Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điện

Công nghệ thông tin<br /> <br /> NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI<br /> PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN<br /> MÔ HÌNH HÓA TRẠM ĐIỆN<br /> Nguyễn Khắc Điệp1*, Viktor Filimonovich Chystyakov2<br /> Tóm tắt: Bài báo xem xét các hệ phương trình vi phân (PTVP) cải tiến đạo hàm<br /> riêng phụ thuộc vào một biến không gian. Giả thiết rằng, các ma trận dưới đạo hàm<br /> của hàm số véc tơ cần tìm đều suy biến trên tất cả miền xác định. Những hệ như vậy<br /> được gọi là hệ PTVP đại số đạo hàm riêng. Trong bài báo còn giới thiệu khái niệm<br /> về hệ chia tách. Từ hệ này ta có thể tìm ra cấu trúc nghiệm chung của PTVP đại số<br /> và xác định tính có nghiệm của bài toán biên ban đầu trong nhiều trường hợp. Và<br /> cuối cùng là giới thiệu mô hình mô tả trạm điện với thành phần cụ thể là bộ trao đổi<br /> nhiệt bức xạ, đối lưu, được viết bằng PTVP đại số đạo hàm riêng.<br /> Từ khóa: Phương trình vi phân đại số; Đạo hàm riêng; Hyperpolic; Hệ suy biến; Chỉ số; Mô hình hóa.<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> Xem xét hệ phương trình đạo hàm riêng<br /> u u<br /> A( x , t , u )  B ( x, t , u )  C( x , t , u )  f ( x , t ), (1)<br /> t x<br /> 2<br /> ( x , t )  U =X  T  R ,<br /> <br /> X  [ x0 , x1 ], T  t0 , t1  ,<br /> <br /> Trong đó, A(x,t,u), B(x,t,u), C(x,t,u) là các ma trận có kích thước ( n  n ) ,<br /> và u  u ( x, t ), f ( x, t ) lần lượt tương ứng là hàm véc tơ cần tìm và cho trước.<br /> Giả sử rằng, hệ (1) thỏa mãn<br /> det A  0, det B  0, det( A  B )  0 ( x, t )  U, u  R n ,  , (2)<br /> trong đó λ- tham số vô hướng (trong trường hợp tổng quát là tham số phức).<br /> Trong bài báo cũng xem xét các điều kiện biên ban đầu<br /> u ( x, t0 )   ( x ), u ( x0 , t )   (t ), ( x , t )  U , (3)<br /> trong đó, các hàm véc tơ cho trước  ( x ),  (t ) là những hàm khả vi liên tục.<br /> Hệ phương trình dạng (1) thỏa mãn điều kiện (2) được gọi là hệ suy biến không<br /> thuộc dạng Cauchy–Kowalevski. Trong các tài liệu toán học quốc tế thường sử<br /> dụng thuật ngữ “PTVP đại số đạo hàm riêng” [4]. Ở các trường hợp đặc biệt, hệ<br /> phương trình dạng (1) có mối quan hệ lẫn nhau với các phương trình đạo hàm<br /> riêng, PTVP thường và phương trình đại số. Vào nửa sau của thế kỷ XX, các công<br /> trình nghiên cứu của Sergei Lvovich Sobolev [1] bắt đầu xuất hiện. Các nghiên<br /> cứu này đã chiếm một vị trí quan trọng trong lý thuyết PTVP, cho nên những hệ<br /> như vậy còn được gọi là hệ phương trình dạng Sobolev [2]. Hệ này có ý nghĩa lý<br /> thuyết và thực tiễn vô cùng to lớn. Hiện nay trong hầu hết các tài liệu chuyên sâu<br /> <br /> 112 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> đều đề cập đến vấn đề về tính giải được của bài toán biên ban đầu đối với hệ suy<br /> biến, tuy nhiên phần lớn là xem xét các trường hợp của hệ có ma trận là hằng số và<br /> vấn đề luận chứng cho các phương pháp giải số chưa được nghiên cứu chuyên sâu.<br /> Bên cạnh đó, việc tìm phương pháp giải số cho các hệ cụ thể không thuộc dạng<br /> Cauchy–Kowalevski sẽ có ý nghĩa thực tiễn vô cùng to lớn trong nhiều lĩnh vực<br /> như: thủy động lực học (phương trình Navier-Stokes), nhiệt lực học, kỹ thuật điện,<br /> v.v..(xem [1- 3, 9, 14]) .<br /> Trong hơn thập kỉ qua, việc áp dụng phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết hệ<br /> PTVP thường với ma trận suy biến dưới đạo hàm bậc cao của hàm véc tơ cần tìm<br /> (gọi là PTVP đại số) trở nên phổ biến và ngày càng phát triển [5, 7, 11, 13].<br /> Trong khuôn khổ bài báo này, nhóm nghiên cứu sẽ trình bày khái niệm về<br /> PTVP đại số đạo hàm riêng chia tách. Qua đó từ hệ này, giúp ta tìm ra cấu trúc<br /> nghiệm chung của PTVP đại số và xây dựng tính có nghiệm của bài toán biên ban<br /> đầu trong nhiều trường hợp. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu các mô hình trong kỹ<br /> thuật được biểu diễn dưới dạng PTVP đại số đạo hàm riêng, đó là mô hình của bộ<br /> trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu.<br /> Các kí hiệu, khái niệm, định nghĩa được sử dụng theo các tài liệu chuẩn chung<br /> từ các nhà nghiên cứu của Nga trong lĩnh vực PTVP [1, 6-15].<br /> 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG CHIA TÁCH<br /> Dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm và khẳng định cần thiết cho các phần<br /> sau. Xem xét hệ<br /> 1 x : A( x, t ) Dt u  B( x, t )u  f ( x, t ), ( x, t )  U, (4)<br /> trong đó, A( x, t ), B( x, t )  (n  n) - các ma trận, biến x được xem như là tham số.<br /> k<br /> Định nghĩa 1. Toán tử  k :  L j ( x, t ) Dt j có tính chất<br /> j 0<br /> <br /> <br />  k   A( x, t ) Dt  B( x, t ) u  Dt u   k [B]u u  Ck 1 (U),<br /> <br /> trong đó L j ( x, t )  (n  n) - các ma trận từ C(U) , gọi là toán tử chính quy trái<br /> của hệ (4), số k nhỏ nhất có thể được gọi là chỉ số của hệ (4).<br /> Bổ đề 1. Nếu như xác định được chỉ số k của hệ (4) thì xảy ra một trong 2<br /> trường hợp sau: det A( x, t )  0 ( x, t )  U khi k  0 hoặc<br /> det A( x, t )  0, ( x, t )  U khi k  0 .<br /> Định lý 1. Giả sử: 1) trong hệ (4) thỏa A( x, t ), B( x, t )  C2 n 1 (U), f  Ck (U);<br /> 2) với hệ (4) tồn tại toán tử chính quy trái. Khi đó hệ có nghiệm với bất kì f ( x, t )<br /> và nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng sau<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 113<br />  Công nghệ thông tin<br /> <br /> u  V ( x, t )c( x)  Wf ( x, t ), Wf ( x, t ) <br /> t k 1<br /> (5)<br />   K ( x, t, s) f ( x, s)ds  C j ( x, t )Dt j f ,<br /> t0 j 0<br /> <br /> <br /> trong đó V ( x, t )  là ma trận có kích thước (n  d ( x)) , K ( x, t , s ), C j ( x, t )  các<br /> ma trận có kích thước (n  n) , j  0, k  1 , đều khả vi liên tục theo t ,<br /> rank V ( x, t )  d ( x) t  T , c( x) - hàm véc tơ bất kì.<br /> Định lí được xem như khẳng định đã được chứng minh trong [15] với trường<br /> hợp A( x, t )  A(t ), B( x, t )  B(t ), f ( x, t )  f (t ) .<br /> Xem xét lớp Z ( x, t , Dt , Dx )  Z - các ma trận có kích thước (n  n) , chứa các<br /> phần tử là toán tử vi phân dạng  zij ( x, t ) Dt Dx , i, j  1, n . Giả thiết rằng, với<br />  <br />   mij<br /> <br /> mỗi ma trận thuộc Z tồn tại toán tử ma trận duy nhất Z ( x, t , Dt , Dx )  Z , có mối<br /> quan hệ với ma trận ban đầu như sau<br /> Z ( x, t , Dt , Dx ) ( x, t )   ( x, t ), Z ( x, t , Dt , Dx ) ( x, t )   ( x, t )  ( x, t )  C (U).<br /> Nếu như hệ số của các toán tử wij là hằng số thì lớp Z tạo thành ma trận đơn<br /> modula Z ( Dt , Dx ) , được xác định bởi điều kiện det Z ( Dt , Dx )  w0  const .<br /> Tiếp theo ta sẽ làm quen với một lớp, được chúng tôi gọi là chia tách. Giả sử hệ<br /> (1) tuyến tính: A(u, x, t)  A(x, t), B(u, x, t)  B(x, t), C(u, x, t)  C(x, t) . Giả thiết rằng tồn<br /> tại các ma trận P( x, t , Dt , Dx ), Q( x, t , Dt , Dx )  Z với tính chất sau<br /> P( ADt [Qz]  BDt [Qz]  CQz) <br />  Λ11(Dt ,Dx ) Λ12(Dt ,Dx ) Λ13(Dt ,Dx ) Λ (Dt ,Dx )  f <br /> 14<br />    1<br />  0 Λ (Dt ,Dx ) Λ (Dt ,Dx ) Λ (Dt ,Dx )   f <br /> 22 23 24 2<br />  z =   , (6)<br />  0 0 Λ (Dt ,Dx ) Λ (Dt ,Dx )   f3 <br /> 33 34<br />    <br />  0 0 0 Λ (Dt ,Dx )   f4 <br />  44 <br /> trong đó:<br /> <br /> u  Qz, P  P( x, t , Dt , Dx ), Q  Q( x, t , Dt , Dx ),  f1 f 2 f3 f 4   Pf ( x, t )<br /> <br /> ij ( Dt , Dx )  ij ( x, t , Dt , Dx )  Aij Dt  Bij Dx  Cij , i, j  1, 4,<br /> <br /> Aij  Aij ( x, t ), Bij  Bij ( x, t ), Cij  Cij ( x, t ),<br /> <br /> với các khối chéo vuông có kích thước lần lượt tương ứng là n1 , n2 , n3 , n4 ,<br /> n1  n2  n3  n4  n . Giả sử rằng, hệ (6) thỏa mãn điều kiện sau:<br /> <br /> <br /> 114 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> -  44 ( Dt , Dx )  Z ; (7)<br /> <br /> − với các toán tử<br />  33 : A33 Dt  C33 ,  22 : B22 Dx  C22 , (8)<br /> được xác định là toán tử chính quy trái theo định nghĩa 1 tương ứng theo Dt và<br /> Dx ;<br /> − tồn tại ma trận không suy biến khả vi liên tục R  R( x, t ) trong miền U có<br /> tính chất sau<br /> R( A111 B11 ) R 1  diag{1 ( x, t ), 2 ( x, t ),<br /> (9)<br /> , n11 ( x, t )},  j ( x, t )  R.<br />  ( D , D ) f . Tiếp theo, xem xét hệ con<br /> Theo (7) ta có, z4   44 t x 4<br /> <br /> <br />  33 ( Dt , Dx ) z3  f3 , (10)<br /> <br /> trong đó f3  f 3   34 ( Dt , Dx ) z4 . Biến đổi (10) thành dạng<br /> <br /> ( A33 Dt  C33 ) z3  3  f3  B33 Dx z3 , (11)<br /> và vì có sự tồn tại của toán tử chính quy trái đối với các toán tử (8) nên theo (5)<br /> nghiệm của hệ (10) thỏa mãn<br /> t k3 1<br /> z3  V ( x, t )c3 ( x)  W33 ,W33   K 3 ( x, t , s )3 (t , s )ds   C3, j Dt j 3 ( x, t ), (12)<br /> t0 j o<br /> <br /> <br /> trong đó V ( x, t ) là ma trận có kích thước (n3  d3 ) , c3 ( x) - hàm véc tơ tùy úy,<br /> các ma trận K 3 ( x, t , s ), C3, j có kích thước (n3  n3 ) từ định lý 1. Sử dụng (12), thực<br /> hiện quá trình lặp<br /> z3, j 1  3 z3, j   3 , z3,0   3 , 3 z3  W3 B33 Dx z3 ,  3  f3  V ( x, t )c3 ( x ) (13)<br /> <br /> Và giả thiết rằng, toán tử 3 lũy linh: bắt đầu với  3  n3 , suy ra 33  0 .<br />  1  1<br /> z3  V (x, t)c3(x) 3[V (x, t)c3(x)]  ... 33 [V (x, t)c3(x)]  f3 3 f3  ... 33 f3. (14)<br /> <br /> Với hệ con  22 ( Dt , Dx ) z2  f2 , (15)<br /> <br /> trong đó f2  f 2   23 ( Dt , Dx ) z3   24 ( Dt , Dx ) z4 , ta cũng có thể lập luận tương<br /> tự. Cụ thể, viết (15) dưới dạng ( B22 Dx  C22 ) z2   2  f2  A22 Dt z2 , và xây dựng<br /> toán tử tương ứng  2 . Sau đó thực hiện quá trình lặp, ở bước cuối cùng ta được<br /> <br /> z2  V (x, t)c2 (t)  2 [V (x, t)c2 (t)]  ...  22 1[V (x, t)c2 (t)]  f2  2 f2  ...  22 1 f2 , (16)<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 115<br />  Công nghệ thông tin<br /> <br /> trong đó  2  n2 . Với hệ con 11 ( Dt , Dx ) z1  f1 , (17)<br /> <br /> trong đó f1  f1  12 ( Dt , Dx ) z2  13 ( Dt , Dx ) z3  14 ( Dt , Dx ) 441 ( Dt , Dx ) f 4 ,<br /> theo điều kiện (9) được gọi là hyperbolic và có họ nghiệm trong miền U [10].<br /> Điều kiện (7) được đảm bảo và các toán tử  2 , 3 lũy linh nếu như hệ con của<br /> ma trận có dạng<br />  44 ( Dt , Dx )  N1 Dt  N 2 Dx  N 3 ,<br /> (18)<br />  33 ( Dt , Dx )  N 4 Dt  N 5 Dx  N 6 ,  22 ( Dt , Dx )  N 7 Dt  N8 Dx  N 9 ,<br /> trong đó, N j , j  1, 2,...,9  ma trận tam giác trên và N1 , N 2 , N 5 , N 7 có các phần tử<br /> trên đường chéo bằng 0, det N3  0, det N4  0, det N6  0, det N8  0, det N9  0 (x, t)  U.<br /> Trong phương án rút gọn (18) có thể dễ dàng nhận thấy rằng, toán tử<br /> t<br /> 3 z3    ( x, t ) 1 ( x, s ) N 5 Dx z3 ( x, s )ds, N 5  N 41 N 5 (19)<br /> t0<br /> <br /> <br /> là toán tử lũy linh. Trong đó, ( x, t )  matrizant của hệ Dt v  [ N 41 N 6 ]v, là<br /> ma trận tam giác trên. Đối với toán tử 3 , ta cũng thu được<br /> <br /> z4  f 4   4 f 4  ...  44 1 f 4 ,  4  n4 ,  4   N 31 [ N1 Dt  N 2 Dx ]. (21)<br /> <br /> 3. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU<br /> Giả sử trong hệ (1) có các ma trận A, B, C  là ma trận hằng số.<br /> Định nghĩa 2. Biểu thức  A   B  C sẽ được gọi là chùm ma trận, trong đó<br />  ,  là tham số vô hướng, A, B , C  là các ma trận vuông.<br /> Dưới đây ta cần đưa ra một số khẳng định.<br /> Bổ đề 2. [8] Nếu như trong hệ (5) các ma trận không phụ thuộc vào t :<br /> A( x, t )  A( x ), B( x, t )  B( x ) thì điều kiện cần và đủ để tồn tại toán tử chính quy trái<br /> khi cố định x X là hệ thức sau phải được thỏa mãn<br /> det[0 A( x )  B( x )]  0 x  X đối với 0 . Hơn nữa, trong công thức (6)<br /> d ( x )  deg det[ A( x )  B( x )] , trong đó deg  chỉ bậc của đa thức,<br /> j j1<br /> k(x)  min{ j : rankC (x)  rankC (x), j  1,2,, n}, C(x)  [0A(x)  B(x)]1A(x).<br /> Bổ đề 3. Giả sử chùm ma trận  A   B  C , xuất phát từ hệ (1), chính quy<br />  t  x<br /> (regular) và f ( x, t )  e 0 0 ( x, t ), trong đó  ( x, t ) là véc tơ đa thức tùy úy phụ<br /> thuộc vào x,t. Khi đó hệ (1) có nghiệm trong miền xác định U dưới dạng<br />  t  x<br /> u ( x, t )  e 0 0 1 ( x, t ) , trong đó 1 ( x, t ), cũng là véc tơ đa thức cùng bậc.<br /> <br /> <br /> <br /> 116 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> Tính định thức của toán tử ma trận det  ( Dt , Dx )  det( ADt  BDx  C ) và phần<br /> bù đại số M ( Dt , Dx ) ‖qij ( Dx , Dt )‖in, j 1 , trong đó qij ( Dx , Dt )  là một vài đa thức<br /> <br /> của các toán tử Dx , Dt . Giả sử rằng, trong hệ (1) f ( x, t )  e0t  0 x  ( x, t ) . Khi đó hệ<br /> này có nghiệm và đẳng thức sau thỏa mãn<br /> M ( Dt , Dx )( ADt  BDx  C )u  det  ( Dt , Dx ) En u  M ( Dt , Dx ) f . (20)<br /> Hệ (20) trở thành tổ hợp của n phương trình vô hướng<br /> n<br /> det  ( Dt , Dx )ui   qij ( Dx , Dt ) fi , i  1, 2, ..., n , trong đó<br /> j 1<br /> (u1,u2,...,un) u,( f1, f2,..., fn)  f , kí hiệu của chuyển vị. Ta chia ra thành các trường<br /> hợp:<br /> а) giả sử det  ( Dt , Dx )  a0  const  0 . Khi đó nghiệm của hệ (20) là duy<br /> n<br /> 1<br /> nhất: ui <br /> a0<br /> q<br /> j 1<br /> ij ( Dx , Dt ) fi , i  1, 2,..., n;<br /> <br /> b) giả sử det  ( Dt , Dx )  al Dtl  al 1 Dtl 1  ...  a0 , 1  l  n. Khi đó nghiệm của<br /> hệ (20) được viết dưới dạng sau<br /> t<br /> n <br /> ui  c1,i (x)q1 (t)  c2,i (x)q2 (t)  ...  cl ,i (x)ql (t)   K (t, s) qij (Dx , Dt ) fi  (x, s)ds, (21)<br /> t0  j 1 <br /> trong đó c1,i ( x), c2,i ( x),..., cl ,i ( x)  hàm khả vi liên tục bất kì trong miền xác định,<br /> q1 (t ), q2 (t ), ..., ql (t )  các tựa đa thức số mũ, bằng nghiệm của đa thức<br /> al  l  al 1 l 1  ...  a0 , K (t , s ) - nhân của toán tử tích phân Volterra có đường<br /> chéo chứa các phần tử không, t  s tùy úy theo t , tính đến bậc l  1 [12];<br /> c) giả sử det (Dt , Dx )  bk Dxk  bk 1 Dxk 1  ...  b0 ,1  k  n. Khi đó nghiệm của hệ<br /> (20) được viết dưới dạng sau<br /> x<br /> n <br /> ui  c1,i (t )q1 ( x)  c2,i (t )q2 ( x)  ...  ck ,i (t )qk ( x)   K ( x, s)  qij (Dx , Dt ) fi  (s, t )ds, (22)<br /> x0  j 1 <br /> trong đó, c1,i (t ), c2,i (t ),..., ck ,i (t ) hàm khả vi liên tục bất kì trong miền xác định<br /> , q1 ( x), q2 ( x), ..., qk ( x) - các tựa đa thức số mũ, bằng nghiệm của đa thức<br /> bk  k  bk 1 k 1  ...  b0 , K (t , s )  nhân của toán tử tích phân Volterra có đường<br /> chéo chứa các phần tử không x  s bất kì theo x , tính đến bậc k  1 ;<br /> 1 1 j n j n j<br /> d) giả sử det (Dt , Dx )  0   1, j Dxj Dt  ...   n, j Dx Dt ,n,0  0,n,n  0<br /> j0 j0<br /> và nghiệm của đa thức det( A  B) là số thực và khác nhau. Khi đó hệ trở thành<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 117<br />  Công nghệ thông tin<br /> <br /> hyperpolic [10]. Thật vậy, trong trường hợp này det A   0,n , det B   n ,n và tất cả<br /> nghiệm của đa thức khác không.<br /> Tuy nhiên, tập nghiệm của hệ (1) với các ma trận là hằng số và (22) lại không<br /> trùng nhau.<br /> Ví dụ 1. Giả sử cho hệ sau diag{1, 0}Dt u  u  0. Tập nghiệm của hệ (1) có dạng<br /> u  (c( x)e t 0) , còn tập nghiệm của hệ (22) được biểu diễn theo công thức<br /> u  (c( x)e  t c1 ( x)e  t ) , trong đó c( x), c1 ( x)  hàm vi phân liên tục tùy ý.<br /> Về vấn đề này, để có thể mô tả được đầy đủ tập nghiệm của hệ (1) với các ma<br /> trận hằng số thì cần bổ sung thêm một số điều kiện ban đầu. Để giải quyết điều đó,<br /> ta cần đưa vào một vài khái niệm.<br /> Giả sử rằng, chùm ma trận  A   B  C chính quy và tồn tại ma trận đơn<br /> modula P( Dt , Dx ), Q( Dt , Dx ) , đưa hệ (1) với các ma trận hằng số về dạng (7),<br /> trong đó<br /> det  44 ( Dt , Dx )  a0  const , (23)<br /> det  33 ( Dt , Dx )  al Dtl  al 1 Dtl 1  ...  a0 ,1  l  n3 , (24)<br /> det  22 ( Dt , Dx )  bk Dxk  bk 1 Dxk 1  ...  b0 ,1  k  n2 , (25)<br /> 1 n1<br /> det 11 ( Dt , Dx )   0  1, j Dxj Dt1 j  ...   n1 , j Dxj Dtn1  j , n1 ,0  0, n1 ,n1  0, (26)<br /> j 0 j 0<br /> <br /> và nghiệm của đa thức det( A11  B11 ) là số thực và khác nhau. Theo giả thiết<br /> đưa ra, chùm ma trận  Aii   Bii  Cii , i  1, 2,3, 4 chính quy. Cho nên có thể xem<br /> ma trận Cii không suy biến mà không ảnh hưởng đến tính thống nhất.<br /> Nghiệm của hệ con 44 (Dt , Dx )z4  f4 thuộc hệ (7) khi thỏa mãn điều kiện (25)<br /> là duy nhất và có dạng<br /> z4   441 ( Dt , Dx ) f 4  f 4   4 f 4  ...  44 1 f 4 ,  4  n4 , (27)<br /> Trong đó,  4  C441 [ A44 Dt  B44 Dx ] . Xem xét hệ con  33 ( Dt , Dx ) z3  f3 từ<br /> (7). Biến đổi chúng thành dạng (12) và nhờ tính chính quy của chùm ma trận<br />  A33  C33 nên theo bổ đề 2 nghiệm của nó thỏa mãn (13). Quá trình lặp (14) kết<br /> thúc, bởi vì theo công thức (23), (26) cấp của đạo hàm theo x của f ( x, t ) trong<br /> công thức của nghiệm không vượt quá n . Do đó, nghiệm của hệ con sẽ được biểu<br /> diễn ở dạng biểu thức (15).<br /> Với hệ con  (D , D )z  f , trong việc sử dụng (24), (27) có thể đưa ra những<br /> 22 t x 2 2<br /> <br /> lập luận tương tự. Nếu như tồn tại sự biến đổi tương tự Z , đưa đồng thời các ma<br /> trận B  A111 B11 , C  A111C11 thành dạng tam giác trên, thì họ nghiệm của hệ con<br /> <br /> <br /> <br /> 118 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> 11 ( Dt , Dx ) z1  f1 có thể biểu diễn một cách rõ ràng trong điều kiện f1 khả vi<br /> liên tục.<br /> Thật vậy, sau khi biến đổi tương tự hệ phương trình cuối cùng<br /> D v  ( ZBZ  1 )v  Zf ( x, t ), z  Z 1v<br />  1 ) D v  ( ZCZ (28)<br /> t x 1 1<br /> <br /> sẽ có dạng Dt w  bDx w  cw  g ( x, t ), trong đó b, c  là những phần tử trong<br /> ma trận của hệ, w, g ( x, t )  thành phần sau cùng của hàm véc tơ v, Zf1 ( x, t ) . Công<br /> thức sau được thừa nhận là đúng<br /> t<br /> w( x, t )  e  ( x  bt , 0)   e  c ( t  s ) g ( x  b(t  s ), s )ds,<br />  ct<br /> (29)<br /> 0<br /> <br /> trong đó  ( x, t )  hàm tùy ý. Thay (26) vào (25) ta giảm kích thước của hệ<br /> xuống 1 đơn vị. Thực hiện tương tự sau j  n1 bước ( j  n1 ) ta xây dựng được<br /> nghiệm chung của hệ (29), và suy ra 11 ( Dt , Dx ) z1  f1 .<br /> Hướng thứ hai để giải quyết vấn đề về tính giải được của hệ con<br /> A11 Dt z1  B11 Dx z1  C11 z1  f1 là dựa trên giả thiết rằng, nghiệm của đa thức<br /> det( A11  B11 ) là số thực và là nghiệm đơn [10]. Khi đó biến đổi tương tự hệ sẽ<br /> có dạng<br /> Dt v  DDx v  Cv  Zf1 ( x, t ), D  diag{1 , 2 , , n1 }.<br /> Xuất hiện câu hỏi về điều kiện để rút gọn từ hệ (1) sang hệ (7)<br /> Bổ đề 4. Để rút gọn từ hệ (1) với các ma trận là hằng số sang hệ (7) thì điều<br /> kiện cần là đa thức đặc trưng của hệ (1) phải thỏa mãn<br /> det( A   B  C )  a0 (al  l  al 1 l 1  a1 l ...  a0 )(bk  k  bk 1  k 1  ...  b0 ) <br /> 1 n1<br /> ( 0    1, j  j  1 j  ...    n1 , j  j  n1  j ),  n1 ,0  0,  n1 ,n1  0.<br /> j 0 j 0<br /> <br /> Điều kiện đủ đơn giản nhất là C  0 . Trong trường hợp này sẽ tồn tại ma trận<br /> hằng P,Q với tính chất<br /> P( A   B)Q   diag{En1 , N5 , En3 }   diag{J , En2 , N7 }, N5n2  0, N7n3  0,<br /> trong đó n  n1  n2  n3 . Trường hợp này có thể tham khảo trong [11].<br /> Câu hỏi về tính giải được của bài toán (1), (3) đối với hệ có ma trận là hằng số<br /> bằng giả thiết Q là ma trận biến đổi hằng số. Hiện tại vẫn chưa giải quyết được<br /> làm sao để biến đổi các điều kiện biên ban đầu khi thay biến u  Q( Dt , Dx ) z trong<br /> trường hợp chung. Nếu như thừa nhận điều kiện giả thiết về hằng số, thì có thể<br /> biểu diễn<br />  <br />   <br /> z(x0 ,t)  Q1(t)  1 2 3 4 , z(x, t0 )  Q1(x)  1 2 3 4 . (30) <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 119<br />  Công nghệ thông tin<br /> <br /> Theo các công thức (29), (15), (17), ta xây dựng điều kiện cho tính giải được<br /> qua định lí dưới đây.<br /> Định lí 2. Giả sử:1) chùm ma trận với các ma trận là hằng số  A   B  C là<br /> chính qui và tồn tại ma trận đơn modula P( Dt , Dx ) và ma trận hằng số không suy<br /> biến Q chuyển hệ (1) thành dạng (7);.<br /> 2) f ( x, t )  C2 n  1 (U ),  (t )  C2 n 1 (T ),  ( x)  C2 n 1 ( X ) , trong đó   bậc cao<br /> nhất của toán tử vi phân trong ma trận P( Dt , Dx ) ;<br /> 3) sẽ tìm được hàm véc tơ c2 (t ), c3 ( x) sao cho đối với điều kiện biên ban đầu từ<br /> công thức (32) thỏa mãn điều kiện sau:<br /> 3 ( x)  {V (t )c3 ( x)  3 [V (t )c3 ( x)]  ...  3 1[V (t )c3 ( x)]  f3  3 f3  ...  3 1 f3 }|t t ,<br /> 3 3<br /> 0<br /> <br /> <br />  2 (t )  {V ( x)c2 (t )  2 [V (t )c2 (t )]  ...  2  3 1<br /> [V (t )c2 (t )]  f2  2 f3  ...  22 1 f3 }| x x0 ;<br /> 4) các hệ thức sau được thỏa mãn<br />  3 (t )  {V (t )c3 ( x)  3 [V (t )c3 ( x)]  ...  3 1[V (t )c3 ( x)]  f3  3 f3  ...  3 1 f3 }|x x ,<br /> 3 3<br /> 0<br /> <br /> <br /> 2 ( x)  {V ( x)c2 (t )  2 [V (t )c2 (t )]  ...  2  3 1<br /> [V (t )c2 (t )]  f2  2 f3  ...  22 1 f3 }|t t0 ;<br /> <br /> 4 (t)  { f4 4 f4  ... 4 1 f4 , 4  n4}|t t , 4 (x)  { f4 4 f4  ... 4 1 f4 , 4  n4}|xx ,<br /> 4<br /> 0<br /> 4<br /> 0<br /> <br /> <br /> 5) hàm véc tơ  1 (t ), 1 ( x) thỏa mãn tại điểm ( x0 , t0 ) , đặc biệt, 1 (t0 )  1 ( x0 )<br /> và tất cả nghiệm của đa thức det( A11  B11 ) là nghiệm đơn và số thực, trong đó ở<br /> công thức (9) tất cả  j  0 ;<br /> Khi đó trong miền U xác định được ít nhất một nghiệm của hệ (1), (3).<br /> Để xây dựng các điều kiện đảm bảo tính duy nhất của nghiệm ta cần bổ sung<br /> thêm yêu cầu cho các điều kiện ban đầu của bài toán.<br /> Bổ đề 5. Giả sử các điều kiện của định lí 1 được thỏa mãn và ma trận con ở<br /> phần bên phải của đẳng thức (7) có dạng (19). Khi đó bài toán (1), (3) có nghiệm<br /> duy nhất trong miền U .<br /> 4. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BỘ TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ, ĐỐI LƯU<br /> Vấn đề điều khiển các trạm nhiệt điện là một trong những vấn đề nóng hổi nhất<br /> hiện nay. Để giải quyết vấn đề này, cần phải tạo ra các mô hình toán học của các<br /> trạm nhiệt điện. Trong công trình nghiên cứu [6] đã trình bày mô hình tổ hợp của<br /> trạm nhiệt điện. Các quá trình trao đổi nhiệt trong mô hình này được viết bằng<br /> PTVP thường. Các tính toán trong mô hình này cũng đã chỉ ra rằng, một số chế độ<br /> của tổ hợp hoạt động không đúng với yêu cầu thực tế, bởi các phương pháp áp<br /> dụng mô hình hóa bộ trao đổi nhiệt đã gây ra những sai sót đó. Nhưng do các yêu<br /> cầu cần mô hình hoạt động trong thời gian thực cũng như những kỹ thuật tính toán<br /> <br /> <br /> <br /> 120 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> lúc đó chưa phát triển nên người ta phải lựa chọn giải pháp như vậy. Còn hiện nay<br /> một trong những mô hình thích hợp nhất là mô hình dựa trên các PTVP đại số đạo<br /> hàm riêng dạng (1).<br /> Dưới đây sẽ trình bày mô hình mô tả bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu được viết<br /> bằng PTVP đại số đạo hàm riêng: nước chảy trong ống được đun bằng khí nóng.<br /> Theo định luật bảo toàn, ta thu được các phương trình sau:<br /> 1) phương trình năng lượng đối với nước<br /> I n I n<br />  n fn  Gn  <br />   n Fn t n ( I n , p )  )  0; (31)<br />  x<br /> 2) phương trình cân bằng với thành ngăn cách<br />   Ig <br /> M k ck   n Fn [t ( I n , p )  )]   g Fg   <br />    Qluch ( x, )  0; (32)<br />   cg <br /> 3) phương trình năng lượng cho dòng khí<br /> I g I g  Ig <br /> g fg  Gg   g Fg      0; (33)<br />  x  cg <br /> <br /> 4) phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa tiêu hao áp suất và cân bằng năng<br /> lượng<br />  ( I n , p, Gn )  0; (34)<br /> 5) mối tương quan khép kín xác định điều kiện truyền nhiệt và phương trình<br /> trạng thái.<br /> Trong đó   thời gian; x  chiều dài thiết bị; I*  entanpi của các dòng;<br /> *  n, g , k  ; t*  nhiệt độ của các dòng (nước, khí, kim loại); ;   nhiệt độ của<br /> thành; *  mật độ; G*  khối lượng lưu lượng; M *  khối lượng; F*  bề mặt<br /> đun nóng; c*  nhiệt dung;   hệ số tỏa nhiệt; p  áp lực, Qluch  nhiệt bức xạ.<br /> Các đại lượng cần tìm là I n , I g , , p, Gn .<br /> Các kết quả tính toán cho thấy có sự cải thiện đáng kể về kết quả mô phỏng với<br /> việc sử dụng hệ có tham số phân bố có dạng (31)- (34).<br /> <br /> 5. KẾT LUẬN<br /> Trong bài báo này tác giả đưa ra các điều kiện về tính giải được của bài toán<br /> biên ban đầu dạng (1), (3). Các kết quả thu được làm tiền đề cho việc nghiên cứu<br /> hệ gần tuyến tính và xây dựng phương pháp giải nghiệm số hiệu quả nhất cho bài<br /> toán (1), (3). Từ đó tạo cơ sở đúng đắn cho việc áp dụng vào các bài toán mô hình<br /> hóa sử dụng PTVP đại số đạo hàm riêng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật .<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 121<br />  Công nghệ thông tin<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1]. C.Л.Соболев, «Об одной новой задаче математической физики», Изв.<br /> АН СССР. Сер. мат., т. 18, pp. 3-50, 1954.<br /> [2]. G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov, Linear Sobolev type equations and degenerate<br /> semigroups of operators, Utrecht-Boston: VSP, 2003.<br /> [3]. M. Gunther, P. Rentrop, PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen<br /> schaltungssimulation, Preprint 99/3. Universitet Karlsruhe, IWRMMM, 1999.<br /> [4]. S. M. Wade, I.B. Paul, "A differentiation index for partial differential-<br /> algebraic equations", SIAM J. Sci. Comp., vol. 21, no. 6, pp. 2295-2316, 2000.<br /> [5]. S.L. Campbell, W. Marzalek, "The Index of Infinite Dimensional Implicit<br /> System", Mathematical and Computer Modelling of System, vol. 5, no. 1, pp.<br /> 18-42, 1999.<br /> [6]. А.А. Логинов, Э.А. Таиров, В.Ф.Чистяков, «Алгебро -<br /> дифференциальная система математической модели энергоблока<br /> ТЭС», ИСЭМ СО РАН, pp. 119-122, 1998.<br /> [7]. Ю. Бояринцев, "Применение обобщенных обратных матриц к решению<br /> и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными<br /> производными первого порядка", СЭИ СО АН СССР, pp. 123-141, 1984.<br /> [8]. В.Ф. Чистяков, М. Пешич, "О непрерывной зависимости решений<br /> линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений от<br /> параметра", Дифференциальные уравнения, vol. 45, no. 3, pp. 363-372,<br /> 2009.<br /> [9]. Г.В. Демиденко, С.В. Успенский, Уравнения и системы не разрешенные<br /> относительно старшей производной, Новосибирск: Науч.кн., 1998.<br /> [10]. И.Г.Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными,<br /> Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-<br /> теоретической литературы, 1950.<br /> [11]. О.В. Бормотова, В.Ф. Чистяков, "О методах численного решения и<br /> исследования систем не типа Коши-Ковалевской", Журн. вычислит.<br /> математики и мат. физики, vol. Т.44, no. 8, pp. 1380-1387, 2004.<br /> [12]. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных<br /> уравнений, М: Наука, 1961.<br /> [13]. С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков, "О системах не типа Коши-Ковалевской<br /> индекса (1,k)", Вычислительные технологии, vol. 10, no. 2, pp. 45-59,<br /> 2005.<br /> [14]. Э.А. Таиров, В.В. Запов, "Интегральная модель нелинейной динамики<br /> <br /> <br /> <br /> 122 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> парогенерирующего канала на основе аналитических решений", ВАНТ.<br /> Сер. Физика ядерных реакторов, vol. 3, pp. 14-20, 1991.<br /> [15]. Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные системы.<br /> Методы численного решения и исследования, Новосибирск: Наука. Сиб.<br /> предприятие РАН, 1998.<br /> <br /> ABSTRACT<br /> STUDY OF SOLVABILITY OF PARTIAL DIFFERENTIAL<br /> ALGEBRAIC EQUATIONS AND APPLYING IT<br /> FOR MODELING PROBLEM OF POWER STATION<br /> This paper considers evolutionary system of partial differential equations<br /> depending on a space variable. The matrices multiplying the derivatives of<br /> the sought vector function are assumed to be singular. Such systems are<br /> commonly called partial algebraic differential equations. In this paper, we<br /> introduce a notion of split systems. From this system, we can investigate the<br /> structure of general solutions of differential algebraic equations and, in some<br /> cases, we can establish solvability of initial-boundary value problems.<br /> Keywords: Differential-algebraic equations; Partial derivative; Hyperbolic; Singular system, Index; Modeling.<br /> <br /> <br /> Nhận bài ngày 27 tháng 6 năm 2018<br /> Hoàn thiện ngày 27 tháng 9 năm 2018<br /> Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 11 năm 2018<br /> <br /> Địa chỉ: 1 Viện CNTT/ Viện KH-CN QS;<br /> 2<br /> Viện nghiên cứu động lực học và lí thuyết tự động / Viện Hàn lâm KH Nga.<br /> *<br /> Email: diep62@mail.ru.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 123<br />