Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học" nhằm phát triển năng lực, tư duy toán học cho học sinh khi phân tích một số bài toán cực trị. Đề tài giúp học sinh có định hướng chính xác hơn khi gặp bài toán cực trị hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM Tên đề tài: PHÂN TÍCH 3 BÀI TOÁN TIỀN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ KHÔNG GIAN GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC MÔN : TOÁN LĨNH VỰC : DẠY HỌC TOÁN Năm học 2022 - 2023 1
2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM Tên đề tài: PHÂN TÍCH 3 BÀI TOÁN TIỀN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ KHÔNG GIAN GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC MÔN: TOÁN TÁC GIẢ: TRẦN VĂN DŨNG VÀ NGUYỄN VIẾT LỰC TỔ: TOÁN - TIN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0963 800 600 & 0945 187 345 Năm học 2022 - 2023
3 MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 5 1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................................. 5 2. Những điểm mới của sáng kiến ........................................................................................ 5 3. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................................ 5 4. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................................................... 6 5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................................. 6 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................................... 7 1. Cơ sở lý luận ..................................................................................................................... 7 1. 1. Năng lực GQVĐ Toán học ....................................................................................... 7 1. 2. Một số đẳng thức hình học và đại số ........................................................................ 7 1.2.1. Đẳng thức 1 ........................................................................................................ 7 1.2.2. Đẳng thức 2 ........................................................................................................ 7 1.2.3. Tỷ số thể tích ...................................................................................................... 7 1.2.4. Một số bất đẳng thức đại số ................................................................................ 8 1.2.5. Sử dụng đạo của hàm để tìm GTLN-GTNN ...................................................... 9 2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng............................................................................................ 9 2.2. Thực trạng.................................................................................................................. 9 3. Biện pháp ........................................................................................................................ 10 3. 1. Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1 ................................................................................... 10 3.1.1 Lời giải bài toán ................................................................................................. 10 3.1.2 Đặc biệt hoá bài toán ......................................................................................... 11 3.1.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 1 hỗ trợ ................................... 15 3. 2. Biện pháp 2: Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 2 ................................................................................... 21 3.2.1 Lời giải bài toán ................................................................................................. 21 3.2.2 Đặc biệt hoá bài toán ......................................................................................... 21 3.2.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán số 2 hỗ trợ............................... 28 3. 3. Biện pháp 3: Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 3 ................................................................................... 33 3.3.1 Lời giải bài toán ................................................................................................. 33 3.3.2. Đặc biệt hoá bài toán ....................................................................................... 35 3.3.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 3 hỗ trợ. .................................. 37
4 3. 4. Biện pháp 4: Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử dụng ba bài toán trên hoặc định hướng cho học sinh dùng đẳng thức hình học không gian để giải quyết ............... 39 4. Đánh giá và kết quả thực hiện ............................................................................................ 48 Tài liệu này đã được chúng tôi sử dụng để ôn thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An. ............. 48 Năm học .......................................................................................................................... 49 Số học sinh đạt Học sinh giỏi tỉnh .................................................................................. 49 2020-2021 ....................................................................................................................... 49 1 Giải Ba ......................................................................................................................... 49 2021-2022 ....................................................................................................................... 49 2 Giải Ba ......................................................................................................................... 49 2022-2023 ....................................................................................................................... 49 1 Giải Nhì, 1 Giải Ba ...................................................................................................... 49 Đề tài này đã được các đồng nghiệp của các trường THPT Kim Liên, THPT Nam Đàn 1, THPT Thái Lão,.. sử dụng làm tài liệu giảng dạy và đem lại kết quả cao. ................ 49 PHẦN III. KẾT LUẬN .......................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 50 PHỤ LỤC II............................................................................................................................ 51
5 PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Làm thế nào để học sinh có thể giải được bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi học sinh giỏi là vấn đề mà các giáo viên bồi dưỡng luôn suy nghĩ để tìm ra cách giải quyết. Cực trị hình học là một vấn đề gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh nói chung và học sinh trung học phổ thông nói riêng. Đặc biệt đối với chương trình trung học phổ thông, bài toán cực trị hình học không gian quả thực là một thách thức lớn cho không chỉ các thế hệ học sinh mà cho cả đội ngũ giáo viên trong công cuộc dạy và học. Hơn nữa, các câu hỏi thuộc dạng toán này thường nằm trong lớp các bài toán vận dụng và vận dụng cao, khiến cho việc giải quyết chúng trong quá trình học cũng như quá trình thi luôn nhận quá ít sự quan tâm chú ý. Qua sự tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây, chúng tôi thấy sự xuất hiện của các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức về độ dài, thể tích. Với mong muốn giúp học sinh có thể chọn được hướng đi phù hợp khi gặp một bài toán như vậy. Cụ thể là trả lời được các câu hỏi: “Biểu thức này liên quan đến đẳng thức hình học tổng quát nào?”, “Nên sử dụng những đẳng thức hình học đặc biệt nào?”; “Tỉ số này có thể thu được từ đâu?”; … Chúng tôi đã tìm hiểu và chọn ra 3 bài toán làm tiền đề để học sinh có thể huy động khi gặp bài toán dạng này. Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài: “Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học” 2. Những điểm mới của sáng kiến - Rèn luyện cho học sinh các năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa. Cụ thể định hướng cách giải quyết bài toán - Cung cấp một số bài toán tiền đề, một số bài toán cực trị sử dụng đẳng thức về độ dài, khoảng cách, thể tích kết hợp bất đẳng thức đại số để giải quyết các bài toán có trong các kì thi HSG cấp tỉnh. Đề tài giúp học sinh củng cố được kiến thức về hình học không gian. Là tài liệu tham khảo để ôn thi học sinh giỏi. 3. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về cách thức tổ chức dạy học Toán bằng hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh khá, giỏi THPT. Với quan điểm đi từ tổng quát đến cụ thể, từ tuỳ ý đến đặc biệt trong dạy học phân môn hình học nói chung dạy học hình học không gian nói riêng. Sử dụng đặc biệt
6 để tạo những bài toán mới, phân tích bài toán mới đó. Giúp học sinh rèn luyện khả năng ứng biến khi gặp bài toán mới. Phát triển năng lực, tư duy toán học cho học sinh khi phân tích một số bài toán cực trị. Đề tài giúp học sinh có định hướng chính xác hơn khi gặp bài toán cực trị hình học không gian. 4. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào những đẳng thức trong tứ diện, hình chóp tứ giác với đáy là hình bình hành kết hợp với các bất đẳng thức đại số quen thuộc để giải quyết các bài toán cực trị về hình học không gian. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung cực trị hình học không gian trong chương trình toán trung học phổ thông. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu phương pháp dạy học giải quyết vấn đề. Tổng kết kinh nghiệm: Dùng tỉ số độ dài, tỉ lệ diện tích, tỉ lệ thể tích, dùng phương pháp véc tơ, dùng bất đẳng thức đại số Điều tra, quan sát, thử nghiệm sư phạm: Điều tra kết quả giải quyết bài toán cực trị trước và sau khi thực hiện dạy chủ đề.
7 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở lý luận 1. 1. Năng lực GQVĐ Toán học Hoạt động GQVĐ trong môn toán là hoạt động diễn ra khi HS đứng trước những tình huống có vấn đề về TH cần giải quyết, HS cần phải: tự rút ra công thức, tự chứng minh định lí, tìm cách chủ động ghi nhớ những vấn đề cần lĩnh hội; tự tìm ra giải pháp tốt và rõ ràng cho các vấn đề lý thuyết hoặc TT, ... Bằng cách này, HS tiếp thu kiến thức và học cách tự khám phá. NL GQVĐ trong môn Toán là khả năng huy động, tổng hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân nhằm giải quyết một nhiệm vụ học tập môn Toán. NL GQVĐ của HS được bộc lộ, hình thành và phát triển thông qua hoạt động GQVĐ trong học tập hoặc trong cuộc sống. 1. 2. Một số đẳng thức hình học và đại số 1.2.1. Đẳng thức 1 Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác ABC.     Ta có S MBC MA  S MCA MB  S MAB MC  0 1.2.2. Đẳng thức 2 Trong không gian cho tam giác ABC, điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi và chỉ khi       OM  xOA  yOB  zOC với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1 1.2.3. Tỷ số thể tích V ' S' + Nếu hai khối chóp có cùng chiều cao thì  V S V ' h' + Nếu hai khối chóp có cùng đáy thì V h + Cho khối chóp S.ABC. A'SA, B'SB, C'SC VS . A ' B 'C' SA ' SB ' SC '  . . VS . AB C SA SB SC V SB ' SC ' - Nếu A  A ' thì S . AB 'C'  . VS . AB C SB SC V SC ' - Nếu A  A ', B  B' thì S . AB 'C'  VS . AB C SC
8 + Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt SA, V 1 SA ' SC ' SB ' SD ' SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. khi đó S . A ' B 'C'D'  . (  ) VS . AB CD' 2 SA SC SB SD + Cho hình chóp S.ABCD . Một mặt phẳng song song mp đáy và cắt SA, SB, SC, SD V SA ' SB ' SC ' SD ' lần lượt tại A’, B’, C’, D’. khi đó S . A ' B 'C'D'  k 3 , k     VS . AB CD' SA SB SC SD 1.2.4. Một số bất đẳng thức đại số x2  y 2 1) x 2  y 2  2 xy; xy  ; x, y 2 2) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx, x, y, z ( x  y) 2 3) ( x  y )  2( x  y ); 2 2 2 x y  2 2 , x, y, z 2 4) ( x  y  z ) 2  3( x 2  y 2  z 2 ); ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx), x, y, z x3  y 3  x  y  3 ( x  y )2 5) xy  , x, y; 6)  , x, y  0 4 2 8 7) Bất đẳng thức Côsi Với n số không âm a1 , a2 ,, an bất kì ta có: a1  a2  ...  an  n n a1a2 ...an Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi a1  a2    an Bất đẳng trên tương đương với bất đẳng thức: n  a  a  ...  an  a1a2 ...an   1 2   n  8) Bất đẳng thức Bunhiacopski Với hai bộ n số bất kì a1 , a2 , , an và b1 , b2 ,, bn ta có: (a1b1  a2b2  ...  anbn )2  (a12  a2  ...  an )(b12  b2  ...  bn ) 2 2 2 2 a1 a2 a Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi:   ...  n b1 b2 bn 9) Bất đẳng thức Svacxơ Với hai bộ n số dương bất kì a1 , a2 , , an và b1 , b2 ,, bn ta có:
9 a1 a2 an (a1  a2  ...  an ) 2   ...   Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi: b1 b2 bn b1  b2  ...  bn a1 a2 a   ...  n b1 b2 bn 1 1 4 10)   với x,y là các số dương x y x y ab cb 1 1 2 11)   4 với a, b, c  0 và   2a  b 2c  b a c b 1 1 1 12)    1 với x, y,z là số dương thỏa mãn 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 1 1 1 đẳng thức    4 . x y z y 2  2 x2 z2  2 y2 x2  2z 2 13)    3 với x, y,z là số dương thỏa mãn xy yz zx 1 1 1 đẳng thức    1. x y z 1.2.5. Sử dụng đạo của hàm để tìm GTLN-GTNN 2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng 2.1 Cơ sở thực tiễn Các bài toán về cực trị năm nào cũng xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An, và trong đề thi THPTQG 2.2. Thực trạng Qua các bài kiểm tra nội dung hình học không gian của học sinh đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi. Chúng tôi thu được kết quả sau: Số lượng học sinh đạt được điểm khá giỏi chiểm 30% (3/10 học sinh) Số lượng học sinh đạt trung bình chiếm 20% (2/10 học sinh) Số lượng học sinh đạt dưới trung bình chiếm 50% (5/10 học sinh) Qua đó thấy được sự khó khăn trong việc giải quyết bài toán cực trị không gian.
10 3. Biện pháp 3. 1. Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1 Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm bất kì trong hình chóp. Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. SM cắt mặt đáy ( ABC ) tại N. Chứng minh đẳng thức: S NBC SA S NAC SB S NAB SC SN .  .  .  S ABC SD S ABC SE S ABC SF SM 3.1.1 Lời giải bài toán Cách 1. Dùng Vectơ Cho tam giác ABC, điểm N nằm trong tam giác ABC.       S Ta có S NBC NA  S NCA NB  S NAB NC  0 Với điểm S bất kỳ, D M F       SNBC SA  S NCA SB  S NAB SC   S NBC  S NCA  S NAB  SN E      A C  SNBC SA  S NCA SB  S NAB SC  S ABC SN (1) N B  SN   SA   SB   SC       Do SN  .SM , SA  .SD, SB  .SE , SC  .SF SM SD SE SF SA  SB   SC   SN   Nên (1) trở thành SNBC . .SD  SNCA . .SE  S NAB . .SF  SABC . .SM SD SE SF SM Mà D, E, F, M cùng thuộc mp(P), ta có SA SB SC SN SNBC .  S NCA .  SNAB .  S ABC . SD SE SF SM S NBC SA S NAC SB S NAB SC SN  .  .  .  S ABC SD S ABC SE S ABC SF SM Cách 2. Dùng tỉ lệ thể tích
11 VS . DEM SD SE SM (1) VS . ABN S ABN S Ta có:  . . .   VS . ABN  ABN .VS . ABC (2) VS . ABN SA SB SN VS . ABC S ABC S ABC (3) VS .DEM SD SE SM V SD SE SM S ABN Từ (1) và (2)   . .  S . DEM  . . . S ABN SA SB SN VS . ABC SA SB SN S ABC .VS . ABC S ABC (4) V SD SF SM S ANC Tương tự: S . DMF  . . . VS . ABC SA SC SN S ABC (5) VS . EMF SE SF SM S BNC  . . . VS . ABC SB SC SN S ABC Từ(3)(4)và(5) VS . DEM  VS .DMF  VS . EMF SM  SD SE S ABN SD SF S ANC SE SF S BNC    . .  . .  . .  VS . ABC SN  SA SB S ABC SA SC S ABC SB SC S ABC  VS . DEF SM  SD SE S ABN SD SF S ANC SE SF S BNC     . .  . .  . .  VS . ABC SN  SA SB S ABC SA SC S ABC SB SC S ABC  VS . DEF SD SE SF Mặt khác  . . VS . ABC SA SB SC SD SE SF SM  SD SE S ABN SD SF S ANC SE SF S BNC  Nên . .   . .  . .  . .  SA SB SC SN  SA SB S ABC SA SC S ABC SB SC S ABC   SC S ABN SB S ANC SA S BNC  SM 1  .  .  .   SN SF S ABC SE S ABC SD S ABC  SN SA S BNC SB S ANC SC S ABN   .  .  . SM SD S ABC SE S ABC SF S ABC 3.1.2 Đặc biệt hoá bài toán * Khi điểm M thuộc các mặt bên của hình chóp thì chúng ta có đẳng thức nào? Chẳng hạn khi điểm M  SAB ta sẽ có bài toán sau:
12 Bài 1. Cho hình chóp S . ABC , M là một điểm bất kì thuộc mặt bên (SAB). Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. SM cắt mặt đáy ( ABC ) tại N. Chứng minh đẳng thức: (*) SN SA S BNC SB S ANC  .  . SM SD S ABC SE S ABC Lời giải. S Theo bài toán 1 ta có: D S NBC SA S NAC SB S NAB SC SN .  .  .  (1) M F S ABC SD S ABC SE S ABC SF SM E M  SAB nên SNAB  0 , khi đó (1) trở thành A C (*) N SN SA S BNC SB S ANC B  .  . SM SD S ABC SE S ABC AN * Điểm M  SAB , SM cắt (ABC) tại N và  k (0  k  1) khi đó chúng ta có bài AB toán sau: Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm bất kì thuộc mặt bên (SAB). Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. SM cắt mặt đáy ( ABC ) tại N AN sao cho  k (0  k  1) . Chứng minh đẳng thức: AB SN SA SB (**)  .(1  k )  .k SM SD SE Lời giải. (*) SN SA S BNC SB S ANC Theo bài 1 ta có  .  . SM SD S ABC SE S ABC
13 S Đặt AN S S D  k (0  k  1)  ANC  k ; BNC  1  k AB S ABC S ABC F M . Khi đó (*) trở thành: E SN SA SB (**) C  .(1  k )  .k A SM SD SE N B * Cho k các giá trị cụ thể chúng ta sẽ có các bài toán đặc biệt khác 1 SA SB SN Chẳng hạn k  ta có:   2. 2 SD SF SM SN Nếu M di chuyển trên đường trung bình tam giác SAB ta có thêm: 2 SM SA SB Khi đó (**) trở thành  4 SD SF * Khi M là trọng tâm của hình chóp S.ABC ta có bài toán sau: Bài 3. Cho điểm M là trọng tâm của hình chóp S.ABC. Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. SM cắt mặt đáy ( ABC ) tại N. Chứng minh đẳng thức: SA SB SC   4 SD SE SF Lời giải. S Theo bài toán 1 ta có: S NBC SA S NAC SB S NAB SC SN .  .  .  (1) S ABC SD S ABC SE S ABC SF SM D M F SN 4 M là trọng tâm của hình chóp S.ABC nên  . SM 3 E A C N là trọng tâm tam giác ABC thì N I B
14 1 SA SB SC S BNC  S ANC  S ABN  S ABC khi đó (1) trở thành   4 3 SD SE SF * Khi M  ABC tức M  N ta sẽ có được đẳng thức: Bài 4. Cho điểm M  ABC của hình chóp S.ABC. Mặt phẳng ( ) qua M cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Chứng minh đẳng thức: SA S BMC SB S AMC SC S ABM .  .  . 1 SD S ABC SE S ABC SF S ABC S Lời giải. Theo bài toán 1 ta có : S NBC SA S NAC SB S NAB SC SN D .  .  .  (1) S ABC SD S ABC SE S ABC SF SM SN C M  ABC nên M  N ,  1. A M SM E F SA S BMC SB S AMC SC S ABM Khi đó (1) trở thành .  .  . 1 B SD S ABC SE S ABC SF S ABC * Đặc biệt hơn nữa là Khi M là trọng tâm tam giác ABC thì SMBC  SMAC  SMAB . Ta có được đẳng thức : Bài 5. Cho điểm M là trọng tâm tam giác ABC của hình chóp S.ABC. Mặt phẳng ( ) qua M cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Chứng minh đẳng thức: SA SB SC   3 SD SE SF Lời giải. S D C A M E F B
15 SA S BMC SB S AMC SC S ABM .  .  .  1(*) . M là trọng tâm tam giác ABC thì SD S ABC SE S ABC SF S ABC 1 SA SB SC S MBC  S MAC  S MAB  S ABC . Khi đó (*) trở thành   3 3 SD SE SF * Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a. Khi đó ta có bài toán sau: Bài 6. Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, M là một điểm bất kì trong hình chóp. Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. SM cắt mặt đáy ( ABC ) tại N. Chứng minh đẳng thức: S 1 S 1` S NAB 1  SN a. NBC .  NAC .  .  .  S ABC SD S ABC SE S ABC SF  SM Lời giải. S NBC SA S NAC SB S NAB SC SN Theo bài toán 1 ta có: .  .  .  (1) S ABC SD S ABC SE S ABC SF SM Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a nên (1) trở thành S 1 S 1` S NAB 1  SN a. NBC .  NAC .  .  .  S ABC SD S ABC SE S ABC SF  SM * Với các bất đẳng thức ở trên kết hợp với các bất đẳng thức đại số chúng ta có các bài toán cực trị trong hình học không gian. Học sinh cần phát hiện dấu hiệu bài toán từ đó đưa ra các đẳng thức hình học 3.1.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 1 hỗ trợ Bài 1. (Đề thi môn toán học sinh giỏi bảng A tỉnh Nghệ An 2011) Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm S). Tìm giá trị lớn 1 1 1 nhất của biểu thức: Q    SA'.SB' SB'.SC ' SC '.SA' Định hướng: SA SB SC - Với những dự kiện đã cho chúng ta tìm được đẳng thức liên hệ tỷ số , , ? SA ' SB ' SC ' - Cần sử dụng bất đẳng thức đại số nào đây để biểu diễn 1 1 1 1 1 1   qua   ? SA'.SB' SB'.SC ' SC '.SA' SA ' SB ' SC ' Lời giải
16 S A' C' G A C B' S' B Sử dụng bài toán 1 cụ thể bài 4 mục 3.1.2 (trường hợp đặc biệt của điểm M  G ) ta có được đẳng thức: SA SB SC   4 SA ' SB ' SC '  1 1 1  1 1 1 4 Mặt khác SA  SB  SC  a nên a      4 hay     SA ' SB ' SC '  SA ' SB ' SC ' a Áp dụng: 3.(ab  bc  ca)  ( a  b  c) . 2 2 1 1 1 1 1 1 1  16 Bài toán được giải quyết:         2 SA '.SB ' SB '.SC ' SC '.SA ' 3  SA ' SB ' SC '  3a * Cũng là dự kiện bài toán trên nhưng áp dụng bất đẳng thức: n  a  a  ...  an  a1a2 ...an   1 2  chúng ta có bài toán sau  n  Bài 2. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm 1 S). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  SA'.SB'.SC ' * Áp dụng BĐT cauchy ta có : SA SB SC SA SB SC V 27    4  3. 3  3. 3 V ' V SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' V' 64  AA ' BB ' CC '  Mặt khác VAA ' B ' C '  VBA ' B ' C '  VCA ' B ' C '  VSA ' B ' C '      SA ' SB ' SC ' 
17  SA SB SC   VSA ' B ' C '     3   VSA ' B 'C ' (V=VSABC, V’=VSA’B’C’)  SA ' SB ' SC '  Chúng ta có bài toán sau Bài 3. (Bài T10/301 tạp chí TH&TT năm 2002) Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V. Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’. Tìm giá rị nhỏ nhất của a) Thể tích hình chóp VSA’B’C’. b) Của biểu thức P=VAA'B'C' +VBA'B'C' +VCA'B'C' a b c * Với SA=a, SB=b, SC=c thì ta có   4 SA ' SB ' SC ' Áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki ta có 2  1 1 1   1 1 1  16   a.  b  c    a 2   b 2   c 2     2    SA ' SB ' SC '     SA '  SB '  SC '  2 2 Và áp dụng bất đẳng thức  a  b  c   3 ab  bc  ca  ta có : 2 2  a b c   ab bc ca  16       3     SA ' SB ' SC '   SA '.SB ' SB '.SC ' SC '.SA '  Từ đó ta đặt ra bài toán Bài 4. Cho hình chóp S.ABC với SA=a, SB=b, SC=c. Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1   với  ,  ,  là số thực dương  SA '  SB '  SC '2 2 2 ab bc ca b) Tìm giá trị lớn nhất của   SA '.SB ' SB '.SC ' SC '.SA ' Nhận xét : Trường hợp khi       1 ở câu a ta được bài toán T10 số 278 tạp chí toán học tuổi trẻ, khi a=b=c ở câu b ta được bài toán T10 số 288 tạp chí toán học tuổi trẻ. * Kết hợp với các bài toán BĐT đại số. 1 1 1    1 với x, y,z là số dương thỏa mãn đẳng thức 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 1 1 1    4 .Đặc biệt hóa cho a=b=c=1 ta có bài toán x y z Bài 5. Cho hình chóp S.ABC với SA=SB=SC=1. Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC, SG tại A’, B’, C’. 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của   2SA ' SB ' SC ' SA ' 2SB ' SC ' SA ' SB ' 2SC '
18 y2  2 x2 z2  2 y2 x2  2z 2 * Sử dụng bất đẳng thức    3 với x, y,z là số xy yz zx 1 1 1 dương thỏa mãn đẳng thức    1 . Chúng ta có bài toán x y z Bài 6. Cho hình chóp S.ABC với SA=SB=SC=4. Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC, SG tại A’, B’, C’. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a)  SA ' 1 SB ' 1 SC ' 1 SB '2  2 SA '2 SC '2  2SB '2 SA '2  2 SC '2 b)   SA '.SB ' SC '.SB ' SA '.SC ' Bài 7. (Đề thi môn toán học sinh giỏi bảng A tỉnh Nghệ An 2020-2021.) Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA  1; SB  SC  2 2 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một mặt phẳng   thay đổi đi qua I lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại M , N , P 1 1 1 5 Chứng minh: 2  2  2 SM SN SP 8 Định hướng: SA SB SC - Với những dự kiện đã cho chúng ta tìm được đẳng thức liên hệ tỷ số ; ; SM SN SP Từ đó đưa ra đẳng thức liên hệ SM, SN, SP. 1 1 1 - Cần sử dụng bất đẳng thức đại số để biểu diễn 2  2  2 qua đẳng thức đã SM SN SP đưa ra Lời giải S M C A I N P B
19 SA SB SC Ta cần xác lập đẳng thức liên quan đến 3 tỉ số ; ; SM SN SP Thật vậy với bài toán 1 thì bài toán này là trường hợp điểm M nằm trong mặt đáy ABC của hình chóp S . ABC nên ta xác lập ngay đẳng thức: SA S BIC SB S AIC SC S ABI 1 .  .  . SM S ABC SN S ABC SP S ABC S ABI AB S AC Vì I là tâm đường tròn nội tiếp nên:  ; ACI  ; S ABC AB  BC  CA S ABC AB  BC  CA S BIC BC  S ABC AB  BC  CA SA SB SC Khi đó ta có được đẳng thức: AB  BC  CA  BC.  AC.  AB. SM SN SP Từ giả thiết bài toán ta lại tính được AB=AC=3; BC=4 4 6 2 6 2 Do đó:    10 (1) SM SN SP Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2  4 6 2 6 2  1 1 1       16  72  72   2  2  2 (2)  SM SN SP   SM SN SP  1 1 1 5 Từ (1) và (2) ta có:   2  (đ.p.c.m) SM 2 SN 2 SP 8 * Xuất phát từ các đẳng thức ở mục 3.12 kết hợp các bất đẳng thức chúng ta tạo ra bài toán mới như sau Bài 8. Cho hình chóp S . ABC có SA  a; SB  SC  2a . Gọi M là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng   thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại D, E, F. 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P  2  2 SD SE SF 2 Định hướng: SA SB SC - Với những dự kiện đã cho chúng ta tìm được đẳng thức liên hệ tỷ số ; ; SD SE SF Từ đó đưa ra đẳng thức liên hệ SD, SE, SF.
20 1 1 1 - Cần sử dụng bất đẳng thức đại số để biểu diễn P   2 qua đẳng thức SD 2 SE SF 2 đã đưa ra Lời giải SA SB SC Theo bài 5 mục 3.1.2 ta có   3 S SD SE SF 1 2 2 3 Mà SA  a; SB  SC  2a nên    (1) SD SE SF a F A E Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: C M 2  1 2 2   1 1 1       1  4  4   2  2  (2)  SD SE SF   SD SE SF 2  B 1 1 1 1 D Từ (1) và (2) ta có: 2  2 2  2 SD SE SF a 1 1 1 1 Vậy GTNN của biểu thức P   2 bằng 2 . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ SD 2 SE SF 2 a 3a khi SD  3a; SE  SF  2