Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn "Các chuyên đề bám sát đề thi THPT phần nguyên hàm - Tích phân" được chia làm 18 phần nhỏ với các nội dung bao hàm như: đạo hàm, vi phân, nguyên hàm đa thức, phân thức, lượng giác, căn thức, hàm mũ, logarit,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 1

NGƯT. ThS. LÊ HOÀNH PHÒ ■ ■ ;• ỉ■. : .' aĩ l t i ặ y l ■ V 1 V. *■ ■ ■ ỉỉl 3 ■ ■■ ■ ■ ■■ ■■ ■■■■■ C á c ch uyên đề I ■ ■■ ■■ i ■ ã ■_■ ■ z X ^ _______ ■■ I I M Sũĩ ĐỀ THI ã M a i a i o ;
Th.s NHÀ GIÁO ƯU TÚ LẺ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐẾ THI THPT QUỐC GIA NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q UỐ C G IA H À N Ộ I
LỜI NÓI ĐẦU Các Em học sinh thân mô"n! Nhằm mục đích giúp các bạn h(x: sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC PHÔ THÒNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng tuvển vào các trường Cao đẳng, Đại học mà mình đã xác định nghề nghiệp cho tưcing lai, theo định hướng mới. Bộ sách này gồm 8 cuô'n cho 8 chuyên đề, để các om tiện dùng trong ôn luyện theo chướng trình học và trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT đ Ẳn G THỨC Cuốn NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN gồm có 18 phần nhỏ để liện luyện lập theo chủ đề. 'lư các kiến thức và phương pháp giải 'loán căn bản và nâng cao dần dần, kếl hợp ôn tập Toán lớp 10 và 11, bố sung và mở rộng kiến Ihức và phương pháp giải khác nhau, luyện tập thêm Toán khó, Toán tổng hợp, các bạn ròn luyện kỹ năng làm bài và lừng bước giải đúng, giải gọn các bài lập, các bài toán trong kicm tra, thi cử. Dù dã cố gẩng kiếm tra trong quá trình biên tập song cũng không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong dón nhận các góp ý của quý bạn dọc, học sinh dể lần in sau hoàn thiện hơn. Tác giả LÊ HƠÀNH PHÒ
Ồ N Đ Ạ O H ÀM VÀ VI PH ÂN Đạo hàm của các hàm số tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm Xo thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ s ổ -------- -— — khi X dần đến Xo được gọi là X-Xo đạo hàm của hàm sổ đã cho tại điểm Xo, kỉ hiệu f'(xo) hoặc y'(xo), nghĩa là: f(x )-f(X p ) f'(xo)= lim X-Xn Nếu đặt Ax = X - Xo là số gia của biến số và Ay =^f(xo + Ax) -f(xo) là số gia của hàm so thì ta có: = I, f(x .+ A x )-f(x „ ) ^ ^ Ax->0 Ax Ax->0 Ax Phương pháp tính đạo hàm tại điểm Xo theo định nghĩa Tinh giới hạn lim -------- ——, X - X() Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn thì đạo hàm tại điểm Xo là: f(x )-f(x j f'(xo) = lim x -x „ Hoặc ta thực hiện hai bước sau: Tỉnh sổ gia của hàm số Ay =f(xo + Ax) - f(xo) trong đó Ax là số gia của biển số tại Xo. Tim giới hạn lim . Ạx Ax->0 ' ' ' . Av Nêu giới han này tôn tai hữu han thì đó là f'(xo) cân tìm: f'(xo) = lim — , còn ngược lại thì hàm sổ không có đạo hàm tại đó. Quan hệ giữa đạo hàm và tinh liên tục Nếu hàm sổ y =f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì nó liên tục tại điểm Xo- Ỷ nghĩa hình học của đạo hàm Đạo hàm của hàm sổ y =f(x) tại điếm Xo là hệ sổ góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm sổ tại điếm Mo(xo; f(xo)).
Nếu hàm sổ y = f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì tiếp luyến của đồ thị hàm sổ tại điểm Mo(xo;f(xo)) có phương trình là: y = f'(xo)(x - Xo) + f(xo). Ỷ nghĩa cơ học của đạo hàm Vận tổc tức thời v(to) tại thời điểm to (hay vận tốc tại to) của một chuyển động cổ phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của hàm số s = s(t) tại điểm to, tức là: v(to) = s'(to). Đạo hàm của hàm so trên một khoảng Hàm sổ f gọi là có đạo hàm trên khoảng K nếu nó có đạo hàm f Ỵx) tại mọi điếm X thuộc K. Kỉ hiệu y' =f'(x). Đạo hàm của một số hàm sổ thường gặp ( c ) ' = 0 (c l à h ằ ng số ) (x)'= l ( x ”) ' = n x ” ' ' ( n e N , n > 2) (ứ ')' = n u " ' ' . u ' t ì (V x) = ( x > 0) 2v u Đạo hàm của hàm sổ lượng giác (sinx)' = cosx (sinu)' = u'.cosu (cosx)' = -sinx (cosu)' = -u'.sinu (lanx)' = — — = I + ían^x / u' — ựanu) = —— cos X cos u —u' (cotx)' = — ^ = -(ỉ + cot^x) (cOtuỴ = ----r— sin X sin u
Các quy tắc tính đạo hàm Tông hai hàm sổ: (u + v / = u’ + v' Hiệu hai hàm số: (u -v )' = u '-v ' Tích hai hàm so: (u . v / = u'.v + u.v' u'.v - u.v' Thương hai hàm số: Hàm sổ hợp: f'x = f'u- u'x Vi phân của hàm số Vi phân của hàm sổ y = f(x) lại điểm Xo ứng với sổ gia Ax được kí hiệu df(xo) là: df(xo) =f'(xo)àx Nếu f có đạo hàm f ' thì vi phân của hàm so flà d y = y'dx. Chú ỷ: 1) Đê linh đạo hàm hay vi phân cùa một hàm số, ta phải xác định dạng cùa hàm số sau đó vận dụng công thức và quy tắc để tinh. Có thể chia tách, viết lại dạng, khai triên, nâng lũy thừa, mũ hóa, logarit hóa....để chuyến dạng tinh đạo hàm. 2) Đổi với hàm hợp nhiều hàm số liên tiếp thì làm dần từng bước, có thể đặt hàm sổ trung gian nếu cần. 3) Đạo hàm của tổng, hiệu nhiều hàm số (u ± v ± ... ±w )' = u' ± v' ± ... ±w'. 4) Đạo hàm của tích nhiều hàm so: (uvw)' = [(uv)w]' = (uv)'w + (uv)w' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'. Bài toán 1.1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau; a) y = --------với X — b) y = -y/3-x với X < 3. 2 x -l 2 Giải a) Cho X — sổ gia Ax thì Ay = f(x + Ax) - f(x) = 1 1 2(x + A x )-l 2 x - l 11________ 11 -2Ax 2x + 2 A x -l 2 x - l (2 x-l)(2x + 2Ax-1) lim lim ------------- ?-----------= ------ ÂÍToạx Ãr^ô(2x-l)(2x + 2A x-l) (2x-l)^ Vậy y = —------- ^ với . (2 x -l)- 2
b) Cho X < 3 số gia Ax. -A x Ay = f(x + Ax) - f(x) = -v/3 - X- Ax - -v/3-x = ■ v / 3 - x - Ax + V 3 - X lim = lim ■ = ---- , = — ... ^ ^ “Ax ữ^-*o^2-x-Á x+ ^J3-x 2V3-X -1 Vậy y' = v ớ i X < 3. 2V3-X Cách khác: lim = lim ----------- ^ Xo, X- X ^^•'0 X - Xq = lim1 ----------- lim — ■-. .x-»x“ (x-Xo)(v3-x+ 7 3 - X 0) 2^3-Xo Vậy y' = -1 v ớ i X < 3. 2 V3 -X Bài toán 1.2: Chứng minh nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì liên tục tại đó. Giải ■ Ay • Giả sử hàm sô f có đạo hàm f'(xo) tức là lim — = f'(xo) Ax^o Ạx Ta có: lim Ay = lim — .Ax = lim — . lim Ax = f '(xo) .0 = 0 Ax->0 Ax-^0 Ạ y Ax^O Ạ x Ax->0 Do đó: lim (f(x)-f(X o)) = lim Ay = 0 X->X|J Ax^O Suy ra lim /(x ) = f(xo). Vậy hàm số f liên tục tại điểm Xo. X-*Xq' Bài toán 1.3: Chứng nũnh hàm số y = không có đạo hàm tại X= 0. Giải Cho X= 0 số gia Ax, ta có; Ay = f(0 + Ax) - f(0) = .^ỊAxỊ lim — = lim —---- = lim ----- = +00 Ax^o* Ax Ax->0* Ax Ax->0* J|A x| Vậy không tồn tại đạo hàm tại X= 0. Bài toán 1.4: Chứng mirủi hàm số: í2x khi X < 0 f(x) = < •; _ có đạo hàm tại X= 0. sin 2x khix> 0 8
Giải Hàm sổ xác định và liên tục trên R. khi X < 0 Ta có f'(x) lo o irU- „.nên lim/'(x) = 2 = lim/'(x). [2 cos 2x khi X > 0 Vậy f có đạo hàm tại X = 0 là f ’(x) = 2.. x ^ -2 khix < 0 Bài toán 1.5: Tìm a, b để hàm số: f(x) x^ + ax + b khi X >0 có đạo hàm tại X = 0, khi đó tính f '(0). Giải Hàm số có đạo hàm tại X = 0 thì liên tục tại X = 0 nên lim f (x) = f (0) => lim (x^ + ax + b) = -2 ^ b = -2. x-»0* x->0* f (x )-f(0 ) x"+ax Ta CÓ lim ■= lim = Iim(x + a) = a . X- 0 x->0* x^o* ,,„ f ( x ) - f ( 0 ) ,,.„ x ' ^ lim ------------^ ^ = lim — = lim X = 0 x->0" X —0 x->0“ X x->0' Từ đó suy ra điều kiện tồn tại đạo hàm tại X = 0 là a = 0 và b = -2. Khi đó f '(0) = 0. Bài toán 1.6: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm Xo a) y = 7 + X - x“, Xo = 1 b) y = — - — + — + ; r , Xo = 0. Giải Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu a) y’ = (7)' + (x)' - (x^)' = 1 - 2x. Vơi Xo = 1 thì f '(1) = 1 - 2 = -1. 4 b ) T a c ó y = —X - ^ —X 3 , + 1 —X + 7Ĩ 2 , _ 4 3 2 1 nên y' = —.4x^ - - ,3x^ + —.2x = x^ - x^ + X. Với Xo = 0 thì f '(0) = 0. 4 3 2 Bài toán 1.7:Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: X _ , 3 _ 3x-8 a)y = x + - b ) y = ---- X 1- X Giải a) Tập xác định D = R \ {0}. 3 3 x '- 3 Ta có y = X + — nên y' = 1 - ^ X X x^
b) Tập xác định D = R \ {1}. 3 x -8 3(l-jc) + (3x-8) -5 Ta có y —---- nên y' = ^ ^ ^ 1 -x (1 -x )^ ạ-xÝ Bài toán 1.8: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) f(x) = ax^+bx^+c b)f(x) ^ J_ b ax — t + V (a + b)x X 7 Giải a) Tập xác định D = R \ {0}. c 1 Ta có: f(x) = ■X +■ -x + a+b a+b a+bx , ^ 2a b c 2ax^+bx^-c nên t (x)= — + ---------------— y =------ -——;— . a +b a + b {a + b)x {a + b)x b) Tập xác định D = R \ {0}. í ỡ . 2 f'(x)= 4 o x ----r + 3c 3ax = 121 ax^ - - ^ + 3c ax + X J V x"* ) Bài toán 1.9: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: V x^-2x + 3 a) y = Vx’ - 2x b)y 2x + l Giải a) Điều kiện x ^ - 2 x > 0 « x < 0 hoặc X > 2. Ta có f'(x) = 2vx^ - 2 x Vx^ -2 x b) Vì x^ - 2x + 3 > 0 với mọi X nên điều kiện: X^ 2 x -2 r(2x + l)-V x^ -2X + 3.2 2 VÃ ■2x + 3 (2x + l)^ ^ (x -ĩ)(2 x + l) - 2 (x ^ - 2 x + 3) 3 x -7 (2x + l ) V x '- 2 x + 3 (2x + l ) V x '- 3 x + 3 ’ Bài toán 1.10: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: 1 7 f- ,. x’ a) y = —X -V x b)y Vx ^ 6 Giải a) D = R. 10
\Với r ' • X f\0, ta có:' y = ^ I nêny I =_ — * - vx ^ -----}== ^ = —V— VX 1 3 ĩ 3ìJ 7 b) Tập xác định D = (-oo; - Vó ) u ( Vó ; +oo). 2 x \x ^ -9 ) Ta có; y nên Jy'= --------- 11WÌ1 — Ị--------- . x '- 6 ( x '- 6 ) V x '- 6 Bài toán 1.11: Tính đạo hàm của mồi hàm số sau: a) y = cos2x - 2x + 5. b ) y = ỉ | í í i ± ^ ( a * b + k K ;k .Z ) sin(x + b) Giải a) Tập xác định D = R. Ta có y = cos2x - 2x + 5 nên y ' = -2(sin2x + 1) . b) Hàm số gián đoạn tại các điểm X = -b + kn (k e Z). T’ _ sin(x + a) Ta có y = nên sin(x + b) sin(x + b)cos(x + a)-sin(x + a)cos(x + b) _ sin(b-a) ^ sin^(x + b) sin^(x + b) Bài toán 1.12: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) y = sin^x + 4x + 1 b) y = 7x - sinx. tan ^ . 2 Giải a) Tập xác định D = R. Ta có y = sin X + 4x f 1 nên y ' = 2sinxcosx + 4 = sin2x + 4. b) Ta có y = 7x - sinx . tan . 2 sin X _ X X Nên y ' = 7 - cosxtan- — —= 7 - cosx.tan — - tan —. 2X 2 2 2cos _ X, , , ^ - X 2 X _ . = 7 - ta n ^ (l + cosx) = 7 - 2tan^.cos ^ = 7 - sinx. 2 2 2 Bài toán 1.13: Tim đạo hàm của các hàm số sau: 5x + l ,b)Xy _= cot. V/X2 .+1 1 . a) y = tan- 2 Giải 1 5x +1 5 a)y’ = 5jc+ 1 l 2 5jc+ 1 cos 2cos 11
b)y' = -1 r^V^r"^) = ^ (ĩ+ cot^ Vx~ +1). sin^ Vx^ +1 Vx^ +1 Bài toán 1.14: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: _ (3m - l)x - m.2 + m m a)y b) y = X + 2 + X+ m x ^ Giải a) Tập xác định D = R \ {-m}. Ta có; (x + m)(3m -1) - [(3m - l)x - m^ + m] _ 4m^ - 2m ^ ~ (x + m) (x +, m) ™\2 • b) Tập xác định D = R \ { 1}. m x ^ -2 x + l - m Ta có y' = 1 - mọi X --------- = ----------- ^------------- , VỚI 1. (x -iỵ (x -iỵ Bài toán 1.15: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: 60/' a) f{í) = t + ^|t^ + \ - 3 b) / ( 0 = 36/- +25 Giải a) Tập xác định D = R. T ^Jí^=+ ỉ^+ í. Tacó' / ’(/) = l + - p ^= = — b) Tập xác định D = R. 60/‘ 3000t Ta có; /"(/) = nênf'(t)^ 36/' +25 (3 6 t'+ 2 5 r Bài toán 1.16: Tìm đạo hàm của hàm số sau: 2 ^ -2 - a) y = (3x - l).e’‘ b)y 2" + 2' Giải a) y' = 3.e" + (3x - l).e" = (3x +2).e’‘. {2^ ln2 + 2~’‘ ln2)(2^ +2~’‘)-(2 ’‘ -2~’‘)(2’‘ ^2-2-^^ ln2) ^ (2'‘+2-’‘)' ^ (2’‘ + 2 -’‘) '- ( 2 ’‘ - 2 ' ’‘) '. 2 ^ 41n'2 -ln'2 = - (2’‘ +2-’‘)' “ (2’‘ +2-’‘) ' ' Bài toán 1.17: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (3x - 2)ln'x b) y = ln(x + Vx' + a ' ). 12
Gỉăi a) Điều kiện X > 0. Ta có y = (3x - 2 )ìn \ nên y' = 31n\ + X b) Tập xác định D = R. I+ Ị.... .... - Ta CÓy = ln(x + Vx^ + a ^ ) nên y' = — 1 = I ^ . Bài toán 1.18: Tìm đạo hàm của hàm số sau: a)y = (4 x + lf b)y==logx5. Giải ' = / / 1 ^>"(4.t+lT v.ln(4x+l) a) Ta CÓ y = (4x+l) —€ 4x nêny’ = '"‘''*^'\(x.ln(4x + 1))' = (4x + l)T(ln(4x +1) + - ^ ) . 4x + l Cách khác: y = (4x+l)’‘ nên Iny = ln(4x+l)’‘ =x.ln(4x+l). ' ' y' 4 Lây đao hàm 2 vê: — = 1,ln(4x +1) + X. - — — y 4x +1 Suyra:y’ = e^'"'"*^'\(x.ln(4x + l))’ = (4x + l)L(ln(4x + l) + - ^ ) . 4x + l b) Ta có y = logx5. 1 với X >0. X 5Ế 1. logị X 1 D ođóy’= ^ ^ = ------, logj X x.lnS.logịX Bài toán 1.19: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm với mọi X và thoả mãn: f^(l + 2 x ) - x - f \ l -x ).T ín h f'(l). Giải Lấy đạo hàm 2 vế, ta có: 4f(l + 2 x ). f '(1 + 2x) = 1 + 3f ^(1 - x ) . f '(1 - x). Thế X= 0: 4f(l) , f '(1) = 1 + 3f^(l). f '(1) (*) Thếx = 0 vàof^(l +2x) = x - f \ l -x )= > f^ (l) = - f \ l ) . => f + f(l)) = 0 ^ f(l) = 0 hoặc f(l) = -1. Với f(l) = 0 thì (*): 0 = 1 (loại) Với f(l) = -1 thì (*): -4 f'(1) = 1 + 3 f'(1) => f '(1) = — ■ 13
Bài toán 1.20: Cho hàm sổ y = f(x) có đạo hàm với mọi X và ihoả mãn: 2f(x)= 1 +x.f'(x). Tính đạo hàm tại điểm M(l; 1). Giăi Lấy đạo hàm 2 vế, ta có; 2f'(x) = f ^(x) + 3xf ^(x). f'(x). Thế X = 1 và ta có f(l) = 1 nên: 2 f'(1) = 1 + 3 f'(1) f '(1) = “1- V ậ y f‘(l) = -1. Bài toán 1.21: Tính vi phân của mỗi hàm sổ sau; a) y = 4x^ + 3x - 1 b)y = 3x+ 12+Vx . Giải a) Tập xác định D = R. Ta có y' = 12x^ + 3. Do đó vi phân dy = (12x^ + 3)dx. b) Điều kiện: X > 0. Với X >0 thì y' = 3 + 2y[x Do đó vi phân dy = (3 + ) dx. 24 x Bài toán 1.22: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a)y = (x-2)(x + 1) b)y = (x '+ l)(5 -3 x '). Giải a) Tập xác định D = R. y' = (x - 2Ỵ (x^ + 1) + (x - 2)(x^ + 1)' = l.(x^ + 1) + (x - 2)3x^ = 4x^ -6x^+1. Do đó vi phân dy = (4x^ - 6x^ + l)dx. b) Tập xác định D = R. y’ = 2x(5 - 3x^) + (x^ + l)(-6x) = -12x^ + 4x = -4x(3x^ - 1). Do đó vi phân dy = - 4x(3x - 1) dx. Bài toán 1.23: Tính vi phân của mỗi hàm số sau; X x ^ -3 x + 4 a)y = b)y 1+ x' x^ - x + 1 Giải a) Tập xác định D = R. , _ 1(1 + x ^ )-2 x .x _ 1-x^ 1 -x ' . Do đó vi phân dy dx ^ (1 + x ') ' " (1 + x ') ' (1 + x^)^ b) Ta có: x^ - X + 1 > 0 với mọi X. , _ (2x - 3)(x^ - X + 1) - (x^ - 3x + 4)(2x - 1) _ 2x' - 6x + 1 (x" - x + 1)^ (x^ - x + 1)^ 14
^ ... , 2x' - 6 x + l . Do đó vi phân dy = —;--------- ~ơx. ( x ^ - x + lỹ Bài toán 1.24: Tính vi phân cùa mỗi hàm số sau: ax + b .. ax^ + bx + c a)y b)y cx + d a'x^ +b'x + c' Giải , , a(cx + d) - c(ax + b) ad - bc (cx + d)^ (cx + d)^ ^ ., . , . , ad -b c , Do đó vi phân dy = ----------r dx {cx-vdÝ _ (2ax + b)(a'x' + b'x + c') - (ax^ + bx + c)(2a'x + b') b)y' (a'x^+ b'x + c')^ (ab'-a' b)x' + 2(ac'-a' c)x + bc'-b' c*• (a'x^ + b'x + c 'r • 1 - .1 _ (ab'-a'b)x~ +2(ac'-a'c)x + bc'-b'c , Do đó vi phân dy = ^— dx . {a'x^+h'x + c'Ý Bài toán 1.25: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) y = Vx (x - 3) b) y = ^• Giải a)D = [0; +oo). Với X > 0, ta có: y' = — - 3) + Vx = ^ 2Vx 2x Do đó vi phân dy = ----- ------- d x . 2x b) Tập xác định D = R. Ta có f'(x) = - 1 . Do đó vi phân dy = (■ r-l)d x . Bài toán 1.26: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) y = Vx^ - 2 x + 5 b) y = X^Í4~-X^ Giải x -1 x -1 a) D = R. Ta có y' = . Do đó vi phân dy dx. ^Jx^ - 2 x + 5 ^jx' -2 x + 5 15
b) Điều kiện -2 < X < 2. -X _ -2 (x " - 2 ) Với - 2 < X < 2 thì: y' = V 4 -x ^ + X V4 -x^ V4 -: Do đó vi phân dy = — dx. Bài toán 1.27: Tính vi phân của mồi hàm số sau: a) y = cos^x + 14x -9 b) y = 8sin^— + sin2x - 2x. Giải a) Ta có y = c o s \ + 14x - 9 nên y ' = - 2sinxcosx + 1 4 = 1 4 - sin2x. Do đó vi phân dy = (14 - sin2x)dx. b) Tập xác định D = R. y’ = 4sinx + 2cos2x - 2 = 4sinx(l - sinx) Do đó vi phân dy = 4sinx(l - sinx) dx. Bài toán 1,28: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) y = x^Ve'*’’ +1 b) y = x’ - 5’' + x’‘. Giải a) Tập xác định D = R. y =2 x V ^ + = 2x[(x + l)e‘» + 1] J„4 x , , /„ 4 x , , Ve'* +1 Ve^^+l 2xị(x + l)e'* + 1 ] Do đó vi phân dy ‘dx le ■■■+1 b) Điều kiện X > 0. Ta có y = x^ - 5* + X* = x’ - 5* + e*'"* nên y' = 7x^ - 5*ln5 + e*'"*(lnx + 1) = 7x^ - 5*ln5 + x*(lnx + 1). Do đó vi phân dy = (7x^ - 5*ln5 + x*(lnx + l).)dx. Bài toán 1.29: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: ln(x^+l) a) y = VV^”+ĩ.log 3 x^ b)y Giải a) Điều kiện x> 0. , ,_ x lo g 3 X' 2yjx-+l ^ , _ xlog 3 X^ 2ylx^+l _ , Ta có y = H-----^------. Do đó vi phân dy = ( .. + — -—^— ) dx. Vx^+1 x\n3 Vjc^+1 b) Tập xác định D = R \ { 0}. 16
ln(x^+l) ln(x^+l) Ta có y' = — . Do đó vi phân dy = ( — )dx. x '+ l X X +1 BÀI TẬP Bài tập 1.1: Chứng minh hàm sổ: f(x) = 1 x^ +4x - 5 I không có đạo hàm lại X = 1. HD-ĐS Dùng định nghĩa, giới hạn 2 bên khác nhau. Bài tập 1.2; Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: a) y = x^ - 4x tại Xo = 2 b) y = -J2 x-1 tại X = 4 . HD-ĐS a)76 b )l. Bài tập 1.3 : Tính đạo hàm của các hàm số: a )y - x^ +1 b)y^ 1+ x V l-X HD-ĐS -1 3 -x a)y' b) y' 2 ^ x \x ^ +1) ’ " 2^(1-x ) Bài tập 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số: N _ 2x 5 x -3 a)y = b) y = 2 X -1 X + X+1 HD-ĐS -2(y^ +1) -5 x +ÓX + 8 a)y' h )Ý {x^ +x + l)^ Bài tập 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số: ^ sm JC a) T = - -X b) y = tan^x + C0t2x ị/cosx HD-ĐS 2c o s ^X - 3 cos X. Vcos X + 1 3sin^ X a) y'= b)y' 3cosx.Vcosx cos’ x ;in-^ix ' sm Bài tập 1.6: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) y = (2x + 1)" - tane’^ b) y = ịỊìn^ 5x . HDĐS a) dy = (27x(2x+l)''‘'-(l+tanV )e’‘)dx b) dy = ,.. dx . 5ựln- 5x 17
Bài tập 1.7: Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) y = log^(~x^+5x + 6) b) y = cosx.e^'®"^. HD-ĐS ^ -2 x + 5 _ -4 x + 10 ^ (-x^+5x + 6)lnV3 ~ (-x^+5x + 6)ln3 , 2 ^ ^ b) y' = - sinx.e^'“ ’‘ ^------- .e^ 2 tan X =___e 2 tan X ị ------ sinx cosx vcosx y Bài tập 1.8 : Tính vi phân của mồi hàm số sau: a) y = xVx^-iõc + 1 b)y = 3 1+ X HD-ĐS 4x + 3x + 2 a) dy dx b) dy .dx. 2^Jx^ +JC + 1 3\Jx^ Bài tập 1.9: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm frên R. Chứng minh: a) Nếu f chẵn thì f ' lẻ. b) Nếu f lẻ thì f ' chẵn. lỉD-ĐS a) Neu f chẵn trên R thì với mọi X 6 R: f(-x) = f(x). Lấy đạo hàm 2 vế thì được: f'(-x ). (-x)' = f'(x) => -f'(-x) = f ’(x)=> f'(-x) = -f'(x ). Vậy f ' lẻ. b) Nếu f lẻ trên R thì với mọi X e R; f(-x) = -f(x). NGUYÊN HÀM CỦA H ÀM số Định nghĩa nguyên hàm Cho K là một khoảng (a;h), nửa khoảng (a;bj, [a,b) hay đoạn [a;b]. Hàm số F(x) gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu: F'(x) = f(x), bíc e K . Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì họ các nguyên hàm của f(x) là: I f(x)dx = F(x) + c, c là hằng số bất kì. Bảng các nguyên hàm J dx = X + c ị kdx = kx + c với k là hằng sổ 1 I [ —dx = ln\x\ + c [ —dx = ln\u\+ c 18
Với aỉ>i-J: í x° .dx = —---- + C" [ u^.u'.dx = ----+ c ^ a +1 •' a +1 J cosxdx = sinx + c I cosu.u'.dx = sỉnu + c J sinxdx = -cosx + c I sinu.u'.dx - -cosu + c t dx ^ ỉ u' , _ ——— = tanx -1 c — — dx = lanu + c ^ cos X cos u r dx „ f m', , ^ — ^— = - cotx + c ——— dx = -cotu + c ịe^dx = e'‘ +c ịe " .u 'd x -e “+c ịa ^ d x - —— hc ịa'‘.u'xix = —— c (a>0, a ĩà 1) •' Ina •' Incr Tính chất cơ bản Nếu fv à g là hai hàm sổ liên tục trên K thì: j ư i x ) + g{x))dx =j f{x)dx + j g{x)dx J ( / (x) - g{x))dx = j / (x)dx - J g{x)dx J k f {x)dx =kị f (x)dx với mọi số k Chú ỷ : 1) Để chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) ta chứng minh F'(x) = f(x) với mọi X thuộc D. 2) Đe tính nguyên hàm, ta phối hợp dùng bảng công thức với các biến đổi chia tách hai nguvên hàm, thêm hớt, khai triển tích so, hằng đẳng thức, nhân chia m lượng liên hợp, viết mũ phân sổ 3) Đặc hiệt để tinh nguyên hàm, có khi ta viết hùm so cần tìm nguyên hàm thành đạo hàm của một hàm số khác: Ị f(x).dx =J (g(x))'xỏr = g(x) + c . Bài toán 2.1: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây; 1 a) F(x) = 1-cot H--- , f(x) = 2 4y 1 + sin X b) F(x) - f(x) = cos3x. Giải a) Ta có F(x) = 1-cot —+ —1, —+ — ^ k n . \ 2 A) 2 A 19
nên F '(x) = 1 T 1 „1.! X+ -^ 1+sinx 2sin ^^ + ^- 1-co I \2 A) V 2y Vậy F(x) một nguyên hàm của f(x). _ _sin3x Ị-^ _ b) Ta có F(x) = D=R Nên F '(x) = . 3cos3x = f(x), V X e D . Vậy F(x) = là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = 3e*‘"^’‘. cos3x. Bài toán 2.2: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây: a) F(x) = xlnx - X, f(x) = Inx. b) F(x) = ln(x + Vl + x ' ) + c ; f(x) = Vl + x^ Giải a) Ta có F(x) = xlnx - X, D = ( 0; + 00 ) Nên F ’(x) = Inx + X . —- 1 = Inx = f(x), V X 6 D => đpcm. X b) Ta có F(x) = ln(x + Vl + X^ ) + c , D = R 1+ Nên F '(x) = ---- Vx^ Ị +1 = = f(x), V X e D => đpcm. x + vx^+1 vx^+1 Bài toán 2.3: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây: X 1 a) F(x) = In tan^ + c,f(x) 2 sinx 1 b) F(x) = In tan + c,f(x) = 2 4 cosx Giải X a) Ta có F(x) = In tan^ + c , tan — ^ 0 ^ + kTT 2 2 2 2 . 1 2cos^ — 1 1 F'(x) , V X e D => đpcm. , X X . X sinx tan— 2cos—sin — 2 2 2 ^x b) Ta có F(x) = In tan --- !--- 2 4 20
- 7Ĩ n , _ Điều kiện: tan íế O—+ — —+ Ả:;r. v2 4 2 4 2 1 1 Nên F '(x) = fx 7t^ r x 71^ 2cos —+ — tan — + — 4J 12 4J ■, V X e D => đpcm 7Ĩ^ ■ í X+ — cosx 2cos — + — sin — +- sin u 4j l2 4J l 2j . , ^ A ’ ' ì ' -1 < * _ + 6x + 1 X +10 -r ^ t \ Bài toán 2.4: Chứng minh răng các hàm sô: F(x) = ------ ------ và G(x) = ---------- 2 x -3 2 x -3 đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số, chỉ ra hàm số đó. Giải ^ - 1 7 / N_ +6x + l 3 , _ 2 x '- ó x - 2 0 Ta có F(x) = ———-----, X — nên F (x) = --------- — 7,— 2 x -3 2 (2 x -3 )' x^ + Ó X + 1 x H lO _ Và F(x) = ------ ------= - —^---- + 3 = G(x) + 3. 2 x -3 2 x -3 2x - 6 x - 2 0 Vậy F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = (2x-3)^ , , 1 , 2 Bài toán 2.5: Chứng minh răng các hàm sô: F(x) = — -r— và G(x) = 10 + cot X sin X đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số, chỉ ra hàm số đó. Giải 1 -2sinxcosx 2cosx Ta có: F(x) ,x ^ k 7T nên F'(x)^ s in ^ X sin'’ X s in ^ X Và G(x) = 10 + corx, X k 7Ĩ nên G'(x) = 2cotx -1 2cosx F’(x) s in ^ X s in ^ X Vậy F(x), G(x) đều là một nguyên hàm của f(x) = sin X Bài toán 2.6: Tìm nguyên hàm của hàm số: a) f(x) = 3x^ + ^ . b) f(x) = 2x^ - 5x + 7. Giải a)T acó Jf(x)dx = jỊ^3x^+ — dx - x ^ + — + c . y 4 21