Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff (2n-1)-chiều bằng 0

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu kết quả của Omar Alehyane và Hichame Amal về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo Hausdorff (2n-1) -chiều bằng 0 vào một không gian phức. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff (2n-1)-chiều bằng 0

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––– KHONE SONEMANY SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG 0 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHONE SONEMANY SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG 0 Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên, năm 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích “ Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff (2n-1) -chiều bằng 0 ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai và bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự đồng ý của đồng tác giả khi đưa vào luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả Khone SONEMANY i
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. i MỤC LỤC ........................................................................................................ ii MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 3 1.1. Không gian phức. ...................................................................................... 3 1.2. Ánh xạ chỉnh hình ..................................................................................... 4 1.3. Không gian phức hyperbolic Caratheodory. .............................................. 6 1.4. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi). ................................................ 7 1.5. Tập cực và tập đa cực. ............................................................................... 9 1.6. Độ đo. ...................................................................................................... 10 1.7. Đa tạp Riemann ........................................................................................ 15 1.8. Giải kỳ dị của các hàm bị chặn. ............................................................... 15 Chương 2. SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF ( 2n - 1) -CHIỀU BẰNG 0 .......................................................................................................... 17 2.1. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập mỏng. ....................... 17 2.2. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều bằng 0. ................................................................... 19 2.3. Metric được xác định bởi hàm đa điều hòa dưới và sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình. ........................................................................................... 24 2.4. So sánh kĩ thuật chứng minh của Kwack với kĩ thuật chứng minh của Omar Alehyane và Hichame Amal........................................................... 26 KẾT LUẬN .................................................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 31 ii
MỞ ĐẦU Cho D là một miền trong C n và E Ì D là một tập con đóng của C n . Kwack [7] đã chứng minh rằng nếu E là một tập giải tích có codimE ³ 1 thì mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới một không gian phức hyperbolic compact X có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D tới X . Đỗ Đức Thái trong [13] đã chứng minh kết quả tương tự với X là không gian đầy Caratheodory. Chú ý rằng, nếu E là một tập giải tích thì độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều H 2n - 1(E ) = 0 . Omar Alehyane và Hichame Amal [3] đã tổng quát hóa kết quả trên của Đỗ Đức Thái và đưa ra một định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi với ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể là Omar Alehyane và Hichame Amal đã chứng minh định lý sau: Cho D là một miền trong C n và E Ì D là một tập con đóng sao cho H 2n - 1(E ) = 0 . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới một không gian đầy Caratheodory X có thể thác triển chỉnh hình từ D đến X , và nếu {f } n Ì Hol (D \ E , X ) hội tụ đều trên các tập con compact của D \ E tới nÎ N f , thì {fn } hội tụ đều tới f trên các tập con compact của D , trong đó nÎ N f Î Hol (D, X ) là sự thác triển của f Î Hol (D \ E , X ) . Omar Alehyane và Hichame Amal [3] đã chứng minh định lý trên không phải với kỹ thuật chứng minh của Kwack [7]. Đồng thời, hai nhà toán học này cũng chứng tỏ kỹ thuật của Kwack không thể sử dụng vào nghiên cứu bài toán sau: Bài toán: Cho D là đĩa đơn vị trong C , E Ì D là một tập con đóng sao cho H1(E ) = 0 và X là không gian hyperbolic compact. Mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ E tới X có thể thác triển chỉnh hình được trên D hay không ? 1
Mục đích của luận văn là nghiên cứu kết quả của Omar Alehyane và Hichame Amal về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo Hausdorff ( 2n - 1) -chiều bằng 0 vào một không gian phức. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến nội dung chính của luận văn bao gồm: Ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, không gian phức hyperbolic, không gian phức hyperbolic Caratheodory, tập cực, tập đa cực và một số độ đo: Độ đo hyperbolic, độ đo Caratheodory, độ đo Hausdorff , … Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết kết quả nghiên cứu của Omar Alehyane và Hichame Amal. Để hoàn thành khóa học, tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai, cô đã tận tình chỉ bảo, định hướng chọn đề tài, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị em, bạn bè, đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới những người thân trong gia đình đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và luôn tin tưởng vào sự trưởng thành của tôi. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017 Tác giả Khone SONEMANY 2
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian phức Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. +) Cặp (U , j ) được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập mở trong X và j : U ® C n là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) j (U ) là tập mở trong C n . ii) j : U ® j (U ) là một đồng phôi. +) Họ A = {(U i , j i )} các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập iÎ I bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) {U i } là một phủ mở của X . iÎ I ii) Với mọi U i , U j mà U i ÇU j ¹ Æ, ánh xạ j j j - 1 i : j i (U i ÇU j ) ® j j (U i ÇU j ) là ánh xạ chỉnh hình. +) Xét họ các atlas trên X . Hai atlas A1, A2 được gọi là tương đương nếu hợp A1 È A2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X , và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên đó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Ví dụ. 1. Giả sử D là miền trong C n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương {(D, IdD )} . 2. Đa tạp xạ ảnh P n ( C ) . 3
Xét U i = {[z 0 : z1 : ... : z n ] Î P n (C) | z i ¹ 0} , với i = 0,1,..., n . Rõ ràng n {U } i i= 1 là một phủ mở của P n ( C ) . Xét các đồng phôi j i : U i ® Cn æz ö éz : z : ... : z ù çç 0 ,..., z i - 1 , z i + 1 ,..., z n ÷ ÷ êë 0 1 nú û çç z ÷ ÷ è i zi zi zi ø Ta có j j j - 1 i : j i (U i ÇU j ) ® j j (U i ÇU j ) æz ö çç k ÷÷ ; k = 0,..., m ; z = 1 . (z 0,..., z i - 1, z i + 1,..., z n ) çz ÷ ÷ ÷ çè j ø i k¹ j Rõ ràng j j j - 1 i là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P n ( C ) là một đa tạp phức n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều. Định nghĩa 1.1.2 ([1]). Giả sử Z là đa tạp phức. Một không gian phức đóng X là một tập con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với x 0  X tồn tại lân cận mở V của x trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình j 1,..., j m trên V sao cho X ÇV = {x Î V | j i (x ) = 0, i = 1,..., m }. 1.2. Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2.1 ([1]). +) Giả sử X là một tập mở trong C n và f : X ® C là một hàm số. Hàm f được gọi là khả vi phức tại x 0 Î X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính l : C n ® C sao cho | f (x 0 + h ) - f (x 0 ) - l (h ) | lim = 0, |h | ® 0 |h| 4
trong đó 12 æn ö 2÷ h = (h1, h2,..., hn ) Î C n và | h | = ç ççå | h | ÷ . i ÷ ÷ è i= 1 ø +) Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x 0 Î X nếu f khả vi phức trong một lân cận nào đó của x 0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X . +) Một ánh xạ f : X ® C m có thể viết dưới dạng f = ( f1,..., fm ) , trong đó fi = p i f : X ® C, i = 1,..., m là các hàm tọa độ. Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i = 1,..., m . +) Ánh xạ f : X ® f (X ) Ì C n được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và f - 1 cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.2.1. Ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Định nghĩa 1.2.2 ([1]). Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z . Hàm f : X  C được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x  X tồn tại một lân cận U (x )  Z và một hàm chỉnh hình fˆ trên U sao cho fˆ |U X  f |U X . Giả sử f : X  Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y . f được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y , hàm hợp g f là hàm chỉnh hình trên f 1(V ) . Định lý 1.2.1 ([1]).  Giả sử fn : X  Y  là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian   phức X , Y . Nếu fn hội tụ đều tới f trong Hol(X ,Y ) thì f là ánh xạ chỉnh 5
hình. (trong đó Hol(X ,Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bị tô pô compact mở). 1.2.2. Một số định lý về thác triển Định lý 1.2.2 (Hartogs) ([2]). Giả sử cho các miền D Ì C n - 1(Z ) và Dn Ì C(Z n ) ; hàm f tùy ý chỉnh hình trong lân cận ( theo nghĩa C n ) của tập M = (D ´ ¶ Dn ) È (| Z | ´ Dn ) , (1.1) trong đó Z Î D , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D = D ´ Dn . Định lý 1.2.3 ([2]). Giả sử M là tập mỏng trong miền D Ì C n và hàm f chỉnh hình trong D \ M . Nếu f giới nội địa phương, thì nó thác triển được một cách duy nhất thành hàm f chỉnh hình trong D . 1.3. Không gian phức hyperbolic Caratheodory 1.3.1. Giả khoảng cách Caratheodory Định nghĩa 1.3.1 ([8]). Cho X là một không gian phức, Hol(X , D ) là tập các ánh xạ chỉnh hình f : X ® D . Đặt C X ( p, q) = sup r ( f ( p), f (q)) , với mọi p, q Î X . f Trong đó supremum lấy trên tất cả các f Î Hol(X , D ) . Khi đó C X được gọi là giả khoảng cách Caratheodory trên X . Chú ý: Vì D là thuần nhất, ta chỉ cần lấy supremum trên họ con F = {f Î Hol(X , D ); f ( p) = 0}. Mệnh đề 1.3.1 ([8]). 1) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì C Y ( f ( p ), f (q)) £ C X ( p, q) với f Î Hol(X ,Y ) và p, q Î X , tức là f : X ® Y là giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Caratheodory. 6
2) Với X = D , giả khoảng cách Caratheodory C D trùng với khoảng cách Poincaré r , tức là C D = r . 1.3.2. Định nghĩa không gian phức hyperbolic Caratheodory - Một không gian phức X được gọi là hyperbolic Caratheodory hoặc C - hyperbolic, nếu C X là khoảng cách và cảm sinh tô pô của X . - Một không gian C -hyperbolic X được gọi là đầy nếu X là đầy Cauchy đối với C X . - Một không gian C -hyperbolic X được gọi là đầy mạnh nếu mọi hình cầu đóng đối với C X trong X đều compact. 1.4. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi) 1.4.1. Giả khoảng cách Kobayashi Định nghĩa 1.4.1 ([1]). Giả sử X là một không gian phức liên thông, x và y là hai điểm tùy ý của X . Hol(D, X ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm P0 = x , P1,..., Pk = y của X , dãy các điểm a1, a 2,..., a k của D và dãy các ánh xạ f1,..., fk trong Hol(D, X ) thỏa mãn: fi (0) = pi - 1 , fi (a i ) = pi , " i = 1,..., k . Tập hợp a = {p0,..., pk , a1,..., ak , f1,..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Với mỗi dây k k chuyền a như vậy ta lập tổng å i= 1 r D (0; a i ). Tổng å i= 1 r D (0; a i ) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình a . Ta định nghĩa ìï k ü ï dX (x , y ) = inf ïí å r D (0;ai ), a Î Wx ,y ïý , a ï ïïþ îï i = 1 7
trong đó Wx ,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Dễ thấy d X : X ´ X ® R thỏa mãn các tính chất sau: d X (x , y ) ³ 0 , với mọi x , y Î X d X (x , y ) = d X (y , x ) , với mọi x , y Î X dX (x , z ) £ dX (x , y ) + d X (y , z ) , với mọi x , y, z Î X Do đó d X : X ´ X ® R là một giả khoảng cách trên X và được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . Nếu X không liên thông, ta định nghĩa d X (x , y ) = ¥ với x , y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau. 1.4.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi i) Nếu f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là dX (x , y )  dY ( f (x ), f (y )), x, y  X . Hơn nữa, d X là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X là giảm khoảng cách. ii) Đối với bất kỳ các không gian phức X ,Y ta có dX Y ((x , y ),(x , y ))  max{dX (x , x ), dY (y , y )} , với mọi x , x   X , với mọi y , y  Y . iii) Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi d X : X ´ X ® R là hàm liên tục. 1.4.3. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi) Định nghĩa 1.4.2 ([1]). Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X trên X là khoảng cách, tức là 8
dX ( p, q)  0  p  q , p, q  X . Ví dụ. + Đĩa D r và đa đĩa Drm là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong Cm là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. + Cm không là hyperbolic, vì dCmm  0 . 1.4.4. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic (Kobayashi) i) Nếu X , Y là các không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. ii) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. 1.5. Tập cực và tập đa cực 1.5.1. Tập cực ([5]). Tập E Ì R n được gọi là tập cực nếu tồn tại một hàm điều hòa dưới trong một lân cận nào đó của E mà đồng nhất bằng - ¥ trên E . 1.5.2. Tập đa cực ([5]). +) Tập E Ì C n được gọi là tập đa cực (hoặc C n -cực) nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới trong một lân cận của E mà đồng nhất bằng - ¥ trên E . Hiển nhiên, một tập đa cực trong C n là tập cực (khi xem nó là một tập trong R 2n ). +) Một tập đa cực E Ì D được gọi là đầy trong miền D nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới f trên D sao cho E = {z Î D : f (z ) = - ¥ }; một tập đa cực E Ì D được gọi là đầy địa phương trên D nếu nó là đầy trong lân cận của mỗi điểm giới hạn của nó trong D . 9
1.6. Độ đo 1.6.1. Độ đo hyperbolic Định nghĩa 1.6.1 ([9]). Giả sử Z , X là không gian phức. Nếu f : Z  X là giải tích, và U mở trong Z thì f (U ) đo được Borel trong X , thực ra f (U ) bằng hợp đếm được của các không gian con giải tích của X . Giả sử dim X  n và tồn tại một dãy đếm được các ánh xạ giải tích fi : D (n )  X (i  1, 2,...) mà ảnh của chúng phủ X . Gọi A là một tập con đo được Borel của X , xét các dãy fi : D (n )  X các ánh xạ chỉnh hình và các tập mở U i trong D (n ) sao cho   A  fi U i . Ta định nghĩa độ đo Kobayashi trên X (tức là trên các tập Borel của X ) bởi  X (A )  inf   (U i ) , (n ) i 1 trong đó infimum được lấy trên tất cả các dãy fi và U i .   Chú ý: Nếu A là tập đo được trong X và f : X  Y là chỉnh hình, thì f (A ) là đo được Borel trên Y . Hơn nữa, một độ đo chính quy thỏa mãn tính chất: độ đo của một tập là infimum của các độ đo của các tập mở chứa nó. Vì vậy trong định nghĩa của độ đo Kobayashi, thay cho các tập mở U i ta có thể lấy các tập con đo được trên D (n ) . Định nghĩa 1.6.2 ([9]). Cho f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình. Cho m, n là độ đo chính quy trên X và Y tương ứng. Ta nói rằng f là giảm độ đo nếu n( f (A )) £ m(A ) , với mọi tập đo được A . Trong định nghĩa trên ta có thể thay thế tập đo được A , bởi các tập mở U . 10
Ví dụ. Cho X , Y là đa tạp phức và cho YX , YY là các dạng giả thế tích trên X , Y tương ứng. Nếu f *YY £ YX thì f là giảm độ đo đối với các độ đo trên X , Y tươn ứng. Thực vậy, tập các điểm x Î X sao cho df (x ) là điểm kì dị là một tập con giải tích S , và độ đo của f (S ) bằng 0. Trên phần bù mở của S , f là giảm độ đo, vì vậy f là giảm độ đo trên X . 1.6.2. Tính chất của độ đo Kobayashi Cho X , Y là các không gian phức n chiều. Khi đó các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. i) Nếu X = D n thì mX = mY , trong đó Y = Y(1n ) . ii) Cho f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức n chiều. Khi đó f là giảm độ đo Kobayashi. iii) Nếu m là một độ đo trên X sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : D n ® X là giảm độ đo từ m n tới m, thì m £ mX . D 1.6.3. Không gian hyperbolic đo được Định nghĩa 1.6.3 ([9]). Một không gian phức X được gọi là hyperbolic đo được nếu mX (V ) > 0 với mọi tập con mở không rỗng V trên X . Định lý 1.6.1 ([9]). Cho X là đa tạp phức và cho Y là một dạng giả thế tích trên X . Giả sử rằng R ic( Y) là dương, và tồn tại bằng hằng số B > 0 sao cho 11
1 BY £ R ic( Y)n n! (Nếu X là compact thì số B như thế luôn tồn tại). Khi đó X là hyperbolic đo được. Định lý 1.6.2 ([9]). Cho X là không gian phức n chiều. Nếu X là hyperbolic, thì X là hyperbolic đo được. 1.6.4. Độ đo Caratheodory Định nghĩa 1.6.4 ([4]). Một hàm hàm tập hợp (set function) m xác định trên lớp tất cả các tập con của tập hợp X và lấy giá trị trong [0, + ¥ ] được gọi là độ đo ngoài trên X (hoặc độ đo ngoài Caratheodory) nếu: i) m (f ) = 0 . ii) m (A ) £ m (B ) khi A Ì B , tức là m là đơn điệu. ¥ iii) m ( U¥n = 1 ) £ å n=1 m (An ) , với mọi An Ì X . Định nghĩa 1.6.5 ([4]). Cho m là một hàm tập hợp lấy giá trị trong [0, + ¥ ] và xác định trên lớp tất cả các tập con của một không gian X sao cho m (f ) = 0 . Tập A Ì X được gọi là đo được Caratheodory đối với m (hoặc m - đo được Caratheodory ) nếu, với mỗi tập E Ì X , ta có một đẳng thức m (E Ç A ) + m (E \ A ) = m (E ) (1.2) Lớp tất cả các tập m - đo được Caratheodory được ký hiẹu là M m . Như vậy, tập đo được tách mỗi tập theo yêu cầu cộng tính của m . Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, tính đo được không thỏa mãn đẳng thức m (A ) + m (X \ A) = m (X ) (1.3) Thậm chí cả trong trường hợp độ đo ngoài với m (X ) < ¥ . 12
Định lý 1.6.3 ([4]). Cho m là một hàm tập hợp với giá trị trong [0, + ¥ ] xác định trên lớp của tất cả các tập trong không gian X sao cho m (f ) = 0 . Khi đó: i) M m là đại số và hàm m là cộng tính trên. ii) Với mỗi dãy các tập Ai Î M m rời nhau từng đôi một ta có n n m ( E Ç UA i ) = i= 1 å i= 1 m (E Ç Ai ), "E Ì X , ¥ ¥ ¥ m ( E Ç UA i ) = i= 1 å i= 1 m (E Ç Ai ) + lim m (E Ç UAi ), " E Ì X n® ¥ i= 1 .iii) Nếu m là hàm độ đo ngoài trên tập X , thì lớp M m là một s -đại số và hàm m với giá trị trong [0, + ¥ ] là cộng tính đếm được trên M m . Hơn nữa, độ đo m là đầy trên M m . 1.6.5. Độ đo Hausdorff Định nghĩa 1.6.6 ([5]). Cho E là tập con tùy ý của không gian metric. Xét một phủ của E bởi đếm được các hình cầu B j bán kính rj tương ứng và tổng å rja là một số cố định, trong đó a ³ 0 . Gọi m a (E ) là infimum của các tổng như thế. Khi đó E được gọi là một tập “chiều a ”. Từ định nghĩa trên, ta có hình cầu đơn vị trong R m có chiều 1 với mọi a £ m . Vì vậy trước hết ta cố định ò > 0 và định nghĩa ïì ïü Haò (E ) := inf ïí ca å rja : E Ì ÈB j , rj < òïý . ïîï j ïïþ +) Với số nguyên a = m lấy một hằng số ca > 0 bằng thể tích của hình cầu đơn vị trong R m (đặc biệt c0 = 1, c1 = 2, c2 = p,... ). 13
+) Với a không là số nguyên ta lấy hằng số c a là biểu thức tương ứng với hàm gamma (các hằng số này không đóng vài trò tổng quát, nhưng chuẩn tắc hóa này được thông qua); chỉ số a luôn luôn không âm. Khi ò giảm thì Haò(E ) đơn điệu tăng, do đó ta có giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn) Ha (E ) := lim Haò(E ) . a® 0 Số Ha (E ) được gọi là độ đo Hausdorff bậc (chiều) a của E (hoặc Ha - độ đo, hoặc đơn giản là a - độ đo) của E . Chú ý: +) Rõ ràng Ha ³ ca m a (E ) . Vì sự xác định các m a đơn giản hơn, nên ta có Ha (E ) = 0 khi và chỉ khi m a (E ) = 0 . +) Với a = 0, " rj0 = 1 và tổng å rj0 là số phần tử của phủ {B j }. Do đó H0 (E ) = # E . 1.6.6. Một số tính chất đơn giản của độ đo Hausdorff Từ định nghĩa độ đo Hausdorff ta có các tính chất sau: i) Dưới cộng tính: Ha ( ¥ 1 Ek ) £ å ¥ 1 Ha (E k ) , và nếu E = ¥ 1 E k là một hợp hữu hạn địa phương của các tập compact đôi một rời nhau, thì ¥ Ha (E ) = å1 Ha (E k ) . ii) Tính thuần nhất: Nếu E Ì R m và tE := {tx : x Î E }, với mọi t > 0 , thì Ha (tE ) = t a Ha (E ) . iii) Nếu Ha (E ) < ¥ , thì Hb (E ) = 0 với mọi b > a . Nếu Ha (E ) > 0 , thì Hg (E ) = ¥ với mọi g < a . Số inf : {a : Ha (E ) = 0} được gọi là chiều metric hoặc Hausdorff của E . iv) Nếu f : X ® Y là một ánh xạ liên tục giữa các không gian metric X, Y đều thỏa mãn điều kiện Lipschitz (tức là r Y ( f (x ), f (x ¢)) £ C r X (x , x ¢) với 14
một số hằng số C và với mọi x , x ¢Î X , thì Ha ( f (E )) £ C a Ha (E ) với mọi E Ì X . Đặc biệt các độ đo Hausdorff không tăng qua phép chiếu RN ® Rm Ì RN . v) Tính chất Ha (E ) = 0 hoặc Ha (E ) = ¥ với các tập con E của đa tạp trơn M không phụ thuộc vào cách chọn metric trên M tương thích với cấu trúc trơn trên M . Mệnh đề 1.6.4 ([5]). Cho M là một đa tạp trơn (C 1 ) liên thông m -chiều, và cho E là một tập con đóng của M sao cho Hm - 1(E ) = 0 . Khi đó M \ E là tập liên thông. Mệnh đề 1.6.5 ([5]). Cho E là một tập trong R k sao cho Ha (E ) = 0 . Khi đó Ha + m (E ´ ¡ m ) = 0 . Bổ đề 1.6.6 ([5]). Với mọi tập đo được Lebesgue E Ì ¡ m ta có đẳng thức Hm (E ) = volm (E ). 1.7. Đa tạp Riemann Định nghĩa 1.7.1 ([5]). Một đa tạp trơn M nhúng trong R N , hoặc trong Pn với metric cảm sinh được gọi là một đa tạp Riemann m -chiều. Mệnh đề 1.7.1 ([5]). Trên một đa tạp Riemann m -chiều, độ đo Hausdorff Hm trùng với độ đo Lebesgue ngoài. 1.8. Giải kỳ dị của các hàm bị chặn Định lý 1.8.1 ([5, A1.4]). Cho D là một miền trong C n , và E là một tập đóng của D có độ đo Hausdorff H 2n - 1(E ) = 0 . Khi đó mỗi hàm f chỉnh hình và bị chặn đều trên 15
D \ E có một liên tục chỉnh hình trên D . Bổ đề 1.8.2 ([5, A1.4]). Cho D là một miền trên R N và E là một tập cực đóng trên D . Khi đó mọi hàm u điều hòa và bị chặn trên D \ E liên tục tới một hàm điều hòa trên D . Hệ quả 1.8.3 ([5, A1.4]). Cho D là một miền C n , và E là một tập cực (như là một tập trong R 2n ) là đóng trong D . Khi đó mỗi hàm f chỉnh hình và bị chặn trên D \ E có một liên tục chỉnh hình trên D . 16