intTypePromotion=1
ADSENSE

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

99
lượt xem
22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số bài toán giải pt, hệ pt mũ và logarit', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT

  1. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 ************************************************************ MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT Bài số 1 : a/ Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơ ng với hệ : Đặt: Ta có (I) Nhân hai phƣơng trình của hệ ( I ) vế theo vế , đƣợc: 3(3x+2y)(3x-2y) = (*) Kết hợp (1) với (*) Ta có 15 = Do đó t = 1Thế vào hệ ( I ) đƣợc hpt : Thỏa mãn điều kiện đã nêu . Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình Lời giải 2: Điều kiện Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : Nhân hai vế phƣơng trình (2) với và áp dụng (Với mọi a,b,c = dƣơng a ) Ta đƣợc : và b ( Vì từ pt (1) suy ra 3x-2y = ) 3x+2y = 5 (2’) Kết hợp với phƣơng trình (1) Ta đƣợc hệ phƣơng trình : Thỏa mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho b/ Giải hệ phương trình : Lời giải : Điều kiện Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với : 1
  2. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Thỏa mãn điều kiện là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho. Nên Bài số 2 : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện xy . = Suy ra: = Ta có t2 – t – 2 = Phƣơng trình (1) trở thành : - 2 = 0 Đặt t = - t = 2 ( Loại t = - 1 ) 0 Nhƣ vậy: Do đó (1’) . =2 =1 Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình -Hệ (II) có hai nghiệm : Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn và điều kiện xy Nên đây là hai nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho. Bài số 3 : Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt : - 2mx + m2 = 2 – x2 - Lời giải : Viết phƣơng trình thành : - (x – m)2 4. = 2. = = (x – m)2 (*) 2. (Chú ý : = ) Bài toán trở thành :Tìm giá trị của m để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt. -Viết phƣơng trình (*) thành : 2. = 2
  3. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 (Đặt t = x – 1) Nhận thấy : Phƣơng trình ( 1 ) và phƣơng trình ( 1’) đều không thể có hai nghiệm trái dấu (Do các hệ số a , c cùng dấu ) Để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phâ n biệt thì : Không thể xẩy ra các trường hợp : *- Trong hai pt (1) và (1’) : một phương trình có hai nghiệm cùng dấu – cả 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện ; Phương trình kia có hai nghiệm trái dấu – một nghiệm thỏa mãn điều kiện và một nghiệm bị loại **- Hai phương trình (1) và (1’) đều có hai nghiệm phân biệt , đồng thời chúng có một nghiệm chung Do vậy mà phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt chỉ khi một trong 2 trƣờng hợp sau xẩy ra : -Trường hợp 1: pt (1) có hai nghiệm dƣơng phân biệt ,đồng thời pt ( 1’) có nghiệm kép t0 Điều này xẩy ra m= -Trường hợp 2: pt (1) có nghiệm kép dƣơng , đồng thời phƣơng trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt Điều này xẩy ra m= Trả lời :Có hai giá trị của m để phƣơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là m1 = và m2 = (Bài kiểm tra Học Kỳ I năm học 2009-2010 Lớp 12 CB Trƣờng THPT Tân kỳ I Tỉnh Nghệ an – Thầy Đặng Hữu Trung ra đề ) Bài số 4 : Giải và biện luận theo tham số m phƣơng trình sau : (1) Lời giải :Viết phƣơng trình thành dạng mới Lời giải : (Cùng dạng với Bài số 3 ở trên).Ta có : = x2 + 2mx + m = 0 (2) 3
  4. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 -Giải và biện luận phƣơng trình (1) Đƣa về giải và biện luận phƣơng trình (2). *Nếu ’= m2-m < 0 Tức là 0 < m < 1 Thì phƣơng trình vô nghiệm *Nếu ’= m2- m = 0 Tức là m1 = 1 m2 = 0 Thì phƣơng trình có nghiệm Kép (m = 1nghiệm kép x = - 1 ; m = 0 nghiệm kép là x = 0 ) *Nếu ’= m2- m > 0 Tức là : m < 0 hoặc m > 1 thì phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - m - và x1 = - m + ./. Bài số 5 : Giải phương trình : - Lời giải : Điều kiện x = Ta có = và = = . ( x2 – 1 ).Chia 2 vế cho Do đó Phƣơng trình trở thành : = = x2 – 1 đƣợc phƣơng trình: (*) 2 Điều kiện x – 1 , kết hợp điều kiện x .Ta suy ra điều kiện x . Với điều kiện x Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế phƣơng trình (*),đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : =t (Đặt = t ) Thì có hpt: = x = 2 thỏa mãn điều kiện x . Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 2 Bài số 6 : Giải phương trình : Lời giải : Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ,đƣợc = (x – 2) (x – 2) =0 Bài số 7 : Giải phương trình : 2. Lời giải : Điều kiện Đặt t = 2. Thì : (*) : Thế (2) vào (1) suy ra Chia hai vế phƣơng trình cho đƣợc : Phƣơng trình này có nghiệm duy nhất t = - 1 (Nhẩm nghiệm ,Chứng minh duy nhất – Dựa vào tính chất các hàm số liên tục ).Thế t = -1 vào hpt (*) 4
  5. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Nhƣ vậy ta có : , k z là nghiệm của pt x= Bài số 8 : Giải phương trình : = 1 (*) Lời giải : Điều kiện - 3 và x Chú ý : = 2. =- và lại có = =- = Nên Do đó ta có : (*) - =1 = x2-7x -18 = 0 x=9 ( Loại x = -2 ) 6 = (4-x)(3+x) Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 9 . Bài số 9 : Giải phƣơng trình : - = 2. Lời giải : Điều kiện x > 0 , x 1 Phƣơng trình viết thành : 4.4t – 6t - 18.9t = 0 .với t = - = 2. .Chia hai vế phƣơng trình cho 4t rồi đặt > 0 đƣợc pt : ( Loại X = - ) Vậy = , t = -2 X= Nhƣ vậy ta có: (Thỏa mãn 0 < x =-2 x= ). Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = Bài số 10 : Giaỉ hệ phƣơng trình với điều kiện theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân (3) , Lời giải : Điều kiện x , y , z đều dƣơng và khác 1 Theo giả thiết theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân suy ra: = =1 = 1 suy ra y = z Do đó ,ta có hệ phƣơng trình : là nghiệm hpt Bài số 11 : Với giá trị nào của tham số m thì phƣơng trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt : = + 1 (*) 5
  6. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Lời giải : + 1 = (m2 - )2 + > 0 với mọi m , Do đó lấy lôgarit Ta có cơ số hai vế của (*) thì ta có :(*) = + 1) =- + 1) -Gọi t (1) (Gọi cho gọn.) Ta tìm giá trị của t để phƣơng trình = t Có 4 nghiệm phân biệt . Sau đó, tìm đƣợc m , từ đẳng thức (1) Dùng phƣơng pháp đồ thị,(chỉ cần lập bảng biến thiên,không cần vẽ đồ thị )Ta có: phƣơng = t có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < t < 1 trình Suy ra :phƣơng trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < > -1 1> > Giải hệ bpt này ta đƣợc những giá trị cần tìm của m. Bài số 12 : Giải hệ phƣơng trình Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành: Là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho Bài số 13 : Cho phƣơng trình =0 (1) -Tìm tích các nghiệm số của phƣơng trình Lời giải : Điều kiện x > 0 và x .Chuyển vế rồi lấy lôgarit cơ số 6 hai vế, đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : . Đặt t = =2+ ta có phƣơng trình bậc hai : t2 – t .( - . )–2 = 0 (2) -Với mỗi giá trị của x > 0 , x tƣơng ứng với một giá trị t = .Và ngƣợc lại,mỗi giá trị của t tƣơng ứng một giá trị x = ( Do t = ) -Phƣơng trình (2) có tối đa là 2 nghiệm .Do đó phƣơng trình (1) có tối đa 2 nghiệm. -Gọi : là hai nghiệm của phƣơng trình (1)thì ta có Mà t1 và t2 là hai nghiệm của phƣơng trình (2) nên theo Vi-et : t1 + t2 = -. Do đó : = . 6
  7. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Bài số 14 : Giải và biện luận theo tham số a hệ phƣơng trình: Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành : Theo Vi-et ta có: x , y là hai nghiệm của phƣơng trình : t2 – (1-a).t + (1-a)2 = 0 (*) Phƣơng trình (*) có nghiệm khi = -(1-a)2 0 tức là khi a = 1.Với a = 0 ta có x = y = 0. Trả lời :-Nếu a thì hệ phƣơng trình vô nghiệm . - Nếu a = 1 hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất Bài số 15 : Giải hệ phƣơng trình: Lời giải :Điều kiện Với điều kiện đã nêu hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với với hệ phƣơng trình: (Do điều kiện đã nêu: nên x-2 0) x=y Vậy hệ phƣơng trình có vô số nghiệm ,công thức tổng quá t của nghiệm Tức là : Bài số 16 : Cho hệ phƣơng trình: 1/ Giải hệ phƣơng trình khi m = 3 2/ Tìm giá trị của m sao cho hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất ? Hãy xác định nghiệm duy nhất đó ? Lời giải : Điều kiện xy 0 .Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : 7
  8. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 1/Với m =3 : Hệ phƣơng trình trở thành -Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm t1 = và t2 = 3 *Với t = - Ta có : *Với t = 3 Ta có : Nhƣ vậy với m = 3 hệ phƣơng trình có hai nghiệm và 2/Xác định m để hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất : Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ phƣơng trình : có nghiệm duy nhất . Khi và chỉ khi phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất .Khi và chỉ khi = 8m +25 = 0. Vậy m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất thì phƣơng trình (*) có nghiệm kép t = . -Khi m = - Hệ phƣơng trình trở thành: Trả lời : m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất, Bài số 17 : Cho hệ phƣơng trình Với a >0 và a .Xác định giá trị của a để hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất và giải hệ phƣơng trình trong trƣờng hợp đó. Lời giải : Điều kiện : Ta có : 8
  9. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 . -Thấy :hệ phƣơng trình (1a),(2) không thỏa mãn yêu cầu có nghiệm duy nhất .Mọi cặp (x;y) thỏa mãn x+y > 0 và x2-y2 = 2 đều là nghiệm .Chẳng hạn ( là hai nghiệm của hệ phƣơng trình. ) và ( -Xét a ,(a > 0 ,a ): -Hệ phƣơng trình (1b) ,(2) : có nghiệm duy nhất là : Đây là nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình (với 0 < a ,a và a ) Trả lời : Với 0 < a , a Hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: : và a MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT MŨ,LÔGARIT Bài số 18 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Hãy so sánh hai số : A= và B = Lời giải : Với mọi số tự nhiên n , ta có : n(n+2) (*) Lấy lôgarit cơ số n hai vế bđt (*) đƣợc bđt tƣơng đƣơng : 1+ 2. 1+ - (**) nên bđt (**) có vp Do đó từ (**) suy ra : Vì Vậy với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 , ta có: 9
  10. TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Lời giải 2 : Áp dụng bđt côsi ,có : + 2 (1) 2 -Với mọi số tự nhiên n(n+2) Lấy lôgarit cơ số (n+1) hai vế đƣợc bđt ta có (n+1) Cùng chiều: 2 + (2) -Từ (1) và (2) suy ra : đúng với mọi n là số tự nhiên lớn hơn 1. Bài số 19 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI - Tổng quát hóa Bài số 18) Cho ba số thực a , b , k với k > 0 , b > a > 1. Hãy so sánh hai số : A= B= Lời giải : Vì b > a > 1 , k > 0 Nên : b(a+k) > a(b+k) Lấy lôgarit cơ số b hai vế, đƣợc bđt cùng chiều : > 1+ > + > - 1 .( Chú ý: 0 < < 1) –1 > > Trả lời :Nếu a , b , k là 3 số thực với k > 0 , b > a > 1 Thì > Bài số 20 : Chứng minh với a ,b thì : + Lời giải : Với a >1 , b >1 ta có > 0 . Do đó áp dụng bđt côsy : >0, loga+logb > 2(loga+logb) > loga+logb+ )2 4log >( > (1) Ta lại có: > 2. (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh : > ***************************************************************************** ***************************************************************************** 10
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2