Luận văn thạc sỹ toán học: Hệ phương trình hàm cho miền nhiều chiều

Chia sẻ: Tran Duc Phap | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn thạc sỹ toán học với đề tài "Hệ phương trình hàm cho miền nhiều chiều" gồm các chương sau: chương 1 mở đầu, chương 2 các ký hiệu và kết quả chuẩn bị, chương 3 sự tồn tại duy nhất và ổn định lời giải, chương 4 khai triển Maclaurin của lời giải hệ phương trình hàm tuyến tính, chương 5 thuật giải lặp cấp hai và áp dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn thạc sỹ toán học: Hệ phương trình hàm cho miền nhiều chiều

BOÄ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN NGUYEÃN XUAÂN MYÕ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM CHO MIEÀN NHIEÀU CHIEÀU LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH : TOAÙN GIAÛI TÍCH MAÕ SOÁ : 1. 01. 01 THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 1-1999
Caùc Thaày Höôùng Daãn: PTS Nguyeãn Thaønh Long Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh PTS Nguyeãn Hoäi Nghóa Ban Ñaøo Taïo Sau Ñaïi Hoïc Ñaïi Hoïc Quoác Gia Thaønh Phoá Hoà Chí Minh Thaày Nhaän Xeùt 1: GS-PTS Döông Minh Ñöùc Khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh Thaày Nhaän Xeùt 2: PTS Ñaäu Theá Caáp Khoa Toaùn Tröôøng Só Quan Vihempich Ngöôøi Thöïc Hieän: Nguyeãn Xuaân Myõ Ban Toaùn _ Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh LUAÄN VAÊN ÑÖÔÏC BAÛO VEÄ TAÏI HOÄI ÑOÀNG CHAÁM LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
Lôøi ñaàu tieân, toâi xin kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaønh Long loøng bieát ôn saâu saéc veà söï taän tình giuùp ñôõ cuûa thaày ñoái vôùi toâi trong suoát khoùa hoïc vaø nhaát laø trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn Thaày Nguyeãn Hoäi Nghóa ñaõ cuøng Thaày Nguyeãn Thaønh Long giuùp ñôõ toâi raát nhieàu trong thôøi gian thöïc hieän luaän vaên . Xin chaân thaønh caûm ôn Thaày Döông Minh Ñöùc vaø Thaày Ñaäu Theá Caáp ñaõ ñoïc vaø cho nhöõng yù kieán quyù baùu cuõng nhö nhöõng lôøi pheâ bình boå ích ñoái vôùi luaän vaên. Toâi cuõng xin caûm ôn Thaày Traàn Höõu Boång ñaõ daønh cho toâi thôøi gian quyù baùu vaø nhöõng goùp yù saâu saéc cho buoåi baûo veä luaän vaên. Xin caûm ôn Thaày Ñoã Coâng Khanh vaø Thaày Voõ Ñaêng Thaûo ñaõ giuùp toâi veà thôøi gian vaø moät soá ñieàu kieän ñeå hoaøn taát sôùm chöông trình hoïc. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ thuoäc khoa Toaùn, Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình höôùng daãn vaø cung caáp cho toâi nhöõng tö lieäu caàn thieát trong suoát thôøi gian hoïc taäp. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ thuoäc Phoøng quaûn lyù Sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi veà thuû tuïc haønh chính trong khoùa hoïc. Caûm ôn Caùc Baïn hoïc vieân lôùp Cao hoïc khoùa 6 ñaõ hoã trôï raát nhieàu cho toâi veà moïi maët trong thôøi gian qua. Nguyeãn Xuaân Myõ
MUÏC LUÏC trang Chöông 1: Phaàn môû ñaàu 1 Chöông 2: Caùc kyù hieäu vaø keát quaû chuaån bò 4 Chöông 3: Söï toàn taïi duy nhaát vaø oån ñònh lôøi giaûi 8 Chöông 4: Khai trieån Maclaurin cuûa lôøi giaûi heä phöông trình haøm tuyeán tính 16 Chöông 5: Thuaät giaûi laëp caáp hai vaø aùp duïng 35 Phaàn keát luaän 45 Taøi lieäu tham khaûo 47
Phaàn môû ñaàu 1 Chöông 1 PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Chuùng toâi xeùt heä phöông trình haøm sau ñaây: n m (1.1) f i ( x) = ∑ ∑ a ijk [ x, f j (Sijk (x))] + g i (x) , j =1 k =1 vôùi i = 1, n , x ∈ Ω i trong ñoù Ω i ⊂ R p laø taäp compact hoaëc khoâng, g i :Ω i → R , Sijk : Ω i → Ω j , a ijk : Ω i × R → R , 1 ≤ i, j ≤ n , 1 ≤ k ≤ m , laø caùc haøm lieân tuïc cho tröôùc, fi :Ω i → R laø caùc aån haøm. Trong [1], caùc taùc giaû Wu, Xuan, Zhu ñaõ nghieân cöùu heä (1.1) vôùi Ω i = [ − b, b] , p = 1 , m = n = 2 , Sijk (x) laø caùc nhò thöùc baäc nhaát vaø (1.2) a ijk (x, y) = ~ijk y , a trong ñoù ~ijk laø caùc haèng soá thöïc. Trong tröôøng hôïp naøy lôøi giaûi cuûa heä a (1.1), (1.2) ñöôïc xaáp xæ baèng moät daõy qui naïp hoäi tuï ñeàu vaø noù cuõng oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm gi . Tröôøng hôïp m = n = p = 1, caùc taùc giaû Kostrzewski [2],[3], Lupa [4] ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa phöông trình haøm sau
Phaàn môû ñaàu 2 (1.3) f (x) = a( x, f (S(x))) , x ∈[a, b] , trong khoâng gian haøm BC[a,b]. Moät tröôøng hôïp rieâng vôùi phöông trình haøm Golab-Schinzel f (x 2 ) (1.4) f ( x) = , x +1 caùc taùc giaû Knop, Kostrzewski, Lupa, Wrobel trong [6] ñaõ xaây döïng töôøng minh lôøi giaûi khoâng taàm thöôøng f(x) thoûa caùc ñieàu kieän (1.5) toàn taïi lim f (x) = f (−1− ) vaø lim f ( x) = f (0 + ) x →−1− x → 0+ nhö sau ⎧f (0 + )(1 − x) , x ≠ −1, (1.6) f ( x) = ⎨ ⎩c , x = −1, trong ñoù c laø moät haèng soá tuøy yù. Trong tröôøng hôïp p = 1 , Ω i = Ω ⊂ R , i = 1, n , laø khoaûng ñoùng bò chaän hay khoâng bò chaän, caùc taùc giaû Long, Nghóa, Khoâi, Ruy [5], baèng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach ñaõ thu ñöôïc keát quaû veà söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa heä (1.1) vaø lôøi giaûi cuõng oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm gi . Trong tröôøng hôïp a ijk gioáng nhö (1.2) vaø Sijk (x) laø caùc nhò thöùc baäc nhaát, g i ∈C r (Ω, R ), Ω = [-b, b] , trong [5] thu ñöôïc khai trieån Maclaurin cuûa lôøi giaûi heä (1.1) ñeán caáp r. Hôn nöõa, neáu g i (x) laø caùc ña thöùc baäc r thì lôøi giaûi heä (1.1) cuõng vaäy. Luaän vaên ñöôïc saép xeáp theo 5 chöông
Phaàn môû ñaàu 3 _ Chöông môû ñaàu laø phaàn giôùi thieäu heä phöông trình haøm vaø ñieåm qua sô neùt caùc keát quaû ñaõ coù tröôùc ñoù, tieáp theo laø giôùi thieäu caùc phaàn trình baøy trong luaän vaên. _ Chöông 2 laø phaàn giôùi thieäu moät soá kyù hieäu, caùc khoâng gian haøm söû duïng trong luaän vaên vaø moät soá keát quaû seõ duøng cho caùc chöông sau. _ Chöông 3 trình baøy moät soá keát quaû toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi cuûa heä phöông trình haøm (1.1), söï oån ñònh cuûa lôøi giaûi ñoái vôùi caùc haøm g i . Moät soá keát quaû trong chöông naøy cuõng ñaõ toång quaùt hoùa caùc keát quaû trong [1], [5] maø chöùa tröôøng hôïp p = 1 nhö laø moät tröôøng hôïp rieâng. _ Chöông 4 laø phaàn khaûo saùt khai trieån Maclaurin cuûa lôøi giaûi cuûa heä (1.1) vôùi tröôøng hôïp Sijk (x) = Bijk x + c ijk , vôùi Bijk laø ma traän caáp p, ijk p vectô c ∈ R thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù . Keát quaû thu ñöôïc trong phaàn naøy cho moät coâng thöùc bieåu dieãn lôøi giaûi cuûa heä phöông trình haøm (1.1) vaø neáu g i laø ña thöùc thì lôøi giaûi thu ñöôïc cuõng laø ña thöùc ñoàng baäc vôùi g i . Hôn nöõa neáu g i lieân tuïc, lôøi giaûi seõ ñöôïc xaáp xæ bôûi daõy caùc ña thöùc hoäi tuï ñeàu. Keát quaû thu ñöôïcñaõ môû roäng thöïc söï caùc keát quaû trong [1], [5]. _ Chöông 5 laø phaàn khaûo saùt thuaät giaûi laëp caáp 2 cuûa heä (1.1). Cuõng trong chöông naøy, chuùng toâi xeùt moät daïng khaùc cuûa heä phöông trình haøm tuyeán tính maø coù theå ñöa veà vaø aùp duïng caùc keát quaû cuûa heä (1.1). Cuoái cuøng laø phaàn keát luaän vaø caùc taøi lieäu tham khaûo.
Chöông2 4 Chöông 2 CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ KEÁT QUAÛ CHUAÅN BÒ 2.1 Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach Chuùng ta thöôøng xuyeân söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach sau: Ñònh lyù 2.1 Cho X laø khoâng gian Banach vôùi chuaån . , K ⊂ X laø taäp ñoùng. Cho T : K → K laø aùnh xaï thoûa maõn Toàn taïi soá thöïc σ , 0 ≤ σ < 1 sao cho (2.1) T(x) − T(y) ≤ σ x − y , ∀x, y ∈ K . Khi ñoù ta coù (i) Toàn taïi duy nhaát x ∗ ∈ K sao cho x ∗ = T(x ∗ ) . (ii) Vôùi moãi x 0 ∈K , xeùt daõy {x ν } cho bôûi x ν = T(x ν − 1 ) , ν = 1,2, ... ta coù (j) lim x ν − x∗ = 0 , v →∞ σν (jj) x ν − x ∗ ≤ x 0 − T(x 0 ) , ∀ν = 1,2, ... 1− σ Chöùng minh ñònh lyù 2.1 coù theå tìm thaáy trong caùc quyeån saùch veà nhaäp moân giaûi tích.
Chöông2 5 2.2 Caùc ña chæ soá Neáu α = (α 1 , α 2 ,..., α p ) laø boä p-thöù töï caùc soá nguyeân khoâng aâm α j , ta goïi α laø p-ña chæ soá. Moät ñieåm x ∈ R p ñöôïc kyù hieäu x = (x1 , x 2 ,..., x p ) , ta kyù hieäu x α laø ñôn thöùc baäc α = α 1 +...+ α p sau α α α α (2.2) x = x1 1 x 2 2 . . . x p p ∂ Töông töï neáu D j = , 1 ≤ j ≤ p , kyù hieäu toaùn töû ñaïo haøm ∂x j rieâng caáp 1 theo bieán thöù j thì α α α αp ∂α D = D1 1 D2 2 ... D p = α α2 αp ∂x1 1 ∂x 2 ... ∂x p chæ moät toaùn töû ñaïo haøm rieâng caáp α . Ta cuõng kyù hieäu D(0,0,...,0 ) f = f . 2.3 Caùc khoâng gian haøm Giaû söû Ω i ⊂ R p , 1 ≤ i ≤ n , ta ñaët X i = C b (Ω i ; R ) laø khoâng gian Banach caùc haøm soá lieân tuïc bò chaän f : Ω i → R vôùi chuaån (2.3) f Xi = sup f (x) , f ∈ X i . x ∈Ω i Neáu Ω i laø taäp compact, ta ñaët X i = C(Ω i ; R ) laø khoâng gian Banach caùc haøm soá lieân tuïc f : Ω i → R vôùi chuaån nhö (2.3).
Chöông2 6 Ta cuõng löu yù raèng neáu Ω i laø taäp môû thì C(Ω i ; R ) cuõng kyù hieäu laø khoâng gian vector caùc haøm soá f : Ω i → R lieân tuïc. Hôn nöõa caùc haøm trong C(Ω i ; R ) khoâng nhaát thieát bò chaën trong Ω i . Neáu f ∈ C(Ω i ; R ) bò chaän vaø lieân tuïc ñeàu treân Ω i thì noù coù duy nhaát moät nôùi roäng lieân tuïc treân bao ñoùng Ω i cuûa Ω i . Do ñoù, ta ñònh nghóa C( Ω i ; R ) laø khoâng gian vector xaùc ñònh bôûi C( Ω i ; R ) = { f ∈ C(Ω i ; R ) : f bò chaän vaø lieân tuïc ñeàu treân Ω i }. Maët khaùc C( Ω i ; R ) cuõng laø moät khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (2.3). Vôùi chuù yù töông töï trong tröôøng hôïp Ω i ⊂ R p laø taäp môû thì ta cuõng kyù hieäu C m (Ω i ; R ) laø khoâng gian vectô caùc haøm f : Ω i → R sao cho taát caû caùc ñaïo haøm rieâng cuûa f ñeán caáp m ñeàu thuoäc C(Ω i ; R ) , nghóa laø C m (Ω i ; R ) = {f ∈ C(Ω i ; R ) : D f ∈ C(Ω i ; R ), α ≤ m α } vaø { C m (Ω i ; R ) = f ∈ C m (Ω i ; R ) : Dα f ∈ C(Ω i ; R ), α ≤ m . } Maët khaùc C m ( Ω i ; R ) cuõng laø khoâng gian Banach vôùi chuaån f C m ( Ω; R ) = max sup Dα f (x) . α ≤m x ∈Ω i Khoâng gian tích Descartes X = X1 × X 2 × ⋅ ⋅ ⋅ × X n trang bò moät chuaån n (2.4) f X = ∑ fi Xi , f = ( f1 , f2 , ..., f n ) ∈ X . i =1
Chöông2 7 laø moät khoâng gian Banach. Ta vieát heä phöông trình haøm (1.1) döôùi daïng phöông trình toaùn töû trong X nhö sau (2.5) f = Tf , trong ñoù f = ( f1 , f2 ,..., fn ) , Tf = ((Tf)1,(Tf ) 2 ,...,(Tf ) n ) . vôùi n m (2.6) (Tf ) i (x) = ∑ ∑ a ijk ( x, f j (Sijk (x))) + g i (x) , x ∈ Ω i , i = 1, n . j =1 k =1
Chöông 3 8 Chöông 3 SÖÏ TOÀN TAÏI, DUY NHAÁT VAØ OÅN ÑÒNH LÔØI GIAÛI Chuùng ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau ( H1 ) Sijk : Ω i → Ω j laø caùc haøm lieân tuïc, (H2 ) g ∈X , (H3 ) a ijk : Ω i × R → R lieân tuïc vaø thoûa ñieàu kieän: ~ toàn taïi α ijk : Ω i → R bò chaën vaø khoâng aâm sao cho (3.1) y ~ a ijk (x, y) − a ijk (x, ~) ≤ α ijk (x) y − ~ , ∀x ∈ Ω i , ∀y, ~ ∈ R ; y y n m ~ (3.2) σ= ∑ ∑ max sup α ijk (x) < 1 ; i = 1 k = 1 1≤ j ≤ n x ∈Ω i (3.3) a ijk (.,0) ∈ X i . (ñieàu kieän naøy boû qua neáu Ω i laø compact) Khi ñoù ta coù keát quaû sau Ñònh lyù 3.1 Döôùi giaû thieát ( H1 ) − ( H 3 ) , toàn taïi duy nhaát moät haøm f ∈ X sao cho f = Tf . Hôn nöõa, lôøi giaûi f oån ñònh ñoái vôùi g trong X. Chöùng minh Hieån nhieân ta coù Tf ∈ X vôùi moïi f ∈ X . ~ Xeùt f , f ∈ X , ta coù vôùi moïi i = 1, n , ∀x ∈Ω i
Chöông 3 9 n m ~ ~ (3.4) ( Tf ) i (x) − ( Tf ) i (x) = ∑ ∑ { a ijk ( x, f j (Sijk (x))) − a ijk ( x, fj (Sijk (x)))} . j=1 k =1 Söû duïng giaû thieát ( H1 ), ( H 3 ) ta coù ~ n m ~ ( Tf ) i (x) − ( Tf ) i (x) ≤ ~ ∑ ∑ α ijk (x) f j (Sijk (x)) − f j (Sijk (x)) j=1 k =1 n m ~ ~ ≤ ∑ ∑ sup α ijk (x) f j − fj Xj . j = 1 k = 1x ∈Ω i Laáy sup treân Ω i roài sau ñoù laáy toång theo i = 1, n ta ñöôïc ~ n ~ (3.5) Tf − Tf X = ∑ ( Tf ) i − ( Tf ) i Xi i =1 n n m ~ ~ ≤ ∑∑∑ sup α ijk (x) f j − f j Xj i =1 j = 1 k = 1 x ∈Ω i n m ~ ~ ≤ ∑∑ max sup α ijk (x) f − f X i=1 k = 1 1≤ j≤ n x ∈Ω i ~ = σ f − f X. Theo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, coù duy nhaát moät f ∈ X sao cho f = Tf . ~ Giaû söû f , f ∈ X laø hai lôøi giaûi cuûa heä (1.1) laàn löôït öùng vôùi g, ~ ∈ X g ta coù vôùi moïi i = 1, n , vôùi moïi x ∈Ω i ~ n m ~ fi (x) − fi (x) = ∑ ∑ { a ijk ( x, f j (Sijk (x))) − a ijk ( x, fj (Sijk (x)))} (3.6) j =1 k =1 + (g i (x) − ~ i (x)) g
Chöông 3 10 Laäp laïi quaù trình treân ta coù ~ ~ f−f X ≤ σ f − f X + g−~ g X hay ~ 1 (3.7) f−f X ≤ g − ~ X. g 1- σ Vaäy lôøi giaûi f oån ñònh ñoái vôùi g trong X. Chuù thích 3.1 Trong ñònh lyù 3.1 , vôùi p = 1 , Ω i = Ω , ∀i = 1, n , laø khoaûng ñoùng bò chaän hay khoâng bò chaän vaø ñieàu kieän (3.2) ñöôïc thay bôûi n m ~ (3.8) ∑ ∑ sup α ijk (x) < 1 , i, j = 1 k = 1 x ∈Ω chuùng toâi tìm laïi keát quaû nhö trong [5]. Maët khaùc, ñieàu kieän (3.2) yeáu hôn ñieàu kieän (3.8) vì n m ~ (3.9) σ ≤ ∑ ∑ sup α ijk (x) < 1. i , j = 1 k = 1 x ∈Ω Chuù thích 3.2 Ñònh lyù 3.1 cho moät thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp (3.10) f ( ν) = Tf ( ν − 1) , ν = 1,2,... , f (0) ∈ X cho tröôùc. Khi ñoù daõy {f ( ν) } hoäi tuï trong X veà lôøi giaûi f cuûa (2.5) vaø ta coù moät ñaùnh giaù sai soá ( ν) f (0 ) − Tf (0 ) (3.11) f−f ≤ X σ ν , ∀ν = 1,2,... X 1− σ
Chöông 3 11 Neáu ta giaû söû raèng Ω i ⊂ R p , i = 1, n thoûa maõn ñieàu kieän (3.12) Toàn taïi song aùnh τ i : Ω → Ω i , i = 1, n sao cho τ i , τ −1 lieân tuïc. i Khi ñoù heä (1.1) töông ñöông vôùi heä sau n m (3.13) f i ( t) = $ ∑ ∑ a ijk ( t, f j (Sijk (t))) $ $ $ + g i (x) , ∀i = 1, n , ∀t ∈ Ω , $ j = 1 k =1 trong ñoù fi = fi o τ i , g i = g i o τ i $ $ Sijk = τ −1 o Sijk o τ i $ j (3.14) a ijk (t, z) = a ijk ( τ i (t), z) , t ∈Ω, z ∈ R . $ Nhö vaäy ta coù theå giaû söû raèng taát caû caùc aån haøm fi cuûa heä (1.1) coù cuøng mieàn xaùc ñònh, töùc laø Ω i = Ω , ∀i = 1,n . Khi ñoù ta söû duïng khoâng gian haøm X nhö sau: _ Neáu Ω laø taäp compact, ta ñaët X = C(Ω, R n ) laø khoâng gian Banach caùc haøm f : Ω → R n lieân tuïc vôùi chuaån n (3.15) f X = sup ∑ fi (x) , f = ( f1 , f2 , . . . , fn ) ∈ X . x ∈Ω i = 1 _ Neáu Ω laø taäp khoâng compact, ta ñaët X = C b (Ω, R n ) laø khoâng gian Banach caùc haøm f : Ω → R n lieân tuïc bò chaän vôùi chuaån nhö (3.15). Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau ñaây ( H1 ) ′ Sijk : Ω → Ω lieân tuïc, ( H ′2 ) g ∈ X,
Chöông 3 12 ( H ′3 ) a ijk : Ω × R → R lieân tuïc vaø thoûa ñieàu kieän: ~ toàn taïi α ijk : Ω → R bò chaën vaø khoâng aâm sao cho y ~ (3.16) a ijk (x, y) − a ijk (x, ~) ≤ α ijk (x) y − ~ , ∀x ∈ Ω , ∀y, ~ ∈ R ; y y n m ~ (3.17) σ = ∑ ∑ max sup α ijk (x) < 1 ; i = 1 k = 1 1 ≤ j ≤ n x ∈Ω (3.18) a ijk (. ,0) ∈ X i (ñieàu kieän naøy boû qua neáu Ω laø compact). Khi ñoù ta coù ñònh lyù Ñònh lyù 3.2 Giaû söû caùc giaû thieát ( H1 ) − ( H ′ ) ñuùng. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát ′ 3 f = ( f1, f2 , . . . , fn ) ∈ X laø lôøi giaûi cho heä phöông trình haøm sau n m (3.19) f i ( x) = ∑ ∑ a ijk ( x, f j (Sijk (x))) + g i (x) , ∀x ∈ Ω, ∀i = 1, n . j = 1 k =1 Hôn nöõa, lôøi giaûi f cuûa heä (3.19) oån ñònh ñoái vôùi g trong X. Chöùng minh Vaãn söû duïng caùc kyù hieäu nhö (2.5), (2.6). Hieån nhieân ta coù T : X → X . ~ Coi f , f ∈ X , töông töï nhö (3.4) ta coù: vôùi moïi x ∈ Ω n n n m ~ ~ ~ ∑ ( Tf ) i (x) − ( Tf ) i (x) ≤ ∑ ∑ ∑ α ijk (x) f j (Sijk (x)) − f j (Sijk (x)) i =1 i=1 j = 1 k = 1 n m n ~ ~ ≤ ∑ ∑ max α ijk (x)∑ f j (Sijk (x)) − f j (Sijk (x)) i=1 k = 1 1≤ j≤ n j=1
Chöông 3 13 n m ~ ~ ≤ ∑ ∑ 1max sup α ijk (x) f − f X ≤ j≤ n i=1 k = 1 x ∈Ω ~ = σf −f X ~ ~ Do ñoù Tf − Tf X ≤ σf − f X . Phaàn coøn laïi chöùng minh töông töï. Chuù thích 3.3 Nhö nhaän xeùt trong chuù thích 3.1, keát quaû trong [5] laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa ñònh lyù 3.2 vôùi p = 1. Tröôøng hôïp rieâng sau ñaây chuùng toâi xeùt heä (3.19) vôùi a ijk nhö (1.2). n m (3.20) f i ( x) = ∑ ∑ ~ijk f j (Sijk (x)) + g i (x) , a ∀x ∈ Ω, ∀i = 1, n , j = 1 k =1 trong ñoù Sijk (x) laø haøm affine nghóa laø (3.21) Sijk (x) = Bijk x + c ijk , vôùi ijk ijk ijk ijk ⎡ b11 b12 ... b1p ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎢ ijk ijk ijk ⎥ ⎢ ijk ⎥ ⎢ b 21 b 22 . . . b 2 p ⎥ c Bijk = ⎢. . . . , c ijk = ⎢ 2 ⎥. . . . . . . . . . . . .⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ijk ⎥ ⎢ ijk ⎥ ⎢ b p1 ⎣ b ijk . . . b ijk ⎥ p2 pp ⎦ ⎢c p ⎥ ⎣ ⎦ p ⎧ ⎫ (3.22) Ω = Br (0) = ⎨x ∈ R p : x 1 = ∑ xi ≤ r⎬ . ⎩ i =1 ⎭ Ta xeùt khoâng gian haøm X = C(Ω, R n ) vaø thaønh laäp caùc giaû thieát cho heä (3.20) nhö sau ( H ′′ ) 2 g ∈ X,
Chöông 3 14 n m ( H ′′) 3 σ = ∑ ∑ max ~ ijk a < 1. i = 1 k = 1 1≤ j ≤ n Ta ñöa theâm giaûthieát cho Bijk vaø c ijk trong (3.21) ñeå Sijk thoûa ( H1 ) . ′ Nhaän xeùt raèng (3.23) Bijk x ≤ Bijk x 1 , ∀x ∈ R p , 1 1 trong ñoù p ijk ijk (3.24) B 1 = max 1≤ ν ≤ p ∑ b μν . μ =1 Ta coù ijk ijk (3.25) Sijk (x) ≤ B r+ c , ∀x ∈ Ω . 1 1 1 Töø ñaây ta giaû söû ma traän Bijk vaø vectô c ijk thoûa ( H1 ) ′′ (i) Bijk 1 < 1, c ijk 1 (ii) max ijk ≤ r. 1≤ i, j ≤ n 1− B 1≤ k ≤ m 1 Vaäy neáu Bijk , c ijk thoûa ( H1 ) thì Sijk (x) trong (3.21) thoûa ( H1 ) . ′′ ′ Khi ñoù ta coù ñònh lyù Ñònh lyù 3.3 Giaû söû ( H1 ) −( H ′′) ñuùng. Khi ñoù heä (3.20)−(3.22) coù duy nhaát moät ′′ 3 lôøi giaûi f ∈ X . Hôn nöõa, lôøi giaûi f oån ñònh ñoái vôùi g trong X. Chuù thích 3.4
Chöông 3 15 Tröôøng hôïp Ω = R p , ta laáy X = C b ( R p , R n ) khoâng gian Banach caùc haøm lieân tuïc, bò chaän f : R p → R n ñoái vôùi chuaån n (3.26) f X = sup ∑ fi (x) , f = ( f1 , f2 , . . . , fn ) ∈ X , p x ∈R i =1 trong ñoù Bijk vaø c ijk khoâng caàn thoûa ñieàu kieän ( H1 ) . ′′ Khi ñoù ta coù keát quaû sau Ñònh lyù 3.4 Vôùi Ω = R p , X = C b ( R p , R n ) . Giaû söû ( H ′′ ), ( H ′′) 2 3 ñuùng. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát f ∈ X laø lôøi giaûi cuûa heä (3.20), (3.21). Hôn nöõa, lôøi giaûi f oån ñònh ñoái vôùi g trong X.
Chöông 4 16 Chöông 4 KHAI TRIEÅN MACLAURIN CUÛA LÔØI GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM TUYEÁN TÍNH Ta xeùt trong chöông naøy vôùi heä (3.20)−(3.22), trong ñoù ~ijk , Bijk , a thoûa caùc giaû thieát ( H1 ) vaø ( H ′′) . ijk c ′′ 3 Giaû söû f ∈C1 Ω; R n ( ) laø lôøi giaûi cuûa heä (3.20)−(3.22) öùng vôùi ( g ∈ C1 Ω; R n . ) Ñaïo haøm hai veá cuûa (3.20) theo bieán x μ , 1 ≤ μ ≤ p , ta thu ñöôïc ∂fi (x) n m (4.1) D μ f i ( x) = ∂x μ = ∑ ∑ ~ijk a j=1 k =1 ∂ [ ] f (S (x) + Dμ g i (x) . ∂x μ j ijk Maët khaùc, theo (3.21) ([S ]) T Sijk (x) = ijk ] (x) , . . . , Sijk (x) 1 [ p p (4.2) [S ijk ( x) ] ν = ∑ b ijk x η + c ijk η =1 νη ν , 1 ≤ ν ≤ p, Ta coù p (4.3) ∂ [ f (S (x)) = ∂x μ j ijk ] ∑ D ν f j (Sijk (x)) ∂x ν =1 ∂ μ [S ijk ] ( x) ν p = ∑ b ijk D ν f j (Sijk (x)) . νμ ν =1 Vaäy töø (4.1)−(4.3) ta coù