Phân số bằng nhau

Chia sẻ: Ba Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

228
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24. Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số số bằng nhau khác ta làm như sau:  Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân số bằng nhau

Phân số bằng nhau. a c Hai phân số và gọi là bằng nhau nếu : a. b = c. d. b d Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48. Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24. 3 12 Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số = (1). Để lập các cặp phân 6 24 số bằng nhau khác ta làm như sau: 24 12  Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số = . 6 3 3 6  Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số = . 12 24 24 6  Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số = . 12 3 Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau. Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa. Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau: 3 12 24 12 3 6 24 6 = ; = ; = ; = ; 6 24 6 3 12 24 12 3 3 48 48 24 3 6 48 6 = ; = ; = ; = ; 6 24 6 3 24 48 24 3 6 24 48 24 6 12 48 12 = ; = ; = ; = ; 12 48 12 6 24 48 24 6 2 y Ví dụ. Tìm các cặp số nguyên x, y biết : = . x 3 2 y Giải. Từ = , suy ra xy = - 6. x 3 Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cả các cách phân tích số -6 dước dangjtichs của hai số nguyên: Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
( - 6) = ( - 1).6 = 6 .( -1) = ( -2) .3 = ( - 3) .2. Vì vai trò của x , y như nhau nên có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài : x -1 6 1 -6 2 -3 -2 3 y 6 -1 -6 1 -3 2 3 -2 Bài tập. 1.Viết các phân số sau dưới dạng phân số co mẫu dương:  22 3  11  51 ; ; ; ;  37  19  39  57 2.Tìm các số nguyên x,y biết: x 7 x 3 x 5 a) = ; b) = ; c) = . 3 y y 11 y 1  19 3. Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết : 12 x y z t = = = = . 6 5 3  17  9  24 x 4 z3 4.Tìm các số nguyên x, y , z biết : = = 2 = . 6 3 y 2 5. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong sáu số sau : - 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15. 6. Tìm các số tự nhiên a , b , biết rằng a ,b là các số nguyên tố cùng nhau a  7b 29 và = . a  5b 28 Rút gọn phân số. 1. Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một số ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
hơn. a 2. Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số tối b giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau. 5n  3 Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số là phân số tối giản với  n  N. 3n  2 5n  3 Vì n  N , nên 5n + 3  N* và 3n + 2  N* . do vậy để chứng minh phân số là phân số 3n  2 tối giản với  n  N. at phải chứng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Gọi ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d  N và d≥ 1) , ta có 5n + 3  d và 3n + 2  d , do đó 3(5n + 3)  d và 5(3n + 2)  d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3)  hay 15n + 10 – 15n – 9  d , hay 5n  3 1  d , do đó d = 1 .vậy phân số là phân số tối giản với  n  N. 3n  2  188887 Vì dụ . tìm phân số bằng phân số , biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6. 211109  188887  17  17 k Giải . ta có: = . Các phân số pahir tìm có dạng (k  Z , k ≠ 0). 211109 19 19k Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3.  17.3  51 Vậy phân số phải tìm là : = 19.3 57 Bài tập 2 3.3 (2) 3 .33.55.7.8 1. Rút gọn các phân số sau: a) b) 2 2.3 2.5 3.2 4.53.14 2. Rút gọn các phân số sau: 5 2.611.16 2  6 2.12 6.15 2 25 28  25 24  ...  25 4  1 a) ; b) 2.612.10 4  812.960 3 2530  25 28  ...  25 2  1 3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản: 15n  1 n 3  2n a) b) . 30n  1 n 4  3n 2  1 Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
18n  3 4. Tìm tất cả các số nguyên để phân số là phân số tối giản. 21n  7 13 5. a) Cho phân số . Phải them vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được 9 5 phân số bằng phân số ? 7 19 b) Cho phân số . Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân 44 22 số bằng phân số ? 47 6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần lượt bằng : 2 ,3, 4, 5,6 ,7 , 8, 9. a 7. Tìm phân số tối giản , biết: b a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho; b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho. 8. Tìm phân số , biết : 9 a) Phân số đó bằng phân số và BCNN của tử và mẫu là 360; 20 20 b) Phân số đó bằng phân số và ƯCLN của tử và mẫu là 36. 39 a 1 9. Tìm phân số , biết rằng phân số đó bằng phân số . ab 6a 5n 2  1 n n 10. Chứng tỏ rằng nếu phân số là số tự nhiên với n  N thì cá phân số và là 6 2 3 các phân số tối giản. Quy đồng mẫu nhiều phân số. Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau: Bước 1 : Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung. Bươc 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu). Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng. Ví dụ. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số sau: 4.5  4.11  15.8  10.7 2 4.5 2.7 ; và 3 2 . 8.7  4.3 5.6  20.3 2 .5.7 .11 Giải. rút gọn các phân số: 4.5  4.11 4(5  11) 4.16 16 = = = ; 8.7  4.3 4(2.7  3) 4.11 11  15.8  10.7  5(3.8  2.7)  5.10  10 5 = = = = ; 5.6  20.3 5(6  4.3) 5.18 18 9 2 4.5 2.7 2.2 3.5.5.7 2 .5 10 3 2 = 3 = = . 2 .5.7 .11 2 .5.7.7.11 7.11 77 16  5 10 Quy đồng mẫu ba phân số : ; ; . 11 9 77 Mẫu chung : 7.9.11 = 693. Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9. 16 16.63 1008  5  5.77  385 10 10.9 90 Vậy : = = ; = = ; = = . 11 11.63 693 9 9.77 693 77 77.9 693 Bài tập: 1. Tìm mẫu chung của các phân số sau : 13 11  19  23 a) và ; b) 2 và 2 .3.5 2 2 4 2 2 .3 .5.7 3 .7.11 3.7 2.13 2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém mẫu 3 đơn vị và có Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5
a) BC của các tử là 210; b) BC của các mẫu là 210; c) BC của các tử và mẫu là 210; 3. Tìm các chữ số a , b ,c để: 36 a) Phân số = a + b; ab 1000 b) Phân số = abc . abc 4. Cho ba phân số:  5 2  5.3 2 4 6.9 5  6 9.120 2929  101 ; 4 12 11 ; 5 3  5 2.3 2 8 .3  6 2.1919  404 Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số đó. 1. Tìm phân số có mẫu bằng 11 , biết rằng khi cộng tử với – 18, nhân mẫu với 7 thì được một phân số bằng phân số ban đầu. 8 2. a) Tìm phân số bằng phân số , có tích giữa tử và mẫu bằng 324; 18 b)Tìm phân số biết tích của tử và mẫu là 550 và mẫu của phân số chỉ chứa các số nguyên tố 2 và 5. So sánh phân số. 1. Với hai phân số cùng mẫu dương , ta có : Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6
a c a) Nếu a < c và b > 0 thì < . b b a c b) Nếu a > c và b > 0 thì > . b b 2. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lơn hơn. Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 5 6 a) Có mẫu là 30 , lớn hơn và nhỏ hơn . 17 17 2 1 b) Có mẫu là 5 , lớn hơn và nhỏ hơn . 3 6 Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn. a Giải. a) Gọi phân số cần tìm là , trong đó a  Z., ta có: 30 5 a 6 150 17a 180 < < , quy đồng mẫu chung của ba phân số ta được : < < ; suy ra 150 17 30 17 510 510 510 < 17a < 180 , do đó 8 < a < 11 , mà a  Z. nên a = 8 ,10. vậy có hai phân số thỏa mãn đề bài : 9 3 10 1 = ; = . 30 10 30 3 5 3 1 6 Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : < < < . 17 10 3 17  3  2 1 b) Cách làm tươn tự : ta tim được ba phân số thỏa mãn đề bài : ; ; . 5 5 5 2  3  2 1 1 Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : < < < < . 3 5 5 5 6 Bài tập : 1. Điền số thích hợp vào chỗ co dấu …  10 ... ... ... ... 5 a) < < < < < ; 23 23 23 23 23 23 Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7
 1 ... ... 1 b) < < < . 5 30 15 10 2. Hãy tìm các phân số , sao cho : 4 5 a) Có mẫu là 20 , lớn hơn và nhỏ hơn ; 13 13 5 5 b) Lớn hơn và nhỏ hơn . 7 6 4 3. a) Cho phân số . cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được 5 4 lớn hơn hay nhỏ hơn ? 5 5 b) Cho phân số . cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được 4 5 lớn hơn hay nhỏ hơn ? 4 1 2 4. Cho hai phân số và . hãy tìm : 6 3 1 a) Năm phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn và nhỏ 6 2 hơn ; 3 1 b) hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn và 6 2 nhỏ hơn ; 3 c) Có nhận xét gì về số các phân số có cùng tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân số 1 2 đó lớn hơn và nhỏ hơn ; 6 3 1 1 5. Hãy viết ba phân số có mẫu khác nhau , xen giữa hai phân số : và 2 3 Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 8
Tính chất cơ bản của phép cộng phân số. 1. Tính chất giao hoán : khi đổi chỗ các phân số trông một tổng thì tổng không đổi . a c a c c a Với mọi phân số và ta có : + = + . b d b d d b 2. Tính chất kết hợp : muốn cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba , ta cố thể cộng phân số thứ nhất với tổng hai phân số còn lại. a c p a c p a c p Với mọi phân số , , ta có : ( + )+ = + ( + ). b d q b d q b d q 3. Tổng của một phân số với 0 bằng chính phân số đó : Với mọi phân số a a a a , ta có + 0 = + 0 = . b b b b Ví dụ : Tính nhanh các tổng sau: 2 3 4 1 5 1 a) A = + + + + + . 7 8 7 7 8 3 1  2 3  4 5  6 7 6  5 4  3 2 1 b) B = + + + + + + + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 Giải.a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có cùng mẫu vào từng nhóm, ta có : 2 4 1 3 5 1 1 A=( + + )+( + )+ = . 7 7 7 8 8 3 3 b)Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có tổng bằng 0 vào từng nhóm, ta có : 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 B=( + )+( + )+( + )+( + )+( + )+( + )+ 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 7 B = . 8 Bài tập: 1.Thực hiện phép tính một cách hợp lí , tính các tổng sau: Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 9
2 3 3 1 1 1 1 A= + + + + + + 9 4 5 15 57 3 36 1 1  5 1  3 1 1 B= + + + + + + 2 5 7 6 35 3 41 1 3 1 1 7 4 2 C== + + + + + + 2 5 9 127 18 35 7 2. Tìm các số nguyên x biết : 1  2 1 1 3 2 3 5 1 a) + + + ≤ x< + + + + . 3 5 6 5 4 7 5 7 4 5  4  20 12  11 3 7 4 8 2 b) + + + +