Luận văn tốt nghiệp: Hệ thống các độ đo gần đúng và lập luận xấp xỉ

Chia sẻ: Bluesky_12 Bluesky_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

81
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhu cầu của con ng−ời về việc giải quyết các vấn đề thực tế dựa trên nhiều mô hình ngμy cμng phức tạp đã gia tăng dẫn đến sự cần thiết phải thu thập các dữ liệu phức tạp. Phân tích kỹ l−ỡng quá trình thực tế thu thập thông tin, chúng ta nhận thấy rằng rất nhiều thông tin đ−ợc thu thập không phải lμ những số liệu chính xác vμ rõ rμng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn tốt nghiệp: Hệ thống các độ đo gần đúng và lập luận xấp xỉ

  Luận văn tốt nghiệp Hệ thống các độ đo gần đúng và lập luận xấp xỉ
Lêi nãi ®Çu Nhu cÇu cña con ng−êi vÒ viÖc gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò thùc tÕ dùa trªn nhiÒu m« h×nh ngµy cµng phøc t¹p ®· gia t¨ng dÉn ®Õn sù cÇn thiÕt ph¶i thu thËp c¸c d÷ liÖu phøc t¹p. Ph©n tÝch kü l−ìng qu¸ tr×nh thùc tÕ thu thËp th«ng tin, chóng ta nhËn thÊy r»ng rÊt nhiÒu th«ng tin ®−îc thu thËp kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè liÖu chÝnh x¸c vµ râ rµng. TÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ ch−a râ rµng trong qu¸ tr×nh thu thËp th«ng tin xuÊt ph¸t tõ nhiÒu nguyªn nh©n kh¸c nhau: dông cô ®o kh«ng hoµn h¶o, hoÆc th«ng th−êng h¬n lµ nguån d÷ liÖu th«ng tin ®−îc thu thËp tõ mét hoÆc mét vµi c¸ nh©n mµ do ®ã th«ng tin lµ kh«ng chÝnh x¸c, kh«ng m¹ch l¹c vµ ch−a ®Çy ®ñ. §èi víi nh÷ng tr−êng hîp nh− thÕ, ph−¬ng ph¸p xö lý hoµn toµn t−îng tr−ng sÏ kh«ng ®¸p øng ®Çy ®ñ yªu cÇu cña viÖc xö lý th«ng tin. B¾t ®Çu tõ nh÷ng n¨m 1960 ®· h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn c¸c khÝa c¹nh lý thuyÕt vµ kü thuËt liªn quan ®Õn vÊn ®Ò biÓu diÔn tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ kh«ng ch¾c ch¾n. HiÖn nay, c¸c ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu c¸c néi dung trªn ®©y ®· ®ãng gãp nh÷ng thµnh c«ng quan träng ®èi víi sù ph¸t triÓn cña khoa häc m¸y tÝnh. Kh«ng chØ n¶y sinh khã kh¨n khi mong muèn c¸c phÐp ®o ®−îc tiÕn hµnh mét c¸ch chÝnh x¸c, mµ thËm chÝ ngay c¶ trong nh÷ng t×nh huèng cã thÓ tiÕn hµnh ®−îc phÐp ®o th× kÕt qu¶ thu ®−îc l¹i Ýt h÷u Ých: hoÆc ý nghÜa sö dông thÊp hoÆc l¹i rÊt khã kh¨n khi diÔn gi¶i hay lµm s¸ng tá c¸c th«ng tin thu thËp ®−îc. Khã kh¨n t−¬ng tù còng x¶y ra khi tiÕn hµnh ph©n tÝch ho¹t ®éng cña mét hÖ thèng phøc t¹p hoÆc hÖ thèng ®a chiÒu (many-dimensional system). Trong nhiÒu t×nh huèng nh− thÕ viÖc ®−a ra mét ph−¬ng ph¸p chung ®Ó nhËn ®−îc th«ng tin h÷u Ých mét c¸ch kÞp thêi trë nªn cã ý nghÜa h¬n nhiÒu so víi viÖc t×m kiÕm mét ph−¬ng ph¸p qu¸ chi tiÕt vµ chÝnh x¸c. Khi ®é phøc t¹p cña hÖ thèng t¨ng lªn, kh¶ n¨ng x©y dùng nh÷ng ph¸t biÓu chÝnh x¸c vµ cã ý nghÜa vÒ ho¹t ®éng cña hÖ thèng sÏ gi¶m bít cho ®Õn khi ®¹t ®−îc mét -1-
"ng−ìng" nµo ®ã, mµ trong ng−ìng ®ã, tÝnh chÝnh x¸c vµ tÝnh cã ý nghÜa trë nªn thèng nhÊt. Nguyªn lý c¬ b¶n cña sù kh«ng t−¬ng thÝch nh− ®· tr×nh bµy trªn ®©y phï hîp víi c¸ch con ng−êi lÜnh héi vµ suy luËn: chóng ta chñ yÕu sö dông c¸ch tr×nh bµy thùc tÕ mét c¸ch gi¶n l−îc, vµ v× vËy, viÖc tr×nh bµy nh− thÕ nhÊt ®Þnh lµ kh«ng chÝnh x¸c vµ chung chung theo suy nghÜ chñ quan cña mçi ng−êi. Nh− vËy, mét ph−¬ng ph¸p t èt cÇn ph¶i ®¹t ®−îc mét sù tho¶ hiÖp, trong ®ã, tr¸nh bÊt kú ®ßi hái sù chÝnh x¸c qu¸ møc còng nh− l¹m dông sù tïy høng (hay còng vËy, tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n) mét c¸ch qu¸ møc. TÝnh kh«ng chÝnh x¸c thËm chÝ cßn ®−îc n¶y sinh do kh¶ n¨ng hiÓu biÕt cña c¸ nh©n mçi con ng−êi lµ bÞ giíi h¹n. Gi¶i tÝch kho¶ng vµ lý thuyÕt x¸c xuÊt lµ hai c¸ch tiÕp cËn truyÒn thèng ®Ó tr×nh bÇy th«ng tin kh«ng hoµn h¶o tuy nhiªn chóng l¹i kh«ng thÝch øng ®Ó gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò míi ®−îc n¶y sinh. Gi¶i tÝch kho¶ng ®−îc ¸p dông chØ trong t×nh huèng khi xö lý d÷ liÖu sè kh«ng ®óng. §èi víi th«ng tin kh«ng hoµn h¶o, lý thuyÕt x¸c suÊt ®−îc sö dông víi môc ®Ých ®−a ra mét khung mang tÝnh qui chuÈn vµ quan t©m ®Õn sù ph¸n quyÕt kh«ng ch¾c ch¾n. Lý thuyÕt kh¶ n¨ng ®−îc x©y dùng dùa trªn kh¸i niÖm tËp mê, vµ ®−îc Zadeh khëi sinh tõ nh÷ng n¨m 1960. Khi ¸p dông lý thuyÕt kh¶ n¨ng, mét ®èi t−îng cã thÓ ®−îc t−¬ng øng víi mét ph¹m trï ch¾c ch¾n mµ ®èi t−îng sÏ ®−îc ®¸nh gi¸ theo ph¹m trï ®ã. Khi møc ®é kh¶ n¨ng nhËn c¸c gi¸ trÞ hoÆc 0 hoÆc 1 th× sù tÝnh to¸n chÝnh x¸c trong lý thuyÕt kh¶ n¨ng trïng hîp víi gi¶i tÝch kho¶ng, trong ®ã th«ng tin kh«ng chÝnh x¸c ®−îc tr×nh bµy d−íi d¹ng tËp c¸c gi¸ trÞ cã thÓ (thay v× tËp c¸c gi¸ trÞ chÝnh x¸c). Khi nghiªn cøu vÒ lý thuyÕt kh¶ n¨ng, chóng ta quan t©m ®Õn mèi quan hÖ kÐp: mét mÆt, quan hÖ gi÷a lý thuyÕt kh¶ n¨ng vµ lý thuyÕt tËp hîp, vµ mÆt kh¸c, quan hÖ gi÷a lý thuyÕt kh¶ n¨ng vµ kh¸i niÖm ®é ®o. Trong c¸c nghiªn cøu lý thuyÕt kh¶ n¨ng, -2-
tÝnh kh«ng chÝnh x¸c ®−îc tr×nh bµy d−íi d¹ng c¸c tËp mê vµ viÖc x¸c ®Þnh tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n ®−îc th«ng qua viÖc x¸c ®Þnh cÆp ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é ®o cÇn thiÕt. ViÖc nghiªn cøu c¸c ®é ®o trong c¸c hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o ®−îc quan t©m ngay tõ thêi ®iÓm khëi ®Çu cña lÜnh vùc nghiªn cøu réng lín nµy cña Tin häc. Mçi mét m« h×nh míi vÒ c¸c hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o th−êng g¾n víi mét líp ®é ®o nµo ®ã. §· cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh khoa häc nghiªn cøu vÒ c¸c ®é ®o trong c¸c hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o ®−îc ®−a ra. HiÖn t¹i, vÊn ®Ò nghiªn cøu vÒ c¸c ®é ®o vÉn mang tÝnh thêi sù, liªn quan ®Õn nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau trong Tin häc vµ ®Æc biÖt, liªn quan mËt thiÕt ®Õn lÜnh vùc khai ph¸ d÷ liÖu vµ t×m kiÕm tri thøc. LuËn v¨n "HÖ thèng c¸c ®é ®o gÇn ®óng vµ lËp luËn xÊp xØ" ®Þnh h−íng tíi c¸c néi dung vÒ ®é ®o trong hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o, trong lËp luËn gÇn ®óng vµ t×m kiÕm tri thøc. Néi dung cña b¶n luËn v¨n ®−îc chia lµm 4 ch−¬ng: - Ch−¬ng 1 víi tiªu ®Ò "TËp mê vµ c¸c ®é ®o kh«ng chÝnh x¸c" tr×nh bÇy c¸c néi dung c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt tËp mê, c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n cña tËp mê, c¸c ®é ®o trong hÖ thèng kh«ng hoµn h¶o. C¸c ®é ®o ®−îc tr×nh bµy trong ch−¬ng nµy nh−: ®é ®o kh¶ n¨ng, ®é ®o cÇn thiÕt vµ c¸c mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®é ®o, gi÷a tËp mê vµ ®é ®o kh¶ n¨ng còng ®−îc xem xÐt. LuËn v¨n còng tr×nh bµy nh÷ng nÐt kh¸i qu¸t vÒ c¸c ph−¬ng ph¸p thùc tÕ x©y dùng hµm thµnh viªn, x©y dùng c¸c tËp mê tõ d÷ liÖu thèng kª. Mèi liªn hÖ gi÷a ph©n phèi kh¶ n¨ng vµ x¸c suÊt... còng ®−îc xem xÐt. ViÖc x©y dùng hµm thµnh viªn µG ®o møc ®é t−¬ng thÝch gi÷a gi¸ trÞ ®¸nh gi¸ c¸c ®èi t−îng vµ ý muèn cña ng−êi ra quyÕt ®Þnh ®−îc bµn luËn. §Ó ®¹t ®−îc môc tiªu chung cÇn kÕt hîp tõ nhiÒu tiªu chuÈn kh¸c nhau vµ dÉn ®Õn viÖc cÇn x©y dùng c¸c hµm tæ hîp c¸c tiªu chuÈn ®ã l¹i. - Ch−¬ng 2 cã tiªu ®Ò "C¸c ph−¬ng ph¸p lËp luËn xÊp xØ trong c¸c hÖ chuyªn gia" tr×nh bµy mét sè m« h×nh suy luËn gÇn ®óng trong c¸c hÖ chuyªn -3-
gia. Dùa theo nÒn t¶ng lý thuyÕt c¬ b¶n ®−îc giíi thiÖu trong ch−¬ng 1, c¸c ®é ®o tin cËy, ®é ®o hîp lý ®−îc tr×nh bµy. Kh¸i niÖm vÒ mÖnh ®Ò kh«ng râ rµng vµ c¸ch −íc l−îng gi¸ trÞ ®óng ®¾n cña mét mÖnh ®Ò ®−îc xem xÐt t−¬ng ®èi kü l−ìng. C¸ch tiÕp cËn logic vµ tiÕp cËn hµm x©y dùng c¸c m« h×nh suy luËn trong hÖ chuyªn gia tõ c¸c tiÒn ®Ò kh«ng ch¾c ch¾n sö dông c¸c luËt Modus ponens vµ Modus tollens ®· ®−îc nghiªn cøu kh¸ c¬ b¶n trong ch−¬ng nµy. - "T×m kiÕm tri thøc vµ ®é ®o gÇn ®óng" lµ tiªu ®Ò cña ch−¬ng 3. Néi dung cña ch−¬ng nªu lªn quan ®iÓm c¸c ®é ®o gÇn ®óng còng lµ kÕt qu¶ cña khai ph¸ d÷ liÖu vµ t×m kiÕm tri thøc. C¸c néi dung c¬ b¶n cña t×m kiÕm tri thøc mµ mét trong nh÷ng tri thøc ®ã lµ c¸c ®é ®o trong lÜnh vùc lËp luËn gÇn ®óng ®· ®−îc tr×nh bµy. Mét sè ®é ®o liªn quan ®Õn lÜnh vùc lËp luËn xÊp xØ, ®Æc biÖt c¸c ®é ®o liªn quan ®Õn kh¸i niÖm tËp th« ®−îc hÖ thèng hãa. Gi¸ trÞ t×m ®−îc tõ c¸c ®é ®o nãi trªn cho phÐp ®−a ra mét sè ®¸nh gi¸ vÒ ®é tin cËy trong suy luËn gÇn ®óng. - Ch−¬ng 4 víi tiªu ®Ò "§Ò xuÊt mét ®é ®o gÇn ®óng vµ ¸p dông" lµ b−íc ph¸t triÓn néi dung cña ch−¬ng 3. §é ®o ®−îc ®Ò xuÊt tuy ch−a ®−îc ®¸nh gi¸ so s¸nh víi c¸c ®é ®o ë ch−¬ng 3 song ®é ®o ®ã vÉn cã ý nghÜa trong mét líp m« h×nh kh«ng qu¸ h¹n hÑp. LuËn ¸n nµy hoµn thµnh ®−îc tr−íc hÕt lµ nhê cã sù gióp ®ì h−íng dÉn khoa häc tËn t×nh cña PTS. Hµ Quang Thôy, PTS. §ç V¨n Thµnh. V× vËy, víi tÊt c¶ tÊm lßng cña m×nh t«i xin bÇy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c cña m×nh tíi hai ng−êi thÇy ®· trùc tiÕp gióp ®ì h−íng dÉn t«i lµm luËn ¸n. Vµ t«i còng xin ch©n thµnh göi lêi c¸m ¬n cña m×nh tíi c¸c thÇy c« gi¸o khoa C«ng nghÖ th«ng tin, c¸c thÇy c« gi¸o thuéc Phßng §µo t¹o sau ®¹i häc-tr−êng §¹i häc Khoa häc tù nhiªn ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc. Ngoµi ra t«i còng v« cïng c¶m ¬n mäi ng−êi trong gia ®×nh vµ c¸c b¹n bÌ th©n cña t«i, ®· cho t«i nhiÒu sù ®éng viªn khÝch lÖ ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh luËn ¸n cña m×nh. -4-
Víi tÊt c¶ mäi tËp thÓ vµ c¸ nh©n ®· gióp ®ì t«i ë trªn, t«i xin ch©n thµnh göi c¸m ¬n cña m×nh tíi tÊt c¶ mäi ng−êi. -5-
Ch−¬ng 1 TËp mê vµ c¸c ®é ®o kh«ng chÝnh x¸c 1. ®é ®o kh¶ n¨ng vµ tËp mê Mét trong nh÷ng c¸ch tiÕp cËn kh«ng truyÒn thèng ®èi víi tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n lµ c¸ch tiÕp cËn tíi phÐp ®o kh¶ n¨ng. Tr−íc hÕt, chóng ta xem xÐt c¸c kh¸i niÖm tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n. 1.1. kh¸i niÖm vÒ tÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n TÝnh kh«ng chÝnh x¸c vµ tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n cã thÓ ®−îc coi lµ hai khÝa c¹nh c¬ b¶n cña tÝnh chÊt x¸c thùc liªn quan ®Õn th«ng tin kh«ng hoµn h¶o. Mét môc (gãi) th«ng tin cã thÓ lµ ®−îc tr×nh bÇy nh− lµ mét mÖnh ®Ò logic vµ mét kho tri thøc ®−îc thu gom tõ c¸c môc th«ng tin tõ c¸c c¸ nh©n (hoÆc mét hÖ thèng m¸y tÝnh, hoÆc mét nhãm c¸ nh©n) vµ liªn quan ®Õn Ýt nhÊt mét vÊn ®Ò. Nh÷ng kh¼ng ®Þnh xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh biÓu diÔn th«ng tin cã thÓ ®−îc gi¶i thÝch nh− lµ nh÷ng tËp con cña mét miÒn tham kh¶o. Mét mÖnh ®Ò còng cã thÓ ®−îc coi lµ mét x¸c nhËn liªn quan tíi sù xuÊt hiÖn cña mét sù kiÖn. Nh÷ng sù kiÖn nh− vËy cã thÓ tù ®−îc tr×nh bÇy nh− lµ nh÷ng tËp con cña miÒn tham kh¶o, v× vËy ®−îc gäi lµ sù kiÖn ch¾c ch¾n. Chóng ta cã ba c¸ch t−¬ng ®−¬ng ®Ó thu thËp c¸c môc th«ng tin: hoÆc dùa theo cÊu tróc (khÝa c¹nh logic), hoÆc dùa theo néi dung môc th«ng tin (khÝa c¹nh lý thuyÕt tËp), hoÆc dùa theo mèi liªn hÖ cña c¸c môc th«ng tin víi c¸c sù kiÖn thùc (khÝa c¹nh thùc tÕ). Theo quan ®iÓm thùc tÕ, mét môc th«ng tin ®−îc ®Þnh nghÜa lµ mét bé- bèn (thuéc tÝnh, ®èi t−îng, gi¸ trÞ, ®é tin cËy). -6-
§èi t−îng (object) chØ ra ®−îc phÇn tö trong mét tËp tæng thÓ c¸c ®èi t−îng ®ang ®−îc chóng ta quan t©m, nghiªn cøu. Trong môc th«ng tin, thµnh phÇn ®èi t−îng ®−îc tr×nh bµy lµ tªn ®èi t−îng cô thÓ liªn quan ®Õn môc th«ng tin ®· cho. Thuéc tÝnh (attribute) ®−îc ®Ò cËp nh− mét hµm g¾n mét gi¸ trÞ (hoÆc mét tËp gi¸ trÞ) víi ®èi t−îng (object). Thuéc tÝnh th−êng liªn quan ®Õn mét "tÝnh chÊt" nµo ®ã cña c¸c ®èi t−îng ®ang ®−îc xem xÐt. Gi¸ trÞ (value) thuéc vÒ mét tËp con cña vïng tham kh¶o liªn quan víi thuéc tÝnh. Trong môc th«ng tin, thµnh phÇn gi¸ trÞ lµ mét phÇn tö (hoÆc mét tËp con c¸c phÇn tö) liªn quan ®Õn ®èi t−îng cô thÓ trong môc th«ng tin. §é tin cËy (confident) x¸c ®Þnh ®é x¸c thùc cña môc th«ng tin. Môc th«ng tin cã thÓ ®−îc më réng theo h−íng mçi mét thµnh phÇn trong ®ã cã thÓ lµ tæ hîp (mét vµi ®èi t−îng, mét vµi thuéc tÝnh, m¶ng n-tÝnh chÊt, c¸c møc ®é tin cËy kh¸c nhau). Trong ng÷ c¶nh nµy, chóng ta cã thÓ nhËn thÊy sù ph©n biÖt râ rµng kh¸i niÖm kh«ng chÝnh x¸c (imprecision) víi kh¸i niÖm kh«ng ch¾c ch¾n (uncertainty): tÝnh kh«ng chÝnh x¸c liªn quan tíi néi dung mét môc th«ng tin (thµnh phÇn gi¸ trÞ), cßn trong khi ®ã, tÝnh kh«ng ch¾c ch¾n liªn quan tíi tÝnh ®óng ®¾n cña môc th«ng tin, ®−îc hiÓu nh− lµ tÝnh x¸c thùc (thµnh phÇn tin cËy). * TÝnh kh«ng ch¾c ch¾n TÝnh kh«ng ch¾c ch¾n cña mét môc th«ng tin cã thÓ ®−îc ®¸nh gi¸ th«ng qua nh÷ng tõ nh−: “cã thÓ” (probable), “kh¶ n¨ng”, “cÇn thiÕt”, “hîp lý” hoÆc “®¸ng tin” mµ chóng ta mong muèn cè g¾ng g¸n cho chóng mét ý nghÜa chÝnh x¸c nµo ®ã. M« h×nh “cã thÓ” ®· tõng ®−îc nghiªn cøu réng r·i vµ nã liªn quan tíi hai ý nghÜa kh¸c nhau. ý nghÜa ®Çu tiªn lµ ý nghÜa vËt lý, rµng buéc tíi c¸c thÝ nghiÖm thèng kª, vµ liªn quan tíi tÇn sè xuÊt hiÖn cña mét sù -7-
kiÖn. ý nghÜa thø 2 (epistemic) lµ: ë ®©y “cã thÓ” nãi ®Õn mét c¸ch ®¸nh gi¸ chñ quan nµo ®ã. §èi víi nh÷ng m« h×nh “kh¶ n¨ng” vµ “cÇn thiÕt”, ta nhÊn m¹nh tÝnh ®èi ngÉu cña chóng, nÕu mét sù kiÖn lµ cÇn thiÕt, th× sù kiÖn ®èi ngÉu lµ kh«ng cã kh¶ n¨ng. Tr¸i ng−îc víi kh¸i niÖm “cã thÓ” vµ “kh¶ n¨ng”, kh¸i niÖm “cÇn thiÕt” th−êng xuyªn ®−îc coi nh− lµ ph¹m trï “tÊt c¶ hoÆc kh«ng cã g×”. Nh−ng, còng gièng nh− “cã thÓ”, “kh¶ n¨ng” cã hai c¸ch gi¶i thÝch: vËt lý, vµ ”epistemic”. MÆt kh¸c “cÇn thiÕt” lµ mét kh¸i niÖm m¹nh h¬n nhiÒu, trong mçi ý nghÜa vËt lý hoÆc “epistemic” . Nh÷ng kh¸i niÖm “hîp lý” vµ “®¸ng tin” lµ ®Æc biÖt “epistemic” vµ liªn quan lÇn l−ît ®Õn c¸c kh¸i niÖm “kh¶ n¨ng” vµ “cÇn thiÕt”. Tõng kh¸i niÖm t−¬ng øng tíi mét c¸ch thøc suy luËn dùa trªn mét kho tri thøc ®−îc ®−a ra: bÊt cø ®iÒu g× mµ cã thÓ suy luËn tõ kho tri thøc lµ “®¸ng tin”; bÊt cø ®iÒu g× mµ kh«ng m©u thuÉn víi kho tri thøc lµ ”hîp lý” (khÝa c¹nh qui n¹p). D−íi ®©y lµ mét vµi vÝ dô vÒ nh÷ng mÖnh ®Ò kh«ng ch¾c ch¾n: - Cã thÓ Nam cao Ýt nhÊt 1.70 m. (®é cao, Nam, ≥1.7 m, cã thÓ) -X¸c suÊt l−îng m−a ngµy mai ®¹t10 mm lµ 0.5 (l−îng, m−a ngµy mai, 10 mm, x¸c suÊt = 0.5) * TÝnh kh«ng chÝnh x¸c Mét môc cña th«ng tin sÏ ®−îc gäi lµ chÝnh x¸c khi tËp con t−¬ng øng víi thµnh phÇn “gi¸ trÞ” kh«ng thÓ chia nhá thªm. Dùa trªn khÝa c¹nh cña th«ng tin ®ang ®−îc nhÊn m¹nh, chóng ta cã thÓ ph¸t biÓu mét mÖnh ®Ò s¬ cÊp, cña mét “singleton” (khÝa c¹nh lý thuyÕt tËp), hoÆc lµ mét sù kiÖn c¬ b¶n. TÝnh chÝnh x¸c dùa trªn c¸ch x¸c ®Þnh miÒn tham kh¶o. Trong mét sè tr−êng hîp, chóng ta cã thÓ ph¸t biÓu th«ng tin kh«ng chÝnh x¸c (imprecise). Trong ng«n ng÷ tù nhiªn cã nh÷ng tõ liªn quan tíi tÝnh kh«ng chÝnh x¸c, vÝ dô nh− “kh«ng râ rµng”, “mê”, “tæng qu¸t”. “Tæng qu¸t” còng lµ mét -8-
d¹ng kh«ng chÝnh x¸c gièng víi qu¸ tr×nh trõu t−îng ho¸. Mét môc th«ng tin ®−îc gäi lµ tæng qu¸t nÕu nã chØ dÉn mét líp ®èi t−îng mµ c¸c ®èi t−îng ®ã cïng biÓu diÔn mét tÝnh chÊt chung. Nh−ng gi÷a tÝnh kh«ng râ rµng vµ tÝnh mê trong mét môc th«ng tin lµ kh«ng cã mét ng¨n c¸ch râ rµng khi xem xÐt tËp gi¸ trÞ ®−îc g¾n tíi c¸c ®èi t−îng liªn quan. 1.2 §é ®o tin t−ëng (confidence) Trong viÖc nghiªn cøu kho tri thøc kh«ng chÝnh x¸c vµ kh«ng ch¾c ch¾n, sù kiÖn lµ tËp con cña mét tËp tham kh¶o Ω cho tr−íc. TËp rçng ®−îc ®ång nhÊt víi sù kiÖn kh«ng cã kh¶ n¨ng. Gi¶ sö r»ng víi mét sù kiÖn A ⊆ Ω cho t−¬ng øng víi mét sè thùc g(A) ®−îc gäi lµ ®é tin t−ëng vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn sù kiÖn A (qui −íc, g(A) t¨ng cïng víi sù t¨ng ®é tin cËy). Thùc tÕ g(A) ®−îc cung cÊp tõ ng−êi së h÷u kho tri thøc (hoÆc tõ mét thñ tôc xö lý d÷ liÖu ®−îc ¸p dông ®èi víi th«ng tin ®−îc l−u gi÷ trong bé nhí cña mét hÖ thèng m¸y tÝnh). H¬n n÷a, nÕu A lµ mét sù kiÖn ch¾c ch¾n th× g(A)=1, vµ nÕu A lµ mét sù kiÖn kh«ng cã kh¶ n¨ng, th× g(A)=0, ®Æc biÖt g(∅)=0 vµ g(Ω)=1 (1.1) Tuy nhiªn, g(A)=1 (hoÆc 0) kh«ng nhÊt thiÕt cã nghÜa lµ A lµ ch¾c ch¾n (hoÆc kh«ng cã kh¶ n¨ng). Tiªn ®Ò 1.1 (Tiªn ®Ò ®¬n ®iÖu yÕu): Gi¶ sö Ω lµ tËp tham kh¶o, víi mäi sù kiÖn A ⊆ Ω th× g(A) ®o ®é tin t−ëng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn sù kiÖn A. Khi ®ã: ∀A ⊆ B g(A) ≤ g(B) (1.2) §Þnh nghÜa 1.1 (®é ®o confident): -9-
Gi¶ sö Ω lµ tËp tham kh¶o, víi mäi sù kiÖn A ⊆ Ω th× g(A) ®o ®é tin t−ëng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn sù kiÖn A. Khi ®ã nÕu g tho¶ m·n tiªn ®Ò ®¬n ®iÖu yÕu (tiªn ®Ò 1.1) th× g ®−îc gäi lµ ®é ®o confident. Tiªn ®Ò 1.2 (Tiªn ®Ò liªn tôc): Khi Ω lµ mét tËp tham kh¶o v« h¹n, khi ®ã víi mäi d·y lång nhau (An)n c¸c tËp, gi¶ sö: A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ An ⊆ ..., hoÆc A0 ⊇ A1 ⊇ ... An ⊇ ... th× ⎛ ⎞ lim g(A n ) = g⎜ lim(A n )⎟ (1.3) ⎜ ⎟ n→∞ ⎝n→∞⎠ Mét ®é ®o confidence ®−îc coi lµ tho¶ m·n tiªn ®Ò liªn tôc nÕu nã tháa m·n Ýt nhÊt mét hoÆc hai kiÓu d·y t¨ng hoÆc gi¶m. 1.2.1. ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é ®o cÇn thiÕt Nh÷ng bÊt ®¼ng thøc d−íi ®©y lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña tiªn ®Ò ®¬n ®iÖu (1.2), vµ liªn quan tíi c¸c phÐp hîp (A∪B) vµ giao (A∩B) cña c¸c sù kiÖn: ∀A,B ⊆ Ω, g(A∪B) ≥ max (g(A), g(B)) g(A∩B) ≤ min (g(A), g(B)) Mét trong nh÷ng bµi to¸n ®Æt ra lµ t×m kiÕm mét c¸ch tù nhiªn, nh÷ng tr−êng hîp h¹n chÕ c¸c phÐp ®o confidence. Sau ®©y ta sÏ giíi thiÖu hai ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é ®o cÇn thiÕt. *§é ®o kh¶ n¨ng: §Þnh nghÜa 1.2: Ký hiÖu Π lµ mét ®é ®o confident tho¶ m·n: ∀A,B, Π(A∪B) = max (Π(A), Π(B)) (1.4) Khi ®ã Π ®−îc gäi lµ ®é ®o kh¶ n¨ng, trong ®ã A, B kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ c¸c tËp rêi nhau. - 10 -
DÔ dµng kiÓm tra nhËn thÊy r»ng nÕu (1.4) lµ ®óng ®èi víi mäi cÆp A, B rêi nhau (A∩B = ∅) th× nã ®óng cho mäi cÆp c¸c sù kiÖn. Tõ nhËn ®Þnh nµy, viÖc kiÓm tra mét ®é ®o cã lµ ®é ®o kh¶ n¨ng hay kh«ng chØ h¹n chÕ trªn c¸c cÆp tËp rêi nhau. Sù tån t¹i ®é ®o kh¶ n¨ng cã thÓ ®−îc kh¼ng ®Þnh tõ c¸ch x©y dùng mét ®é ®o kh¶ n¨ng nh− sau: - Gi¶ sö r»ng E ⊆ Ω lµ mét sù kiÖn ®−îc coi lµ ch¾c ch¾n. Mét hµm Π lÊy gi¸ trÞ trong {0, 1} vµ tho¶ m·n (1.4), lµ dÔ dµng ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: Π(A) = 1 nÕu A∩E ≠ ∅ nÕu A∩E = ∅ =0 HiÓn nhiªn Π ®−îc x©y dùng nh− vËy lµ mét ®é ®o kh¶ n¨ng TÝnh chÊt 1.1: NÕu A vµ A lµ hai sù kiÖn tr¸i ng−îc ( A lµ phÇn bï cña A trong Ω), khi ®ã ta cã: max(Π(A), Π( A )) =1 TÝnh chÊt trªn cã thÓ ®−îc chøng minh dÔ dµng nh− sau: max(Π(A), Π( A )) = Π(A∪ A ) = Π(Ω) = 1 §Þnh nghÜa 1.3: Gi¶ sö Ω lµ h÷u h¹n, khi ®ã mäi ®é ®o kh¶ n¨ng Π cã thÓ ®−îc ®Þnh nghÜa d−íi d¹ng theo gi¸ trÞ cña nã trªn c¸c phÇn tö cña Ω nh− sau: ∀A Π(A) = sup {π(ω)|ω ∈ A} (1.5) trong ®ã π(ω) = Π({ω}); π lµ mét ¸nh x¹ tõ Ω vµo [0, 1] ®−îc gäi lµ ph©n phèi kh¶ n¨ng. §Þnh nghÜa 1.4: π lµ mét ph©n phèi kh¶ n¨ng. Khi ®ã π ®−îc gäi lµ chuÈn ho¸ nÕu ∃ω, π(ω) = 1 (1.6) - 11 -
v× Π(Ω) = 1. Trªn thùc tÕ, chóng ta lu«n lu«n b¾t ®Çu víi mét ph©n phèi kh¶ n¨ng vµ x©y dùng Π nhê (1.5). Nãi chung, ®é ®o kh¶ n¨ng kh«ng tho¶ m·n tiªn ®Ò liªn tôc (1.3) ®èi víi d·y c¸c tËp lång nhau gi¶m dÇn. TÝnh chÊt 1.2: NÕu Π lµ ®é ®o kh¶ n¨ng th× Π tho¶ m·n tÝnh chÊt sau: Π(A) + Π( A ) ≥ 1 *§é ®o cÇn thiÕt: T−¬ng tù, ta ®Þnh nghÜa ®é ®o cÇn thiÕt (d−íi ®©y ®−îc ký hiÖu bëi N) dùa theo quan hÖ sau: §Þnh nghÜa 1.5: Gi¶ sö N lµ mét ®é ®o confident tho¶ m·n: ∀A,B, N(A∩B) = min (N(A), N(B)) (1.7) Khi ®ã N ®−îc gäi lµ ®é ®o kh¶ n¨ng Mét hµm N víi nh÷ng gi¸ trÞ trong {0, 1} cã thÓ dÔ dµng ®−îc x©y dùng nhê mét sù kiÖn ch¾c ch¾n E nh− sau: nÕu E ⊆ A N(A) = 1 nÕu E ⊄ A =0 Râ rµng lµ hµm N ®−îc x©y dùng nh− vËy lµ mét ®é ®o cÇn thiÕt. N(A) = 1 mang ý nghÜa A lµ ch¾c ch¾n. MÖnh ®Ò 1.1: Mét hµm tËp N tho¶ m·n (1.7) nÕu vµ chØ nÕu hµm Π ®−îc ®Þnh nghÜa bëi ∀A, Π(A) = 1 - N( A ) (1.8) lµ mét phÐp ®o kh¶ n¨ng. - 12 -
Ph−¬ng tr×nh (1.8) tr×nh bµy sù biÓu diÔn sè mèi quan hÖ ®èi ngÉu gi÷a c¸c m« h×nh kh¶ n¨ng vµ m« h×nh cÇn thiÕt. Quan hÖ ®èi ngÉu cho phÐp chóng ta lu«n x©y dùng ®−îc mét hµm cÇn thiÕt tõ mét ph©n phèi kh¶ n¨ng th«ng qua biÓu thøc: N(A) = inf{1- π(ω)| ω ∉ A} (1.9) Ta cã mét sè tÝnh chÊt sau: min(N(A), N( A )) = N(A∩( A )) = N(∅) = 0 TÝnh chÊt 1.3: ∀A⊆Ω, Π(A) ≥ N(A) TÝnh chÊt 1.4: Chøng minh: ∀A⊆Ω, Π(A)=1-N( A )-N(A)+N(A) =(1-(N( A )+N(A)))+N(A) ≥ N(A) TÝnh chÊt 1.3 cho mét nhËn xÐt trùc gi¸c r»ng mét sù kiÖn lµ cã kh¶ n¨ng tr−íc khi lµ cÇn thiÕt. Ngoµi ra ta cßn cã c¸c quan hÖ sau: N(A) > 0 ⇒ Π(A) = 1 TÝnh chÊt 1.5: Chøng minh: N(A) > 0 ⇒ N( A ) = 0 (do min(N(A), N( A )) = 0) ⇒ Π(A) = 1- N( A ) = 1 T−¬ng tù ta cã: Π(A) < 1 ⇒ N(A) = 0 TÝnh chÊt 1.6: N(A) + N( A ) ≤ 1 TÝnh chÊt 1.7: 1.2.2. kh¶ n¨ng vµ x¸c suÊt §Þnh nghÜa 1.6: Sù kiÖn xuÊt hiÖn th«ng qua viÖc quan s¸t th−êng xuyªn c¸c sù kiÖn c¬ b¶n nhËn ®−îc mét ®é ®o confidence P tho¶ m·n tiªn ®Ò céng mét c¸ch tù nhiªn: ∀A, ∀B, vµ A∩B = ∅, P(A∪B) = P(A) + P(B) (1.10) - 13 -
Th× ®é ®o P ®−îc gäi lµ ®é ®o x¸c suÊt. MÖnh ®Ò 1.2: Gi¶ sö Ω h÷u h¹n ta cã ∑ p(ω) P(A) = (1.11) ω∈ Ω trong ®ã p(ω) = P({ω}). §Þnh nghÜa 1.7: Gi¶ sö P lµ ®é ®o x¸c suÊt. Khi ®ã nÕu p tho¶ m·n p(ω) = P({ω}) th× p ®−îc gäi lµ chuÈn ho¸ nÕu tho¶ m·n: ∑ p(ω) = 1 ω∈ Ω TÝnh chÊt 1.8: P lµ ®é ®o x¸c suÊt th×: P(A) + P( A ) = 1 (1.12) *Mét sè ®iÓm kh¸c nhau chÝnh yÕu gi÷a ®é ®o kh¶ n¨ng vµ ®é ®o x¸c suÊt: -X¸c suÊt cña mét sù kiÖn hoµn toµn x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña sù kiÖn ®èi lËp. -Kh¶ n¨ng hoÆc sù cÇn thiÕt cña mét sù kiÖn, vµ cña sù kiÖn ®èi lËp, lµ ®−îc liªn kÕt yÕu. Do ®ã ®Ó ®Þnh râ ®Æc ®iÓm kh«ng ch¾c ch¾n cña mét sù kiÖn A chóng ta cÇn c¶ hai sè Π(A) vµ N(A). Trong m« h×nh ph¸n quyÕt kh«ng ch¾c ch¾n, ta mong muèn kh«ng lµm cøng nh¾c mèi quan hÖ gi÷a nh÷ng dÊu hiÖu chóng ta cã cña mét sù kiÖn. Trong t×nh huèng nµy kh¸i niÖm x¸c suÊt d−êng nh− lµ kÐm linh ®éng h¬n kh¸i niÖm kh¶ n¨ng. *Ph−¬ng ph¸p x©y dùng hµm ph©n phèi kh¶ n¨ng th«ng qua x¸c suÊt: Gi¶ sö tiªn ®Ò céng lµ ®−îc tho¶ m·n, ta cã thÓ x©y dùng ®−îc nh÷ng phÐp ®o kh¶ n¨ng vµ cÇn thiÕt nh− sau: - 14 -
Gi¶ sö E 1 , E 2 , K , E p lµ nh÷ng tËp con kh¸c nhau tõng ®«i mét (nh−ng cã thÓ giao nhau) cña Ω ( Ω lµ h÷u h¹n), lÇn l−ît cã c¸c x¸c suÊt m(E 1 ), m(E 2 ), K , m(E p ) tho¶ m·n: p ∑ m( E i ) = 1 (1.13) i =1 vµ ∀i, m( E i ) > 0 (1.14) C¸c sù kiÖn E i nh− trªn ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö träng t©m (focal element), ®−îc sö dông ®Ó x©y dùng m« h×nh kh«ng chÝnh x¸c. Khi ®ã x¸c suÊt cña mét sù kiÖn A sÏ lµ kh«ng chÝnh x¸c, vµ sÏ n»m trong mét kho¶ng [P*(A), P*(A)], ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: ∑ m( E i ) P∗ (A) = (1.15) Ei ⊆ A ∑ m( E i ) P ∗ (A) = (1.16) Ei ∩ A ≠ ∅ HiÓn nhiªn: ∀A, P*(A) = 1 - P*( A ) (1.17) Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ r»ng c¸c hµm P* vµ P* tho¶ m·n lÇn l−ît c¸c tiªn ®Ò (1.4) vµ (1.7), khi ®ã P* lµ mét ®é ®o kh¶ n¨ng (hoÆc P* lµ mét ®é ®o cÇn thiÕt) nÕu vµ chØ nÕu c¸c E i t¹o thµnh mét d·y c¸c tËp bao nhau (nhê tiªn ®Ò yÕu (1.2)). §Æc biÖt, nÕu E 1 ⊂ E 2 , K ⊂ E p , cã thÓ ®Þnh nghÜa mét ph©n phèi kh¶ n¨ng π nh− sau: p ∀ω, π(ω) = P ∗ ({ω}) = ∑ m( E i ) nÕu ω ∈ E i ω∉ E i − 1 j=i - 15 -
nÕu ω ∈ Ω - Ep =0 (1.18) MÆt kh¸c, nÕu nh÷ng phÇn tö träng t©m lµ c¬ b¶n (v× thÕ kh«ng giao nhau), th×: ∀A, P*(A) = P*(A) = P(A) khi ®ã P lµ mét phÐp ®o x¸c suÊt. Tõ c¸c c«ng thøc (1.15) vµ (1.16) ta cã mét líp c¸c phÐp ®o P tho¶ m·n: P = {P| ∀A , N(A) ≤ P(A) ≤ Π(A)} (1.19) 1.3.TËp mê Kh¸i niÖm tËp mê cã thÓ ®−îc ®Þnh nghÜa theo c¸ch kh«ng liªn quan tíi c¸c ®é ®o kh«ng ch¾c ch¾n nhê viÖc thay ®æi x¸c ®Þnh møc ®é thµnh viªn (hµm thµnh viªn) thay cho ®Þnh nghÜa hµm ®Æc tr−ng. §©y lµ mét c¸ch nh×n nhËn logic. Tuy nhiªn, víi mét biÕn x vµ mét con tËp A cña miÒn tham kh¶o, tån t¹i mét ®é kh«ng ch¾c ch¾n trong tri thøc cña c¸ nh©n mçi ng−êi vÒ mèi quan hÖ x∈A. * TËp mê theo ®Þnh nghÜa trùc tiÕp §Þnh nghÜa 1.7: Mét tËp mê F lµ t−¬ng ®−¬ng víi cÆp (®−a ra mét tËp tham kh¶o Ω vµ µF (ω) , mµ ω∈Ω, lµ ®−îc diÔn gi¶i nh− lµ µF tõ Ω vµo [0, 1]. mét ¸nh x¹, møc thµnh viªn cña ω trong tËp mê F. µF (ω) biÓu diÔn møc t−¬ng thÝch cña ω víi tËp mê F . NÕu Ω = R (sè thùc) th× F lµ mét l−îng mê (fuzzy quantity). µF (ω) ∈ {0, 1}∀ω, F t−¬ng tù nh− mét tËp con b×nh th−êng cña Ω. Khi Trong tr−êng hîp nµy F ®−îc gäi lµ mét tËp con crisp cña Ω. - 16 -
Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i, cã thÓ chän mét ng−ìng α∈]0, 1] vµ ®Þnh nghÜa tËp: µF (ω) ≥ α } Fα = {ω∈Ω| (1.20) §Þnh nghÜa 1.8: Mét tËp Fα ®−îc gäi lµ nh¸t c¾t møc α (“α-level cut” hoÆc “α-cut”) NÕu Fα lµ tËp ®−îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc (1.20). Fα bao gåm tÊt c¶ nh÷ng phÇn tö cña Ω mµ t−¬ng thÝch víi A t¹i møc Ýt nhÊt lµ α. MÖnh ®Ò 1.3: Hä C(F) = { Fα | α∈]0, 1]} lµ ®¬n ®iÖu: 0 < α ≤ β ≤ 1 ⇒ Fα ⊇ Fβ (1.21) TÝnh ®¬n ®iÖu cho phÐp tr×nh bÇy F theo c¸ch thøc vÉn ¸p dông ®èi víi tËp truyÒn thèng vµ ta cã tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 1.8: µF (ω) = sup{α| ω ∈ Fα } ∀ω, (1.22) Ng−îc l¹i, ta cã: MÖnh ®Ò 1.4: Mét hä ®¬n ®iÖu h÷u h¹n nh÷ng tËp { Fα ,...., Fα } ®−îc g¸n cho m 1 nh÷ng träng sè αi tho¶ m·n (1.21), t¹o thµnh tËp c¸c nh¸t c¾t α cña mét tËp mê ®−îc ®Þnh bëi (1.22). §Þnh nghÜa 1.9: Nh¸t c¾t Fα tho¶ m·n: µF (ω) > α}, Fα ={ω∈Ω| α∈[0, 1[ khi ®ã Fα ®−îc gäi lµ nh¸t c¾t α m¹nh. - 17 -
D−íi ®©y ta ®Þnh nghÜa hai d¹ng nh¸t c¾t Fα d−íi ®©y th−êng ®−îc sö dông: §Þnh nghÜa 1.10: Nh¸t c¾t α møc 1 ký hiÖu F tho¶ m·n: & µF (ω) =1} F ={ω∈Ω| & ®−îc gäi lµ mét core hoÆc peak. §Þnh nghÜa 1.11: Nh¸t c¾t α m¹nh cña F t¹i møc 0, ®−îc gäi lµ support, ®−îc ký hiÖu: µF (ω) >0} S(F) = {ω∈Ω| * TËp mê theo c¸ch tiÕp cËn ®é ®o kh¶ n¨ng C¸ch nh×n thø hai lµ coi tËp mê nh− lµ “vÕt “ cña mét ®é ®o kh¶ n¨ng trªn mçi phÇn tö cña Ω. Mét tËp E ⊂ Ω cho t−¬ng øng mét ®é ®o kh¶ n¨ng, kÝ hiÖu lµ Π E . Trong ®ã Π E (A) =1 nÕu vµ chØ nÕu E ∩ A≠∅, vµ Π E = 0 nÕu ng−îc l¹i. -Khi ®é ®o kh¶ n¨ng cã gi¸ trÞ trong kho¶ng ®¬n vÞ, cã thÓ coi ph©n phèi π cña nã nh− lµ mét hµm thµnh viªn cña mét tËp mê F. Ký hiÖu [0,1]Ω lµ tËp tÊt c¶ c¸c tËp con mê cña Ω, ∀Π, ∃F∈ [0,1]Ω , ∀ω∈Ω, µF (ω) = Π({ω})=π(ω) (1.23) - Ng−îc l¹i, tõ mét tËp mê ®−îc chuÈn ho¸: µF (ω) =1 ∃ω, (1.24) cã thÓ nhËn ®−îc mét hµm kh¶ n¨ng. NÕu kh«ng nhÊt thiÕt b¾t buéc ®iÒu kiÖn Π(Ω)=1, th× tõ (1.5) ta cã: Π({ω})=π(ω)= µF (ω) ∀F∈ [0,1]Ω , ∃Π, ∀ω∈Ω, (1.25) MÖnh ®Ò 1.5: - 18 -
NÕu hµm kh¶ n¨ng ®−îc ®Þnh nghÜa th«ng qua mét träng sè x¸c suÊt m, th× nh÷ng phÇn tö träng t©m t¹o thµnh hä c¸c nh¸t c¾t α cña mét tËp mê. *Khi ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn mét tËp mê th«ng qua x¸c suÊt nh− sau: Gi¶ sö r»ng {A1 ⊆.....⊆Ap} lµ c¸c phÇn tö träng t©m, th× p A i = Fα hoÆc αi = ∑ m(A j ) i j= i Nãi c¸ch kh¸c, µ F (ω) = ∑ ∀ω, (1.26) m(Fα ) ω∈Fα i i 1.4. Nh÷ng phÐp to¸n c¬ b¶n cña tËp mê PhÐp to¸n chøa: µF (ω) ≤ µG (ω) F⊆G ∀ω, (1.27) PhÐp to¸n c©n b»ng: µF (ω) = µG (ω) ∀ω, F=G (1.28) PhÐp bï: tËp mê F , phÇn bï cña F trong Ω, ®−îc ®Þnh nghÜa bëi: µ F (ω) = 1 - µF (ω) ∀ω (1.29) PhÐp giao: µF∩G (ω) = min(µF (ω), µG (ω)) ∀ω (1.30) PhÐp hîp: µF∪G (ω) = max(µF (ω),µG (ω)) ∀ω (1.31) *Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c phÐp to¸n tËp mê: TÝnh chÊt 1.8: PhÐp to¸n chøa ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (1.28) lµ ph¶n x¹ vµ b¾c cÇu. TÝnh chÊt 1.9: PhÐp to¸n bï (1.30) tho¶ m·n sù n©ng lªn luü thõa F =F - 19 -