Ôn tập Hình học 10 (lý thuyết & bài tập)

Chia sẻ: NguyễnPhan Nguyên | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

606
lượt xem 144
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn tập Hình học 10 bao gồm phần lý thuyết và phần thực hành giúp cho các em có cơ hội để ôn tập lại kiến thức mình đã được học và áp dụng vào bài tập thực tế một cách hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Hình học 10 (lý thuyết & bài tập)

HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được uuur kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB). rrr uuurur + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, xb, y,... ur a B A uuur uuur (Chú ý: AB BA ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): r Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ không, kí hiệu 0 uuuur uuur Ví dụ: MM , AA ,.... uuur r uuur + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ không uuur AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: r + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí hiệu là | r uuur a |, | AB |= AB = BA Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài r r r r Nếu a bằng b thì ta viết a = b . uuur uuur r r AA = BB = 0 , | 0 |= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm r A a) Tất các vectơ khác 0 ; B b) Các vectơ cùng phương; o c) Các vectơ bằng nhau. D C Các kí hiệu thường gặp uuur uuur uuur uuur AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD uuur uuur uuur uuur AB cùng hướng CD kí hiệu: AB CD uuur uuur uuur uuur AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD -1-
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng r uuur uuur Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. r Do đó có 20 vectơ khác 0 r r Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho: uuuur r AM cùng phương a Giải r m Gọi là giá của a r uuuur r Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM// a Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // uuuur r Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: r r | a |=| b | r r + Sử dụng định nghĩa: r uur �� a = b a, b cuøng höôùng + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì uuur uuur uuur uuur A AB = DC , BC = AD ,… B o (hoặc viết ngược lại) r rr r r r + Nếu a = b, b = c � a = c D C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. uuur uuur Chứng minh: EF = CD A Gi ải Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD, 1 uuur uuur F E EF= BC=CD EF=CD EF = CD (1) 2 uuur uuur EF cùng hướng CD (2) uuur uuur Từ (1),(2) EF = CD B D C Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành 1 uuur uuur EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF = CD 2 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. uuuur uuur uuur uur D M Chứng minh: AM = NC , DK = NI C Giải Ta có MC//AN và MC=AN MACN là hình bình hành I uuuur uuur K AM = NC Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm uuur uuuur của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành, A N B uur uuuur uuur uur suy ra NI = KM DK = NI Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Giải uuur uuur Giả sử AB = AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A B C. (trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự) r Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho: uuuur r a) AM = a ; uuuur r r b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |. -2-
Giải r Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// (nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho: r AM1=AM2=| a | d Khi đó ta có: uuuuur r r a) AM1 = a a uuuuur uuuuur r A b) AM1 = AM 2 cùng phương với a Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng uuuur uuuur của B qua O. Chứng minh: AH = B ' C . Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơkhông ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó. Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng uuur uuur Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên uuur uuur uuur hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. uuur a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ; uuur b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ; uuur c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ; uuuur uuur d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O r uuur uuur a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ; uuur c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O uuur uuur uuur a) bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài bằng OB uuur uuur Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC uuur uuur uuur uuur Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB = DC thì AD = BC -3-
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là tr/điểm AB, BC, CD, DA. C/m : MN QP ; NP MQ Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | b) AB và AC ngược hướng c) AB và AC cùng phương; uuur r Bài 13 :Cho hbh ABCD . Dựng AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . C/minh AQ = 0 . HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơkhông Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: A P R B Q C Bài 6: A B M O N D C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF uuur uuur uuur b) OC , ED, FO c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB uuuur uuur khi đó BB ' = AB uuur * FO là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB uuuur uuur Do CC’//AB CC ' = AB A + tương tự B uuur uuur uuur uuur Bài 8: a) AB = DC , OB = DO O uuur uuur uuur uuur b) | OB |=| BO |=| DO |=| OD | D C Bài 9: AB // CD Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành AB CD AB // CD * AB DC AB CD Chứng minh chiều : * AB = DC AB , DC cùng hướng và AB DC * AB và DC cùng hướng AB // CD (1) uuur uuur * AB = CD AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành uuur uuur uuur uuur Bài 10: AB = DC AB=DC, AB//CD ABCD là hình bình hành AD = BC 1 Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng AC . Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành đpcm 2 -4-
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |; uuur uuur b) AB và AC ngược hướng; uuur uuur c) AB và AC cùng phương; uuur uuur uuur uuur HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B uuur uuur b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng uuur uuur uuur uuur + cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng uuur r AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ = 0 . uuuur uuur uuur uuur uuur HD: Ta có AM = BA; NP = DC = AB AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2) uuur r Từ (1)&(2) A Q AQ = 0 -5-
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ r 1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD r a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR : MQ = NP 1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN b/ Xác định các vectơ bằng NP 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR : a/ I là trung điểm AB và DI = CB b/ AI = IB = DC 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN r c/ CMR : AL = 0 -6-
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b . B Khi đó a + b = AC a b Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . uuur uuur uuur A C Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC uuur uuur uuur c Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC B C 2. Vectơ đối A D + Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ a , kí hiệu r là a a +( a )= 0 uuur uuur + Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là uuur uuur AB = BA r r + vectơ đối của 0 là 0 . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ) Định nghĩa: a b = a +( b ) Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA )hay AB = OB − OA rrr 4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có: r r r r + Giao hoán : a + b = b + a r r r r r r + Kết hợp ( a + b ) + c = a + (b + c ) r r r r r + a + 0 = 0 + a = a r r r r r + a +( a )= a + a = 0 A r r r r r r + | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng. r r r r r r r r + a b và | b | ≥ | a | | a + b |=| b | | a | r r r r r r + a = b a + c = b + c r r r r r r r r r G + a + c = b a = b c , c = b a r r r r r r r r r r r r + a ( b + c )= a b c ; a ( b c )= a b + c Ghi chú: B I C uur uur r + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = 0 uuur uuur uuur r + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = 0 D CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur a) Tìm tổng NC + MC ; AM + CD; AD + NC uuuur uuur uuur uuur b) Chứng minh : AM + AN = AB + AD Giải: uuuur uuur a) + Vì MC = AN nên ta có uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur NC + MC = NC + AN = AN + NC = AC uuur uuur +Vì CD = BA nên ta có uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur AM + CD = AM + BA = BA + AM = BM uuur uuuur +Vì NC = AM nên ta có uuur uuur uuur uuuur uuur AD + NC = AD + AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED. uuuur uuur uuur b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM + AN = AC uuur uuur uuur Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB + AD = AC -7-
uuuur uuur uuur uuur Vậy AM + AN = AB + AD Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Chứng minh: OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 Giải Vì O là tâm của lục giác đều nên: uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r OA + OD = 0; OB + OE = 0; OC + OF = 0 đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. uuur uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng vectơ OA + OB; OC + OE đều cùng phương OD uuur uuur b) Chứng minh AB và EC cùng phương. Giải a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của uuur uuur uuuur ngũ giác đều. Ta có OA + OB = OM , trong đó M là đỉnh uuur uuur uuur hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC + OE = ON uuur uuur uuur uuur uuur , N d. Vậy OA + OB và OC + OE cùng phương OD vì cùng giá d. b) AB và EC cùng vuông góc d AB//EC uuur uuur AB // EC Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur a) Tìm AM − AN ; MN − NC ; MN − PN ; BP − CP . uuuur uuuur uuur b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP . Giải uuuur uuur uuuur a) AM − AN = NM uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur MN − NC = MN − MP = PN (Vì NC = MP ) uuuur uuur uuuur uuur uuur MN − PN = MN + NP = MP uuur uuur uuur uuur uuur BP − CP = BP + PC = BC uuuur uuur uuur uuuur b) AM = NP = MP − MN Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD ﾷ =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tính | AB + AD |;| BA − BC |;| OB − DC | Giải B Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD ﾷ =600 nên AC= a 3 và BD=a. Khi đó ta có : uuur uuur uuur uuur uuur AB + AD = AC =>| AB + AD |= AC = a 3 uuur uuur uuur uuur uuur A C BA − BC = CA �| AB + AD |= CA = a 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a 3 OB − DC = DO − DC = CO �| OB − DC |= CO = 2 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. D uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tính | OA − CB |; | AB + DC |;| CD − DA | Giải uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AC=BD= a 2 ; OA − CB = CO − CB = BO uuur uuur Do đó | OA − CB |= BO = a 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur | AB + DC |=| AB | + | DC |= 2a (vì AB DC ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có CD − DA = CD − CB = BD | CD − DA |=BD= a 2 * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. − − −− − Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB (theo 3 cách) Giải -8-
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + BD + DB = AD + CB Cách 2: (sử dụng hiệu) uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB − AD = CB − CD � DB = DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Chứng minh: AB + BE + CF = AE + BF + CD Giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur VT = AB + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AE + BF + CD + ED + DF + FE uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = AE + BF + CD (vì ED + DF + FE = 0 )=VP đpcm Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Chứng minh rằng: AC + DE − DC − CE + CB = AB Giải uuur uuur uuur uuur Ta có − DC = CD; − CE = EC nên uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur VT = AC + DE − DC − CE + CB = AC + DE + CD + EC + CB uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AC + CD + DE + EC + CB = AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur OA + OB + OC = OM + ON + OP Giải uuur uuur uuur VT = OA + OB + OC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur = OM + MA + ON + NB + OP + PC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur = OM + ON + OP + MA + NB + PC uuur uuuur uuur Mà NB = NM + NP uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r MA + NB + PC = MA + NM + NP + PC = NA + NC = 0 uuuur uuur uuur VT= OM + ON + OP =VP đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : AB + CD + EA = CB + ED 6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. uuur uuur uuur uuur uuur uuur CMR : AE + BF + CD = AF + BD + CE 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : a/ DO + AO = AB b/ OD + OC = BC r c/ OA + OB + OC + OD = 0 d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR : OD + OC = AD + BC 10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA ' , BB ' , CC ' CMR : AA ' + BB ' + CC ' = BA ' + CB ' + AC ' . 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AD theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. r r a/ Tính AB + AD b/ Dựng u = AB + AC . Tính u -9-
13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a r r a/ Dựng v = AB + AC . b/ Tính v . uuur uuur uuur uuur 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài bằng nhau uuur uuur uuur uuur và OA + OB + OC + OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB 15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : r a/ CD + FA BA ED + BC FE = 0 b/ AD MB EB = MA EA FB c/ MA DC FE = CF MB + MC 16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho : r r a/ MA MB + MC = 0 b/ MB MC + BC = 0 r r c/ MB MC + MA = 0 d/ MA MB MC = 0 r e/ MC + MA MB + BC = 0 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a. r r a/ Tính AD AB b/ Dựng u = CA AB . Tính u 18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. a/ Tính AB − AC b/ Tính BA BI 19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB − AC BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau: ur uuur uuur uuur uuur a) v = uuu r uuur uuur uuur AB + DC + BD + CA b) m = AB + CD + BC + DA r uuur uuur uuur uuur ur uuur uuur uuur uuur c) n = BC + CD + AB + DB . d) p = AB + BC + CD + DE uuur r uuur r Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b uuur uuur uuur uuur r r Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b uuur uuur uuur uuur Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB AC theo a. Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa uuur uuur uuuur a) AO AD = MO uuur uuur uuur b) AC AD = NB Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AD + BE + CF = AE + BF + CD uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF uuur uuur uuur uuur uur uuur r d) AB AF + CD CB + EF ED = 0 Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA OB OM , OA OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OA OB OC OD OE O Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có: OA OB OC OA' OB' OC ' Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD -10-
uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng HB + HC = HD uuur uuur uuur uuuur b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH ' uuur uuur uuur uuur Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA CB -11-
PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ r r r r 1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ﾷ ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: r r + c cùng phương a r r + c cùng hướng a khi k>0 r r + c ngược hướng a khi k
A M B uuuur uuuur uuur | AM | AM 1 uuuur uuur 1 a) AM = k AB �| k |= uuur = = , vì AM AB k= | AB | AB 5 5 1 1 b) k= c) k= 4 5 r r 3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là ( 5) a r r r r b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b Giải r r r r a) 5 a =( 1)(5 a )=(( 1)5) a = ( 5) a r r r r r r r r r r b) (2 a +3 b )= ( 1)( 2 a +3 b )= ( 1) 2 a +( 1)3 b =( 2) a +( 3) b = 2 a 3 b c) Tương tự 2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương 1) Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là r uuur r uuur uur uuur uuur uuur rr giao điểm của AD và EF. Đặt u = AE ; v = AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo hai vectơ u, v . uur 1 uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r Giải Ta có AI = AD = ( AE + AF ) = u + v ) A 2 2 2 2 uuur 2 uuur 2 r 2 r AG = AD = u + v 3 3 3 uuur uuur uuur r r DE = FA = − AF = 0.u + (−1)v uuur uuur uuur uuur r r DC = FE = AE − AF = u − v uuuur 2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ r uuuur r uuur u = AB, v = AC . C Giải uuuur uuur uuuur uuur 2 uuur Ta có AM = AB + BM = AB + BC 3 uuur uuur uuur mà BC = AC − AB uuuur uuur 2 uuur uuur 1 r 2 r AM = AB + ( AC − AB) = u + v 3 3 3 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng uuur uuur uuur uuur + A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC 0≠k ﾷ : AB = k AC uuur uuur + Nếu AB = kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. 1 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC. Chứng 3 minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải uur uuur uuuur uuur 1 uuur 2 BI = BA + BM = BA + BC Ta có uur uuur uuur 2 4 BI = 2 BA + BC (1) Ta có uuur uuur uuur uuur 1 uuur BK = BA + AK = BA + AC 3 uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur = BA + ( BC − BA) = BA + BC 3 3 3 uuur uuur uuur 3BK = 2 BA + BC (2) uuur uur uuur 4 uur Từ (1)&(2) 3BK = 4 BI � BK = BI B, I, K thẳng hàng. 3 2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: uuur uuur r uuur uuur uuur r BC + MA = 0 , AB − NA − 3 AC = 0 . Chứng minh MN//AC Giải uuur uuur uuur uuur uuur r BC + MA + AB − NA − 3 AC = 0 uuur uuuur uuur r uuuur uuur hay AC + MN − 3 AC = 0 � MN = 2 AC -13-
uuuur uuur uuur uuuur MN / / AC . Theo giả thiết BC = AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành M không thuộc AC MN//AC 4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: uuuur uuur uuur 2MN = AC + BD Giải M uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur B VP = AC + BD = AM + MN + NC + BM + MN + ND A uuuur uuuur uuuur uuur uuur = 2 MN + AM + BM + ND + NC D uuuur N = 2MN C uuur uuur uuur uuur 2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB + 2 AC + AD = 3 AC . Giải uuur uuur uuur Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC uuur uuur uuur uur VT= AC + 2 AC = 3 AC = VP (đpcm) uuuur uuuur uuuur uuuur 3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG ' = AA ' + BB ' + CC ' . Giải uuuur uuuur uuuur VP = AA ' + BB ' + CC ' uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur = AG + GG ' + G ' A ' + BG + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' uuuur uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur = 3GG ' + AG + BG + CG + G ' A ' + G ' B ' + G ' C ' uuuur uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur = 3GG ' − (GA + GB + GC ) + G ' A ' + G ' B ' + G ' C ' uuuur = 3GG ' 5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ uuur r + AB 0 A B= r uuuur r + Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM = a uuur uuur uuur uuur + AB AC B C=; AD BD A B= uuur uuur 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG = 2GD . Giải uuur uuur A AG = 2GD A,G,D thẳng hàng. AG=2GD và G nằm giữa A và D. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. G uur uur r 2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA + 2 IB = 0 . B I C HD D A I B uur uur r uur uur uur uur IA + 2 IB = 0 � IA = −2 IB � IA = −2 IB uur uur 1 hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB 3 uuur uuur uuur uuur r 3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0 Giải uuur uuur uur Ta có GA + GB = 2GI , trong đó I là trung điểm AB uuur uuur uuur B Tương tự GC + GD = 2GK , K là trung điểm CD uuur uuur uuur uuur uur uuur C GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GK uur uuur r I hay GI + GK = 0 K G là trung điểm IK A D BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. r a/ CMR : AM + BN + CP = 0 -14-
b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho BM = 2 MC a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. a/ CMR : AD + BC = 2 EF r b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0 c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) − − − − d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. r a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0 b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : AB + AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR : AD + BE + CF = 3 GH Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : r a/ OA + OB + OC + OD = 0 b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 1 Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = . 2 NC Gọi K là trung điểm của MN. 1 1 1 1 a/ CMR : AK = AB + AC b/ CMR : KD = AB + AC 4 6 4 3 Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : 1 1 a/ AM = + AC 3 AB 8 1 3 b/ MI = AB + AC 6 8 Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a uuur uuur uuur a) Phân tích AD theo AB và AF 1 uuur 1 uuur b) Tinh AB + BC theo a 2 2 Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC). uuuur uuur uuur Phân tích AM theo AB và AC Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung uuur uuur uuur điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC . Bài 15 : Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. uur uuur uuur uuur a) Tính AI , AJ theo AB, AC uuur uuur uuur b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng. -15-
r r Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0 a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : uuur uuur uuur uuur uuuur ur uuuur uuuur uuuur uuuur a/ MA = MB . b/ MA + MB + MC = O c/ | ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ + Μ C uuuur uuur 3 uuuur uuuuur uuuur uuur uuuur uuuuur d/ ΜΑ + ΒC = ΜΑ − ΜΒ e/ | ΜΑ + ΒC = ΜΑ − ΜΒ 2 -16-
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VAØ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ r  Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng 1. r Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox r i xr' O I x O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.  Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục r uuuur r + Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM = mi . Số m gọi là tọa độ r uuuur của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ). r r r r r + Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u = xi . Số x gọi là tọa độ của vectơ u r đối với trục (O; i ).  Độ dài đại số của vectơ trên trục r r Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho. r Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i *Nhận xét: uuur r + Nếu AB i thì AB = AB uuur r + Nếu AB i thì AB = AB r + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b a  Tính chất: uuur uuur uuur uuur + AB = CD � AB = CD + AB + BC = AC (hệ thức Sa lơ) 2. Hệ trục tọa độ y j i O x  Hệ trục tọa độ r Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là i , r r r vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ). + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.  Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ r r r r r r Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a . r r Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y) r r Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’) r r x = x' a =b y = y' r r  Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó: r r 1) a b = (x x’; y y’) r 2) k a =(kx ; ky) với k ﾷ r r 3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’) r r r r r x = kx ' x y 4) a // b 0 có số k thỏa a =k b = � xy '− yx ' = 0 y = ky ' x' y'  Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ -17-
uuuur Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, cặp số uuuur (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y) y Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y) M2 M(x;y) + x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M uuuur r r uuuur + M(x ; y) OM = xi + y j OM =(x;y) M1 O x x= OM1 ; y= OM 2 + Gốc tọa độ là O(0;0) uuuur  Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có : uuuur MN = (xM – xN ; yM – yN)  Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì: xM + x N yM + y N xP = ; yP = 2 2  Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức: x A + xB + xC y A + yB + yC xG = ; yG = 3 3 1) | u | = x 2 + y 2 với u = (x;y) − 2) | AB | = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB) 3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø: x A − kxB y A − kyB xM = ; yM = (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB) 1− k 1− k 4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng uuur uuur xC − x A yC − y A xC − x A yC − y A AC / / AB = ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi x − x xB − x A y B − y A B A yB − y A -18-
BÀI TẬP CƠ BẢN r r r r 1) Biểu diễn vectơ a dưới dạng a = xi + y j r r r r a) a =(1; 1) b) a =(5;0) c) a =(0; 2) d) a =(0;0) r 2) Xác định tọa độ vectơ u , biết: r r r r r 1 r r r r r a) u =3 i 4 j b) u = 2 i + j c) u = 3 i d) u = j 3 r 3) Xác định tọa độ của vectơ c , biết: r r r r r r a) c = a +3 b ; với a (2; 1), b (3;4). Tính độ dài của c r r r r r b) c =2 a 5 b ; với a ( 1;2), b ( 2; 3) r r r Đáp án: a) c =(11;11), | c |=11 2 b) c =(8;19) 4) Cho a =(2;4); b =(3;1); c =(5;2). Tìm vectơ: a) m = 2 a + 3 b − 5 c b) n = 24 a + 14 c . ur r Đáp án: a) m = ( 30;21) b) n =(118;68) 5) Cho hai điểm A( 1;1), B(1;3) uuur uuur a) Xác định tọa độ các vectơ AB, BA . uuuur b) Tìm tọa độ điểm M sao cho BM = (3;0) . uuur c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA = (1;1) . uuur uuur Đáp án: a) AB = (2; 2), BA = (−2; −2) b) M(4;3) c) N( 2;0) rr r uuur r 6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng, j và uuur AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD. Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0) 5 5 5 5 I ( ; ), N ( ;5), M (5; ) 2 2 2 2 7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD ﾷ = 600 . Chọn hệ trục rr r uuur uuur uuur uuur uuur tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ AB, BC , CD, AC. Đáp án: Kẻ BH AD, ta có BH=3 AB=2 3 (vì HAB vuông và BAD ﾷ = 600 ) AH= 3 . Do đó;A(0;0), B( 3 ;3), C(4+ 3 ;0), D=(4;0) uuur uuur uuur uuur AB = ( 3;3), BC = (4; 0), CD = ( − 3; −3), AC = (4 + 3;3) 8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P( 1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác. Đáp án: A(0;5), B( 2;1), C(4; 1) 9) Cho hình bình hành ABCD có A( 1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. Đáp án: D( 3;0) 10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8) uuur a) Xác định tọa độ của AB .Tính AB. b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC. d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’. uuur Đáp án: a) AB =(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). a) Tìm tọa độ trọng tâm G. b) Tính chu vi tam giác ABC. Đáp án: a) b) 12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các véc tơ uuur uuuur uuuur AG, GM , AM . Tính chu vi tam giác ABC. uuur uuuur uuuur Đáp án: AG = , GM = , AM = 13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur r a) CE = 3 AB − 4 AC b) AF + 2 BF − 4CF = 0 . Đáp án: − −− 14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaùc ñònh t ñeå AB = CD . -19-
Đáp án: t=1 15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương a) a = (1;2) và b = (3;6) b) a =( 2 = 1) và b = (2; 2 ). c) a = (1;4) và b = (3;7) d) a = (1;3) và b =(1;2). 16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương r r r r a) a =(2;3), b =(4;x) b) u =(0;5), v =(x;7) ur r r r c) m =(2;3), n =(1;x) d) a =( t+1;2) b =(3;4t). Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x= 3 d) t=1; t=2 17) Biểu diễn véctơ c theo hai véctơ a và b a) c = ( 4;7) ; a = (2; 1) ; b = (3;4) b) c = ( 1;3) ; a = (1;1) ; b = (2; 3) c) c = (0;5) ; a = ( 4;3) ; b = ( 2; 1). c1 = ma1 + nb1 HD: Tìm các số m, n sao cho c = m a + n b giải hệ c2 = ma 2 + nb2 r r r 3 r 4 r r Đáp án: a) c = a +2 b b) c = a b c) c = a 2 b 5 5 uuur uuur uuur 18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2; 1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn AD theo AB, AC . uuur uuur uuur Đáp án: AD =3 AB +4 AC 19) Cho ba điểm A( 1;1), B(1;3), C( 2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng. uuur uuur HD: AB = −2 AC 20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C( 7;x) thuộc đường thẳng AB. uuur uuur Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC / / AB x=14 21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD. uuur uuur Đáp án: ta có CD = −2 AB AB và CD song song hoặc trùng nhau uuur uuur 2 6 Ta AC (2;6), AB (1;=2) = 1 2 uuur uuur AC không cùng phương AB C không thuộc AB CD//AB 22) Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C. Đáp án: C(0;4) 23) Cho A( 2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ. Đáp án: I(1;3), C(2;6) 24) Cho ba điểm A(0; 4), B( 5;6), C(3;2) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. uuur uuur HD: a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC b) G( 1;4) rr r uuur r uuur 25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là trung điểm BC, i OC , j OA . a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC. c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đáp án: a) A(0; a 3 ), B(− a ; 0), C ( a ;0) 2 2 2 a a 3 b) E ( ; ) c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G. 4 4 rr r uuur r uuur 26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là tâm của lục giác đều, i OD , j EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6. Đáp án: A( 6;0), D(6;0) 27) Cho A(1; 2), B (3; 4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết: uuur uuur uuur r a) AD – 2 BD + 3 CD = 0 uuur uuur uuur uuur b) AD – 2 AB = 2 BD + BC -20-