Ôn tập hình học 10

Chia sẻ: Cấn Duy Cát | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

223
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối. # » • Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu AB. • Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết #», #», . . . x y Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập hình học 10

1 Các Khái niệm về vectơ 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối. #» • Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B , ta kí hiệu AB . • Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết #», #», . . . xy Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau? Ví dụ 1.2. Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A1 , A2 , . . . , A2009 ? #» Định nghĩa 1.2. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu 0 . 2 Hai vectơ cùng phương 2.1 Giá của một vectơ Định nghĩa 2.1. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ. #» Giá của vectơ AB là đường thẳng AB . 2.2 Hai vectơ cùng phương Định nghĩa 2.2. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 3 Hai vectơ cùng hướng Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng. Chú ý • Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng. • Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng. • Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 3.1. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau: #» #» 1. AB và AC ngược hướng. #» #» 2. AB và AC cùng phương. 4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau 4.1 Độ dài của một vectơ #» #» #» Định nghĩa 4.1. Độ dài của vectơ AB , kí hiệu |AB |, chính là độ dài đoạn thẳng AB . Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Định nghĩa 4.2. Một vectơ có độ dài bằng 1 thì gọi là vectơ đơn vị. 1
4.2 Hai vectơ bằng nhau #» #» Định nghĩa 4.3. Hai vectơ #» và b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu #» = b nếu chúng có cùng độ dài và a a cùng hướng. #» 4.1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm các vectơ bằng OA. #» #» 4.2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC . 4.3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H là trực tâm tam giác ABC . #» #» 1. Chứng minh rằng AH = DC . #» # » 2. Gọi I là trung điểm của AH , M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng AI = OM . 5 Tổng của hai vectơ #» # » #» #» Định nghĩa 5.1. Cho hai vectơ #» và b . Từ điểm A tuỳ ý, dựng AB = #». Từ B , dựng BC = b . Khi đó, a a #» #» #» #» AC được gọi là vectơ tổng của hai vectơ #» và b . Kí hiệu AC = #» + b . a a 5.1 Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có #» #» #» AB + BC = AC. 5.2 Quy tắc hình bình hành Cho hình bình hành ABCD, ta có #» A v D #» #» #» AB + AD = AC. #» #» + #» u u v C B 5.3 Tính chất #» Với mọi vectơ #», b , #», ta có a c #» #» 1. #» + b = b + #»; a a #» #» 2. #» + ( b + #») = ( #» + b ) + #»; a c a c #» #» 3. #» + 0 = 0 + #» = #». a a a #» #» #» #» #» #» 5.1. Tính tổng #» = AB + DE + F A + CD + EF + BC . u #» #» #» #» #» #» 5.2. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng AD + BE + CF = AE + BF + CD. #» #» 5.3. Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O, A, B . Với điều kiện nào thì OA + OB nằm trên đường phân giác của góc AOB ? #» #» #» #» 5.4. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ AB + AC và AB + CB theo a. 2
#» #» #» #» 5.5. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có M A + M C = M B + M D . 5.6. Cho tam giác ABC , về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABM N , BCP Q, CARS . Chứng minh rằng # » # » # » #» 1. M N + P Q + RS = 0 . # » # » # » #» 2. M Q + P S + RN = 0 . #» #» 5.7. Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho |M A + M B | = k. #» #» #» 5.8. Cho các vectơ #», b , #». Chứng minh rằng | #»| + | b | | #» + b |. Dấu bằng xảy ra khi nào? a c a a #» #» #» #» 5.9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu |AD + BC | = |AB + DC |, thì AC ⊥ BD. 5.10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính P Q = 2. Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A, B, C #» #» #» khác P và Q. Chứng minh rằng |OA + OB + OC | > 1. 6 Hiệu của hai vectơ 6.1 Vectơ đối của hai vectơ Định nghĩa 6.1. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng. #» #» #» • Nếu #» và b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #» = − b hay b = − #». a a a #» #» #» #» • Vectơ đối của AB là −AB , và −AB = BA. #» #» • Vectơ đối của 0 là 0 . 7 Tính chất Tổng của vectơ #» với vectơ đối của nó bằng vectơ - không. a 7.1 Hiệu của hai vectơ #» #» Định nghĩa 7.1. Hiệu của hai vectơ #» và b , kí hiệu #» − b , là tổng của vectơ #» với vectơ đối của vectơ a a a #» b. #» − #» = #» + (− #»). a b a b 7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có #» #» #» AB − AC = BC. #» 7.1. Dựng hiệu của hai vectơ #» và b cho trước. a 7.2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy rút gọn các vector #» #» 1. CO − BA; #» #» #» 2. CO − OD + CB ; #» #» #» #» #» #» 7.3. Cho năm điểm A, B, C, D, E . Chứng minh rằng AC + DE − DC − CE + CB = AB. 3
#» #» #» #» 7.4. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu |CA − CB | = |CA + CB |, thì tam giác ABC vuông tại C. #» #» #» #» 7.5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện AB + AC vuông góc với AB − AC , thì tam giác ABC cân. #» #» 7.6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ AB − BC theo a. 7.7. Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác. Chứng minh rằng # » # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 . 7.8. Cho ngũ giác đều ABCDE . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Chứng minh rằng # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OE = 0 . 7.9. Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A B C D có cùng tâm thì # » # » # » # » #» AA + BB + CC + DD = 0 . 7.10. Cho hình thoi ABCD có B AD = 60◦ và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính #» #» #» #» #» #» |AB + AD|, |BA − BC |, |OB − DC |. #» #» #» #» 7.11. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính |OA − CB |, |AB + DC |, #» #» |CD − DA|. 8 Tích của một số thực với một vectơ Định nghĩa 8.1. Cho số thực k và vectơ #». Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k #», được xác a a định như sau: • Nếu k 0, thì vectơ k #» cùng hướng với vectơ #». Nếu k < 0, thì vectơ k #» ngược hướng với vectơ #». a a a a • Độ dài vectơ k #» bằng |k| · | #»|. a a 9 Tính chất #» Cho các vectơ #» và b ; cho các số thực k, m. Ta có a #» #» • k · ( #» + b ) = k · #» + k · b ; a a • (k + m) · #» = k · #» + m · #»; a a a • (k − m) · #» = k · #» − m · #»; a a a • k(m · #») = (km) · #»; a a #» #» • k · #» = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc #» = 0 . a a 9.1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M là điểm bất kì, ta #» #» #» có M A + M B = 2M I . 9.2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. 4
# » # » # » #» #» #» #» #» 1. Chứng minh rằng GA + GB + GC = 0 . Ngược lại, nếu M A + M B + M C = 0 , thì M là trọng tâm của tam giác ABC . #» #» #» #» 2. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có GA + GB + GC = 3M G. # » # » # » # » #» 9.3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M sao cho M A + M B + M C + M D = 0 . 9.4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với M là điểm #» #» #» #» #» bất kì, ta có M A + M B + M C + M D = 4M O. 9.5. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh #» #» #» rằng AB + CD = 2IJ . 9.6. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần là trung điểm của các cạnh BC , CD. Chứng minh rằng # » #» # » # » #» 2(AB + AI + JA + DA) = 3DB. #» #» #» #» #» 9.7. Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng điểm G sao cho GA + GB + GC + GD = 0 . Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có #» 1#» #» #» #» OG = (OA + OB + OC + OD). 4 9.8. Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì. Kẻ M H, M K, M I lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB . Chứng minh rằng #» #» #» # » # » #» M A + M B + M C = 2(M H + M K + M I ). 9.9. Cho tam giác ABC . Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho #» #» # » #» 1. M A + M B − 2M C = 0 ; #» #» # » #» 2. N A + N B + 2N C = 0 ; #» #» # » #» 3. P A − P B + 2P C = 0 . 9.10. Cho hai tam giác ABC và A B C có trọng tâm lần lượt là G và G . Chứng minh rằng nếu # » # » # » #» AA + BB + CC = 0 , thì G trùng G . 9.11. Cho lục giác ABCDEF . Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD, DE , EF , F A. Chứng minh rằng hai tam giác P RT và QSU có trọng tâm trùng nhau. 9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương #» #» #» Định lí 9.1. Vectơ b cùng phương với vectơ #» = 0 khi và chỉ khi có số k sao cho b = k #». a a 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng #» #» Định lí 9.2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là AB = kAC . #» #» # » #» 9.12. Cho bốn điểm A, B, C, M thoả mãn M A + 2M B − 3M C = 0 . #» #» #» #» 9.13. Cho tam giác ABC , M và N thay đổi sao cho M N = 2M A + 3M B − M C . #» # » # » #» 1. Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB − IC = 0 . 2. Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định. 5
9.14. Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. #» #» 1. Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh AH = 2OI . # » #» #» #» 2. Chứng minh OH = OA + OB + OC . 3. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng. #» #» #» # » #» 9.15. Cho tam giác ABC . Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA = 2IB ; 3JA + 2JC = 0 . #» #» #» 1. Tính IJ theo AB và AC . #» 2# » #» Đáp số. IJ = AC − 2AB . 5 2. Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC . #» 6 # » Đáp số. IJ = IG. 5 1# » #» #» #» #» 9.16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả 3M A + 4M B = 0 và CN = BC . 2 Chứng minh rằng đường thẳng M N đi qua trọng tâm G của tam giác ABC . 3# » #» 9.17. Cho tam giác ABC , trên BC lấy điểm D sao cho BD = BC , gọi E là điểm thoả mãn hệ thức 5 #» #» # » #» 10EA + 2EB + 3EC = 0 . Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng. 1# » #» Hướng dẫn. Chọn E làm gốc. EA = − ED. 2 #» # » #» #» #» # » #» 9.18. Cho tam giác ABC , gọi D, I là các điểm xác định bởi 3DB − 2DC = 0 và IA + 3IB − 2IC = 0 . Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng. #»#» #» #» Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc {AB, AC }; AD = 2AI. #» # » #» #» #» # » #» 9.19. Cho tam giác ABC , gọi M, N là các điểm xác định bởi M A + 3M C = 0 và N A + 2N B + 3N C = 0 . Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng. # » 3# » #»#» Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc {BA, BC }; BM = BN. 2 9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương #» #» Định nghĩa 9.1. Cho hai vectơ #» và b . Nếu vectơ #» có thể viết được dưới dạng #» = m #» + n b , với m, n a c c a #» là hai số thực nào đó, thì ta nói vectơ #» biểu thị được (hay phân tích được ) qua hai vectơ #» và b . c a #» Định lí 9.3. Cho hai vectơ không cùng phương #» và b . Khi đó mọi vectơ #» đều có thể biểu thị được một a x #» và #», nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho #» = m #» + n #». cách duy nhất qua hai vectơ a b x a b 9.20. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho M B = 2M C . Chứng minh # » 1# » 2# » AM = AB + AC. 3 3 #» 3 9.21. Cho tam giác ABC . Trên BC lấy điểm D sao cho BD = . Gọi E là điểm thoả 5 #» #» # » #» 4EA + 2EB + 3EC = 0 . #» #» #» 1. Tính ED theo EB và EC . # » 2# » 3# » Đáp số. ED = EB + EC. 5 5 6
2. Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng. 5# » #» Hướng dẫn. EA = − ED . 4 Bài toán. Cho n điểm A1 , A2 , . . . , An và tập hợp các số thực x1 , x2 , . . . , xn sao cho x1 + x2 + · · · + xn = 0. Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện #» #» #» |x1 M A1 + x2 M A2 + · · · + xn M An | = k. • Bước 1. Chọn điểm I sao cho #» #» # » #» x1 IA1 + x2 IA2 + · · · + xn IAn = 0 . Khi đó, điểm I xác định duy nhất và #» #» #» #» |x1 M A1 + x2 M A2 + · · · + xn M An | = |(x1 + x2 + · · · + xn )M I |. • Bước 2. Từ điều kiện đã cho suy ra IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I , bán kính là một hằng số xác định. #» #» 9.22. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho |M A + 2M B | = 3. Đáp số. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính R = 1. 9.23. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho #» #» #» • |M A + M B + M C | = 3. #» #» #» • |M A + 2M B + 3M C | = 12. Bài toán. Cho đường thẳng d (đường tròn S ), tập hợp điểm A1 , A2 , . . . , An và tập hợp các số thực x1 , x2 , . . . , xn sao cho x1 + x2 + · · · + xn = 0. Với mỗi điểm N thuộc d (thuộc S ), ta dựng điểm M thoả điều kiện #» #» #» #» x1 N A1 + x2 N A2 + · · · + xn N An = N M . Tìm tập hợp các điểm M . • Bước 1. Rút gọn biểu thức vế trái bằng cách chọn điểm I sao cho #» #» # » #» x1 IA1 + x2 IA2 + · · · + xn IAn = 0 . Khi đó, điểm I xác định duy nhất và biểu thức vectơ được rút gọn là #» (x1 + x2 + · · · + xn )N M . #» #» • Bước 2. Đẳng thức trên chứng tỏ N I và N M cùng phương. Từ đó, suy ra tập hợp điểm M . • Chú ý xét thêm giới hạn của điểm M (nếu có). #» 9.24. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Với mỗi điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả N M = #» #» 2N A + 3N B . Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d). 9.25. Cho hai điểm A, B và đường tròn (O; R). Với mỗi điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thoả #» #» #» N M = 2N A + 3N B . Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d). 7
9.4 Tìm tập hợp điểm Ta áp dụng các kết quả cơ bản sau: #» • Nếu |OM | = | #»| với O cố định, #» không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính v v #»|. |v #» #» • Nếu |M A| = |M B | với A, B cố định, thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB . #» • Nếu OM = k · #» với O cố định, #» không đổi, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua a a O và song song với giá của a #». #» #» • Nếu OM = k · OA, với A cố định, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng OA. 9.26. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho: #» #» #» 1. M A + kM B = kM C (k ∈ R). #» #» # » #» 2. M A + (1 − k)M B + (1 + k)M C = 0 (k ∈ R). #» #» # » #» 3. M A + (1 − k)M B + kM C = 0 (k ∈ R). 9.27. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho: #» #» #» #» 1. |M A + M B | = |M B − M C |; #» #» #» #» #» 2. |2M A + M B | = |M A + M B + M C |; #» #» #» #» #» #» 3. |M A + M B − M C | = |2M A − M B − M C |. #» #» #» #» 4. |M A + M B | = k(M B − M C )| (k ∈ R). 9.28. Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Kẻ M D, M E, M F lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB . # » # » # » 3# » 1. Chứng minh rằng M D + M E + M F = M O; 2 #» #» #» 2. Tìm tập hợp các trọng tâm tam giác DEF khi M chuyển động sao cho |M D + M E + M F | có giá trị không đổi. 10 Trục toạ độ Định nghĩa 10.1. Trục toạ độ là một đường thẳng mà trên đó ta đã chọn một điểm làm gốc và một vectơ đơn vị. #» #» Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc và nhận vectơ i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu là (O; i ). Hướng #» dương của trục là hướng của vectơ i . Hướng ngược lại là hướng âm. 11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ 11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục #» #» #» Xét trục (O; i ) và điểm M trên trục. Nếu OM = k i , thì toạ độ của điểm M là k. 8
11.2 Độ dài đại số của một vectơ #» #» #» #» Cho hai điểm A, B trên trục toạ độ (O; i ), nếu AB = k i , thì độ dài đại số của vectơ AB , kí hiệu AB . 12 Hệ trục toạ độ #» #» Định nghĩa 12.1. Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ (O; i ) và (O; j ) vuông góc với nhau tại O. Một hệ trục như thế gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxy hay hệ trục toạ độ Oxy . • Điểm O gọi là gốc toạ độ. • Trục Ox gọi là trục hoành. • Trục Oy gọi là trục tung. • Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ. 13 Toạ độ của một vectơ 13.1 Toạ độ của một vectơ #» Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , với điểm M tuỳ ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực x, y sao cho OM = #» #» #» #» #» x i + y j . Bộ hai số thực (x; y ) được gọi là toạ đ ộ của vectơ OM , kí hiệu OM = (x; y ) hay OM (x; y ) #» #» #» #» OM = (x; y ) ⇔ OM = x i + y j . #» #» • Toạ độ của vectơ đơn vị i là (1; 0), tức là i = (1; 0); #» #» • Toạ độ của vectơ đơn vị j là (0; 1), tức là j = (0; 1); #» • Toạ độ của vectơ - không là (0; 0), tức là 0 = (0; 0). #» #» #» Ví dụ 13.1. Nếu OM = −2 i + 3 j , thì M ( ). ; #» #» Ví dụ 13.2. Nếu OM = 5 i , thì M ( ; ). # » √ #» Ví dụ 13.3. Nếu OM = 2 j , thì M ( ; ). √ #» #» #» Ví dụ 13.4. Nếu M (1; − 3), thì OM = j. i+ 13.2 Toạ độ của một điểm #» Định nghĩa 13.1. Toạ độ của điểm M cũng chính là toạ độ của vectơ OM . 13.3 Các phép toán về vectơ #» Cho các vectơ #» = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) và số k. Ta có a #» 1. #» + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ); a #» 2. #» − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ); a 3. k #» = (ka1 ; ka2 ). a 9
 a = b , 1 1 #» 4. #» = b ⇔ a a = b . 2 2  b = ka 1 1 #» #» 5. Cho #» = 0 , vectơ b cùng phương với #» khi và chỉ khi tồn tại số thực k thoả mãn a a b = ka 2 2 13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm #» Cho A(xA ; yA ) và B (xB ; yB ) thì AB = (xB − xA ; yB − yA ). #» AB = (xB − xA ; yB − yA ) 13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng Cho A(xA ; yA ) và B (xB ; yB ). Gọi I (xI ; yI ) là trung điểm của đoạn thẳng AB , thì  xI = xA + xB , 2 y = y A + y B . I 2 13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác Cho tam giác ABC , A(xA ; yA ), B (xB ; yB ) và C (xC ; yC ). Gọi G(xG ; yG ) là trọng tâm của tam giác ABC , ta có  xI = xA + xB + xC , 3 y = y A + y B + y C . G 3 13.1. Cho #» = (−1; 2), #» = (−5; −3); m = (4; 1). #» u v 1. Tìm toạ độ của vectơ #» = 2 #» − 3 #»; s u v #» #» #» 2. Tìm toạ độ của vectơ t = 5m + j ; #» #» 3. Cho điểm A(1; −3). Tìm toạ độ điểm M sao cho 3AM − 2 #» = 0 . v #» #» #» #» 13.2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục toạ độ (A; i , j ) sao cho i và AD cùng #» #» hướng, j và AB cùng hướng. Tìm toạ độ của các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I của hai đường chéo hình vuông, toạ độ trung điểm M của cạnh BC và toạ độ trung điểm N của cạnh CD. 13.3. Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B (2; 4), C (4; −1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 13.4. Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC . 13.5. Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng. #» 1. #» = (2; 3) và b = (−10; −15); a 2. #» = (0; 7) và #» = (0; 8); u v 10
#» 3. #» = (3; 4) và d = (6; 9) c 13.6. Cho A(−1; 1), B (1; 3), C (−2; 0). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. 13.7. Cho A(3; 4), B (2; 5). Tìm x để điểm C (−7; x) thuộc đường thẳng AB . 13.8. Cho bốn điểm A(0; 1), B (1; 3), C (2; 7), D(0; 3). Chứng minh rằng AB và CD song song. 13.9. Cho tam giác ABC với A(3; 2), B (−11; 0), C (5; 4). 1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B 13.10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A(−3; 4), B (1; 1), C (9; −5) 1. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng; 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn BD; 3. Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng. 13.11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A(−4; 1), B (2; 4), C (2; −2) 1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC ; 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD; 3. Tìm toạ độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. #» #» 13.12. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Chọn hệ toạ độ (O; i , j ), trong đó O là trung điểm của cạnh # » #» #» #» BC , i cùng hướng với OC , j cùng hướng với OA. 1. Tính toạ độ các đỉnh của tam giác ABC ; 2. Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh AC ; 3. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 14 14.1 Nửa đường tròn đơn vị Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, ở phía trên của trục hoành. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị. 14.2 Định nghĩa Với mỗi góc α (0◦ α 180◦ ), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho M Ox = α. Giả sử điểm M có toạ độ (x; y ). Khi đó, • tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α. • tung độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α. 11
y gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α. • Với x = 0, tỉ số x sin α α = 90◦ . tan α = , cos α x gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α. • Với y = 0, tỉ số y cos α α = 0◦ và α = 180◦ . cot α = , sin α Các số sin α, cos α, tan α và cot α được gọi là các giá trị lượng giác của góc α. 14.1. Tính các giá trị lượng giác của góc 120◦ . 14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau. 1) sin(90◦ − α) = cos α; 2) cos(90◦ − α) = sin α; 3) tan(90◦ − α) = cot α; 4) cot(90◦ − α) = tan α. 14.2. Tính P = tan 5◦ · tan 10◦ · tan 15◦ · · · tan 80◦ · tan 85◦ . 14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau. Nếu hai góc bù nhau, thì sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau. 1) sin(180◦ − α) = sin α; 2) cos(180◦ − α) = − cos α; 3) tan(180◦ − α) = − tan α với α = 90◦ ; 4) cot(180◦ − α) = − cot α với 0◦ < α < 180◦ . 14.3. Tính tổng S = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + · · · + cos 140◦ + cos 160◦ + cos 180◦ . 14.4. Đơn giản các biểu thức 1. S1 = sin 100◦ + sin 80◦ + cos 16◦ + cos 164◦ . 2. S2 = 2 sin(180◦ − α) · cot α − cos(180◦ − α) · tan α · cot(180◦ − α) với 0◦ < α < 90◦ . 14.5. Chứng minh các hệ thức sau 1. sin2 α + cos2 α = 1; 1 2. 1 + tan2 α = (α = 90◦ ); cos2 α 1 3. 1 + cot2 α = (0◦ < α < 180◦ ). sin2 α 3 14.6. Cho α ∈ (90◦ ; 180◦ ) và sin α = . Tính các giá trị còn lại của góc α. 4 12
4 14.7. Cho và cos α = − . Tính các giá trị còn lại của góc α. 7 14.8. Cho tan α = 2. Tính các giá trị còn lại của góc α. 2 14.9. Biết rằng tan a = . Tính 3 3 sin a + 2 cos a 1. A = ; 5 sin a − 2 cos a 4 sin2 a + 2 cos a · sin a + 3 cos2 a 2. B = . 5 + cos2 a 14.10. Biết sin x + cos x = m. Tính theo m 1. sin x · cos x; 2. sin4 x + cos4 x; 3. sin6 x + cos6 x. 14.11. Cho tan x + cot x = k. Tính các tổng sau theo k: 1. tan2 x + cot2 x; 2. tan4 x + cot4 x; 3. tan6 x + cot6 x. 15 Tích vô hướng của hai vectơ 15.1 Góc giữa hai vectơ #» #» #» Định nghĩa 15.1. Cho hai vectơ #» và b đều khác 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OA = #» và a a #» #» và #», hoặc đơn giản là #» OB = b . Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ a b #» và #». góc giữa hai vectơ a b #» và #» kí hiệu là ( #», #»). Góc giữa hai vectơ a b ab Chú ý. #» ( #», b ) • 0◦ 180◦ . a #» #» • Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ #» hoặc b là vectơ 0 , thì góc giữa hai vectơ đó là tuỳ a ý. #» #» #» • Nếu ( #», b ) = 90◦ , thì ta nói hai vectơ #» và b vuông góc với nha u, kí hiệu là #» ⊥ b . a a a 15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ #» #» Định nghĩa 15.2. Tích vô hướng của hai vectơ của hai vectơ #» và b , kí hiệu #» · b , là một số, được xác a a định bởi #» · #» = | #»| · | #»| · cos( #», #»). ab a b ab Từ định nghĩa trên, ta suy ra #» · #» = 0 ⇔ #» ⊥ #». ab a b 15.1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau. 13
#» #» #» #» #» #» 1. AB · AC ; AC · CB ; AG · AB . #» #» #» #» #» #» 2. GB · GC ; BG · GA; GA · BC . #» #» #» #» 15.2. Cho tam giác ABC vuông ở A có A = 60◦ . Tính các tích vô hướng CA · CB ; AB · BC . √ √ #» #» 15.3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Biết AB = 2 và AC = 3. Tính AB · AC . #» #» 15.4. Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 9, CB = 5. Tính AB · AC . 15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ #» tuỳ ý, tích vô hướng #» · #» được kí kiệu ( #»)2 hay #»2 và gọi là bình phương Định nghĩa 15.3. Với vectơ a aa a a vô hướng của vectơ của vectơ #». a Ta có #»2 = | #»| · | #»| · cos 0◦ = | #»|2 . a a a a Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó. 15.4 Tính chất của tích vô hướng #» Với ba vectơ #», b , #» tuỳ ý và một số thực k, ta có a c #» #» 1) #» · b = b · #»; a a #» #» #» 2) (k #») · b = a · (k b ) = k( #» · b ); a a #» #» 3) a · ( b + #») = #» · b + #» · #»; c a ac #» #» 4) a · ( b − #») = #» · b − #» · #». c a ac #» #» #» #» 15.5. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính giá trị của biểu thức (AB + 2AD ) · (3AB − CD). 15.6. Cho các vectơ #», #», w có độ dài bằng 1, ( #», #») = 30◦ , ( #», w ) = 60◦ , ( w, #») = 120◦ . Tính u v #» v #» #» u uv P = ( #» + #» + w )2 . #» u v √ #» #» #» 15.7. Cho các vectơ #», b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện | #» + b | = 3. Tính ( #», b ). a a a 15.8. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AC 2 + BD2 = 2(AB 2 + AD 2 ). 15.9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 = AC 2 + BD2 + 4M N 2 . 15.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 . 15.11. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng 1. M A2 + M C 2 = M B 2 + M D 2 ; #»#» #»#» 2. M A · M C = M B · M D ; #»#» #»#» 3. M A2 + M B · M D = 2M A · M O (O là tâm của hình chữ nhật) 14
15.12. Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 5, A = 120◦ . #» #» #» #» 1. Tính các tích vô hướng AB · AC và AB · BC ; 2. Tính độ dài đườn trung tuyến AM của tam giác. 15.13. Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M là điểm tuỳ ý, thì M A2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 là một số không đổi. 15.14. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi 1. M A2 + M B 2 + M C 2 ; 2. M A4 + M B 4 + M C 4 . 15.15. Cho đa giác đều A1 A2 . . . An nội tiếp trong đường tròn (O, R) và một điểm M thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng 1. cos M OA1 + cos M OA1 + · · · + cos M OAn = 0; 2. M A2 + M A2 + · · · + M A2 có giá trị không đổi. n 1 2 15.16. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF . Chứng minh rằng #» #» #» #» #» #» BC · AD + CA · BE + AB · CF = 0. 15.17. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng #» #» #» #» #» #» DA · BC + DB · CA + DC · AB = 0. Từ đó, suy ra một cách chứng minh định lí “Ba đường cao của một tam giác đồng quy. ” 15.5 Công thức hình chiếu #»#» Định lí 15.1. Cho hai vectơ OA, OB . Gọi B là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng OA. Khi đó #» #» #» # » OA · OB = OA · OB . #» # » 15.18. Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AB · AM = k. Hướng dẫn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AB . Ta có k #» # » AB · AM = k ⇔ AH = . AB Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H . 15.19. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM 2 − BM 2 = k. 15.20. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM 2 + BM 2 = k. # »# » 15.21. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện M A · M B = k. 15.22. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức M A2 + M B 2 = 2M C 2 . 15
15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 15.23. Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng ∆ thay đổi, luôn đi qua M , cắt #»#» đường tròn (O; R) tại hai điểm A và B . Chứng minh rằng M A · M B = M O2 − R2 . #» #» Hướng dẫn. Vẽ đường kính BC của đường tròn (O; R), ta có M A là hình chiếu M C trên đường thẳng M B . Sau đó, dùng công thức hình chiếu. #»#» Định nghĩa 15.4. Giá trị không đổi M A · M B = M O2 − R2 = d2 − R2 trong Bài toán trên gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là PM/(O) . #»#» PM/(O) = M A · M B = M O2 − R2 = d2 − R2 . Khi điểm M ở ngoài (O), M T là tiếp tuyến của (O) (T là tiếp điểm), thì #» PM/(O) = M T 2 = M T 2 . 15.24. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng #»#» #»#» nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi M A · M B = M C · M D . 15.25. Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác M ). Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi M C 2 = M A · M B . 15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng #» Cho hai vectơ #» = (x1 ; y1 ) và b = (x2 ; y2 ). Khi đó a #» 1) #» · b = x1 x2 + y1 y2 ; a x2 + y1 ; 2 2) | #»| = a 1 x1 x2 + y 1 y 2 #» #» #» #» 3) cos( #», b ) = ( #» = 0 và b = 0 ) a a x2 + y 1 2 x2 + y 2 2 1 2 Hệ quả. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách giữa hai điểm M (xM ; yM ) và M (xN ; yN ) là #» (xN − xM )2 + (yN − yM )2 . M N = |M N | = 15.26. Cho ba điểm A(1; 1), B (2; 3), C (5; −1). • Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. • Tính diện tích và chu vi tam giác ABC . • Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. √ 15.27. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B (− 3; −1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ). √ √ Đáp số. H ( 3; −1) và I (− 3; 1). 15.28. (D, 2004) Cho tam giác ABC có các đỉnh A(−1; 0), B (4; 0), C (0; m) với m = 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. √ Đáp số. M (1; m/3); m = ±3 6. 16
15.29. Cho điểm N (2; −3). Tìm điểm M trên trục hoành sao cho độ dài đoạn M N bằng 5. Đáp số. M1 (6; 0) và M2 (−2; 0). 15.30. Cho điểm N (−8; −13). Tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài đoạn M N bằng 17. Đáp số. M1 (0; 28) và M2 (0; −2). 15.31. Cho các điểm M (2; 2) và N (5; −2). Tìm điểm P trên trục hoành cho tam giác M P N vuông tại P . Đáp số. P1 (1; 0) và P2 (6; 0). 15.32. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C ), biết rằng (C ) đi qua điểm A(4; 2) và tiếp xúc với hai trục toạ độ. Đáp số. C1 (2; 2) R1 = 2; và C1 (10; 10) R1 = 10. 15.33. Cho hình vuông ABCD với A(3; 0) và C (−4; 1). Xác định toạ độ của hai đỉnh B và D . Đáp số. B (0; 4) và D (−1; −3). 15.34. Cho tam giác ABC , với A(−3; 6), B (9; −10), C (−5; 4). 1. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đáp số. I (3; −2) và R = 10. 2. Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC . 3. Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 15.35. Xác định độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC biết A(3; −5), B (−3; 3), C (−1; −2) √ 14 3 Đáp số. . 2 15.36. Xác định độ dài đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC biết A(3; −5), B (1; −3), C (2; −2) Đáp số. 4. 15.37. Cho điểm A(7; −3) và B (23; −6). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục hoành. Đáp số. C (−9; 0). 15.38. Cho điểm A(5; 2) và B (−4; −7). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục tung. Đáp số. C (0; −3). #»#» 15.39. Cho hai điểm A, B và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho AM · BM = k. Hướng dẫn. Chọn A(0; 0), B (0; b) và M (x; y ). 15.40. Cho tam giác ABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC . Chứng minh rằng nếu AC > BC , thì AM > BN . Hướng dẫn. Chọn A(a; 0), B (b; 0) và C (0; c). 17
16 Hệ thức lượng trong tam giác Trong mục này, với tam giác ABC , ta kí hiệu • AB = c, AC = b, BC = a; • ma , mb , mc lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C ; • ha , hb , hc lần lượt là các đường cao xuất phát từ A, B, C ; • R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; • r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC ; • S diện tích của tam giác ABC ; AB + BC + CA là nửa chu vi của tam giác ABC . • p= 2 16.1 Định lí côsin trong tam giác Trong tam giác ABC , ta có • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; • b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ; • c2 = a2 + b2 − 2ab cos A. Hệ quả Trong tam giác ABC , ta có b2 + c2 − a2 • cos A = ; 2bc a2 + c2 − b2 • cos B = ; 2ac a2 + b2 − c2 • cos C = . 2ab 16.2 Định lí sin trong tam giác Định lí 16.1. Với mọi tam giác ABC , ta có a b c = = = 2R. sin A sin B sin C 16.3 Công thức trung tuyến Trong tam giác ABC , ta có b2 + c2 a2 • m2 = −; a 2 4 a2 + c2 b2 • m2 = −; b 2 4 a2 + b2 c2 • m2 = −. c 2 4 18
16.4 Diện tích của tam giác Trong tam giác ABC , ta có 1 1 1 • S = aha = bhb = chc ; 2 2 2 1 1 1 • S = ab sin C = acb sin B = bc sin A; 2 2 2 abc • S= ; 4R • S = pr ; p(p − a)(p − b)(p − c) (công thức Hê - rông). • S= 16.1. (Biết hai cạnh và góc xen giữa) Cho tam giác ABC có b = 4, c = 5 và A = 60◦ . Tính cạnh a, SABC , ma , ha , R và r . √ √ √ 20 3 73 Đáp số. a = 7, SABC = 10 3, ha = ,R= . 7 3 16.2. (Biết hai cạnh và góc không xen giữa) Cho tam giác ABC có AC = 8, AB = 5 và C = 120◦ . Tính cạnh BC , SABC , ma , ha , R và r . 16.3. (Biết một cạnh và hai góc) Cho tam giác ABC có BC = 8, B = 60◦ và C = 45◦ . Tính các cạnh và góc còn lại. Tính SABC , mb , hb , R và r . 16.4. (Biết ba cạnh) √ √ Cho tam giác ABC có a = 6, b = 2, c = 1 + 3. Tính các góc của tam giác. Tính ha , R. √√ √ ◦ , B = 45◦ , C = 75◦ , h = (1 + 3) 2 , R = Đáp số. A = 60 2. a 2 √ 16.5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 13, độ dài cạnh BC = 6 và góc B = 60◦ . Tính độ dài cạnh c và R, r . √ √ √ 2 21 3(5 − 7) Đáp số. c = 4, R = ,r= . 3 3 16.6. Tính góc A của tam giác ABC , biết b(b2 − a2 ) = c(c2 − a2 ), b = c. Đáp số. A = 120◦ . √ 16.7. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích bằng 3 3. Tìm cạnh BC . Hướng dẫn. 1 • S = AB · AC · sin A. Từ đó, tìm được sin A. 2 • BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB · AC · cos A. √ √ Đáp số. BC = 13 hoặc BC = 37. 16.8. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD. Chứng minh rằng AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 = AC 2 + BD2 + 4M N 2 . 19
16.9. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo. 16.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng 1 1. GA2 + GB 2 + GC 2 = (a2 + b2 + c2 ). 3 2. với mọi điểm M , ta luôn có M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 . 16.11. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2 + c2 = 5a2 . 3 3 16.12. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết b2 + c2 = 15, ha = , sin A = . 4 5 Hướng dẫn. 1 1 5 • S = aha = bc sin A ⇒ bc = a 2 2 4 3 4 • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. Từ sin A = ⇒ cos A = ± 5 5 • Xét hai trường hợp của cos A, cùng với giả thiết suy ra được a2 + 2a − 15 = 0 ⇒ a = 3. Có a, sẽ có bc và b2 + c2 . Từ đó tìm được b và c. √ 16.13. Tính diện tích tam giác ABC , biết b = 3 3, a + c = 3hb , A = 30◦ . √ 2 = b2 + c2 − 2bc cos A. Suy ra a = 3, b = 6, S = 9 3 . Hướng dẫn. c = 2hb , c = 2a, a 2 √ 16.14. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết A = 45◦ , B = 60◦ , hc = 2 2. 2 Đáp số. √ . 3 16.15. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin B = 2 sin A · cos C , thì tam giác đó cân. 16.16. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện a c a + = , cos B cos C sin B · sin C thì tam giác đó vuông. 16.17. Kí hiệu là độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng a a 2c cos 2. = a b+c 16.18. Chứng minh rằng nếu a > b, thì b. > a 17 Phương trình đường thẳng 17.1 Phương trình tham số của đường thẳng #» Định nghĩa 17.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là vector khác 0 , có giá song song với ∆ hoặc trùng ∆. Nhận xét. Một đường thẳng cho trước có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau. 20