi t ∈ [0, 1]. iii) H m f ÷ñc gåi l lçi ch°t tr¶n D n¸u tr¶n ç thà epi f cõa nâ l tªp lçi ch°t tr¶n E × R, hay t÷ìng ÷ìng vîi f [tx + (1 − t)y] < tf (x) + (1 − t)f (y), vîi måi x, y ∈ D, x 6= y v måi t ∈ (0, 1). V½ dö 1.1.14. Cho X l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Khi â, h m f (x) = kxk l h m lçi tr¶n X. Thªt vªy, vîi måi x, y ∈ X v måi t ∈ [0, 1], ta câ ktx + (1 − t)yk ≤ ktxk + k(1 − t)yk = tkxk + (1 − t)kyk, hay t÷ìng ÷ìng vîi f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). Do â f l h m lçi tr¶n X.
8 M»nh · 1.1.15. Cho D ⊂ E l mët tªp lçi, f : D → R ∪ {±∞} l mët h m lçi tr¶n D. Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành d÷îi ¥y: i) Måi iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f tr¶n D ·u l iºm cüc tiºu to n cöc cõa f tr¶n D. ii) N¸u f l h m lçi ch°t tr¶n D, th¼ iºm cüc tiºu cõa f n¸u câ l duy nh§t. Chùng minh. i) Gi£ sû x0 ∈ D l mët iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f , nh÷ng x0 khæng l iºm cüc tiºu to n cöc. Khi â, tçn t¤i x1 ∈ D sao cho f (x1 ) < f (x0 ). V¼ x0 ∈ D l mët iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f, n¶n tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x0 sao cho f (x0 ) ≤ f (x), vîi måi x ∈ D ∩ U. Vîi t ∈ (0, 1) õ nhä, ta câ xt = x0 + t(x1 − x0 ) ∈ D ∩ U , do â ta nhªn ÷ñc f (x0 ) ≤ f (xt ) = f [tx1 + (1 − t)x0 ] ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x0 ). Suy ra f (x0 ) ≤ f (x1 ), m¥u thu¨n vîi f (x1 ) < f (x0 ). Vªy x0 l mët iºm cüc tiºu cõa f tr¶n D. ii) Gi£ sû x1 v x2 l c¡c iºm cüc tiºu cõa f tr¶n D vîi x1 6= x2 . Khi â f (x1 ) = f (x2 ) = m = min f (x). x∈D Tø t½nh lçi ch°t cõa f suy ra x1 + x2 1 f( ) < (f (x1 ) + f (x2 )) = m, 2 2 m¥u thu¨n vîi m = minx∈D f (x). Vªy iºm cüc tiºu cõa f n¸u câ l duy nh§t. M»nh · d÷îi ¥y cho ta mët i·u ki»n v· sü tçn t¤i iºm cüc tiºu cõa mët phi¸m h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi trong khæng gian Banach ph£n x¤. M»nh · 1.1.16. Cho C l tªp con lçi, âng v kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ E v f : C −→ (−∞, ∞] l mët h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C , sao cho f (xn ) → ∞ khi kxn k → ∞. Khi â, tçn t¤i x0 ∈ dom(f ) sao cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}.
9 Chùng minh. °t m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi â, tçn t¤i d¢y {xn } ⊂ C sao cho f (xn ) → m khi n → ∞. N¸u {xn } khæng bà ch°n, th¼ tçn t¤i mët d¢y con {xnk } cõa {xn } sao cho kxnk k → ∞. Theo gi£ thi¸t, f (xnk ) → ∞, m¥u thu¨n vîi m 6= ∞. Do â, {xn } bà ch°n. Theo M»nh · 1.1.8 v M»nh · 1.1.9, tçn t¤i d¢y con {xnj } cõa {xn } sao cho xnj * x0 ∈ C . V¼ f l nûa li¶n töc d÷îi trong tæpæ y¸u, n¶n ta câ m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m. j→∞ n→∞ Do â, m = f (x0 ). M»nh · ÷ñc chùng minh. 1.1.4 Khæng gian Banach p-lçi ·u Ti¸p theo, trong möc n y chóng tæi · cªp ¸n mët sè v§n · cì b£n v· c§u tróc h¼nh håc c¡c khæng gian Banach, nh÷: t½nh lçi, t½nh trìn, mæ un lçi, mæ un trìn ... ành ngh¾a 1.1.17. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u vîi måi x, y ∈ E, x 6= y m kxk = 1, kyk = 1 ta câ x + y 2 < 1. Chó þ 1.1.18. ành ngh¾a 1.1.17 cán câ thº ph¡t biºu d÷îi c¡c d¤ng t÷ìng ÷ìng sau: Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u vîi måi x, y ∈ SE kx + yk thäa m¢n = 1, suy ra x = y ho°c vîi måi x, y ∈ SE v x 6= y ta câ 2 ktx + (1 − t)yk < 1 vîi måi t ∈ (0, 1), trong â SE = {x ∈ E : kxk = 1}. ành ngh¾a 1.1.19. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ·u n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i δ(ε) > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ E m kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luæn câ x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). D¹ th§y r¬ng n¸u E l mët khæng gian Banach lçi ·u th¼ nâ l khæng gian Banach lçi ch°t. Tuy nhi¶n i·u ng÷ñc l¤i khæng óng, v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra i·u â.
10 V½ dö 1.1.20. (xem [2] trang 54) X²t E = c0 (khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö v· khæng) vîi chu©n k.kβ x¡c ành bði ∞ 1/2 |xi |2 X kxkβ = kxkc0 + β , x = (xi ) ∈ c0 . i=1 i2 Khi â, (E, k.kβ ), β > 0 l mët khæng gian lçi ch°t nh÷ng khæng l khæng gian lçi ·u. º o t½nh lçi cõa khæng gian Banach E , ng÷íi ta ÷a v o kh¡i ni»m sau: Mæ un lçi cõa khæng gian Banach E l h m sè x + y 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . δE (ε) = inf 1 − Nhªn x²t 1.1.21. Mæ un lçi cõa khæng gian Banach E l h m sè x¡c ành, li¶n töc v t«ng tr¶n o¤n [0; 2]. Khæng gian Banach E lçi ch°t khi v ch¿ khi δE (2) = 1 (xem [2] trang 59). Ngo i ra, khæng gian Banach E l lçi ·u khi v ch¿ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [2] trang 60). V½ dö 1.1.22. Cho H l khæng gian Hilbert, khi â mæ un lçi cõa H ÷ñc x¡c ành bði r ε2 δH (ε) = 1 − 1 − , ε ∈ [0, 2]. 4 M»nh · 1.1.23. (xem [2] trang 56) Måi khæng gian Banach lçi ·u b§t k¼ l khæng gian ph£n x¤. Chùng minh. Gi£ sû E l khæng gian Banach lçi ·u, ta c¦n chùng minh E l khæng gian Banach ph£n x¤. Gi£ sû SE ∗ := {j ∈ E ∗ : kjk = 1} l h¼nh c¦u ìn và trong E∗ v f ∈ SE ∗ . Gi£ sû {xn } l mët d¢y trong SE sao cho hxn , f i → 1. Ta s³ ch¿ ra {xn } l mët d¢y Cauchy. Gi£ sû {xn } khæng l d¢y Cauchy, khi â tçn t¤i ε>0 v hai d¢y {xni } v {xnj } cõa {xn } sao cho kxni − xnj k ≥ ε. Theo gi£ thi¸t, E l khæng gian lçi ·u, n¶n ∃δ(ε) > 0 sao cho x + x ni nj < 1 − δ. 2
11 Khi â, ta câ
xni + xnj
x + x ni nj