PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

275
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp dùng tam thức bậc hai', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI

PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI 1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới VD: Tìm GTLN của: A = x + 2 x Giải: Điều kiện: x  2 Đặt 2  x = y  0 Ta có y2 = 2 – x 12 9 9 A = 2 - y2 + y = - (y- )+  2 44 9 1 1 7 MaxA =  y   2  x   x  4 2 4 4 2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới VD: Tìm GTLN, GTNN của A = x2 + y 2 Biết rằng x2 (x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) Giải: Từ (1) suy ra (x2 + y2)2 – 4 (x2 + y2) + 3 = - x2  0 Do đó A2 – 4A + 3  0  (A – 1)(A – 3)  0  1 A 3 Min A = 1  x = 0, khi đó y =  1 MaxA = 3  x = 0, khi đó y =  3 3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện   0 VD1: Tìm GTLN, GTNN của: x2  x 1 A= x2  x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm x2  x 1 a= (1) x2  x 1 Do x2 + x + 1  0 nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x – 1
2  (a – 1)x + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 Trường hợp 2: Nếu a  1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là   0, tức là: (a +1)2 – 4(a – 1)2  0  (a + 1 + 2a – 2) (a + 1 – 2a +2)  0  (3a – 1) (a – 3)  0  1 (a  1) a3  3 1 Với a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là : 3 (a  1) a 1 x  2(a  1) 2(1  a ) 1 Với a = thì x = 1 3 Với a = 3 thì x = -1 Gộp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có: 1 MinA = khi và chỉ khi x = 1 3 MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 Nhận xét: a) Phương pháp giải như trên còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm x2  x 1 1 số. Đoạn  ;3 là tập giá trị của hàm số A = 2 3  x  x 1   b) Cách khác tìm GTLN của A: 3 x 2  3x  3  2 x 2  4 x  2 2( x  1)2 A=  3 2 3 x2  x  1 x  x 1 MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 c) Cách khác tìm GTNN của A: 3x 2  3 x  3 x2  x 1 2( x 2  2 x  1) 1 2( x  1) 2 1 A=     3 x 2  3 x  3 3( x 2  x  1) 3( x 2  x  1) 3 x 2  x  1 3 1 MinA = khi và chỉ khi x = 1 3 VD2: Tìm GTLN và GTNN của:
2 x2  4 x  5 A= x2 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phươg trình sau đây có nghiệm 2 x2  4 x  5 a= (1) x2 1 Do x2 + 1 > 0 nên (1)  x2(a – 2) – 4x + a – 5 = 0 (2) Trường hợp 1: 3 Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = - 4 Trường hợp 2: Nếu a  2 thì phương trình (2) có nghiệm  ' = 4 – (a – 2)(a – 5)  0  a 2  7a  6  0  1  a  6  a  2  Với a = 1 thì x = -2 1 Với a = 6 thì x = 2 Kết hợp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có: MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2 1 MaxA = 6 khi và chỉ khi x = 2 VD3: Tìm GTLN và GTNN của: B = 2x2 + 4xy + 5y2 biết rằng x2 + y2 = a ( a là hằng số, a  1) Giải: Vì a  1 nên ta có: B 2 x 2  4 xy  5 y 2 2 x 2  4 xy  5 y 2 =  x2  y 2 a a Trường hợp 1: B Nếu y = 0 thì =2 a Trường hợp 2: B 2t 2  4t  5 x Nếu y  0 ta đặt t = thì = t2 1 y a Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t trên có nghiệm là
b  6 nên a  b  6a ( vì a  1) 1 a Từ đó suy ra x1 MaxB = 6a khi và chỉ khi   y  2x y2  5a 2 5a    5a 2 5a  Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị  , ; ,   5  5 5 5    x 2  mx  n x MinB = a khi và chỉ khi  2  x  2 y x2  2x  4 y  2 5a  5a    2 5 a 5 a  Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị  , ; ,   5  5 5 5   VD4: Tìm GTLN và GTNN của: 3 7 c= 2 x 1 x  2 2 Giải: Điều kiện: 0  x  1 Đặt z = x thì z2 + y2 = 1 (1) Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7 Điều kiện: 0  z  1, 0  y  1, 0  d  7 Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1), ta được: 25z2 – 8dz + d2 – 9 = 0 Để phương trình này có nghiệm z thì   0  d2  25  d  5 Maxd = 5  Maxc = 6 và đạt được khi 4d 4 16 =  x  z2  z= (thoả mãn 0  x  1 ) 25 5 25 d = 4 z  3 y  2 12 yz Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính được z = 3 1 9 ,y  ,x  20 5 400 (thoả mãn 0  x  1 ) 96 41 Lúc đó Mind = 2   Minc =  4,1 25 5 10 VD5: x 2  mx  n Cho biểu thức A = x2  2x  4
1 Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng , GTLN bằng 3 3 Giải: Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có: x 2  mx  n 2 2 a= 2  x + mx + n = ax + 2ax + 4a x  2x  4 2  (a – 1)x + (2a – m) + (4a – n) = 0 (1) Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN của A nên ta chỉ xét a  1. Điều kiện để (1) có nghiệm là: 2 f ( x, y )  0  g  x, y   0    y  2 x   0  y  2 x   0       12a 2  4  m  n  4  a  4n  m 2  0 (2) Nghiệm của bất phương trình (2) là a1  a  a2 Trong đó a1, a2 là các nghiệm của phương trình:   12a 2  4  m  n  4  a  4n  m2  0 (3) 1 Theo đề bài, ta phải có a1  , a2  3 3 Theo hệ thức Vi- et đối với phương trình (3) : 4  m  n  4   1 4nm  3  3  a1  a2  4  n  m  10   3 12    2 2 2  1 .3  4n  m 4n  m  12 a a  4n  m 12 3 12  12  Thay n = 6 + m vào 4n – m2 = 12 ta được: 4n – m2 – 12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2 Với m = 6 thì n = 12, khi đó x 2  6 x  12 1 có GTNN là và GTLN là 3 A 2 x  2x  4 3 Với m = -2 thì n = 4, khi đó x 2  6 x  12 1 có GTNN là và GTLN là 3 A 2 x  2x  4 3 Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: M   x  1  x  2   x  3  x  4 
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của: x A 2 x 1 Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: 2 x2  4 x  5 B x2 1 Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của: 2x2  2x  2 C 2x2  2 x  2 Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của: 2x2  2x  2 D x2  1 Bài 6. Tìm GTNN của: 5  3x E 1  x2 Bài 7. Tìm GTNN của: 1 F  x  x2  với x > 0 x