LUẬN VĂN TÓM TẮT: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'luận văn tóm tắt: một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù m', luận văn - báo cáo, khoa học tự nhiên phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN TÓM TẮT: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M
1 M CL C Trang M c l c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 M đ u ..................................................... 2 Chương I. Ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Ph m trù σ [M ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun lõm (hollow) và chi u hollow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Môđun n i x và môđun x nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Bù giao và bù c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Căn và đ ................................................ 9 Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting . . . 14 3.1 Môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Môđun t a x nh M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 M ĐU Môđun extending (hay còn đư c g i là CS-môđun) là m t d ng t ng quát hóa c a môđun n i x đư c nghiên c u r ng rãi trong vài ch c năm tr l i đây. Cùng v i môđun extending, ngư i ta còn nghiên c u môđun lifting, m t tính ch t đ i ng u c a extending và là m t tính ch t có quan h g n v i tính ch t x nh. Tuy nhiên trong khi m i môđun M đ u có bao n i x thì chưa ch c ph x nh c a nó đã t n t i. Xét m t khía c nh khác, đ i v i môđun con N c a m t môđun M , bù giao c a N trong M luôn t n t i theo B đ Zorn nhưng chưa ch c đã t n t i bù c ng c a N trong M . Đi u này ch c ch n s t o ra s không đ i x ng trong quan h đ i ng u gi a môđun extending và môđun lifting. Các k t qu liên quan đ n môđun lifting đư c các nhóm nhà toán h c Nh t, n Đ , Th Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên c u. Các tính ch t extending và lifting trên môđun đư c s d ng đ đ c trưng hay kh o sát m t s l p vành g n v i các l p vành Noether ho c Artin. Quan tâm đ n l p các môđun này, chúng tôi ch n đ tài nghiên c u "M t s v n đ v môđun lifting và môđun extending trong ph m trù σ (M )". N i dung chính c a lu n văn đư c trình bày trong 3 chương Chương I. Ki n th c chu n b Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lư c v các ki n th c cơ s liên quan đ n n i dung c a lu n văn, các đ nh nghĩa và các tính ch t... Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting. Trên cơ s các tính ch t c a
3 môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng. Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting. Trong chương này, chúng tôi kh o sát môđun M có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và kh o sát môđun t a x nh M mà m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là lifting M c dù tác gi đã r t c g ng trong h c t p và nghiên c u khoa h c cũng như c n th n trong khâu ch b n, song do ít nhi u h n ch v th i gian và trình đ hi u bi t nên trong quá trình th c hi n lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót. Tác gi r t mong nh n đư c s ch b o c a quý th y cô và nh ng đóng góp c a b n đ c đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn. Quy Nhơn, 3-2008
4 Chương I KI N TH C CHU N B Trong su t lu n văn này, các vành đư c xét là vành k t h p có đơn v , thư ng kí hi u b i R. Các môđun là R-môđun ph i Unita, đư c g i đơn gi n là R-môđun. 1.1 Ph m trù σ [M ] 1.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun N đư c g i là M -sinh n u nó là nh đ ng c u c a m t t ng tr c ti p các b n sao c a M . 1.1.2 Đ nh nghĩa. Ph m trù σ [M ] là ph m trù con đ y c a ph m trù các R-môđun mà các v t c a nó là các R-môđun đ ng c u v i môđun con c a môđun M -sinh. 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 1.2.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là Noether n u m i t p con không r ng các môđun con c a nó đ u có ph n t t i đ i. (ii) M t R-môđun M đư c g i là Artin n u m i t p con không r ng các môđun con c a nó đ u có ph n t t i ti u. 1.2.2 Đ nh lý. [1, tr 99-100] (i) Gi s A là môđun con c a M . Các đi u sau là tương đương: (1) M Noether; (2) A và M/A Noether; (3) M i chu i tăng A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... nh ng môđun con c a M đ u d ng. A là môđun con c a M , các đi u sau là tương (ii) Gi s đương: (1) M Artin;
5 (2) A và M/A Artin; (3) M i chu i gi m A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... nh ng môđun con c a M đ u d ng. 1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun lõm (hollow) và chi u hollow 1.3.1 Đ nh nghĩa. (i) Môđun con A c a M đư c g i là c t y u (hay l n) trong M n u v i m i môđun con khác không B c a M ta đ u có A ∩ B = 0 (M t cách tương đương, n u A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó ta cũng nói M là m r ng c t y u c a A, kí hi u ⊂∗ A M. (ii) Môđun con A c a M đư c g i là đ i c t y u (hay bé) trong M n u v i m i môđun con E = M ta đ u có A + E = M (M t cách tương đương, n u A + E = M thì E = M ). Khi đó ta kí hi u A ⊂o M . 1.3.2 Tính ch t. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con c a M. Khi đó: (1) N u A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C . (2) N u A ⊂∗ M và B ⊂∗ M thì A ∩ B ⊂∗ M . (3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂∗ N thì ϕ−1 (A) ⊂∗ M . (ii) Cho A, B, C là các môđun con c a M. Khi đó: (1) N u A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂o C kéo theo A ⊂o M . (2) N u A ⊂o M và B ⊂o M thì A + B ⊂o M . (3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂o M thì ϕ(A) ⊂o N . 1.3.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun con K c a M đư c g i là đóng (closed) trong M n u nó không có m r ng c t y u th c
6 s trong M . (ii) Cho L ⊂ M , L đư c g i là đ i đóng (coclosed) trong M n u L không có môđun con th c s K sao cho L/K ⊂o M/K . 1.3.4 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M khác không đư c g i là môđun đ u (uniform) n u m i môđun con khác không c a nó đ u c t y u trong M . (ii) Môđun M đư c g i là môđun lõm (hollow) n u m i môđun th c s c a nó đ u đ i c t y u trong M . 1.3.5 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M đư c g i là có chi u uniform h u h n (haychi u Goldie h u h n) n u t n t i s nguyên dương n n và các môđun con đ u U1 , ..., Un sao cho ⊕ Ui là c t y u trong i=1 M. n m N u M có chi u uniform h u h n và ⊕ Ui ⊂∗ M , ⊕ Vj ⊂∗ M i=1 j =1 v i Ui , Vj là các môđun con đ u c a M thì m = n. Ngư i ta g i n là chi u uniform c a M và kí hi u u. dim(M ) = n. N u M = 0, ta vi t u dim(M ) = 0, n u M không có chi u uniform h u h n ta vi t u dim(M ) = ∞. (ii) Môđun M đư c g i là có chi u hollow h u h n n u t n t i n s nguyên dương n và các môđun con H1 , ..., Hn sao cho Hi là i=1 đ i c t y u trong M và M/Hi là lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n. n m Hi ⊂o M , Kj ⊂o M N u M có chi u hollow h u h n và i=1 j =1 v i Hi , Kj là các môđun con c a M sao cho M/Hi và M/Kj là lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Ngư i ta g i n là chi u hollow c a M và kí hi u h. dim(M ) = n. N u M = 0 ta vi t h. dim(M ) = 0, n u M không có chi u hollow h u h n ta vi t h. dim(M ) = ∞.
7 1.4 Môđun n i x và môđun x nh 1.4.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là n i x n u v i m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → B c a nh ng môđun trên R t n t i m t đ ng c u h : B → M sao cho h.g = f . (ii) M t R-môđun M đư c g i là x nh n u v i m i đ ng c u f : M → B và v i m i toàn c u g : A → B c a nh ng môđun trên R t n t i m t đ ng c u h : M → A sao cho g.h = f . 1.4.2 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là N-n i x n u v i m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → N v i A là m t môđun trên R đ u t n t i m t đ ng c u h : N → M sao cho h.g = f . (ii) M t R-môđun M đư c g i là N-x nh n u v i m i đ ng c u f : M → B và v i m i toàn c u g : N → B v i B là m t môđun trên R đ u t n t i m t đ ng c u h : M → N sao cho g.h = f . 1.4.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là t a n i x (hay t n i x ) n u nó là M -n i x . (ii) M t R-môđun M đư c g i là t a x nh (hay t x nh) n u nó là M -x nh. 1.4.4 M nh đ . M i môđun t a n i x M th a mãn các tính ch t sau: (C1 ) M i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t c a M. (C2 ) N u môđun con A c a M đ ng c u v i m t h ng t c a M thì A là m t h ng t c a M. Đ i ng u v i các tính ch t (C1 ), (C2 ) ta có các tính ch t sau:
8 (D1 ) V i m i môđun con A c a M , t n t i s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊂o M . (D2 ) N u A là môđun con c a M sao cho M/A đ ng c u v i m t h ng t tr c ti p c a M thì A là m t h ng t tr c ti p c a M. nh có tính ch t (D2 ). 1.4.5 M nh đ . M i môđun t a x 1.4.6 Nh n xét. Như đã bi t, m i môđun t a n i x đ u có (C1 ) và (C2 ). Trong khi đó, không ph i m i môđun t a x nh đ u có (D1 ). 1.5 Bù giao và bù c ng 1.5.1 Đ nh nghĩa. (i) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun con B c a M đư c g i là bù giao c a A trong M, n u B là môđun con t i đ i trong t p các môđun con C c a M tho mãn C ∩ A = 0. M t môđun con K c a M đư c g i là bù giao trong M, n u nó là bù giao c a môđun con nào đó c a M . (ii) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun con B c a M đư c g i là bù c ng c a A trong M, n u B là môđun con t i ti u trong t p các môđun con P c a M th a mãn A + P = M . M t môđun con L c a M đư c g i là bù c ng n u nó là bù c ng c a m t môđun con nào đó c a M . Ta nói môđun M có tính bù c ng n u v i b t kỳ hai môđun con A, B c a M mà A + B = M thì B ch a bù c ng c a A. 1.5.2 Nh n xét. i) Cho A là môđun con c a M . Vì t p các môđun con C ⊆ M v i C ∩ A = 0 là khác r ng và s p th t theo quan h bao hàm nên theo b đ Zorn, m i môđun con A ⊆ M đ u có bù giao trong M . Tuy nhiên bù c ng c a A trong M chưa
9 ch c đã t n t i. ii) N u M có tính bù c ng thì m i môđun con c a M đ u có bù c ng. 1.5.3 M nh đ . Cho A và B là các môđun con c a M . B là bù c ng c a A n u và ch n u M = A + B và A ∩ B ⊂o B . 1.6 Căn và đ 1.6.1 Đ nh nghĩa. (i) Ta g i giao c a t t c các môđun con t i đ i c a MR là căn Jacobson (hay đơn gi n là căn) c a môđun MR và kí hi u b i Rad(MR ). N u MR không có môđun con t i đ i thì ta quy ư c Rad(MR ) = MR . (ii) Ta g i t ng c a t t c các môđun con đơn c a MR là đ c a môđun MR và kí hi u b i Soc(MR ). N u MR không có môđun con đơn thì ta quy ư c Soc(MR ) = 0. 1.6.2 Đ nh lý [1, tr 125]. Đ i v i môđun MR ta có: (i) Rad (MR ) = B , trong đó B ch y kh p t p các môđun con đ i c t y u c a MR . (ii) Soc (MR ) = C , trong đó C ch y kh p t p các môđun con c t y u c a MR .
10 Chương II M T S TÍNH CH T C A MÔĐUN EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING Trong chương này, trư c h t chúng tôi trình bày đ nh nghĩa và m t s tính ch t c a môđun extending: các đi u ki n tương đương, m i quan h gi a môđun extending và môđun đ u, t ng tr c ti p c a các môđun extending... Trên cơ s các tính ch t c a môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng, n u không có thì c n b sung thêm các đi u ki n gì đ đ t đư c tính ch t y... 2.1 Môđun extending 2.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun M đư c g i là môđun ex- tending (hay CS-môđun) n u m i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t tr c ti p c a M . 2.1.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó, các đi u ki n sau là tương đương: (1) M là extending; (2) M i môđun con N c a M đ u có s phân tích M = M1 ⊕M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M ; (3) M i môđun con đóng c a M là m t h ng t tr c ti p c a nó. qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là 2.1.3 H extending n u và ch n u M là môđun đ u. 2.1.4 Đ nh lý. N u M là môđun extending và M = M1 ⊕ M2 thì M1 , M2 là các môđun extending.
11 2.1.5 Đ nh lý. Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun extending. Khi đó M là extending n u và ch n u m i môđun con đóng K ⊂ M v i K ∩ M1 = 0 ho c K ∩ M2 = 0 là m t h ng t tr c ti p c a M . 2.1.6 M nh đ . Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun extending. N u M1 là M2 -n i x và M2 là M1 -n i x thì M là extending. 2.1.7 M nh đ . Cho M là R-môđun có chi u uniform h u n h n. N u M là môđun extending thì M = ⊕ Mi , v i Mi là các i=1 môđun đ u và n = u. dim(M ). 2.1.8 M nh đ . Cho M là môđun chu i v i chu i h p thành duy nh t 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M . Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending. 2.2 Môđun lifting 2.2.1 Đ nh nghĩa. Cho M là m t R-môđun, M đư c g i là môđun lifting n u v i m i môđun con A c a M , t n t i h ng t tr c ti p X c a M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂o M/X . 2.2.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó các đi u ki n sau là tương đương: (1) M là lifting; (2) M có tính ch t (D1 ), nghĩa là v i m i môđun con N c a phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và M đ u có s ⊂o N ∩ M2 M; (3) V i m i môđun con N c a M đ u có th vi t đư c dư i d ng N = N1 ⊕ N2 , trong đó N1 là m t h ng t tr c ti p c a M và N2 ⊂o M ; (4) M có tính bù c ng và m i môđun con đ i đóng c a M là m t h ng t c a M ;
12 (5) M có tính bù c ng và m i môđun con bù c ng c a M là m t h ng t c a M . qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là 2.2.3 H lifting n u và ch n u M là lõm. 2.2.4 Nh n xét. M i môđun n i x đ u là môđun extending nhưng không ph i m i môđun x nh đ u là môđun lifting. Ch ng h n Z-môđun Z là x nh nhưng không là lifting như đã ch ng minh trong nh n xét 1.4.6. Các k t qu ti p theo s đ c p đ n v n đ : khi nào m t môđun x nh là lifting và v i đi u ki n nào c a vành R thì m i R-môđun x nh đ u là lifting. 2.2.5 Đ nh lý. N u M là môđun x nh và m i môđun con c a M đ u có bù c ng thì M là môđun lifting. 2.2.6 Đ nh nghĩa. (i) R-môđun M g i là có ph x nh n u nh P và toàn c u g : P → M v i Kerg ⊂o P . có m t R-môđun x (ii) Vành R g i là hoàn ch nh ph i n u m i R-môđun ph i đ u có ph x nh. 2.2.7 Đ nh lý. Đ i v i m t vành R, các đi u ki n sau đây là tương đương: (1) R là vành hoàn ch nh ph i; (2) M i R-môđun có tính bù c ng; (3) M i R-môđun t a x nh có (D1 ) và (D2 ); (4) M i môđun con c a m t R-môđun t do b t kỳ đ u có bù c ng. 2.2.8 Đ nh lý. N u M là môđun lifting và M = M1 ⊕ M2 thì M1 , M2 là các môđun lifting. Chi u ngư c l i c a đ nh lý là không đúng. Ch ng h n cho
13 các Z−môđun A = Z/8Z, B = Z/2Z. Ta có A, B là các môđun lõm nên A và B là các môđun lifting nhưng M = A ⊕ B không là môđun lifting. Th t v y, cho U là môđun con c a M sinh b i (2 + 8Z, 1 + 2Z). Khi đó U không đ i c t y u trong M và U không ch a h ng t tr c ti p khác không nào c a M . V y v i đi u ki n nào thì t ng tr c ti p c a hai môđun lifting là lifting, ta có k t qu sau 2.2.9 Đ nh lý. Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun lifting, M1 là M2 −x nh và M2 là M1 −x nh. Khi đó, M là lifting. 2.2.10 M nh đ . Cho M là R-môđun có chi u hollow h u n h n. N u M là môđun lifting thì M = ⊕ Mi , v i Mi là các môđun i=1 lõm và n = h. dim(M ). 2.2.11 Đ nh nghĩa. R-môđun M đư c g i là có tính ch t th h u h n n u v i m i h h u h n R-môđun {Ai |i = 1, 2, ..., n}, v i n m i môđun N sao cho M ⊕ N = ⊕ Ai , t n t i các môđun con i=1 n Bi ⊆ Ai , i = 1, 2, ..., n th a mãn M ⊕ N = M ⊕ ( ⊕ Bi ). i=1 Theo [8, 1.21], m i R-môđun t a n i x đ u có tính ch t th h u h n. Do đó, m i môđun đơn đ u có tính ch t th h u h n. 2.2.12 M nh đ . Cho M là môđun chu i v i chu i h p thành duy nh t 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M . Khi đó M ⊕ (U/V ) không lifting.
14 Chương III KH O SÁT MÔĐUN M CÓ M I MÔĐUN H U H N SINH TRONG PH M TRÙ σ [M ] LÀ EXTENDING HO C LIFTING Trong chương này, chúng tôi kh o sát môđun M có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và môđun t a x nh M mà m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là lifting. K t qu chính c a chương là các đ nh lý 3.1.3 và 3.2.3. Đ ch ng minh đư c các đ nh lý này, trư c h t, chúng tôi gi i thi u và ch ng minh các b đ có liên quan. 3.1 Môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending. Cho M là R-môđun. M i môđun con c a môđun thương c a M đư c g i là môđun thương con (subfactor) c a M . Ta có các k t qu sau đây: đ . Cho M là môđun h u h n sinh sao cho m i 3.1.1 B môđun thương con cyclic c a M là extending. Khi đó m i môđun thương c a M có chi u uniform h u h n. 3.1.2 B đ . Cho M là R-môđun ph i h u h n sinh, extend- ing. N u M/Soc(M ) có chi u uniform h u h n thì M có chi u uniform h u h n. 3.1.3 Đ nh lý. Cho M là R-môđun ph i h u h n sinh có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending. Khi đó M là Noether. Đ t M = R, ch c n gi thi t r ng m i R-môđun ph i h u h n sinh là extending ta có h qu sau.
15 3.1.4 H qu . Cho R là vành có m i R-môđun ph i h u h n sinh là extending. Khi đó R là Noether ph i và J (R)2 = 0. 3.2 Môđun t a x nh M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là lifting đ . Cho L là R-môđun ph i v i vành t đ ng c u 3.2.1 B End(L) đ a phương và S là m t R-môđun ph i, đơn. Gi s M = L ⊕ S là lifting. Khi đó, m i bi u đ S h L L/K 0 p v i K là m t môđun con c a L, p : L → L/K là toàn c u t nhiên, h : S → L/K là đ ng c u khác không và không toàn c u thì luôn t n t i đ ng c u h : S → /L sao cho p.h = h. L1 K h 3.2.2 M nh đ . Cho M là R-môđun ph i có m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là L p Gi/ K L là 0 lifting. L s môđun đ a phương t a nh trong σ [M ]. Khi đó L là đơn ho c Soc(L) = Rad(L). x T 3.2.3 Đ nh lý. Cho M là R-môđun ph i t a x nh h u h n q sinh. Gi s m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là lifting. Khi đó, M có s phân tích π L / Soc( L) 0 L M = M1 ⊕ ... ⊕ Mn , i trong đó Mi là đơn ho c đ a phương v iM (Mi ) = Rad(Mi ), X 0 Soc ϕ f i = 1, 2, ...., n. M f N u MR = RR , ta ch c n gi thi t r ng m i R-môđun ph i h u h n sinh là lifting, ta có k t qu sau: E (M ) M f U M 0 p f p g M/A B 0
16 3.2.4 Đ nh lý. Cho R là vành mà m i R-môđun ph i h u h n sinh là lifting. Khi đó R là vành n a nguyên t v i J (R)2 = 0. 3.2.5 H qu . Cho R là vành có chi u uniform ph i h u h n, m i R-môđun ph i h u h n sinh là lifting. Khi đó R là Artin ph i v i J (R)2 = 0.
17 K T LU N Trong lu n văn"M t s v n đ v môđun lifting và môđun extending trong ph m trù σ [M ]" tác gi đã trình bày m t cách có h th ng các v n đ sau đây: 1. Trình bày t ng quan các k t qu chính v tính ch t c a môđun extending. ([3], [8]) 2. Trên cơ s các tính ch t c a môđun extending, xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng. 3. Kh o sát môđun M có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending. ([5] , [6] , [7]) 4. Kh o sát môđun t a x nh M có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là lifting. Trong lu n văn này, đóng góp chính c a tác gi là các đ nh lý 2.2.2, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9, 2.2.12, các ph n ví d , ch ng minh chi ti t các b đ 3.1.1, 3.1.2, các phép ch ng minh 3.2.1, 3.2.2. Trong khuôn kh c a m t lu n văn Th c sĩ và ít nhi u h n ch v th i gian cũng như trình đ hi u bi t nên có nhi u ý tư ng mà chúng tôi chưa nghiên c u đ n như: nh ng tính ch t ph n đ i x ng gi a môđun extending và môđun lifting, mô t môđun M có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là lifting... Trong th i gian t i, chúng tôi s ti p t c nghiên c u đ có th b sung và phát tri n lu n văn này. M c dù đã h t s c c g ng nhưng ch c ch n v n không th tránh kh i nh ng sai sót ngoài ý mu n, tác gi r t mong nh n đư c s lư ng th , ch b o k p th i c a quý th y cô và các b n đ c đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn.
18 L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành, tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành đ n TS. Mai Quý Năm, ngư i th y đã t m tâm, nhi t tình hư ng d n khoa h c và giúp đ tác gi trong quá trình h c t p, nghiên c u. Bên c nh đó, tác gi cũng xin c m ơn Ban giám hi u, Phòng Đào t o đ i h c và sau đ i h c trư ng Đ i h c Quy Nhơn, các th y cô giáo đã tham gia gi ng d y và hư ng d n khoa h c cho l p Cao h c Toán khoá VIII cùng gia đình, b n bè, đ ng nghi p đã quan tâm, đ ng viên, chia s và t o m i đi u ki n thu n l i nh t đ tác gi h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n văn này.
19 TÀI LI U THAM KH O Ti ng Vi t 1.Nguy n Ti n Quang, Nguy n Duy Thu n (2001), Cơ s lý thuy t môđun và vành, Nhà xu t b n Giáo d c, Hà N i. Ti ng Anh 2. F.W.Anderson and K.R.Fuller (1991), Rings and Categories of Modules, Spring - Verlag, Berlin. 3. N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer (1994), Extending modules, Pitman, London. 4. Carl Faith (1981), Algebra I Rings, Modules and Categories, Spring - Verlag, Berlin Heidelberg New York. 5. D.V.Huynh, N.V.Dung and R.Wisbauer (1991), "On mod- ules with finite uniform and Krull dimension", Arch Math, 57, pp 122-132. 6. D.V.Huynh, S.T.Rizvi and M.F.Yousif (1996), "Rings whose finitely generated modules are extending", Journal of Pure and Applied Algebra, 111, pp 325-328. 7. D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer (1990), "A note on GV-modules with Krull dimension", Glasgow Math, 32, pp 389- 390. .. 8. S.H.Mohamed and B.J.Muller (1990), Continuous and Dis- crete Modules, London Math. 9. B.L.Osofsky and P.F.Smith (1991), "Cyclic modules whose quotients have all complement submodules", J.Algebra, 139, pp 342-354. 10. S.H.Rim and K.Takemori (1993), "On dual Goldie dimen- sion", Comm. Algebra, 21, pp 665-674. 11. Yongduo Wang and Nanqing Ding (2006), "Generalized lifting modules", International Journal of Mathematics and Math- ematical Sciences, pp 1-9. 12. R.Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring The- ory, Gordon and Breach, Reading, MA.