zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Ôn thi cao học môn Toán kinh tế (Trần Ngọc Hội - 2009) Phần II Xác suất

Chia sẻ: AN TON | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Báo xấu

821
lượt xem 479
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho. 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao học môn Toán kinh tế (Trần Ngọc Hội - 2009) Phần II Xác suất

OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − NA sản phẩm loại B. Số cách chọn là C N−kN A . n − ÔN THI CAO HỌC Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm MÔN TOÁN KINH TẾ loại A là: (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) C N A .C N−kN A . k n − §2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT PHẦN II: XÁC SUẤT 2.1. Phép thử và biến cố 1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố. §1. ÔN VỀ TỔ HỢP Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho. 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: hiện phép thử. {x,y}; {x,z}; {y,z}. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm k 1.2. Công thức tính tổ hợp: Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có không quá 6” là biến cố tất yếu. công thức: 3) Biến cố bất khả, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện n! phép thử. Cn = k k !( n − k )! Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả. 20! Ví dụ: C20 = = 38760. 6 6!14! 4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực 6 hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính C bằng cách bấm 20 nhiên. 2 0 nCr 6 = 1.3. Bài tóan lựa chọn: Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N − NA sản biến cố ngẫu nhiên. phẩm lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số nguyên k thỏa 0 Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) ≤ k ≤ NA, 0 ≤ n − k ≤ N− NA. Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” . phẩm loại A. 5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A ∪ B) là biến cố Lời giải định bởi: Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: k A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra. Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A. Số cách chọn là C N A . ⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Minh họa: 1 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j = 1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó: A = A1 + A3 + A5. Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau: Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5. A1 + A2 +…+ An xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra. 8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số Minh họa: chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có: A = A1 + A2 B = A2 + A4 + A6 6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi: AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử) Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Minh họa: Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố : A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt 1 chấm. C : Xuất hiện mặt có số không quá 2. Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2). 9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau: A xảy ra ⇔ A không xảy ra Minh họa: A1A2…An xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra. Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau: A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5. C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5. Ta có: AB = A6 và ABC = Φ. 7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới dạng Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và tổng của hai biến cố khác. chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chia Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ. 3 4 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A. 3) Công thức cộng xác suất thứ hai 10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: hiện phép thử. Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp Aj P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) (j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng. Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. 2.2. Định nghĩa xác suất. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra Giả sử khi tiến hành một phép thử , có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có: mA a) Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. có thể xảy ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số được b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu. n gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). Lời giải Như vậy, Gọi Aj (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4 − j) sản phẩm xấu có trong Soá bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho A 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A0, A1,…,A4 xung khắc từng đôi và theo Công thức tính P(A) = xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có Toång soá bieán coá sô caáp coù theå xaûy ra j 4− j P( A j ) = C10 C 5 4 2.3. Công thức tính xác suất lựa chọn. C15 Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong dó có NA sản phẩm loại A, còn lại Từ đó ta tính được: là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm (0 < n < N). Khi đó, với mỗi 0 ≤ k 5 100 450 ≤ NA thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản P( A0 ) = ; P( A1 ) = ; P( A2 ) = phẩm loại A là 1365 1365 1365 600 210 P( A3 ) = ; P ( A4 ) = . C C k n−k 1365 1365 p n(k) = N nN − N A A CN a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có: A = A4 + A3 + A2. §3. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 3.1. Công thức cộng xác suất Từ đây do tính xung khắc từng đôi của A2, A3, A4, công thức cộng thứ nhất cho ta: 1) Công thức cộng xác suất thứ nhất. 210 600 450 P(A) = P(A 4 ) + P(A 3 ) + P(A 2 ) = + + = 0, 9231 1365 1365 1365 Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó, P(A+B) = P(A) + P(B) biến cố đối lập B là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có: B = A4. Suy ra xác suất của B là P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) 210 P ( B ) = 1 − P ( B ) = 1 − P ( A4 ) = 1 − = 0,8462 . 2) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có 1365 P(A) = 1 − P(A) 5 6 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh 4.2. Công thức nhân xác suất thứ nhất viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn. P(AB) = P(A) P(B) Lời giải Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1 ≤ Gọi i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: - A là biến cố sinh viên được chọn giỏi moan Toán. - B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn. P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An). Khi đó - AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn. 4.3. Công thức nhân xác suất thứ hai - A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn. Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có Do đó 60 70 40 P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) P( A + B) = P ( A) + P ( B) − P( AB ) = + − = 0,9. 100 100 100 Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có: §4. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 4.1. Xác suất có điều kiện P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1). 1) Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, Chẳng hạn: kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). đã xảy ra rồi. Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau: sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi - A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. lô 2 sản phẩm. - B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. - C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4. b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất đã chọn - D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4. được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I. Khi đó - P(A/B) = 0 Lời giải - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 − i) sản Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II. Khi đó P(A/B) < P(A); - A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có: P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A). Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau: 2) Tính độc lập. Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B. 7 8 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 0 2 Suy ra P( A0 ) = C10 C 5 = 10 ; P(A1A) 2 C15 105 P(A1/A) = . P(A) 1 1 P( A1 ) = C10 C 5 = 50 ; Mặt khác A1A = A1B1 2 C15 105 Vì hai biến cố A1 và B1 độc lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có: 2 0 P( A2 ) = C10 C 5 = 45 . 50 56 2 P( A1 A) = P( A1 B1 ) = P( A1 ) P ( B1 ) = . = 0,2540. C15 105 105 105 - B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và ta có: Do đó xác suất cần tìm là: 0 2 P(A1A) 0,2540 P( B0 ) = C 8 C 7 = 21 P(A1/A) = = = 0,6957. ; 2 P(A) 0,3651 C15 105 1 1 P( B1 ) = C8 C 7 = 56 ; §5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 2 C15 105 5.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi 2 0 P( B2 ) = C8 C 7 = 28 . Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi 2 nếu hai tính chất sau được thỏa: C15 105 - A1 + A2 +… + An = Ω; - Ai và Bj độc lập. - ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta có: một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ. A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0. Nhận xét. Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. Do tính xung khắc từng đôi, công thức cộng xác suất cho ta: Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng; P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0). hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau: - Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I. Từ đây, do tính độc lập, công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: - Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II. Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi: P(A) = P(A 0 )P(B2 ) + P(A1 )P(B1 ) + P(A 2 )P(B0 ) - A0 , A1 , A2 . 10 28 50 56 45 21 - B0 , B1 , B2 . = . + . + . = 0, 3651. 105 105 105 105 105 105 - A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2. - A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2. b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trường 5.2. Công thức xác suất đầy đủ hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A1/A). Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có: Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có n P(A1A) = P(A)P(A1/A) . P(A) = ∑ P(A )P(A/A ) j =1 j j 9 10 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 5.3. Công thức Bayes 1 1 P( A / A1 ) = C 9 C 8 = 72 Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n: 2 C17 136 P(A k )P(A/A k ) P(A )P(A/A k ) P(A k /A) = = n k 1 1 P(A) P( A / A2 ) = C10 C 7 = 70 ∑ P(A j )P(A/A j ) 2 j =1 C17 136 Ví dụ. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 Suy ra xác suất của biến cố A là sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm. P( A) = P( A0 ) P( A / A0 ) + P( A1 ) P( A / A1 ) + P( A2 ) P( A / A2 ) a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. 10 72 50 72 45 70 = . + . + . . b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Tính xác 105 136 105 136 105 136 suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I. = 0,5231 Lời giải b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Khi đó biến cố Gọi A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A1/A). Ap dụng - A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có - Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩmxấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I. 50 72 . P(A1 )P(A/A1 ) 105 136 Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: P(A1 /A) = = = 0,4819. P(A) 0,5231 0 2 P( A0 ) = C10 C 5 = 10 2 ; §6. CÔNG THỨC BERNOULLI C15 105 6.1. Công thức Bernoulli 1 1 Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi P( A1 ) = C10 C 5 = 50 ; phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất pkhông đổi, hoặc không xảy ra với xác 2 C15 105 suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để 2 0 trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là: P( A2 ) = C10 C 5 = 45 . 2 Pn (k) = Cnp k qn − k k C15 105 a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A). Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có: 6.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có: P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2). 1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn. 2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn. Ta có: 1 1 Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản P( A / A0 ) = C 8 C 9 = 72 xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có: 2 a) 3 sản phẩm tốt. C17 136 b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt. 11 12 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Lời giải B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có trong 5 sản phẩm thu được. Ap dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta §1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN có 1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo k P( Ak ) = C n p q k n −k k = C 5 (0,6) (0,4) k 5− k . kết quả của phép thử. Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên. a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là: Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên. 3 P( A3 ) = C 5 (0,6) 3 (0,4) 2 = 0,3456. 1.2. Phân loại a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là đếm được các giá trị. P(A3 + A4 + A5). Ta có: Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1;..; n. P( A3 + A4 + A5 ) = P( A3 ) + P( A4 ) + P( A5 ) b) Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm 4 được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các = 0,3456 + C 5 (0,6) 4 (0,4) + (0.6) 5 số thực. = 0,68256. Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 1.3. Luật phân phối a) Trường hợp rời rạc Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0, x1,…,xn ta lập bảng: X x1 X2 ……………………….. xn P p1 p2 …………………………. pn trong đó - pk = P(X = xk) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n. n - ∑p k =1 k = 1 , nghĩa là p1 + p2 +…+ pn = 1 . Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X. Lời giải Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ap dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được: 13 14 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 0 2 p0 = P( X = 0) = C 6 C 4 = ; 2 X x1 x2 ……………………….. xn 2 C10 15 P p1 p2 …………………………. pn 1 1 p1 = P( X = 1) = C6 C4 = 8 ; thì 2 n C10 15 M(X) = ∑ xk pk 2 0 k =1 p2 = P( X = 2) = C6 C4 = 1 . nghĩa là M(X) = x1p1 + x2p2+…+ xnpn. 2 C10 3 - Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì Vậy luật phân phối của X là b X 0 1 2 M(X) = ∫ a xf (x)dx. P 2/15 8/15 1/3 Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau: b) Trường hợp liên tục Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra X 0 1 2 đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Còn thay P 2/15 8/15 1/3 cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa ra hàm mật độ f(x) thoả các tính chất sau: Do đó kỳ vọng của X là M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2. - f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b]. b 2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau: - ∫ f ( x)dx = 1. Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính a β hằng số đó, nghĩa là: - P(α ≤ X ≤ β ) = ∫ f ( x)dx. M(C) = C (C: Const). α Tính chất 2: Với k là hằng số ta có §2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 2.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của M(kX) = kM(X). X được xác định như sau: - Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). các xác suất P(X = x). Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có - Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất. M(XY) = M(X)M(Y). Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. 2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn. 1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có không âm định bởi: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 D(X) = M[(X − μ)2 ] Do đó Mod(X) = 1. 2.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình) trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X. 1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ ( X ) . xác định như sau: Vậy - Nếu X rời rạc có luật phân phối 15 16 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi σ(X) = D(X) . 2.4 Sử dụng máy tính để tính các đặc số. Ta có thể sử dụng phần mềm 2) Công thức tính phương sai: thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES,...) để tính Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sai kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. như sau: Ví dụ. Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 trong đó M(X ), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X. 2 X 0 1 2 Như vậy, P 2/15 8/15 1/3 - Nếu X rời rạc có luật phân phối a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS X x1 X2 ……………………….. xn P p1 p2 …………………………. pn 1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần...) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ hiện lên chữ SD. thì công thức trên trở thành 2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear) n n = AC . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc Δ thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa. ∑x p −(∑ x k p k )2 2 D(X) = k k k =1 k =1 3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;) - Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì 0 SHIFT , 2 a b/c 1 5 M+ b b 1 SHIFT , 8 a b/c 1 5 M+ 2 2 D(X) = ∫a x f (x)dx − (∫ xf (x)dx) a 2 SHIFT , 1 a b/c 3 M+ Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau: 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu X 0 1 2 mới sẽ thay cho số liệu cũ. P 2/15 8/15 1/3 và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 . Suy ra phương sai của X là: Ví dụ. Nhập sai 0 SHIFT , 2 a b/c 2 5 M+ . Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 − (1,2)2 = 32/75 - x1 = 0 (đúng). ≈ 0,4267. - Freq1 = 2/25 (sai) Độ lệch chuẩn của X là: Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm 2 a b/c 1 5 = thì σ ( X ) = D ( X ) = 0,4267 ≈ 0,6532. nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15. 3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau: Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn, Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0, nhập dư 3 SHIFT , 3 a b/c 4 M+ . Khi kiểm tra ta thấy x4 = 3 (dư). Ta để màn nghĩa là: D(C) = 0. hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3 và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa. Tính chất 2: Với k là hằng số ta có Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. D(kX) = k2(D(X). Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y). 17 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 5) Đọc kết quả: Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú §3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Kỳ vọng M(X) SHIFT 2 1 = X = 1.2 M(X) = X 3.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội, kí Độ lệch chuẩn σ(X) SHIFT 2 2 = xσn = 0, 6532. σ(X) = xσn hiệu X ∼ H(N, NA, n), trong đó N, NA, n là các số nguyên dương , 0 < n, NA < N, nếu X rời rạc nhận các giá trị k nguyên từ max{0; n + NA − N} đến min{n; NA} theo Công • Phương sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267 thức tính xác suất lựa chọn: b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES k n−k 1) Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP ∇ 4 1 P(X = k) = C C NA N − NA n (Bấm ∇ bằng cách bấm nút tròn xuống) 2) Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 ) C N (Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT) 3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội 3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau: Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng: NA M(X) = np vôùi p= N b) Phương sai. N−n D(X) = npq vôùi q =1−p N −1 Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X. Lời giải Ta thấy X có phân phối siêu bội 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số X ∼ H(N, NA, n) với N = 12; NA = 8, n = 4. liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới Do đó X nhận các giá trị k nguyên từ max {0; 4 + 8 − 12} = 0 đến min{4; 8} = 4 với sẽ thay cho số liệu cũ. các xác suất định bởi: k 4− k P( X = k ) = C 8 C 4 Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đó và bấm DEL thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. 4 Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn C12 hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Trong quá trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng Từ đây ta tính được P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; số liệu thì bấm SHIFT 1 2 P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. 5) Đọc kết quả: Vậy luật phân phối của X là: Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú X 0 1 2 3 4 Kỳ vọng M(X) SHIFT 1 5 2 = X = 1.2 M(X) = X P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 Độ lệch chuẩn σ(X) SHIFT 1 5 3 = xσn = 0, 6532 σ(X) = xσn Kỳ vọng của X là 8 M(X) = np = 4. = 2, 667. 2 2 • Phương sai D(X) = [σ(X)] = (0,6532) = 0,4267 12 19 20 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Phương sai của X là ⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6 N−n 8 8 12 − 4 ⇔ k = 3. D(X) = npq = 4. (1 − ) = 0, 6465. N −1 12 12 12 − 1 Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3. §4. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.3. Định lý. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N, 4.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức, kí NA, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu hiệu X∼ B(n,p), trong đó n số nguyên dương , 0 < p < 1, nếu X rời rạc nhận n + 1 giá NA nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với p = , nghĩa là trị nguyên 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli: N k k P (X = k) = C np k q n − k P (X = k) = C p k q n − k (k = 0, 1, …) n Trường hợp n = 1, ta còn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p). Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000 sản 4.2. Các đặc số của phân phối nhị thức phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 7 sản Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau: phẩm tốt. a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa np – q ≤ p – q + 1 k≤n Lời giải b) Kỳ vọng: M(X) = np Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 10000; NA= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với N c) Phương sai: D(X) = npq = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p = Ví dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. NA/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là: Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X. P (X = 7) = C10(0,8)7 (0,2)3 ≈ 0,2013. 7 Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu? Lời giải §5. PHÂN PHỐI POISSON Ta thấy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6 5.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson, kí giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli: hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn đếm được các giá trị k k nguyên k = 0,1,…, với các xác suất định bởi: P ( X = k ) = C n p k q n−k = C 5 (0,6) k (0,4) 5−k . Từ đây ta tính được e− a a k P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; P (X = k) = P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776. k! Vậy luật phân phối của X là: 5.2. Các đặc số của phân phối Poisson Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số như sau: X 0 1 2 3 4 5 M(X) = a a) Kỳ vọng: P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 b) Phương sai D(X) = a - Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3. 5.3. Tính chất. Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2). Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2 ∼ P(a1 + a2). - Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2. 5.4. Định lý Poisson. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức - Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có thể nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1 21 22 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y ∼ P(a) Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghĩa là f(−x) = f(x)), liên tục trên R. với a = np, nghĩa là: Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trị f(x) trên đoạn [0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ: e− a a k ∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. P (X = k) ≈ (k = 0, 1, …) Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có k! f(1,14) ≈ 0,2083; f(− 2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396. Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1 f(− 6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt. Lời giải 6.4. Hàm Laplace. Hàm laplace ϕ(x) là hàm số xác định trên R định bởi: x t2 1 − Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002 φ(x) = 2π ∫e 0 2 dt khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson: Hàm Laplace y = ϕ(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ϕ(−x) = −ϕ(x)), liên tục trên R. Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Laplace, trong đó ghi các giá trị ϕ(x) trên đoạn [0; 5]. X ∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = 2. Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xấp xỉ: Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là: ∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5. P (0 ≤ X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) e−2 20 e−2 21 e−2 22 Ví dụ. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có: ≈ + + ≈ 0, 6767. ϕ (1,14) ≈ 0,3729; 0! 1! 2! ϕ (− 2,15) = − ϕ(2,15) ≈ − 0,4842. §6. PHÂN PHỐI CHUẨN ϕ (− 6,12) = − ϕ(6,12) ≈ − ϕ(5) ≈ − 0,5. 6.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, kí hiệu X ∼ N(μ, σ2), trong đó μ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật độ xác định trên R định bởi: 6.5. Công thức tính xác suất của phân phối chuẩn Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2). Khi đó, xác suất để X lấy các giá trị thuộc [a;b] là (x −μ )2 1 − fμ, σ (x) = e 2 σ2 σ 2π b−μ a−μ P(a ≤ X ≤ b) = ϕ( ) − ϕ( ) (1) σ σ 6.2. Các đặc số của phân phối chuẩn trong đó ϕ(x) là hàm Laplace. Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Mode: Mod(X) = μ Ví dụ. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg2. Một sản phẩm được xếp vào a) Kỳ vọng: M(X) = μ loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại sản phẩm trên. b) Phương sai: D(X) = σ2 Lời giải 6.3. Hàm Gauss. Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1): Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra X có phân 2 x phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) với μ = 50, σ2 = 100 (σ = 10). Vì một sản phẩm được xếp 1 − f (x) = e 2 vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác 2π suất P(45 ≤ X ≤ 55). 23 24 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Ap dụng công thức trên ta có 1 93 − μ 1 93 − 93, 33 P (X = 93) = f( )= f( ) σ σ 5, 5777 5, 5777 55 − 50 45 − 50 P(45 ≤ X ≤ 55) = ϕ ( ) − ϕ( ) = ϕ (0, 5) − ϕ (−0, 5) 1 1 0, 3982 10 10 = f (−0, 06) = f (0, 06) = = 0, 0714. = 2ϕ (0, 5) = 2.0,1915 = 0, 383. 5, 5777 5, 5777 5, 5777 (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta được f(0,06) = 0,3982). (Tra bang giá trị hàm Laplace ta được ϕ(0,5) = 0,1915). Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A là 38,3%. b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là: 110 − μ 90 − μ 6.6. Định lý Moivre-Laplace. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối P (90 ≤ X ≤ 110) = ϕ( ) − ϕ( ) nhị thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p không quá gần 0 cũng không quá σ σ gần 1 (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên 110 − 93, 3333 90 − 93, 3333 = ϕ( ) − ϕ( ) Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, trong đó Y ∼ N(μ, σ2) với μ = np, σ = npq (q = 5, 5777 5, 5777 1− p) nghĩa là: = ϕ(2, 99) − ϕ(−0, 6) = ϕ(2, 99) + ϕ(0, 6) 1 k−μ = 0, 498625 + 0, 2257 = 0,724325. a) P (X = k) ≈ f( ) (k = 0,1,2,…) σ σ (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ (2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257). k2 − μ k −μ b) P (k 1 ≤ X ≤ k 2 ) ≈ φ( ) − φ( 1 ) ( k1 < k2) σ σ TÓM TẮT PHẦN II trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace. 1) Công thức tính xác suất lựa chọn (đi với phân phối siêu bội) Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm k n−k 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn cách C C kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 pn (k ) = N n N − N A A sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện trong rất nhiều kiện. Tính xác suất để có: CN Điều kiện áp dụng: Có tổng số N phần tử, trong đó có NA loại A và N − NA loại B. a) 93 kiện được nhận. Dùng tính xác suất để trong n phần tử chọn ra có đúng k phần tử loại A. b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận. 2) Công thức Bernoulli (đi với phân phối nhị thức) Lời giải k Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện Pn (k ) = C n p k q n−k . đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì chọn Điều kiện áp dụng: Có n phép thử độc lập, được lặp đi lặp lại trong những điều kiện kiện.Do đó theo Công thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để một kiện được như nhau; ở mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất p không đổi và không xảy ra nhận là: với xác suất q = 1 − p. Dùng tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần. 2 1 3 0 p = P3 ( 2 ≤ k ≤ 3) = P3 ( 2 ) + P3 (3) = C 6 C 4 + C 6 C 4 = . 2 3 3 3) Công thức Cộng và Nhân xác suất: C 10 C 10 3 Gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X có phân • Công thức Cộng xác suất: phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và p = 2/3 không - Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có: quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An). X ∼ N(μ, σ2) - Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB). với μ = np = 140.2/3 = 93,3333, σ = npq = 140.2 / 3.1 / 3 = 5,5777. • Công thức Nhân xác suất: a) Xác suất để có 93 kiện được nhận là: 25 26 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi - Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, ta có: k n−k P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An). P( X = k ) = C N C N −N A A n - Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/ A1A2 …An-1). CN Khi đó: NA Ta thường sử dụng các công thức trên khi có thể phân tích biến cố đã cho dưới dạng - Kỳ vọng: M ( X ) = np vôùi p= . tổng của nhiều biến cố xung khắc từng đôi, mỗi biến cố là tích của một số biến cố. N N −n 4) Công thức Xác suất đầy đủ và Công thức Bayes: - Phương sai: D( X ) = npq vôùi q = 1 − p . N −1 Với A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi, ta có: 9. Phân phối nhị thức: X ∼ B(n,p) với xác suất định bởi: k P ( X = k ) = C n p k q n−k . - Công thức xác suất đầy đủ: Khi đó: n - Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa P(A) = ∑ P(A j )P(A/A j ). np – q ≤ k ≤ np – q + 1. j =1 - Kỳ vọng: M(X) = np. - Công thức Bayes: Với 1 ≤ k ≤ n, - Phương sai: D(X) = npq. 10. Phân phối Poisson: X ∼ P(a) với xác suất định bởi: P(A k )P(A/A k ) P(A k )P(A/A k ) e−a a k P(A k /A) = = n P (X = k) = . P(A) ∑ P(A j )P(A/A j ) Khi đó: k! j=1 Ta thường sử dụng các công thức trên khi có thể tính xác suất của biến cố A đã cho - Kỳ vọng: M(X) = a. nếu cho biết thêm một số điều kiện. Dựa vào các điều kiện đó để xây dựng một hệ đầy - Phương sai: D(X) = a. đủ và xung khắc từng đôi. 11. Phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ2) Khi đó: 5) Xác suất có điều kiện: a) Các đặc số: Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A/B), là xác - Mode: Mod(X) = μ. suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Để tính - Kỳ vọng: M(X) = μ. xác suất có điều kiện P(A/B) thường có 2 cách: - Phương sai: D(X) = σ2. Cách 1: Dùng công thức Nhân xác suất P(AB) = P(B)P(A/B), suy ra P(AB) P(A/B) = . b) Công thức tính xác suất: P(B) b−μ a−μ Trong trường hợp này, ta cần tính P(AB) và P(B) để tìm được P(A/B). P ( a ≤ X ≤ b) = ϕ ( ) −ϕ( ). Cách 2: Dùng công thức Bayes bằng cách xây dựng một hệ biến cố đầy đủ, xung σ σ khắc từng đôi sao cho A= Ak với k nào đó. Khi đó 12. Xấp xỉ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) P(A k )P(B/A k ) Gỉa sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n khá lớn. P(A/B)=P(A k /B) = . Có 2 trường hợp: P(B) a) Trường hợp 1: p khá nhỏ (thông thường p < 0,1). Trong trường hợp này, ta cần tính P(B) bằng cách dùng công thức xác suất đầy đủ: Khi đó có xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: n P(B) = ∑ P(A )P(B/A ). j j e−a a k j =1 P (X = k) ≈ (k = 0, 1, …) 6. Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên. k! Cpq 7. Các đặc số của đại lượng ngẫu nhiên: Mode, Kỳ vọng, Phương sai. k (Thay vì tính theo công thức Bernoulli P (X = k) = n k n−k ) 8. Phân phối siêu bội: X ∼ H(N, NA, n) với xác suất định bởi: 27 28 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi b) Trường hợp 2: p không quá gần 0 cũng như gần 1 (thông thường 0,1 ≤ p ≤ Bài 4. Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ. Từ hộp ta rút ngẫu 0,9) nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để Khi đó có xem X có phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np, σ = npq a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. b) không có bi trắng nào được rút ra. (q = 1 − p), nghĩa là: 1 k−μ Bài 5. Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III - P (X = k) ≈ f( ). (k = 0,1,2,…) sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng σ σ III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là k2 − μ k1 − μ - P (k 1≤ X ≤ k 2 ) ≈ ϕ ( ) −ϕ( ) ( k1 < k2) 70%, 50% và 90%. σ σ a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất. trong đó f(x) là hàm Gauss; b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm ϕ(x) là hàm Laplace. loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường. Cpq k 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A. (Thay vì tính theo công thức Bernoulli P (X = k) = k n−k ). n 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A. Chú ý. Ta phải tìm xác suất p trong phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Sau đó, tùy Bài 6. Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm loại A theo p nhỏ hay lớn, mà ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn. trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm BÀI TẬP a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A. b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã Bài 1. Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên. chọn cửa hàng nào là nhiều nhất? Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác suất để Bài 7. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi trắng; a) có 1 khẩu bắn trúng. hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi rồi bỏ sang hộp II; sau đó b) có 2 khẩu bắn trúng. lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi. c) có 3 khẩu bắn trúng. a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng. b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba bi e) khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng. lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng. Bài 2. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng; Bài 8. Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi đen; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen. a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ. a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. 1) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng. c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. 2) Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng. d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng có được của 3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi trắng đó là của hộp I. hộp thứ nhất. b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất được Bài 3. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách cả 3 bi đen. hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại. Bài 9. Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3. 10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ phế b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm tra ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó. thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu. a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm. b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm. Tính xác suất để 2 phế phẩm đó của xí nghiệp I. 29 30 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Bài 18. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I chứa 15 sản Bài 10. Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc lọai giỏi, 4 khá và 3 trung bình. phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó từ Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời được tất cả, sinh viên khá lô I lấy ra 2 sản phẩm. trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu. Gọi ngẫu nhiên một sinh viên a) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I. và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi. Tính xác suất b) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, trong đó sp tốt có trong lô I từ trước. để sinh viên đó thuộc lọai khá. c) Giả sử đã lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I. Tính xác suất đã lấy được 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II. Bài 11. Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen; hộp II chứa 8 bi trắng và 6 bi đen. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi, sau đó bỏ tất cả các bi còn lại Bài 19. Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu. Mỗi xe chở 1000 chai bia của hai hộp vào hộp III (rỗng). Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III. Tính xác suất để trong Sài Gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây. Xác suất để 1 chai mỗi loại bị bể 2 bi lấy hộp III có 1 trắng, 1 đen. trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3%. Nếu không quá 1 chai bị bể thì lái xe được thưởng. Bài 12. Có hai hộp cùng cỡ. Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi xanh, hộp thứ hai chứa a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bị bể. 5 bi trắng và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi thì được 2 b) Tính xác suất để lái xe được thưởng. bi trắng. Tính xác suất để viên bi tiếp theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng c) Lái xe phải chở ít mất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9? Bài 13. Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được đóng gới để gửi cho khách hàng. Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên Bài 20. Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B và 2000 linh kiện C. ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại I. Tính xác suất để sản phẩm thất lạc cũng Xácsuất hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005%. Máy tính thuộc loại I. ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1. Các linh kiện hỏng độc lập với nhau. Bài 14. Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu, hộp II chứa 10 a) Tính xácsuất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng. viên tốt và 4 viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt và 10 viên xấu. Ta gieo một con xúc b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động. xắc cân đối. Nếu thấy xuất hiện mặt 1 chấm thì ta chọn hộp I; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng. Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt 3 chấm thì chọn hộp II, còn xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp III. Từ hộp được động. chọn lấy ngẫu nhiên ra 4 viên phấn. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt. Bài 21. Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là một đại lượng ngẫu nhiên Bài 15. Có hai kiện hàng I và II. Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg2 . Những sản phẩm có phẩm loại A. Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A. Lấy từ trọng lượng từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm. (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A. a) có đúng 70 sản phẩm loại A. b) có không quá 60 sản phẩm loại A. Bài 16. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất để 1 viên đạn bắn ra c) có ít nhất 65 sản phẩm loại A. trúng mục tiêu là 0,8 . Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị diệt. Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80%. Nếu có 1 viên trúng Bài 22. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20%. phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Khách hàng chọn cách a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt. kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A b) Giả sử mục tiêu đã bị diệt. Tính xác suất có 10 viên trúng. nhiều hơn số sản phẩm thuộc loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 100 kiện (trong rất nhiều kiện). Tính xác suất để Bài 17. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Một lô hàng a) có 42 kiện được nhận. gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận. lô hàng lấy ra 3 sản phẩm. c) có ít nhất 42 kiện được nhận. a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do máy sản xuất bằng số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra từ lô hàng. Bài 23. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để 2 sản phẩm Số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối như sau: phẩm loại A đó đều do máy sản xuất. X 6 8 P 0,9 0,1 31 32 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu thấy cả 2 Bài 29. Tuổi thọ của một bóng đèn là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn sản phẩm đều loại A thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 144 với tuổi thọ trung bình là 1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ.Nếu thời gian sử dụng kiện (trong rất nhiều kiện). không quá 1251 giờ thì bảo hành miễn phí. a) Tính xác suất để có 53 kiện được nhận. a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành. b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận. b) Phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành chỉ c) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện được nhận không còn 1%? nhỏ hơn 95%? Bài 30. Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài 24. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm, độ lệch chuẩn là 1,5 năm. Bán được 1 máy thì lời máy khác cũng sản xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%. 100 ngàn đồng, nhưng nếu máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 100 sản phẩm. Tính xác suất để trung bình khi bán một máy là 30 ngàn đồng thì phải qui định thời gian bảo hành trong a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. bao lâu? b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. c) có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Bài 31. Thời gian cần thiết để một sinh viên đi từ ký túc xá đến trường là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 60 phút, độ lệch chuẩn là 15 Bài 25. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 1% và một máy khác cũng phút. sản xuất loại sản phẩm nầy với tỉ lệ phế phẩm là 2%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho a) Sinh viên xuất phát từ ký túc xá trước giờ học 72 phút. Tính xác suất sinh viên đó bị sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất để trễ học. a) có 14 phế phẩm. b) Sinh viên phải xuất phát từ ký túc xá trước giờ học bao nhiêu phút để xác suất bị trễ b) có từ 14 đến 20 phế phẩm. học chỉ còn 5%. Bài 26. Một xí nghiệp có hai máy I và II. Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự thi Bài 32. Một thành phố có 54% là nữ. được phân một máy và với máy đó sẽ sản xuất 100 sản phẩm. Nếu số sản phẩm loại A a) Chọn ngẫu nhiên 450 người. Tính xác suất để trong dó số nữ ít hơn số nam. không ít hơn 70 thì công nhân đó sẽ được thưởng. Giả sử đối với công nhân X, xác b) Phải chọn ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu người để trong đó với xác suất 99% ta có số suất sản xuất được 1 sản phẩm loại A với các máy I và II lần lượt là 0.6 và 0,7. nữ không ít hơn số nam? a) Tính xác suất để công nhân X được thưởng. b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần. Số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu? Bài 33. Có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại A có trong hai lô I và II lần lượt là 70% và 80%. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm. Bài 27. Trong ngày hội thi, mỗi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại súng và a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô với khẩu súng chọn được sẽ bắn 100viên đạn. Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thì II. được thưởng. Giả sử đối với chiến sĩ A, xác suất bắn 1 viên trúng bia bằng khẩu súng b) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. Tìm kỳ vọng và loại I là 60% và bằng khẩu súng loại II là 50%. phương sai của X. a) Tính xác suất để chiến sĩ A được thưởng. b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần. Hỏi số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu? Bài 34. Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một và hộp II gồm 7 bi đỏ, 3 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai bi. lần được thưởng không nhỏ hơn 98%? a) Tính xác suất để được hai bi đỏ và hai bi trắng. b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút ra. Tìm luật phân Bài 28. Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến phối của X. 0,112cm. Có hai cửa hang cùng bán loại gioăng này với độ dày có phân phối chuẩn với các đặc số trong bảng sau: Bài 35. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10%. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm và từ lô hàng lấy ra 3 sản Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Giá bán phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 6 sản phẩm này. Cửa hàng A 0,12 0,001 3USD/hộp/1000 cái a) Tìm luật phân phối của X. Cửa hàng B 0,12 0,0015 2,6USD/hộp/1000 cái b) Không dùng luật phân phối của X, hãy tính M(X), D(X). Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào? 33 34 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Bài 36. Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 2 bi trắng 17: a) 0,3293 b) 0,0508 và hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau 18: a) 0,5035 b) 0,4235. c) 0,4318 đó rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi. 19: a) 0,8647 b) 0,0103 c) 223 20: a) 0,0952 b) 0,0615 c) 0,3297 a) Tính xác suất để được cả ba bi trắng. 21: a) 0,0681 b) 0,0721 c) 0,6554 b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có trong ba bi được rút ra từ hộp II. 22: a) 0,0779 b) 0,3597 c) 0,3859 Tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X. 23: a) 0,0684 b) 0,2650 c) 7 24: a) 0,000727 b) 0,50413 c) 0,5072 Bài 37. Có ba lô sản phẩm, mỗi lô có 20 sản phẩm. Lô thứ i có i + 4 sản phẩm loại A 25: a) 0,0454 b) 0,3135 (i = 1, 2, 3). 26: a) 0,2603 b) 13 a) Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 27: a) 0,0776 b) 0 c) 49 sản phẩm được lấy ra có đúng 1 sản phẩm loại A. 28: Cửa hàng A. b) Từ mỗi lô lấy ra 1 sản phẩm. Gọi X là tổng số sản phẩm loại A có trong 3 sản 29: a) 0,0485 b) 1152 giờ. phẩm được lấy ra. Tìm luật phân phối của X và tính Mod(X), M(X), D(X). 30: 3,195 năm. 31: a) 0,2119 b) 84,75 phút 32: a) 0,0446 b) 8,36. Bài 38. Một người có 5 chìa khóa bề ngoài rất giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở 33: a) 0,1932 b) M(X) = 3; D(X) = 0,74. được cửa. Người đó tìm cách mở cửa bằng cách thử từng chìa một cho đến khi mở 34: a) 1/3 được cửa thì thôi (tất nhiên, chìa nào không mở được thì loại ra). Gọi X là số chìa khóa b) người đó sử dụng. Tìm luật phân phối của X. Hỏi người đó thường phải thử bao nhiêu X 0 1 2 3 4 chìa mới mở được cửa? Trung bình người đó phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa? P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 35: a) Bài 39. Một người thợ săn có 5 viên đạn. Người đó đi săn với nguyên tắc: nếu bắn X 0 1 2 3 4 5 6 trúng mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa. Biết xác suất trúng đích của mỗi viên P 1/120000 1/2500 291/40000 473/7500 10521/40000 576/1250 1701/8000 đạn bắn ra là 0,8. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng b) M(X) = 4,8; D(X) = 0,76. trong cuộc săn. 36: a) 73/2475 a) Tìm luật phân phối của X. b) b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. X 0 1 2 3 P 179/825 223/450 1277/4950 73/2475 Bài 40. Một người thợ săn có 4 viên đạn. Người đó đi săn với nguyên tắc: nếu bắn 2 M(X) = 1,1; D(X) = 0,5829. viên trúng mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa. Biết xác suất trúng đích của mỗi 37. a) 0,4728 b) viên đạn bắn ra là 0,8. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng X 0 1 2 3 trong cuộc săn. P 273/800 71/160 151/800 21/800 a) Tìm luật phân phối của X. M(X) = 1; D(X) = 0,9. b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. 38: X 1 2 3 4 ĐÁP SỐ P 2/5 3/10 1/5 1/10 1: a) 0,22 b) 0,28 c) 0,97 d) 0,851 Mod(X) = 2; M(X) = 2. 2: a) 0,2667 b) 0,2133 c) 0,4933 d) 0,1352 39: a) 3: a) 0,1667 b) 0,2857 c) 0,3333 X 1 2 3 4 5 4: a) 0,0455 b) 0,5556 P 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,0016 5: a) 0,66 b) II, III c1) 0,076 c2) 0,3925 b) M(X) = 1,2496; D(X) = 0,3089. 6: a) 0,65 b) II 40: a) 7: a) 0,2076 b) 0,5030 X 2 3 4 8: a1) 0,048 a2) 0,464 a3) 0,1034 b) 0,1667 P 0,64 0,256 0,104 9: a) 0,33954% b) 0,1732 10: 0,3243 11: 0,5080 12: 0,2766 b) M(X) = 2,464; D(X) = 0,456704. 13: (a − 1)/(a + b − 1) 14: 0,9334. 15: 0,5687. --------------*--------------- 16: a) 0,8215 b) 0,1307 35 36 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 37 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.