Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. trong tài liệu. Ngoài ra, trong luận văn xây dựng hai ví dụ số đơn giản được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp lặp. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THIÊN QUANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017
ii Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Trương Minh Tuyên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, các thầy cô trong khoa Toán - Tin đã tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho tôi. Đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã dạy bảo và động viên tôi hoàn thành tốt các nhiệm vụ trong cả quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền cùng các đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian qua.
iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 3 1.2. Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2 Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn 22 2.1. Phương pháp chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Phương pháp lai chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40
iv Một số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert X không gian Banach h., .i tích vô hướng trên H k.k chuẩn trên H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm G(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0
1 Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci }i∈I của không gian Hilbert H hay không gian Banach E", với I là tập chỉ số bất kỳ. Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học ... Khi Ci = F (Ti ), với F (Ti ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, ..., N , thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay các phương pháp sử dụng các siêu phẳng cắt... Năm 2008, các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. đã đưa ra một số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Ở đây, họ đã xây dựng một điều kiện mới (điều kiện NST (I)) mô tả mối liên hệ giữa hai họ ánh xạ không giãn. Thông qua điều kiện này thì bài toán tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (có thể hữu hạn hay vô hạn) được đưa về bài toán tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. trong tài liệu [6]. Ngoài ra, trong luận văn chúng tôi cũng xây dựng hai ví dụ số đơn giản
2 được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp lặp. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn tập trung trình bày và làm rõ một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực (các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản, phép chiếu mêtric, định lý tách các tập lồi, tính đóng yếu của một tập con lồi đóng), ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Chương 2. Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn Nội dung chính của chương này là trình bày lại các kết quả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. đã đưa ra một số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert cùng với các ứng dụng của chúng.
3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm hai mục chính. Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả về ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]. 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là h., .i và chuẩn được kí hiệu là k.k. Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với mọi x, y, z ∈ H. Chứng minh. Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 . Vậy ta được điều phải chứng minh.
4 Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . (1.1) Chứng minh. Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . Ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, nếu với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R. Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có 0 < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc hx, yi tuyến tính. Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = , thì bất đẳng thức trên trở kyk2 thành |hx, yi| < kxk.kyk, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề được chứng minh. Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu lim hxn , yi = hx, yi, n→∞
5 với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn * x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian P∞ l2 = {xn } ⊂ R : n=1 |x n |2 < ∞ và {en } ⊂ l2 , được cho bởi en = (0, ..., 0, 1 , 0, ..., 0, ...), vị trí thứ n với mọi n ≥ 1. Khi đó, en * 0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có X∞ |hen , yi|2 < kyk2 < ∞. n=1 Suy ra limn→∞ hen , yi = 0, tức là en * 0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì ken k = 1 với mọi n ≥ 1. Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn * x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. (1.2) n→∞ n→∞ Chứng minh. Vì xn * x, nên {xn } bị chặn. Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi. Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 . n→∞ Do đó, ta nhận được lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. n→∞ n→∞ Mệnh đề được chứng minh.
6 Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và kxn k → kxk, thì xn → x, khi n → ∞. Chứng minh. Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞. Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kx − uk. Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao u∈C cho kx − un k −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 un + um 2 = 2kx − un k2 + 2kx − um k2 − 4kx − k 2 ≤ 2(kx − un k2 + kx − um k2 ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx − uk = d. Giả sử n→∞ tồn tại v ∈ C sao cho kx − vk = d. Ta có ku − vk2 = k(x − u) − (x − v)k2 2 2 u+v 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − k 2 ≤ 0. Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk.
7 Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0. Khi đó y − hx, ui PC x = x + u. kuk2 Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:  x nếu kx − ak ≤ R,  PC x = R a +  (x − a) nếu kx − ak > R. kx − ak Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric. Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên C là hx − PC x, PC x − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. (1.3) Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric. Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của phép chiếu mêtric, suy ra kx − PC xk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PC xk2 , với mọi t ∈ (0, 1). Bất đẳng thức trên tương đương với kx − PC xk2 ≤ kx − PC xk2 − 2thx − PC x, y − PC xi + t2 ky − PC xk2 , với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có t hx − PC x, PC x − yi ≥ − ky − PC xk2 , 2
8 với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được hx − PC x, PC x − yi ≥ 0. Ngược lại, giả sử hx − PC x, PC x − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = hx − PC x, x − y + y − PC xi = hx − PC x, y − PC xi + hx − PC x, x − yi ≤ kx − yk2 + hy − PC x, x − PC x + PC x − yi = kx − yk2 + hy − PC x, x − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây: Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi. Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H và x ∈ / C. Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C
9 Chứng minh. Vì x ∈ / C, nên v = x − PC x 6= 0. Từ Mệnh đề 1.7, ta có hv, y − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Suy ra hv, y − x + x − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với hv, yi ≤ hv, xi − kvk2 , với mọi y ∈ C. Do đó suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.1. Mệnh đề 1.8 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước với một điểm không thuộc nó. Mệnh đề 1.9. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Giả sử C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x ∈ / C. Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 (chẳng hạn lấy y = v và ε = kvk2 /2 trong chứng minh của Mệnh đề 1.8) sao cho hy, zi < hy, xi − ε, với mọi z ∈ C. Đặc biệt hy, xn i < hy, xi − ε, với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được hy, xi ≤ hy, xi − ε, điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu.
10 Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng. Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.10. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu. 1.2. Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 1.2.1. Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có kT x − T yk ≤ kx − yk. Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F (T ), tức là F (T ) = {x ∈ C : T x = x}. Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F (T ). Mệnh đề 1.11. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó, F (T ) là một tập lồi và đóng trong H. Chứng minh. Giả sử F (T ) 6= ∅. Trước hết, ta chỉ ra F (T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F (T ) thỏa mãn xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F (T ), nên kT xn − xn k = 0, với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk = 0, tức là x ∈ F (T ). Do đó, F (T ) là tập đóng.
11 Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F (T ). Giả sử x, y ∈ F (T ), tức là T x = x và T y = y. Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ F (T ). Thật vậy, nếu x = y, thì z = x = y ∈ F (T ). Giả sử x 6= y, khi đó ta có kT z − xk = kT z − T xk ≤ kx − zk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = kT z − T yk ≤ ky − zk = λkx − yk. Từ đó, ta nhận được kx − yk ≤ kT z − xk + kT z − yk ≤ kx − yk. Suy ra kx − yk = kT z − xk + kT z − yk, và kT z − xk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = λkx − yk. (1.4) Đặt a = T z − x và b = y − T z, thì ta nhận được ka + bk = kak + kbk, điều này tương đương với ha, bi = kak.kbk. Theo Mệnh đề 1.3, tồn tại α ∈ R sao cho a = αb. Vì x 6= y, nên α 6= −1. Suy ra T z là một tổ hợp affine của x và y, tức là T z = βx + (1 − β)y, (1.5) 1 với β = . 1+α Từ (1.4) và (1.5), ta nhận được kx − T zk = (1 − λ)kx − yk = (1 − β)kx − yk. Suy ra λ = β, tức là T z = z. Do đó, z ∈ F (T ). Vậy F (T ) là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.3. Ta có thể chứng minh tính lồi của tập F (T ) bằng cách khác như sau: Giả sử F (T ) 6= ∅ và x, y ∈ F (T ). Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tính không giãn của T ta có kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2
12 = λkT z − xk2 + k(1 − λ)(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = λkT z − T xk2 + (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 ≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0. Suy ra T z = z và do đó z ∈ F (T ). Vậy F (T ) là một tập lồi. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cải tiến điều kiện của Nakajo cùng các cộng sự trong tài liệu [3], Takahashi, Takeuchi và Kubota [6] đã đưa ra điều kiện sau: Cho {Tn } và T là hai họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, sao cho ∞ \ F (T ) = F (Tn ) 6= ∅, ở đây F (Tn ) là tập các điểm bất động của Tn và n=1 F (T ) là tập điểm bất động chung của họ T . Khi đó, họ {Tn } được gọi là thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , nếu với mỗi dãy bị chặn {zn } ⊂ C, thỏa mãn lim kzn − Tn zn k = 0, n→∞ ta đều có lim kzn − T zn k = 0 với mọi T ∈ T . n→∞ Mệnh đề 1.12. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F (T ) 6= ∅. Cho {βn } là dãy số thực thỏa mãn 0 < a ≤ βn ≤ b < 1. Với mỗi n ∈ N, ta xác định dãy ánh xạ {Tn } từ C vào C bởi Tn x = (1 − βn )x + βn T x, với mọi x ∈ C. Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T . Chứng minh. Thật vậy, dễ thấy {Tn } là một họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó. Giả sử {zn } là một dãy bị chặn bất kỳ trong C thỏa mãn điều kiện lim kzn − Tn zn k = 0. n→∞
13 Khi đó, từ định nghĩa của ánh xạ Tn , ta có 1 kzn − T zn k = kzn − Tn zn k → 0, βn vì {βn } ⊂ [a, b]. Do đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T . Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.13. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và T, S là hai ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F (T ) ∩ F (S) 6= ∅. Cho {βn } là dãy số thực thỏa mãn 0 < a ≤ βn ≤ b < 1. Với mỗi n ∈ N, ta xác định dãy ánh xạ {Tn } từ C vào C bởi Tn x = (1 − βn )Sx + βn T x, với mọi x ∈ C. Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T = {T, S}. Chứng minh. Với mọi x, y ∈ C, ta có kTn x − Tn yk = k(1 − βn )Sx + βn T x − (1 − βn )Sy + βn T yk ≤ (1 − βn )kSx − Syk + βn kT x − T yk ≤ kx − yk. Suy ra {Tn } là một họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó. Giả sử {zn } là một dãy bị chặn bất kỳ thỏa mãn lim kzn − Tn zn k = 0. n→∞ Lấy u ∈ F (S) ∩ F (T ). Khi đó, u ∈ F (Tn ) với mọi n ≥ 1. Từ tính không giãn của Tn , ta có kTn zn − uk = kTn zn − Tn uk ≤ kzn − uk. Suy ra dãy {Tn zn − u} bị chặn và do đó K = max{sup{kzn − Tn zn k}, sup{kTn zn − uk}} < ∞. n n
14 Từ Mệnh đề 1.2, ta có kzn − uk2 ≤ (kzn − Tn zn k + kTn zn − uk)2 = kzn − Tn zn k(kzn − Tn zn k + 2kTn zn − uk) k(1 − βn )(Szn − u) + βn (T zn − u)k2 ≤ 3Kkzn − Tn zn k + kzn − uk2 − βn (1 − βn )kSzn − T zn k2 . Do đó, ta nhận được βn (1 − βn )kSzn − T zn k2 ≤ 3Kkzn − Tn zn k → 0. Theo giả thiết, suy ra kSzn − T zn k → 0. Từ đó, ta có kzn − Szn k ≤ kzn − Tn zn k + βn kSzn − T zn k → 0, kzn − T zn k ≤ kzn − Tn zn k + (1 − βn )kSzn − T zn k → 0. Suy ra kzn − Szn k → 0, kzn − T zn k → 0. Vậy {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T = {T, S}. Mệnh đề được chứng minh. 1.2.2. Nửa nhóm ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.3. Một họ ánh xạ T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} từ tập con khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó được gọi là một nửa nhóm ánh xạ không giãn nếu nó thỏa mãn các điều kiện dưới đây: i) T (0)x = x với mọi x ∈ C; ii) T (s + t) = T (s)T (t) với mọi s, t ≥ 0; iii) kT (s)x − T (s)yk ≤ kx − yk với mọi s ≥ 0 và x, y ∈ C;
15 iv) với mỗi x ∈ C, s 7→ T (s)x là ánh xạ liên tục theo biến s trên [0, ∞). Ví dụ 1.3. Họ T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} xác định bởi T (s)x = e−s x với mọi s ≥ 0 và mọi x ∈ R là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R và F (T ) = {0}. Ví dụ 1.4. Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một họ ánh xạ từ R3 vào R3 được xác định bởi    cos s − sin s 0 x    1 T (s)x =   sin s cos s 0 x2  ,   0 0 1 x3 với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 và với mọi s ≥ 0. Khi đó, T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 và F (T ) = {(0, 0, a) : a ∈ R}. Dễ thấy các họ ánh xạ T thỏa mãn các điều kiện i) và iv), ta chỉ ra nó thỏa mãn các điều kiện ii) và iii). Thật vậy, với mọi t, s ≥ 0 và mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , ta có    cos s − sin s 0 x cos t − x2 sin t   1  T (s)T (t)x =  sin s cos s 0  x1 sin t + x2 cos t   0 0 1 x3   x cos(s + t) − x2 sin(s + t)  1  =  x1 sin(s + t) + x2 sin(s + t)   x3    cos(s + t) − sin(s + t) 0 x    1 =  sin(s + t) cos(s + t) 0 x2    0 0 1 x3 = T (s + t)x. Suy ra điều kiện ii) được thỏa mãn.
16 Dưới đây ta chỉ ra họ T thỏa mãn điều kiện iii). Với mọi s ≥ 0 và mọi x, y ∈ R3 , ta có kT (s)x − T (s)yk = k (x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s, (x1 − y1 ) sin s + (x2 − y2 ) cos s, x3 − y3 k h 2 = (x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s + (x1 − y1 ) sin s 2 i1/2 + (x2 − y2 ) cos s + (x3 − y3 )2 h i1/2 2 2 2 = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + (x3 − y3 ) = kx − yk. Suy ra T thỏa mãn điều kiện iii). Mệnh đề 1.14. [3, 4] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C với F (T ) 6= ∅. Cho {tn } là một dãy các số thực với 0 < tn < ∞ thỏa mãn limn→∞ tn = ∞. Với mỗi n ∈ N, xác định ánh xạ Tn từ C vào chính nó bởi Z tn 1 Tn x = T (s)xds, với mọi x ∈ C. tn 0 Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST(I) ứng với T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞}. 1.2.3. Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H được gọi là một toán tử đơn điệu nếu hu − v, x − yi ≥ 0 (1.6) với mọi x, y ∈ H và mọi u ∈ A(x), v ∈ A(y). Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}