Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 8

MÔN TOÁN<br /> <br /> ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 8<br /> <br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br /> Câu 1: (2 điểm)<br /> Cho hàm số<br /> <br /> có đồ thị  C  .<br /> <br /> y  x  3x  1<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.<br /> 2. Tìm hai điểm<br /> <br /> thuộc đồ thị  C  sao cho tiếp tuyến của  C  tại<br /> <br /> A, B<br /> <br /> và độ dài A B  4<br /> Câu 2: (1 điểm)<br /> <br /> và<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> song song với nhau<br /> <br /> .<br /> <br /> 2<br /> <br />  <br />  <br /> <br /> <br /> cos  2 x <br />   cos  2 x <br />   4 s in x  2 <br /> 4 <br /> 4 <br /> <br /> <br /> <br /> Giải phương trình:<br /> <br /> 2  1  s in x <br /> <br /> Câu 3: (1 điểm)<br /> ln 3<br /> <br /> Tính tích phân:<br /> <br /> <br /> <br /> I <br /> <br /> 0<br /> <br /> 2e<br /> e<br /> <br /> e<br /> <br /> 3x<br /> <br /> 2x<br /> <br /> dx<br /> <br /> 4e  3  1<br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> Câu 4: (1 điểm)<br /> y 1<br /> <br /> y<br /> <br /> Giải hệ phương trình:<br /> <br /> C x 1<br /> <br /> <br /> <br /> Cx<br /> <br /> 6<br /> <br /> y 1<br /> <br /> <br /> <br /> Cx<br /> <br /> 5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 5: (1 điểm)<br /> Trong không gian với hệ tọa độ<br />  x 1 t<br /> x2<br /> y 1<br /> z 1<br /> <br /> d1 :  y  2  t , d 2 :<br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  z 1<br /> <br /> cho khoảng cách từ<br /> <br /> d1<br /> <br /> H<br /> <br /> thuộc<br /> <br /> Tính thể tích khối chóp<br /> <br /> AB<br /> <br /> ABC<br /> <br /> S .ABC<br /> <br /> AD<br /> <br /> d1, d 2<br /> <br /> là tam giác đều cạnh<br /> H A  2 H B<br /> <br /> d2<br /> <br /> a<br /> <br /> O xy<br /> <br /> . Chân đường cao hạ từ<br /> <br /> . Góc tạo bởi<br /> <br /> , cho hình thang<br /> d1 : 3 x  y  0<br /> <br /> ABCD<br /> <br /> SC<br /> <br /> BD<br /> <br /> S<br /> <br /> SA, BC<br /> <br /> A<br /> <br /> theo<br /> <br /> và<br /> <br /> D<br /> <br /> a<br /> <br /> d2<br /> <br /> sao<br /> <br /> lên mặt phẳng<br /> o<br /> <br /> .<br /> <br /> CD<br /> <br /> ,<br /> <br /> d2 : x  2 y  0<br /> <br /> ,<br /> <br /> 60<br /> <br /> .<br /> <br /> có đáy lớn là<br /> <br /> có phương trình<br /> <br /> góc tạo bởi hai đường thẳng B C và A B bằng 4 5 . Viết phương trình đường thẳng<br /> tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.<br /> Câu 8: (1 điểm)<br /> Giải phương trình:  x  3 <br /> <br /> và<br /> <br /> và mặt phẳng  A B C  bằng<br /> <br /> vuông tại<br /> <br /> , đường thẳng<br /> o<br /> <br /> d1<br /> <br /> đến  P <br /> <br /> và khoảng cách giữa hai đường thẳng<br /> <br /> có phương trình<br /> <br /> lần lượt có phương trình:<br /> <br /> . Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> Câu 7: (1 điểm)<br /> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ<br /> đường thẳng<br /> <br /> , cho hai đường thẳng<br /> <br /> đến  P  gấp 2 lần khoảng cách từ<br /> <br /> Câu 6: (1 điểm)<br /> Cho hình chóp S . A B C có đáy<br />  A B C  là điểm<br /> <br /> O xyz<br /> <br /> BC<br /> <br /> biết diện<br /> <br /> 2x 1  x  x  3<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 1<br /> <br /> Câu 9: (1 điểm)<br /> Cho<br /> <br /> x, y, z<br /> <br /> là các số thực không âm thỏa mãn<br /> <br /> nhất của biểu thức:<br /> <br /> P <br /> <br /> x<br /> y z<br /> <br />  2<br /> <br /> y<br /> <br />  33<br /> <br /> z x<br /> <br /> xy  yz  zx  0<br /> <br /> và<br /> <br /> z  m ax  x , y , z <br /> <br /> . Tìm giá trị nhỏ<br /> <br /> z<br /> x y<br /> <br /> ..................HẾT..................<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI<br /> Câu 1:<br /> 1.<br /> Tập xác định:<br /> Ta có:<br /> <br /> D <br /> <br /> .<br /> <br /> x  0<br /> 2<br /> y   3 x  6 x; y '  0  <br /> x  2<br /> y ''  6 x  6; y ''  0   0; y ''( 2 )  0<br /> <br /> Suy ra hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại<br />    ; 0  và ( 2 ;   ) , hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2 <br /> Tính giới hạn:<br /> <br /> x  2<br /> <br /> . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng<br /> <br /> lim y    ; lim   <br /> <br /> x  <br /> <br /> x  <br /> <br /> Bảng biến thiên:<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> +<br /> <br /> y'<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> +<br /> <br /> <br /> 1<br /> y<br /> <br /> <br /> -3<br /> <br /> Đồ thị:<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2.<br /> Gọi tọa độ của<br /> <br /> là<br /> <br /> A, B<br /> <br /> A  a ; a  3 a  1  , B  b ; b  3b  1 <br /> 3<br /> <br /> Vì tiếp tuyến của  C  tại<br /> <br /> 2<br /> <br /> và<br /> <br /> A<br /> <br /> 3<br /> <br /> Mà a <br /> Ta có:<br /> AB<br /> <br /> 2<br /> <br /> nên ta có:<br /> <br /> b<br /> <br /> a  ba  b  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br />   b  a    b  a   b  a   3ab  6 <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />   b  a    b  a   b  a   ab  6 <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> 0  a b 2  0,<br /> <br /> vì<br /> <br /> a  b<br /> <br /> .<br /> <br /> 2<br /> <br />   b  a    b  a   3ab  b  a   3  b  a   b  a <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> a  b<br /> <br /> a  2 a  a 1.<br /> <br />   b  a    b  3b  a  3 a<br /> 2<br /> <br /> với<br /> <br /> song song với nhau nên ta có:<br /> <br /> B<br /> <br /> y '  a   y '  b   3 a  6 a  3b  6 b <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />   b  a  1    2  a b  <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br />   2  2 a  1   a  2 a  2  <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  4  a  1  24  a  1  40  a  1<br /> 6<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> AB  4<br /> <br /> <br /> <br />  a  1<br /> <br /> 6<br /> <br /> <br /> <br />  a  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2  4  a  1  24  a  1  40  a  1  32<br /> 6<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br />  6  a  1  10  a  1  8  0<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br />  a  3<br />  4  <br /> a  1<br /> <br /> Với<br /> <br /> a  3,<br /> <br /> ta có hai điểm<br /> <br /> Với<br /> <br /> a  1 ,<br /> <br /> A  3;1  , B   1;  3 <br /> <br /> ta có hai điểm<br /> <br /> A   1;  3  , B  3;1 <br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 3<br /> <br /> Vậy hai điểm cần tìm là:  3;1  ;   1;  3  .<br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> 1. Cho hàm số y  x  6 x  9 x  3 có đồ thị ( C ) . Tìm tất cả các giá trị<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> với  C  phân biệt và có cùng hệ số góc<br /> tuyến đó cắt các trục<br /> Đáp số:<br /> <br /> sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến<br /> <br /> , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp<br /> <br /> tương ứng tại<br /> <br /> A, B<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> (C m )<br /> <br /> . Tìm<br /> <br /> O A  2 0 1 5 .O B<br /> <br /> .<br /> <br /> 9<br /> <br /> k   ; 6 0 5 1<br /> 2<br /> <br /> <br /> 2. Cho hàm số<br /> có hoành độ<br /> Đáp số:<br /> <br /> O x, O y<br /> <br /> k<br /> <br /> k<br /> <br /> có đồ thị<br /> <br /> y  x  mx  m 1<br /> 3<br /> <br /> x  1<br /> <br /> cắt đường tròn  C  :  x  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> để tiếp tuyến của đồ thị  C m  tại điểm<br /> <br /> m<br /> <br />  y  3<br /> <br /> 2<br /> <br />  4<br /> <br /> M<br /> <br /> theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.<br /> <br /> m  2<br /> <br /> Câu 2:<br /> Phương trình đã cho tương đương với:<br /> 2x <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2x <br /> <br /> 4<br /> <br /> 2 cos<br /> <br /> 2x <br /> <br /> 4 cos<br /> <br /> <br /> <br />  2x <br /> <br /> 4<br /> <br /> 4  4 s in x  2 <br /> <br /> 2<br />  2 cos 2 x cos<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  4 s in x  2 <br /> <br /> 2 <br /> <br /> 2  1  s in x <br /> <br /> 2 s in x  0<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br />  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 cos 2 x  4 <br /> 2 s in<br /> <br />  s in x <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 s in x  2 <br /> <br /> <br /> <br /> 2  0<br /> <br /> <br /> <br /> x 4<br /> <br /> 2 s in x  2  0<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x <br />  k 2<br /> <br /> 6<br />  <br /> ,k <br />  x  5  k 2<br /> <br /> 6<br /> <br /> .<br /> <br /> Vậy nghiệm của phương trình là:<br /> <br /> 5<br /> <br /> x    k 2 ;<br />  k 2 , k <br /> 6<br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác dễ, chỉ cần các phép biến đổi đơn giản để đưa về<br /> phương trình bậc hai theo một biến.<br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> 1. Giải phương trình:<br /> <br /> cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> .<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> Đáp số: x  <br /> <br /> 8<br /> <br /> <br /> <br /> k<br /> <br /> ;<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2. Giải phương trình:<br /> Đáp số:<br /> <br /> <br /> <br />  k ; <br /> <br /> 5<br /> <br /> 2<br /> <br />  k , k <br /> <br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> 4 s in x c o s x  4 c o s x s in x  s in 4 x<br /> 5<br /> <br /> <br /> k<br />  k<br /> x <br /> ;<br /> <br /> ,k <br /> 8<br /> 2<br />  4<br /> <br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 4<br /> <br /> Câu 3:<br /> Đặt<br /> <br /> t <br /> <br /> 4e<br /> <br /> Đổi cận:<br /> <br /> 3x<br /> <br />  3e<br /> <br />  t<br /> <br /> 2x<br /> <br />  4e<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3x<br /> <br />  3e<br /> <br /> 2x<br /> <br />  2 td t   1 2 e<br /> <br /> 3x<br /> <br />  6e<br /> <br /> 2x<br /> <br />  dx<br /> <br /> x  0 t 1<br /> x  ln 3  t  9<br /> <br /> Khi đó ta có:<br /> I <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Vậy<br /> <br /> 9<br /> <br /> td t<br /> <br />  t 1<br /> <br /> t  ln t  1 9 8  ln 5<br /> 1 <br /> <br /> 1<br /> <br /> d<br /> t<br /> <br /> <br />   t  1 <br /> 1<br /> 3 1<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> I <br /> <br /> 9<br /> <br /> 1<br /> <br /> 8  ln 5<br /> 3<br /> <br /> Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:<br /> ln 3<br /> <br /> 1. Tính tích phân:<br /> <br /> <br /> <br /> I <br /> <br /> 2x<br /> <br /> dx<br /> e 2<br /> x<br /> <br /> I  2 ln 3  1<br /> e<br /> <br /> 2. Tính tích phân:<br /> <br /> I <br /> <br /> I <br /> <br /> 5 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  3 x ln x  d x<br />  x 1  ln x<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> Đáp số:<br /> <br /> e 1<br /> x<br /> <br /> ln 2<br /> <br /> Đáp số:<br /> <br /> e<br /> <br /> 2  2e<br /> <br /> ln x<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> e<br /> <br /> 3. Tính tích phân:<br /> <br /> I <br /> <br /> <br /> <br /> x   x  2  ln x<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đáp số:<br /> <br /> x  1  ln x <br /> <br /> dx<br /> <br /> I  e  3  2 ln 2<br /> <br /> Câu 4:<br /> Điều kiện:<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> <br /> C x 1<br /> 6<br /> <br />  x, y <br /> <br />   y 1<br />  y 1 x<br /> <br /> x  y 1<br />  y 1 x<br />  y  x 1<br /> <br /> y 1<br /> <br /> y<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> x, y <br /> <br /> <br /> <br /> Cx<br /> <br /> 5<br /> <br /> y 1<br /> <br /> <br /> <br /> Cx<br /> <br /> 2<br /> <br /> y<br /> y 1<br /> 1<br /> ( x  1) !<br /> 1<br /> (x)!<br /> <br />  C x 1<br /> Cx<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> 6 y !( x  1  y ) ! 5 ( y  1) !( x  y  1) !<br />  6<br /> <br /> 5<br />  <br />  <br /> y 1<br /> y 1<br /> (x)!<br /> 1<br /> (x)!<br /> Cx<br /> Cx<br /> 1 <br /> <br /> <br /> <br />  5<br /> <br /> 2 ( y  1) !( x  y  1) !<br /> 2<br /> <br />  5 ( y  1) !( x  y  1) !<br /> <br />  5 ( x  1)( y  1)  6 ( x  y )( x  y  1)<br />  <br />  2 ( x  y )( x  y  1)  5 y ( y  1)<br /> x 1  3y<br />  5 ( x  1)( y  1)  1 5 y ( y  1)<br /> <br />  <br />  <br />  2 ( x  y )( x  y  1)  5 y ( y  1)<br />  2 ( x  y )( x  y  1)  5 y ( y  1)<br /> <br /> Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015<br /> <br /> 5<br /> <br />