MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

589
lượt xem 77
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số bài toán về bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: a b c 3    bc ca ab 2 Giải: Xét các biểu thức sau a b c S   bc ca ab b c a c a b A   B   bc ca ab cb ca a b Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì: ab bc ca S A   3 bc ca a b ab bc ca S A   3 bc ca a b Cộng theo vế ta có 3 A + B +2S ≥3  S≥ (Điều phải chứng minh) 2 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có: a b c d    2 bc cd d a a b Giải : Đặt a b c d S    bc c d d a a b b c a a c d a b A    B    bc cd d a ab bc cd d a ab Theo bất đẳng thức Cauchy thì: 1
ab bc cd d a SB    4 bc cd d a a b ac bd ca d b S A    bc cd d a a b ac ca bd d b     bc d a cd ab 4(a  c) 4(b  d )   4 abcd abcd Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng minh) Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng: x3 y3 z3 3    (1  y)(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) 4 Ta có: x3 1 y 1 z x   3 (1  y)(1  z ) 8 8 4 Tương tự ta có: y3 1 x 1 z y   3 (1  z )(1  x) 8 8 4 z3 1 x 1 y z   3 (1  x)(1  y) 8 8 4 Cộng theo vế rồi rút gọn ta có: x3 y3 z3 3     (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) 4 x  y  z 3 3 xyz 3   2 2 2 x3 y3 z3 3    vậy (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) 4 2
Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng: a3 b3 c3 d3 1     bcd cd a abd abc 3 Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d) = 4(ab + bc + cd + da) = 4  a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0) a3 b  c  d a 1 2a     bcd 8 6 12 3 Tương tự ta có b3 a  c  d b 1 2b     cd a 8 6 12 3 c3 a  b  d c 1 2c     abd 8 6 12 3 d3 a  b  c d 1 2d     abc 8 6 12 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có: a3 b3 c3 d3 a bcd 1 2 1 1         bc d c d a a bd a bc 3 3 3 3 3 a3 b3 c3 d3 1 vậy     bcd cd a abd abc 3 Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng: 1 1 1 27    a(a  b) b(b  c) c(a  c) 2(a  b  c) 2 (1) Giải: 1 3 VT(1) ≥ 3 3 abc(a  b)(b  c)(c  a)  3 abc 3 (a  b)(b  c)(c  a) 3
3 27   a  b  c 2(a  b  c) 2(a  b  c) 2 * 3 3 a  b  c Dấu ‘=’ xảy ra    a=b=c a  b  b  c  c  a Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: 1 1 1 1  3 3  3 3  a3  b3  abc b  c  abc a  c  abc abc Giải  a, b, c >0 ta luôn có (a - b)2(a + b) ≥0  (a - b)(a2 - b2) ≥0  a3+b3-a2b-ab2≥0 3 3 2 2 3 3  a +b ≥ a b+ab  a +b ≥ab(a+b) abc abc c  3   a  b3  abc ab(a  b)  abc a  b  c Tương tự ta có abc abc a   b  c  abc bc(b  c)  abc a  b  c 3 3 abc abc b   a3  c3  abc ac(a  c)  abc a  b  c Cộng theo vế ta có: abc abc abc a b c  3 3  3 3  1 a  b  abc b  c  abc a  c  abc a  b  c 3 3 1 1 1 1   3 3  3 3  a3  b3  abc b  c  abc a  c  abc abc Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện x2+ y2+z2=3. Chứng minh rằng: xy yz zx    3 (1) z x y 4
Giải : Ta có:  x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2   x2 y 2 y 2 z 2   x2 y 2 z 2 x2   y 2 z 2 z 2 x2  2 2  2  2    2  2    2  2    2  2   z x y   z x   z y   x y  x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2  2x  y  z   2  2  2 2 2 2  x 2  y2  z 2 z x y VT(1) bình phương ta được: x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 z 2 x y   2  2 + 2 x 2  y2  z 2  x 2  y2  z 2 + 2  x  y  z  = 3  x 2  y2  z 2  =VP(1) bình 2 2 2  phương Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng minh Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng: xy yz xz  5  5 1 x5  xy  y 5 y  y  z 5 x  xz  z 5 Giải: 2 2 2  x, y, z dương ta luôn có: (x-y) (x+y)(x +xy+y )  0 2 2 3 3 5 5 2 2  (x -y )(x -y )  0  x -y  x y (x+y) xy xy 1 z  5    xy  x 2 y2 x  y 1  xy( x  y) x  y  z x  xy  y 5   Tương tự ta có yz x xz y   zy  z 2 y2  z  y  x  y  z , zx  z 2 x 2  z  x  x  y  z cộng theo vế các bất đẳng thức ta có xy yz xz x yz  5  5  1 x5  xy  y 5 y  y  z 5 x  xz  z 5 x  y  z 5
Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn thoả mãn 1 1 1   ...  1 1  x1 1  x2 1  xn Chứng minh rằng: x1.x2..... xn  (n-1)n Giải:Ta có x1 1  1 1  n 1  1   ...   1  x1 1  x1  1  x2 1  xn  n 1 (1  x )(1  x ).....(1  x ) 2 3 n x2 1  1 1  n 1  1   ...   1  x2 1  x2  1  x1 1  xn  n 1 (1  x )(1  x ).....(1  x ) 1 3 n .... xn 1  1 1  n 1  1   ...   1  xn 1  xn  1  x1 1  xn 1  n 1 (1  x )(1  x ).....(1  x 1 2 n 1 ) Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:  n  1 n x1.x2 .....xn  1  x1 1  x2  .....1  xn    n 1 n 1 (1  x1 )(1  x2 )(1  x3 ).....(1  xn ) n  x1.x2..... xn  (n-1) Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4. Chứng minh rằng: a b c d    2 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b 2 2 2 2 Giải: Ta có: 6
a ab 2c ab 2c ab c b a.a.c b(a  ac) a  a  a  a  a 1  b2c 1  b2c 2b c 2 2 4 a ba  abc a 1  b2c 4 Tương tự ta có: b bc  bcd c cd  cda b , c , 1  c2d 4 1  c2d 4 d da  dab d 1  d 2a 4 Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có: a b c d     1 b c 1 c d 1 d a 1 a b 2 2 2 2 1 abcd   ab  bc  cd  da  abc  bcd  cda  dab  4 Mặt khác ta có: 42 = (a+b+c+d)2  4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) hay ab+bc+cd+da  a+b+c+d Tương tự abc+bcd+cda+dab  a+b+c+d vậy a b c d     1 b c 1 c d 1 d a 1 a b 2 2 2 2 1 abcd  a  b  c  d  2 1 1 = (a  b  c  d )  .4  2 (điều phải chứng minh) 2 2 Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a 2 2 2 Giải: 7
 a 2  b2  c 2  2 2 2 2 a b c    a  2b2 b  2c 2 c  2a 2 a3  b3  c3  2  a 2b2  b 2c 2  c 2 a 2  Do đó ta chỉ cần chứng minh (a2 +b2+c2)2  a3+ b3+ c3+2(a2b2+ c2b2+ a2c2) 4 4 4 3 3 3 a + b + c  a + b + c Thật vậy 3(a3+ b3+ c3) = (a3+ b3+ c3)(a+b+c)  (a2 +b2+c2)2 2 2 2 2  (a +b +c )(1+1+1)  (a+b+c) =9 Do đó a2 +b2+c2  3, suy ra a3+ b3+ c3  a2 +b2+c2 (a4+ b4+ c4)( a2 +b2+c2)  (a3+ b3+ c3)2  a4+ b4+ c4  a3+ b3+ c3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Bài 12: Giả sử x  y  z  0, chứng minh rằng: x2 y y 2 z z 2 x    x2  y 2  z 2 z x y Giải:Từ giả thiết ta có: x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y      z x y y z x   xy  yz  zx  x  y  y  z  x  z   0 xyz x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y       z x y y z x 2  x 2 y y 2 z z 2 x   x 2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y              z x y   z x y  y z x  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:  x 2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y    x2  y 2  z 2  2         z x y  y z x  8
2  x2 y y 2 z z 2 x    x2  y 2  z 2  2      z x y  x2 y y 2 z z 2 x    x 2  y 2  z 2  x, y , z  0  z x y 1 1 1 Bài 13:Giả sử x, y, z  1 và x  y  z  2 , chứng minh rằng: x  y  z  x 1  y 1  z 1 Giải: 1 1 1 x 1 y 1 z 1   2  Ta có: x y z   1 x y z Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:  x 1 y 1 z 1    2 x+y+z=( x+y+z)  x  y  z   x  1  y  1  z  1    x  y  z  x 1  y 1  z 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2 Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c  1 và abc=1 ta luôn có: 1 1 1   1 2a 2b 2c Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 a b c 1 1 1 1    1 2a 2b 2c 2a 2b 2c Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: 9
x/ y y/ z z/ x   1 2 x/ y 2 y / z 2 z / x x y z    1 x  2y y  2z z  2x theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  x  y  z 2 x y z    1 x  2 y y  2 z z  2 x x( x  2 y )  y ( y  2 z )  z ( z  2 x) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1 Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a b c   1 3 a  2b 3 b  2c 3 c  2a Giải:Xét các biểu thức: a b c   S= 3 a  2b 3 b  2c 3 c  2a P  a(a  2a)  b(b  2c)  c(c  2a)  (a  b  c) 2  1 Theo bất đẳng thức Holder ta có: S3.P  (a +b +c)4  S3  (a +b +c)2 = 1  S  1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3 Bài 16: Cho a1, a2,..., an dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu a1 a2 an   ...  thức: 1  a 1  a2 1  an 1 Giải: 10
a1 a2 an A   ...  1  a1 1  a2 1  an B = a1(1 - a1) + a2(1 – a2) + ...+ an(1 – an) Theo bất đẳng thức Holder ta có : A2B  (a1 + a2 + ... + an)3 = 1  a1  a 2  ...  a n   n  1 2 Dễ thấy B =1-(a12+ a22+...+ an2)≤ 1-  n n n 1 1 do đó A  n Đẳng thức xáy ra khi ai = n i  1, n Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1. 1 1 1 1 Chứng minh :    2 x y yz zx 2 Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz  1 1  x a Xét hàm số sau 1 1 1 1 2x  y  z  2 x2  1 f  x      x y yz zx yz x2  1 1 2 x  a  2 x2  1   a x2  1 Mặt khác: yz  x 2  x x 2  1 f  x   0, nên f  x  nghịch biến ' 2 3   x  1 2 x  a  2 x  1 2  1 1 a Ta có f  x  f    a   2 a a a 1 11
    2 a 1   a 1  1 2 1 2   a    2 a  a 2  1  2  a 2  1  2   1 1 Nên f  x  f    2  a 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán vị 12